ស្ថិតិពិសេស

មុននឹងចូលដល់និយមន័យ យើងយល់គំនិតធំៗទាំងប្រាំបីនេះជាមុនសិន ។ បើអ្នកយល់គំនិតទាំងនេះ រូបមន្តនឹងក្លាយជារឿងងាយស្រួល ។

១. «ពីរអង្គរ» មានន័យថា លេខពីរសម្រាប់មនុស្សម្នាក់

ក្នុងស្ថិតិមានមួយអង្គរ យើងវាស់របស់មួយ ៖ ពិន្ទុរបស់សិស្សម្នាក់ៗ ។ ក្នុងស្ថិតិមានពីរអង្គរ យើងវាស់របស់ពីរលើមនុស្សតែម្នាក់ ៖ ម៉ាសនិងកម្ពស់របស់ទារកម្នាក់ៗ ។ ដូច្នេះឯកតានៃការសង្កេតគឺ «មនុស្សម្នាក់» ហើយលេខពីរនោះត្រូវយកមកជាមួយគ្នា មិនអាចបំបែកបានទេ ។

២. គូទិន្នន័យ = ចំណុចមួយ

គូ $(x_i;y_i)$ គឺជាចំណុចមួយក្នុងក្រឡាដែង ៖ $x_i$ នៅលើអ័ក្សផ្តេក $y_i$ នៅលើអ័ក្សឈរ ។ ដូច្នេះតារាងទិន្នន័យទាំងមូលក្លាយជាក្រុមចំណុច ដែលគេហៅថា ពពកចំណុចទិន្នន័យ ។

៣. អានទិសដៅនៃពពក

បើពពកឡើងពីឆ្វេងទៅស្តាំ នោះ $y$ កើនពេល $x$ កើន ។ បើពពកចុះ នោះ $y$ ថយពេល $x$ កើន ។ បើពពករាយពេញប្លង់ នោះមិនឃើញទិសដៅទេ ។ នេះជាការអានដំបូងដែលភ្នែកធ្វើបាន មុននឹងគណនាអ្វីមួយ ។ ឧទាហរណ៍ តម្លៃផលិតផលឡើង បរិមាណលក់ចុះ ពពកចុះ ។

៤. ចំណុចធ្យមជាចំណុចកណ្តាលនៃពពក

ចំណុចធ្យម $M(\bar{x};\bar{y})$ គឺជាមធ្យមនៃអាប់ស៊ីស និងមធ្យមនៃអរដោនេ ។ គេអាចគិតថាវាជា «ចំណុចទម្ងន់» នៃពពក ៖ បើដាក់ចំណុចទាំងអស់លើក្រដាសរឹងមួយ ហើយទ្រដោយម្ជុលមួយ ចំណុចដែលធ្វើឱ្យក្រដាសមានតុល្យភាពគឺ $M$ ។ នេះជាហេតុដែលបន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុតតែងកាត់តាម $M$ ។

៥. វិធីពីរយ៉ាងដើម្បីទាញបន្ទាត់

វិធីទីមួយ (សៀវភៅហៅថា បន្ទាត់កាត់តាមចំណុចធ្យមពីរ) គឺចែកចំណុចជាពីរក្រុម រកចំណុចធ្យមនៃក្រុមនីមួយៗ $G_1$ និង $G_2$ រួចសង់បន្ទាត់កាត់ $G_1$ និង $G_2$ ។ វាលឿន ហើយសមរម្យសម្រាប់ការគូសដោយដៃ ។ វិធីទីពីរ (វិធីការេតូចបំផុត) គឺរកតម្លៃ $a$ និង $b$ ដែលធ្វើឱ្យផលបូកការេនៃចម្លាយតូចបំផុត ។ វាត្រូវការគណនាច្រើន តែជាបន្ទាត់ដែលជិតបំផុតពិតប្រាកដ ។ ទាំងពីរជាបន្ទាត់តែមួយប្រភេទ ៖ បន្ទាត់តំរង់តម្រៀង (trend line) ។

៦. បន្ទាត់ជាគំរូ មិនមែនជាការពិត

បន្ទាត់មិនឆ្លងកាត់គ្រប់ចំណុចទេ (លើកលែងករណីពិសេស $r=\pm 1$) ។ ដូច្នេះពេលយើងអានតម្លៃពីបន្ទាត់ យើងកំពុងប៉ាន់ស្មាន មិនមែនអានទិន្នន័យពិត ។ ការប៉ាន់ស្មាននៅជិតចន្លោះទិន្នន័យ (interpolation) ជាទូទៅល្អជាងការប៉ាន់ស្មានឆ្ងាយពីចន្លោះនោះ (extrapolation) ។

៧. $r$ វាស់ភាពជិត មិនមែនភាពចោត

មេគុណ $r$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $-1$ និង $1$ ។ តម្លៃជិត $1$ ឬជិត $-1$ មានន័យថា ចំណុចនៅជិតបន្ទាត់ខ្លាំង ។ តម្លៃជិត $0$ មានន័យថា ចំណុចរាយឆ្ងាយពីបន្ទាត់ ។ សញ្ញាបង្ហាញទិស ៖ $r>0$ ពពកឡើង $r<0$ ពពកចុះ ។ បន្ទាត់ចោតខ្លាំងអាចមាន $r$ តូច បើចំណុចរាយ ។

៨. $r=0$ មានន័យថា «គ្មានទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ»

នេះជាចំណុចល្អិតល្អន់ដែលសិស្សភ្លេចញឹកញាប់ ។ បើចំណុចទិន្នន័យស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល $y=x^2$ យ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ នោះ $r=0$ ដែរ ព្រោះទំនាក់ទំនងខ្លាំងនោះមិនមែនលីនេអ៊ែរ ។ ដូច្នេះ $r=0$ មានន័យថា «បន្ទាត់ត្រង់មិនអាចពន្យល់ទិន្នន័យបានទេ» មិនមែន «គ្មានទំនាក់ទំនងអ្វីទាំងអស់» នោះទេ ។ លំហាត់ទី ៤ នៅផ្នែក ៧ បង្ហាញករណីនេះយ៉ាងច្បាស់ ។

ទិន្នន័យដែលកំណត់ដោយទិន្នន័យពីរ (ឧ. ម៉ាសនិងកម្ពស់) ហើយមានទំនាក់ទំនងគ្នានោះ ហៅថា ស្ថិតិមានពីរអង្គរ ។

ពាក្យ «អង្គរ» មានន័យថា «ជួរឈរ» ឬ «លក្ខណៈដែលគេវាស់» ។ ដូច្នេះ «ពីរអង្គរ» គឺ «លក្ខណៈវាស់ពីរ» ។ លក្ខខណ្ឌសំខាន់មានពីរ ៖

• ត្រូវមានលេខពីរសម្រាប់ធាតុមួយៗ (មនុស្សម្នាក់ ឆ្នាំមួយ ខែមួយ …) ។
• លេខទាំងពីរនោះត្រូវមានទំនាក់ទំនងគ្នា មួយអាចពន្យល់ ឬអាចជួយប៉ាន់ស្មានមួយទៀត ។

ឧទាហរណ៍ បើតារាងមួយរាយ «ពិន្ទុ» និង «ចំនួនសិស្សដែលបានពិន្ទុនោះ» នោះមិនមែនស្ថិតិមានពីរអង្គរទេ ព្រោះ «ចំនួនសិស្ស» គ្រាន់តែជាចំនួនដង (frequency) នៃពិន្ទុ ។ នេះជាស្ថិតិមានមួយអង្គរ ។

យកឧទាហរណ៍ទី 2 ខាងលើមកបកស្រាយនៅក្នុងក្រឡាដែងមួយ គេគូសឆ្នាំបោះពុម្ពនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយចំនួនសៀវភៅដែលបានបោះពុម្ពនៅលើអ័ក្សអរដោនេ ។ ចំណុចអរដោនេ [UNCLEAR: ចំណុចអរដោនេ យក 47 ជាតម្លៃអាប់ស៊ីស រួចជាចំណុចទាំង 6 the clause between «ចំណុចអរដោនេ» and «ជាចំណុចទាំង 6» is faint and reads like «យក 47 ជាតម្លៃអាប់ស៊ីស»] ជាចំណុចទាំង 6 ដែលមានកូអរដោនេ $(1,48)$, $(2,48.4)$, $(3,48.7)$, $(4,48.9)$, $(5,49)$, $(6,49.5)$ ។

ដើម្បីយាងនេះ គេចាំបាច់បកស្រាយស្ថិតិនៃពីរអង្គរជាចំណុចក្នុងក្រឡាដែង ។ ចំណុចតាងគូទិន្នន័យនីមួយៗ ហៅថា ចំណុចទិន្នន័យ ។ សំណុំចំណុចទិន្នន័យទាំងអស់ហៅថា ពពកចំណុចទិន្នន័យ ។

ចំណាំ៖ បញ្ជីកូអរដោនេខាងលើត្រូវបានបោះពុម្ពតាមលំដាប់នេះ ។ តែតារាងក្នុងឧទាហរណ៍ទី ២ ឱ្យ $49.5$ សម្រាប់ឆ្នាំទី ៣ និង $48.7$ សម្រាប់ឆ្នាំទី ៦ ។ ដូច្នេះមានភាពមិនស៊ីគ្នារវាងអត្ថបទនិងតារាង ដែលយើងកត់ត្រាក្នុងបញ្ជីចន្លោះនៅផ្នែក ៨ ។ ក្រាហ្វដែលបោះពុម្ពនៅទំព័រ ១៤៩ តាមតារាង ($49.5$ នៅឆ្នាំទី ៣) ។

សំគាល់ ៖ ក្នុងក្រឡាដែង ឯកតានៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងឯកតានៅលើអ័ក្សអរដោនេអាចស្មើគ្នា ឬមិនស្មើគ្នា ។

នេះមានន័យថា គេមិនចាំបាច់ប្រើមាត្រដ្ឋានដូចគ្នាលើអ័ក្សទាំងពីរទេ ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី ២ អ័ក្សផ្តេករាប់ឆ្នាំ (១, ២, ៣ …) តែអ័ក្សឈររាប់ម៉ឺនក្បាល (៤៨, ៤៩, ៥០) ។ បើគេប្រើមាត្រដ្ឋានដូចគ្នា ក្រាហ្វនឹងខ្លីខ្លាំង ហើយអានមិនបាន ។ ដូច្នេះគេជ្រើសមាត្រដ្ឋាននីមួយៗដោយឡែក ។

រូបមន្ត គ្មាន

ក្នុងឧទាហរណ៍ 2 ខាងលើ បើគេតាង $x_i$ ជាអថេរនៃឆ្នាំបោះពុម្ព ហើយ $y_i$ ជាចំនួនសៀវភៅដែលបានបោះពុម្ព នោះគេបានតារាងទិន្នន័យ ៖

តាង $M(\bar{x},\bar{y})$ ជាចំណុចធ្យមនៃចំណុចទាំង 6 ដែល $\bar{x}$ និង $\bar{y}$ ជាមធ្យមគណនានៃអថេរ $x_i$ និង $y_i$ ។

ពាក្យ «ចំណុចធ្យម» មានន័យត្រង់ៗថា ៖ យកមធ្យមនៃអាប់ស៊ីសទាំងអស់ យកមធ្យមនៃអរដោនេទាំងអស់ រួចផ្គុំវាជាចំណុចមួយ ។ ចំណុចនេះមិនចាំបាច់ជាចំណុចទិន្នន័យទេ ។

គេបាន $\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$ និង $\bar{y}=\frac{48+48.4+49.5+48.9+49.3+48.7}{6}=48.8$ ។ ដូចនេះ ចំណុចធ្យមកំណត់ដោយ $M(3.5,48.8)$ ។

ហេតុអ្វី $\bar{x}=3.5$? ព្រោះ $1+2+3+4+5+6=21$ ហើយ $21÷6=3.5$ ។ ហេតុអ្វី $\bar{y}=48.8$? ព្រោះ $48+48.4+49.5+48.9+49.3+48.7=291.8$ ហើយ $291.8÷6=48.8$ គត់ ។

តាមក្រាបខាងក្រោម គេសង្កេតឃើញថាចំណុចទាំង 6 នៅរាយប៉ាយមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ ។ ដូច្នេះគេចង់សង់បន្ទាត់ $d$ មួយដែលស្ថិតនៅជិតបំផុតទៅនឹងចំណុចទាំង 6 នោះ ។ ក្នុងករណីនេះគេត្រូវរកលក្ខខណ្ឌ $d$ ល្អយ៉ាងណាដែរ ចម្លាយទាំងនោះទៅបន្ទាត់មានប្រវែងខ្លីបំផុត ។ បន្ទាត់ $d$ ហៅថា បន្ទាត់កាត់តម្រៀងលីនេអ៊ែរ ។

ពាក្យ «ចម្លាយ» (deviation) មានន័យថា ចម្ងាយឈរពីចំណុចទិន្នន័យទៅបន្ទាត់ ។ គេវាស់វាតាមទិសឈរ ព្រោះយើងចង់ដឹងថា បន្ទាត់ «ខុស» ប៉ុន្មានលើតម្លៃ $y$ ។ ដូច្នេះ «បន្ទាត់ជិតបំផុត» គឺបន្ទាត់ដែលធ្វើឱ្យចម្លាយទាំងអស់ខ្លីបំផុត ។

ដែល $H_i$ ជាចំណុចបញ្ចាំងនៃ $M_i$ លើបន្ទាត់ $d$ តាមទិសឈរ

បន្ទាត់ដែលសង់បានអាចឱ្យគេធ្វើការប៉ាន់ស្មានបាននូវចំនួនសៀវភៅដែលនឹងត្រូវបោះពុម្ពនៅពេលខាងមុខ ។

នេះជាគោលប្រយោជន៍ទាំងមូលនៃជំពូក ៖ យើងមិនសង់បន្ទាត់ដើម្បីគ្រាន់តែគូសរូបស្អាតទេ ។ យើងសង់វាដើម្បីអានតម្លៃដែលយើងមិនអាចវាស់ ។ ឧទាហរណ៍ បើបន្ទាត់គឺ $y=0.13x+48.31$ នោះសម្រាប់ឆ្នាំទី ៨ យើងបាន $y=0.13(8)+48.31=49.35$ ម៉ឺនក្បាល ។ តែត្រូវចាំថា នេះជាការប៉ាន់ស្មាន មិនមែនជាការពិតដែលបានវាស់ទេ ។

ក្រាហ្វនៅក្បាលទំព័រនេះបង្ហាញចំណុចទិន្នន័យទាំង ៦ ដោយដាក់អាប់ស៊ីស (ឆ្នាំ) នៅលើអ័ក្សផ្តេក និងបរិមាណនៅលើអ័ក្សឈរ ។ ចំណុចនីមួយៗមានបន្ទាត់ដាច់ៗទៅអ័ក្សទាំងពីរ ។ អ័ក្សផ្តេកមានការសម្គាល់ $0,1,2,3,4,5,6$ ។ អ័ក្សឈរមានតែសញ្ញាសម្គាល់ (គ្មានលេខ លើកលែងលេខតាមបន្ទាត់ដាច់ៗ) ហើយតម្លៃដែលសម្គាល់ដោយបន្ទាត់ដាច់ៗ ពីក្រោមទៅលើ គឺ $48$; $48.4$; $48.7$; $48.9$; $49$; $49.3$; $49.5$ និង $50$ នៅកំពូលអ័ក្ស ។ ចំណុចទាំង ៦ មានកម្ពស់ $48$; $48.4$; $49.5$; $48.9$; $49.3$; $48.7$ ចំពោះ $x=1,2,3,4,5,6$ ។ គ្មានបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយត្រូវបានគូសក្នុងរូបនេះទេ ។

ចំណុចសំខាន់ដែលត្រូវឃើញពីរូប ៖ ពពកឡើងពី $x=1$ ដល់ $x=3$ រួចញ័រឡើងចុះបន្តិច ។ ដូច្នេះទិសដៅរួមគឺឡើង តែមិនមែនឡើងរាបស្មើទេ ។ នេះជាហេតុដែលយើងត្រូវការបន្ទាត់តំរង់តម្រៀង ជាជាងភ្ជាប់ចំណុចនឹងចំណុចដោយខ្សែកាច់ ។

ចំណងជើងផ្នែកតាមសៀវភៅ (ទំព័របោះពុម្ព ១៥៣) 2.2. សមីការបន្ទាត់តម្រូវត្រេនលីនេអ៊ែរ the equation of the linear trend line. (ចំណងជើងនេះបោះពុម្ពនៅក្រោមក្រាហ្វ មុនចំណាំខាងក្រោម ។

នៅផ្នែកនេះ គេនឹងសិក្សាដើម្បីកំណត់សមីការនៃបន្ទាត់ $d$ ។ ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ $d$ មានតម្រូវតម្រូវបានល្អ គេត្រូវឱ្យបន្ទាត់ $d$ កាត់តាមចំណុចចម្យមពីរ ។

មូលហេតុគឺសាមញ្ញ ៖ បើយើងចែកទិន្នន័យជាពីរក្រុម (ខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំ) នោះចំណុចធ្យមនៃក្រុមនីមួយៗជាតំណាងក្រុមនោះ ។ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមតំណាងទាំងពីរ គឺជាបន្ទាត់ដែល «ឆ្លងកាត់កណ្តាល» នៃពពកខាងឆ្វេង និងកណ្តាលនៃពពកខាងស្តាំ ។ ដូច្នេះវាជាបន្ទាត់ដែលតាមដានទិសដៅរួមនៃទិន្នន័យ ។

ចំណាំ ៖ ដើម្បីរកសមីការបន្ទាត់តម្រូវត្រេនលីនេអ៊ែរ គេត្រូវរកចំណុចចម្យមពីរ

• តម្រៀបចំណុចទិន្នន័យតាមអាប់ស៊ីសតូចទៅអាប់ស៊ីសធំ
• ចែកចំណុចទិន្នន័យជាពីរក្រុមស្មើគ្នា ។ បើចំនួនចំណុចទិន្នន័យជាចំនួនគូ តែបើចំនួនចំណុចទិន្នន័យជាចំនួនសេស គេចែកចំណុចចំកណ្តាលនោះជាពីរក្រុមមិនស្មើគ្នា ។
• រកចំណុចចម្យមនៃក្រុមនីមួយៗ ។
• សរសេរសមីការបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុចចម្យមទាំងពីរ ។

ការបញ្ជាក់អំពីចំនួនសេស ៖ ក្នុងឧទាហរណ៍នៃសៀវភៅ (ចំណុច ៧) គេដាក់ចំណុចកណ្តាលនៅក្នុងក្រុមទី ១ ដូច្នេះក្រុមទី ១ មាន ៤ ចំណុច ហើយក្រុមទី ២ មាន ៣ ចំណុច ។ ដូច្នេះសម្រាប់ $n$ សេស គេបានក្រុម $\frac{n+1}{2}$ និង $\frac{n-1}{2}$ ។ យើងប្រើវិធាននេះដូចគ្នានៅគ្រប់លំហាត់ ។

គេសង្កេតឃើញថាប្រាក់ឈ្នួល $y_i$ របស់បុគ្គលិកកើនតាមចំនួនឆ្នាំ $x_i$ ។ គេថា $x_i$ និង $y_i$ មានទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ ។

ដើម្បីឱ្យយើងស្រួលសិក្សាតាមទៅទៀត គេបកស្រាយទិន្នន័យខាងលើដោយចំណុចដែលមានកូអរដោនេ $(x_i,y_i)$ ។ ដូច្នេះយ៉ាងនេះ គេបានចំណុច $(0,120)$, $(1,170)$, $(2,220)$ និង $(3,270)$ ។ គេដៅចំណុចទាំងនោះក្នុងតម្រូវកែងមួយ ។

សមីការ $y=50x+120$ ជាទំនាក់ទំនងរវាង $x$ និង $y$ ដែលហៅថាទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ ។

ពាក្យ «លីនេអ៊ែរ» មានន័យថា «ជាបន្ទាត់ត្រង់» ។ ដូច្នេះទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ គឺទំនាក់ទំនងដែលក្រាហ្វជាបន្ទាត់ត្រង់ ។ លក្ខណៈសម្គាល់របស់វា ៖ ពេល $x$ កើន $1$ តម្លៃ $y$ កើន (ឬថយ) ចំនួនដូចគ្នាជានិច្ច ។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ $x$ កើន $1$ នោះ $y$ កើន $50$ ជានិច្ច ។

ចំណងជើងមេរៀន (ទំព័របោះពុម្ព

១៥៨) មេរៀនទី 2

2. សមីការបន្ទាត់តម្រូវត្រេនលីនេអ៊ែរ

ចំណងជើងផ្នែក (ទំព័របោះពុម្ព

១៦០)

2. សមីការបន្ទាត់តម្រូវត្រេនលីនេអ៊ែរ និង 2.1 លក្ខណៈខ្លីបំផុតចំពោះចំណុចនៃផលបូកការប្រៀបធៀប

ដើម្បីឱ្យគេតម្រៀបចំណុចទិន្នន័យឱ្យជិតបំផុតតាមបន្ទាត់មួយ គេក៏បានសិក្សានៅមេរៀនមុន គេមានវិធីមួយដែលគេនិយមប្រើជាងគេ ។

បើគេមានចំណុចទិន្នន័យ $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, …, $(x_n,y_n)$ នោះគេអាចដៅចំណុចទិន្នន័យនោះក្នុងតម្រូវកែងមួយ ។

តាមរូបខាងស្តាំគេបាន $d_i=y_i-y$ តែ $y=a{x}_i+b$ ដូចនេះ $d_i=y_i-(a{x}_i+b)$ ។ ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ $y=ax+b$ ស្ថិតនៅជិតបំផុតគ្រប់ចំណុចទិន្នន័យ $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, …, $(x_n,y_n)$ លុះត្រាតែ $\sum _{i=1}^n{d}_i^2$ មានតម្លៃតូចបំផុត ។

គេបាន ៖ $\sum _{i=1}^n{d}_i^2=\sum _{i=1}^n{\left[y_i-(a{x}_i+b)\right]}^2$ ។

រកតម្លៃ $a$ និង $b$ ដែលធ្វើឱ្យតម្លៃ $\sum _{i=1}^n{d}_i^2$ តូចបំផុត ពេលនោះគេនឹងបានបន្ទាត់ $y=ax+b$ ជាបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅជិតបំផុតគ្រប់ចំណុចទិន្នន័យ ។

ហេតុអ្វីត្រូវដាក់ការេ? ព្រោះចម្លាយ $d_i$ មានទាំងសញ្ញាបូកនិងដក ។ បើយើងបូក $d_i$ ដោយផ្ទាល់ ចម្លាយវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាននឹងកាត់គ្នាបាត់ ហើយបន្ទាត់អាក្រក់មួយអាចមានផលបូក $0$ បានដែរ ។ ការដាក់ការេធ្វើឱ្យគ្រប់ចម្លាយក្លាយជាវិជ្ជមាន ហើយថែមទាំងដាក់ទោសចម្លាយធំធ្ងន់ជាងចម្លាយតូច ។

ការទាញរូបមន្តនេះ គឺជាការបង្ហាញថា «តូចបំផុត» មានន័យជាអ្វីជាលេខ ។ យើងធ្វើវាជាជំហានៗ ។

ជំហានទី ១ — យក $b$ ជាអថេរ ។
តាង

$$y(b)=\sum _{i=1}^n{d}_i^2=\sum _{i=1}^n{\left[(y_i-a{x}_i)-b\right]}^2=\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i{)}^2-2\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i)b+n{b}^2$$

ហេតុអ្វី: គេបើកការេ $(A-b{)}^2=A^2-2Ab+b^2$ ដោយ $A=y_i-a{x}_i$ ។ ពាក្យ $-2Ab$ ពេលបូកតាម $i$ ផ្តល់ $-2b\sum (y_i-a{x}_i)$ ហើយ $b^2$ ដដែលៗ $n$ ដង ផ្តល់ $n{b}^2$ ។

ជំហានទី ២ — ដេរីវេតាម $b$ ។

$$y^{\prime }(b)=-2\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i)+2nb$$

ហេតុអ្វី: $y(b)$ ជាពហុធាដឺក្រេទី ២ ធៀបនឹង $b$ ដែលមេគុណនៃ $b^2$ គឺ $n>0$ ។ ដេរីវេនៃ $b^2$ គឺ $2b$ ហើយដេរីវេនៃពាក្យលីនេអ៊ែរគឺមេគុណរបស់វា ។

ជំហានទី ៣ — ដោះស្រាយ $y^{\prime }(b)=0$ ។

$$y^{\prime }(b)=0\text{ត្រូវនឹង}{b}_0=\frac{\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i)}{n}$$

ហេតុអ្វី: គឺគ្រាន់តែផ្លាស់ពាក្យក្នុងសមីការ $-2\sum (y_i-a{x}_i)+2nb=0$ ។

ជំហានទី ៤ — តារាងសញ្ញា ។
ដោយ $y^{\prime }(b)$ ជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរកើន (មេគុណ $2n>0$) ៖

ដូច្នេះ $y=\sum _{i=1}^n{d}_i^2$ មានតម្លៃអប្បបរមាកាលណា $y^{\prime }(b)=0$ ត្រូវនឹង

$$-2\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i)+2nb=0\text{ឬ}a\sum _{i=1}^n{x}_i+nb=\sum _{i=1}^n{y}_i(1)$$

ហេតុអ្វី: តារាងសញ្ញាបង្ហាញថា $y^{\prime }$ ប្តូរពីដកទៅបូកនៅ $b_0$ ដូច្នេះ $b_0$ ជាចំណុចអប្បបរមាពិតប្រាកដ (មិនមែនអតិបរមា) ។

ជំហានទី ៥ — យក $a$ ជាអថេរ ។

$$y(a)=\sum _{i=1}^n{\left[(y_i-b)-a{x}_i\right]}^2=\sum _{i=1}^n(y_i-b{)}^2-2\left[\sum _{i=1}^n(y_i-b)x_i\right]a+a^2\sum _{i=1}^n{x}_i^2$$

ហេតុអ្វី: ដូចជំហានទី ១ ដែរ តែលើកនេះ $A=y_i-b$ ហើយអថេរគឺ $a$ ។

ជំហានទី ៦ — ដេរីវេតាម $a$ ។

$$y^{\prime }(a)=-2\sum _{i=1}^n\left[(y_i-b)x_i\right]+2a\sum _{i=1}^n{x}_i^2$$

មាន $a_0=\frac{\sum _{i=1}^n(y_i-b)x_i}{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$ ដែល $y^{\prime }(a_0)=0$ ។

$$y=\sum _{i=1}^n{d}_i^2\text{មានតម្លៃអប្បបរមាកាលណា }{y}^{\prime }(a)=0\text{ ត្រូវនឹង}$$

$$-2\sum _{i=1}^n\left[(y_i-b)x_i\right]+2a\sum _{i=1}^n{x}_i^2=0\text{ឬ}a\sum _{i=1}^n{x}_i^2+b\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i(2)$$

ជំហានទី ៧ — ប្រព័ន្ធសមីការ ។
គេបានប្រព័ន្ធសមីការដែលមានអញ្ញាត $a$ និង $b$

$$\{\begin{array}{ll}a\sum _{i=1}^n{x}_i+nb=\sum _{i=1}^n{y}_i& (1)\\ a\sum _{i=1}^n{x}_i^2+b\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i& (2)\end{array}$$

ជំហានទី ៨ — បំបាត់ $b$ ។
គុណ $(1)$ នឹង $\sum _{i=1}^n{x}_i$ និងគុណ $(2)$ នឹង $(-n)$ រួចបូកចូលគ្នា ៖

$$(1)\times \sum _{i=1}^n{x}_i+(2)\times (-n)\text{នាំឲ្យគេបាន}a=\frac{n\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\sum _{i=1}^n{x}_i\sum _{i=1}^n{y}_i}{n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2}$$

ហេតុអ្វី: ពាក្យ $nb\sum x_i$ លេចឡើងក្នុងសមីការទីមួយ ហើយពាក្យ $-nb\sum x_i$ ក្នុងសមីការទីពីរ ។ ពេលបូក ពាក្យទាំងពីរកាត់គ្នាបាត់ ដូច្នេះនៅសល់តែ $a$ មួយ ។ នេះជាហេតុផលតែមួយគត់ដែលយើងជ្រើសមេគុណបែបនេះ ។

ជំហានទី ៩ — រក $b$ វិញ ។
តាម (1) គេបាន

$$b=\frac{1}{n}\left(\sum _{i=1}^n{y}_i-a\sum _{i=1}^n{x}_i\right)$$

ហេតុអ្វី: ព្រោះ (1) គឺ $nb=\sum y_i-a\sum x_i$ ។ ដូច្នេះពេលដឹង $a$ ហើយ គេគ្រាន់តែចែកនឹង $n$ ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ។ ដូចនេះ

$$a=\frac{n\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i\right)}{n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2}\text{ដែល}b=\frac{1}{n}\left(\sum _{i=1}^n{y}_i-a\sum _{i=1}^n{x}_i\right)$$

គេបានបន្ទាត់ $y=ax+b$ ដែលស្ថិតនៅជិតបំផុតពិតបំផុតចំណុចទាំងនោះ ហៅថាបន្ទាត់ តម្រូវដោយបំផុត ហើយទំនាក់ទំនង $y=ax+b$ ហៅថា សមីការតម្រូវដោយបំផុត ។

សន្និដ្ឋាន : បើគេមានចំណុចទិន្នន័យ $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, …, $(x_n,y_n)$ នោះបន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុតមានសមីការរាង $y=ax+b$ ដែល

$$a=\frac{n\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i\right)}{n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2}\text{ដឹង}b=\frac{1}{n}\left(\sum _{i=1}^n{y}_i-a\sum _{i=1}^n{x}_i\right)$$

នេះជាលទ្ធផលដែលអ្នកត្រូវចាំដោយបេះដូង ។ សង្កេតថា ភាគបែង $n\sum x_i^2-{\left(\sum x_i\right)}^2$ មិនអាចស្មើ $0$ បានទេ បើអាប់ស៊ីសមិនស្មើគ្នាទាំងអស់ ។ ដូច្នេះបន្ទាត់តែងមាន ។

សំគាល់ : $b=\frac{\sum _{i=1}^n{y}_i}{n}-a\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$, $b=\bar{y}-a\bar{x}$ ហើយ $\bar{y}=a\bar{x}+b$ មានន័យថាបន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុតកាត់តាមចំណុចមធ្យម $(\bar{x},\bar{y})$ ។

នេះជាលទ្ធផលដ៏ស្រស់ស្អាត ៖ មិនថាទិន្នន័យជាអ្វីទេ បន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុតតែងកាត់តាមចំណុចធ្យម ។ ដូច្នេះយើងអាចពិនិត្យចម្លើយបានយ៉ាងឆាប់ ៖ បើ $a$ និង $b$ រកឃើញហើយ ត្រូវប្រាកដថា $\bar{y}=a\bar{x}+b$ ។ បើមិនស្មើ នោះគណនាខុស ។

៣. មេគុណតម្រូវដោយបំផុត

ចំពោះទិន្នន័យនៃពីរអថេរគឺតែងតែសិក្សាថា តើមានទំនាក់ទំនងគ្នាដែរឬទេ? បើមានតើទំនាក់ទំនងនោះមានដល់កម្រិតណា? ក្នុងស្ថិតិនៃពីរអថេរ ជួនកាលអថេរទាំងពីរអាចមានទំនាក់ទំនងខ្លាំង ទំនាក់ទំនងខ្សោយ ឬគ្មានទំនាក់ទំនង ។ គេអាចបកស្រាយទំនាក់ទំនងនោះដោយរូបភាពខាងក្រោម ៖

• រូប ក — ទំនាក់ទំនងខ្លាំង ។ ចំណុចទិន្នន័យស្ថិតនៅជិតបន្ទាត់ត្រង់ឡើង ។
• រូប ខ — ទំនាក់ទំនងខ្សោយ ។ ចំណុចទិន្នន័យរាយឆ្ងាយជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់ឡើង ។
• រូប គ — គ្មានទំនាក់ទំនង ។ ចំណុចទិន្នន័យរាយពេញប្លង់ ហើយបន្ទាត់ដែលគូសក្នុងពពកស្ទើរតែដេក ។

រូបទាំងបីមានអ័ក្ស $y$ (ឈរ) និង $x$ (ផ្តេក) ហើយមានបន្ទាត់ត្រង់មួយកាត់ពពកចំណុច ។ អ្វីដែលខុសគ្នាគឺភាពជិតនៃចំណុចទៅបន្ទាត់ មិនមែនភាពចោតរបស់បន្ទាត់ទេ ។

រូបមន្ត គ្មាន

ចំពោះ (រូបក) ៖ គេសង្កេតឃើញថាចំណុចទិន្នន័យស្ថិតនៅក្បែរបន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុត គេអាចធានាថាពីរអថេរនោះមានទំនាក់ទំនងគ្នាខ្លាំង មានន័យថាអាចប្រើសមីការតម្រូវដោយបំផុត ដើម្បីវែកញែកតម្លៃ $y$ ទៅតាមតម្លៃ $x$ បានល្អ ។

ចំពោះ (រូប ខ) ៖ គេសង្កេតឃើញថាចំណុចទិន្នន័យនៅរាយប៉ាយឆ្ងាយពីបន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុត ។ គេអាចធានាថាពីរអថេរនោះមានទំនាក់ទំនងខ្សោយ មានន័យថាគេមិនអាចប្រើសមីការតម្រូវដោយបំផុតដើម្បីវែកញែកតម្លៃ $y$ នោះទេ ។

ចំពោះ (រូប គ) ៖ គេសង្កេតឃើញថាចំណុចទិន្នន័យនៅរាយប៉ាយពេញប្លង់ មិននៅលើបន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុត ។ គេអាចធានាថាពីរអថេរនោះមានទំនាក់ទំនងគ្មាន មានន័យថាគេមិនអាចប្រើសមីការតម្រូវដោយបំផុតដើម្បីវែកញែកតម្លៃ $y$ តាមតម្លៃ $x$ នោះទេ ។

សរុបមក គេបានច្បាប់អនុវត្តច្បាស់លាស់ ៖ បើចំណុចជិតបន្ទាត់ → ប្រើបន្ទាត់បាន ។ បើចំណុចរាយឆ្ងាយ → កុំប្រើបន្ទាត់ដើម្បីប៉ាន់ស្មាន ព្រោះលទ្ធផលនឹងខុសឆ្ងាយ ។

ដើម្បីឱ្យដឹងថា តើស្ថិតិនៃពីរអថេរមានទំនាក់ទំនងគ្នាដែលកម្រិតណា គេគ្រាន់តែពិនិត្យលេខតម្លៃ $r$ ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត

$$r=\frac{n\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\sum _{i=1}^n{x}_i\sum _{i=1}^n{y}_i}{\sqrt{n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2}\times \sqrt{n\sum _{i=1}^n{y}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{y}_i\right)}^2}}$$

តម្លៃ $r$ អាចមានប្រហែលក្នុងចន្លោះ ៖ $-1\le r\le 1$ ។

កត់សម្គាល់ភាពខុសគ្នារវាងភាគយកនិងភាគបែង ៖ ភាគយក គឺដូចភាគយកនៃ $a$ បេះបិទ ។ ភាគបែង គឺជាឫសការេនៃផលគុណនៃភាគបែងទាំងពីរនៃ $a$ និងនៃបរិមាណស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ $y$ ។ ដូច្នេះបើអ្នកគណនាភាគបែងនៃ $a$ ហើយ អ្នកមានពាក់កណ្តាលនៃការងាររួចហើយ ។

តម្លៃ $r$ ហៅថា មេគុណតម្រូវដោយបំផុត ។

ជាពិសេសគេកត់ចំណាំពិសេសទៅលើចំណុចទិន្នន័យដែលមានតម្លៃ $r$ ដូចករណីខាងក្រោម ៖ (សូមមើលចំណុច ៤.២០ ដល់ ៤.២៤) ។

ពាក្យ «មេគុណ» មានន័យថា «លេខដែលវាស់វែងអ្វីមួយ» ។ ដូច្នេះ $r$ គឺជាលេខដែលវាស់វែងថា តើបន្ទាត់តម្រូវដោយបំផុត «សម» នឹងទិន្នន័យប៉ុណ្ណា ។ គេហៅវាជួនកាលថា មេគុណសហសម្ព័ន្ធ (correlation coefficient) ។