កោនិក

១. កោនិកកើតពីការកាត់កោន ។ យកកោនមួយ (ដូចកោនការ៉េមួយ) រួចកាត់វាដោយប្លង់មួយ ។ រូបដែលឃើញនៅស្នាមកាត់អាស្រ័យលើមុំនៃប្លង់ ៖

• បើប្លង់ស្របនឹងជនេត្រមួយនៃកោន ស្នាមកាត់ជា ប៉ារ៉ាបូល (ខ្សែកោងបើកម្ខាង) ។
• បើប្លង់កាត់កោនទាំងសងខាង ហើយមិនស្របនឹងជនេត្រ ស្នាមកាត់ជាខ្សែបិទជិត គឺ អេលីប ។
• បើប្លង់ស្របនឹងអ័ក្សកោន (កាត់កោនទាំងពីរស្រទាប់) ស្នាមកាត់មានពីរកំណាត់ដាច់ពីគ្នា គឺ អ៊ីពែបូល ។

២. និយមន័យដោយចម្ងាយ ។ ការកាត់កោនជារូបភាព ។ តែគណិតវិទ្យាចូលចិត្តនិយមន័យដែលវាស់បាន ៖

• ប៉ារ៉ាបូល ៖ ចម្ងាយទៅចំណុចមួយ (កំណុំ) ស្មើ ចម្ងាយទៅបន្ទាត់មួយ (បន្ទាត់ប្រាប់ទិស) ។
• អេលីប ៖ ផលបូក ចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរ (កំណុំទាំងពីរ) ថេរ ។
• អ៊ីពែបូល ៖ ផលដក ចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរ ថេរ ។

និយមន័យទាំងបីនេះជាគន្លឹះ ៖ សមីការទាំងអស់ក្នុងជំពូកនេះមិនមែនត្រូវទន្ទេរទេ តែអាចទាញចេញពីវាបានវិញ ។

៣. ពាក្យបច្ចេកទេសដែលត្រូវចាំ ។

• កំណុំ (focus) ៖ ចំណុចថេរ ។ អេលីប និងអ៊ីពែបូលមានកំណុំពីរ ។
• បន្ទាត់ប្រាប់ទិស (directrix) ៖ បន្ទាត់ថេរ ដែលប៉ារ៉ាបូលវាស់ចម្ងាយទៅ ។
• កំពូល (vertex) ៖ ចំណុចខ្ពស់បំផុត/ទាបបំផុត ឬចំណុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងជាមួយអ័ក្ស ។
• អ័ក្សឆ្លុះ (axis of symmetry) ៖ បន្ទាត់ដែលខ្សែកោងឆ្លុះស្មើគ្នា ។
• អាស៊ីមតូត (asymptote) ៖ បន្ទាត់ដែលខ្សែកោងខិតជិតឥតឈប់ តែមិនប៉ះ ។ មានតែអ៊ីពែបូលទេ ។
• អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ (eccentricity) $e=\frac{c}{a}$ ៖ លេខវាស់ «រាង» នៃកោនិក ។

៤. ហេតុអ្វីត្រូវរៀនកោនិក ? ព្រោះលក្ខណៈអុបទិចរបស់វាមានប្រយោជន៍ ៖ កាំពន្លឺស្របគ្នាដែលប៉ះចានប៉ារ៉ាបូល ឆ្លុះទៅចំណុចតែមួយ (កំណុំ) ។ ដូច្នេះ ចានផ្កាយរណបដាក់ឧបករណ៍ទទួលនៅកំណុំ ។ ចង្កៀងរថយន្តដាក់អំពូលនៅកំណុំ ដើម្បីបានកាំពន្លឺស្របគ្នា ។

រូបមួយនៅក្នុងប្លង់ ដែលបានតាងដោយសមីការលីនេអ៊ែរ $x$ និង $y$ ជាបន្ទាត់មួយ ។ តើរូបដែលបានតាងដោយសមីការដឺក្រេទី 2 ជារូបអ្វី ? នៅក្នុងជំពូកនេះ យើងនឹងសិក្សាលក្ខណៈក្រិត្យនៃខ្សែកោងដឺក្រេទី 2 ។

ខ្សែកោងដឺក្រេទី 2 កើតឡើងដោយគេកាត់កោនមួយដោយប្លង់មួយ ។ ដូចនេះខ្សែកោងដឺក្រេទី 2 ត្រូវបានគេហៅថា “ខ្សែកោងកោនិក” ហើយខ្សែកោងទាំងនេះត្រូវបានគេសិក្សាតាំងពីប្រទេសក្រិចនៅក្នុងសម័យបុរាណកាលមកម្ល៉េះ ។

ជាពិសេស ការរកឃើញរបស់លោកអាប់ពូឡូនីស Apollonius ជាគណិតវិទូជនជាតិក្រិច (260 -200 មុន គ.ស) បាន [UNCLEAR: បញ្ជាក់ច្បាស់លាស់… the clause between “បាន” and “មានលក្ខណៈ” is blurred; two words unreadable]. គាត់បានធ្វើចំណាត់ថ្នាក់ មុខកាត់កោនិកកាត់ដោយប្លង់មួយជាបីប្រភេទ ហើយប្រភេទទាំងនេះមានឈ្មោះថា អេលីប ប៉ារ៉ាបូល និង អ៊ីពែបូល ។ យើងបានចងចាំនូវពាក្យទាំងនេះអាស្រ័យទៅនឹងខ្សែកោងដែលបានបង្កើតដោយមុខកាត់ទាំងនេះ ។

ការពន្យល់ សមីការដឺក្រេទី ២ ទូទៅបំផុតមានតួ $Bxy$ ដែលធ្វើឱ្យអ័ក្សកោនិក «ផ្អៀង» ។ ក្នុងមេរៀននេះ យើងសិក្សាតែករណី $B=0$ ពោលគឺកោនិកដែលអ័ក្សស្របនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ។ ដូច្នេះ សមីការដែលយើងដោះស្រាយមានរាង $A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+E=0$ ។ ចំណាំថា សៀវភៅសរសេរទម្រង់ទូទៅដោយប្រើអក្សរ $C,D,E$ ខុសគ្នាតាមកថាខណ្ឌ (ពេលខ្លះ $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$) ។

ចំណាំ ពាក្យ «ក្រិត្យ» ក្នុងប្រយោគដំបូង គឺ «លក្ខណៈ» ឬ «លក្ខណសម្បត្តិ» ។ យើងអានវាថា «លក្ខណៈនៃខ្សែកោងដឺក្រេទី ២» ។ ចំណែកឯឃ្លាដែលស្រអាប់នៅក្នុងប្រយោគអំពីអាប់ពូឡូនីស យើងរក្សាសញ្ញា [UNCLEAR: …] ដើម្បីកុំឱ្យស្មានខុស ។

១. សេចក្តីផ្តើម

គេឱ្យប្លង់មួយកាត់កោនបញ្ឈរតាមបាតជារង្វង់ (មិនកាត់តាមកំពូល) ហើយស្របនឹងជនេត្រកោននោះ ។ ប្រសព្វដែលបានមកនេះមានរាងជាខ្សែកោងមួយដែលគេហៅថា ប៉ារ៉ាបូល ។ ដូចនេះ ប៉ារ៉ាបូលជាកោនិកមួយ ។

រូបភាព នៅខាងស្តាំ ៖ កោនមូលត្រង់មួយ ដែលគូសបាត (មាត់ខាងលើ) ជាអេលីប និងមានកំពូលនៅខាងក្រោម ។ បន្ទាត់ដាច់ៗបញ្ឈរមួយកាត់តាមកំពូល ដែលមានស្លាក «អ័ក្សកោន» ។ បន្ទាត់ទ្រេតមួយនៅខាងស្តាំកោន មានស្លាក «ជនេត្រ» ។ ប្លង់កាត់មួយគូសជាប្រលេឡូក្រាមមានស្រមោល ដែលចូលក្នុងកោនពីខាងមុខឆ្វេង ហើយចេញនៅខាងស្តាំ ដោយទ្រេតស្របនឹងជនេត្រ ។ ខ្សែកោងប្រសព្វដែលកាត់បានលើផ្ទៃកោន គូសជាធ្នូប៉ារ៉ាបូល ។

ការពន្យល់ ចំណុចសំខាន់គឺពាក្យ «ស្របនឹងជនេត្រ» ។ បើប្លង់ស្របនឹងជនេត្រ នោះវាកាត់តែស្រទាប់មួយនៃកោន ហើយមិនបិទជិតទេ ៖ ម្ខាងបើកចេញឥតឈប់ ។ នេះជាហេតុផលដែលប៉ារ៉ាបូលមានតែមួយសាខា ។

និយមន័យ ៖ ប៉ារ៉ាបូលជាសំណុំចំណុចនៅក្នុងប្លង់ ដែលមានចម្ងាយស្មើពីចំណុចនឹង $F$ មួយ និងបន្ទាត់នឹង $\Delta$ មួយនៅក្នុងប្លង់នោះ ។ ចំណុចនឹង $F$ ហៅថា កំណុំ និងបន្ទាត់នឹង $\Delta$ ហៅថា បន្ទាត់ប្រាប់ទិស ។

ការពន្យល់ និយមន័យនេះជានិយមន័យធរណីមាត្រសុទ្ធ ៖ វាមិននិយាយពីសមីការទេ តែនិយាយពីចម្ងាយពីរ ។ ដើម្បីគណនា យើងសរសេរចម្ងាយទាំងពីរជាកន្សោមពិជគណិត ៖ $PF=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}$ (បើ $F(p,0)$) និង $d(P,\Delta )=|x+p|$ (បើ $\Delta$ ជាបន្ទាត់ $x=-p$) ។ ការលើកអង្គទាំងពីរជាការ៉េ រួចសម្រួល នាំឱ្យបាន $y^2=4px$ ដែលជាទម្រង់ស្តង់ដារដំបូងក្នុងចំណុច 4.4 ។ ដូច្នេះ សមីការទាំងនោះមិនមែនជារូបមន្តត្រូវទន្ទេរទេ តែជាលទ្ធផលនៃនិយមន័យ ។

ចំណាំ សៀវភៅប្រើពាក្យ «បន្ទាត់ប្រាប់ទិស» នៅទីនេះ តែនៅកន្លែងខ្លះសរសេរ «បន្ទាត់ប្រភពទិស» (អក្ខរាវិរុទ្ធខុសគ្នា) ។ យើងប្រើ «បន្ទាត់ប្រាប់ទិស» ជានិច្ច ។ The book writes បន្ទាត់ប្រាប់ទិស here and បន្ទាត់ប្រភពទិស elsewhere (a spelling variant). We use បន្ទាត់ប្រាប់ទិស throughout.

• បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំ $F$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ ហៅថាអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល ។
• ចំណុច $V$ ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះ និងជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ដែលភ្ជាប់កំណុំ $F$ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ ហៅថា កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូល ។

រូបភាព មានដ្យាក្រាមពីរនៅខាងស្តាំទំព័រ ។

(១) ខាងលើ ៖ ប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ គូសលើក្រឡាឫសគូប ។ អ័ក្សបញ្ឈរមានស្លាក $y$ ហើយអ័ក្សឆ្លុះមានស្លាក «អ័ក្សឆ្លុះ» (នៅខាងលើ មានព្រួញ) ។ កំណុំ $F$ សម្គាល់នៅលើអ័ក្ស (ស្លាក «កំណុំ») ។ ចំណុច $P$ មួយនៅលើខ្សែកោងខាងស្តាំ ។ អង្កត់ $FP$ មានស្លាក $d$ ហើយអង្កត់ឈរពី $P$ ចុះមកបន្ទាត់ដេកកាត់កំពូល ក៏មានស្លាក $d$ ដែរ ។ កំពូល $V$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដេកនោះ ហើយបន្ទាត់ដេកនោះជាបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ដែលមានស្លាកនៅគែមខាងឆ្វេង ៖ $\Delta$ : បន្ទាត់ប្រាប់ទិស ។ អ័ក្ស $x$ គូសកាត់កំពូល ។

(២) ខាងក្រោម ៖ អ័ក្សកូអរដោនេ $x$ និង $y$ មានគល់ $O$ ។ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅស្តាំ មានកំពូល $V$ នៅគល់ $O$ ។ កំណុំ $F(p,0)$ សម្គាល់នៅលើអ័ក្ស $x$ ខាងវិជ្ជមាន ។ បន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ $\Delta :x=-p$ នៅខាងឆ្វេង ។ ចំណុច $P(x,y)$ នៅលើខ្សែកោង ហើយអង្កត់ដេកពី $P$ ទៅបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ប៉ះវាត្រង់ $D(-p,y)$ ។ បន្ទាត់ជំនួយដាច់ៗភ្ជាប់ $P$ ទៅអ័ក្សទាំងពីរ ។

ការពន្យល់ នៅក្នុងរូបទី (១) អ្នកឃើញស្លាក $d$ ពីរដង ៖ មួយនៅលើ $FP$ និងមួយនៅលើអង្កត់ឈរពី $P$ ចុះមកបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ។ នោះជាការបង្ហាញរូបភាពនៃនិយមន័យ $PF=d(P,\Delta )$ ។ ចំណុច $V$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃ $[FD]$ ដូច្នេះ $VF=VD$ ។ ដោយ $VF$ ជាចម្ងាយពីកំពូលទៅកំណុំ ហើយ $VD$ ជាចម្ងាយពីកំពូលទៅបន្ទាត់ប្រាប់ទិស នោះចម្ងាយទាំងពីរស្មើគ្នា ។

៣. សមីការនៃប៉ារ៉ាបូល

៣.១. សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូលជាចំណុច $O$ នៅអ័ក្សកូអរដោនេ

ក. ករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស

គេអាចប្រើនិយមន័យដើម្បីរកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូល ។ សមីការនេះអាស្រ័យលើកំណុំ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ។ ឧបមាថា ប៉ារ៉ាបូលមានកំពូល $V$ ជាចំណុច $O$ នៅអ័ក្សកូអរដោនេ និងកំណុំ $F$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។ បើពីកំពូល $V$ ទៅកំណុំ $F$ មានចម្ងាយ $p$ ឯកតានោះ $F(p,0)$ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ មានសមីការ $x=-p$ ។ តាង $P(x,y)$ ជាចំណុចមួយស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល ។

ដេរីវេនៃ $y^2=4px$ — Deriving $y^2=4px$.

បើ $D$ ជាចំណុចមួយមានកូអរដោនេ $(-p,y)$ គេបាន ៖ $PF=PD$

$\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}=\sqrt{(x+p{)}^2}$ ( ប្រើរូបមន្តចម្ងាយរវាងពីរចំណុច )

$(x-p{)}^2+y^2=(x+p{)}^2$ ( បើកអង្គទាំងពីរជាការេ )

$x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2$

$y^2=4px$

នេះជាសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $V(0,0)$ និងកំណុំ $F(p,0)$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

រូបមន្ត

$$PF=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2},PD=\sqrt{(x-(-p){)}^2}=\sqrt{(x+p{)}^2}$$

$$(x-p{)}^2+y^2=(x+p{)}^2⟹x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2⟹y^2=4px$$

ការពន្យល់ ដំណើរការនេះមាន ៤ ជំហាន ហើយជំហាននីមួយៗមានហេតុផល ៖ (១) សរសេរ $PF=PD$ តាមនិយមន័យ; (២) ជំនួសដោយរូបមន្តចម្ងាយ; (៣) លើកអង្គទាំងពីរជាការ៉េ ដើម្បីបំបាត់សញ្ញាឫស; (៤) បំបាត់តួដូចគ្នា $x^2$ និង $p^2$ នៅសងខាង ។ ចំណាំថា $\sqrt{(x+p{)}^2}=|x+p|$ តែពេលលើកជាការ៉េ តម្លៃដាច់ខាតបាត់ទៅ ដូច្នេះគ្មានបញ្ហាទេ ។

ខ. ករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស

ដូចគ្នាដែរ សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $V(0,0)$ និងកំណុំ $F(0,p)$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេគឺ $x^2=4py$ ។

នៅក្នុងសមីការទាំងនេះ $p$ អាចជាចំនួនវិជ្ជមាន ឬជាចំនួនអវិជ្ជមាន ។

រូបភាព នៅខាងស្តាំ ៖ អ័ក្សកូអរដោនេ $x$ និង $y$ ។ ប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ មានកំពូលនៅ $O$ ។ កំណុំ $F$ នៅលើអ័ក្ស $y$ ខាងវិជ្ជមាន ។ ចំណុច $P$ នៅលើសាខាខាងស្តាំ ។ ចម្ងាយឈរពី $P$ ចុះមកបន្ទាត់ប្រាប់ទិស មានស្លាក $D$ ជាគ្នាប ។ បន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ដេកនៅខាងក្រោម មានស្លាក $\Delta :y=-p$ ។

ការពន្យល់ សមីការនេះកើតឡើងដោយប្តូរ $x$ និង $y$ ក្នុង $y^2=4px$ ។ ហេតុអ្វីបានជាប្តូរបាន ? ព្រោះការប្តូរ $x\leftrightarrow y$ គឺជាការឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់ $y=x$ ។ ដូច្នេះ បើ $y^2=4px$ ជាប៉ារ៉ាបូលបើកទៅស្តាំ នោះ $x^2=4py$ ជាប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ ។

ចំណាំ : សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូលជាចំណុច $O$ នៅអ័ក្សកូអរដោនេ

1. បើអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សអរដោនេ នោះប៉ារ៉ាបូលមានសមីការស្តង់ដារ $x^2=4py$ ហើយមានកំណុំ $F(0,p)$ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសមានសមីការ $y=-p$ ។

• បើ $p>0$ នោះប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $y>0$
• បើ $p<0$ នោះប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $y<0$ ។

2. បើអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សអាប់ស៊ីស នោះប៉ារ៉ាបូលមានសមីការស្តង់ដារ $y^2=4px$ ហើយមានកំណុំ $F(p,0)$ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសមានសមីការ $x=-p$ ។

• បើ $p>0$ នោះប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $x>0$
• បើ $p<0$ នោះប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $x<0$ ។

ការពន្យល់ «ផ្នែកផត» គឺជ្រុងខាងក្នុងនៃខ្សែកោង ដែលកំណុំស្ថិតនៅ ។ បើ $p>0$ កំណុំនៅខាងវិជ្ជមាន ដូច្នេះផ្នែកផតបែរទៅខាងវិជ្ជមាន ។ ចំណាំ៖ បើ $p=0$ សមីការក្លាយជា $y^2=0$ ឬ $x^2=0$ ដែលមិនមែនជាប៉ារ៉ាបូលទេ (វាជាអ័ក្ស) ។ ដូច្នេះត្រូវមាន $p\ne 0$ ។

៣.២. សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូលខុសពីចំណុច $O$ នៃអ័ក្សកូអរដោនេ

ក. ករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ ស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ

គេប្រើនិយមន័យនៃប៉ារ៉ាបូលដើម្បីរកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $V(h,k)$ ។

តាង $p$ ជាចម្ងាយពីកំពូលទៅកំណុំ និងទៅបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ។

បើអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេកនោះ កូអរដោនេនៃកំណុំគឺ $F(h+p,k)$ និងសមីការនៃបន្ទាត់ប្រាប់ទិសគឺ $x=h-p$ ។

តាង $P(x,y)$ ជាចំណុចមួយស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល ។

បើ $D$ ជាចំណុចមួយមានកូអរដោនេ $(h-p,y)$

គេបាន ៖ $PF=PD$

$\sqrt{(x-h-p{)}^2+(y-k{)}^2}=\sqrt{(x-h+p{)}^2}$

លើកអង្គទាំងពីរជាការេ គេបាន ៖ $(x-h-p{)}^2+(y-k{)}^2=(x-h+p{)}^2$

$x^2+h^2+p^2-2hx-2px+2hp+(y-k{)}^2=x^2+h^2+p^2-2hx+2px-2hp$

$(y-k{)}^2=4p(x-h)$

នេះជាសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h,k)$ និងអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក ។

រូបភាព ខាងលើស្តាំ ៖ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅស្តាំ ។ អ័ក្ស $x,y$ មានគល់ $O$ ។ បន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរនៅខាងឆ្វេង មានស្លាក $x=h-p$ (សរសេរបញ្ឈរ) ។ កំពូល $V$ នៅ $(h,k)$ ដោយ $k$ សម្គាល់នៅលើអ័ក្ស $y$ និង $h$ នៅលើអ័ក្ស $x$ ។ កំណុំ $F(h+p,k)$ ។ ចំណុច $P(x,y)$ នៅលើខ្សែកោងខាងលើស្តាំ ។ អង្កត់ដេកពី $P$ ទៅបន្ទាត់ប្រាប់ទិស បញ្ចប់ត្រង់ $D(h-p,y)$ ។ អ័ក្សឆ្លុះជាបន្ទាត់ដេកដាច់ៗកាត់ $V$ មានស្លាក «អ័ក្សឆ្លុះ» និងព្រួញនៅខាងស្តាំ ។

ខាងក្រោម ៖ ដ្យាក្រាមពីរជាប់គ្នា ដោយមានរូបមន្តក្នុងប្រអប់ $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ បោះពុម្ពនៅចន្លោះវា ៖

• ឆ្វេង ($p>0$) ៖ អ័ក្ស បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ ឈរនៅខាងឆ្វេង កំពូល $V$ កំណុំ $F$ ។ ចតុកោណកែងដាច់ៗរវាង $V$ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស មានស្លាក $p>0$ ។ អ័ក្សឆ្លុះដេកមានស្លាក $y=k$ និង «អ័ក្សឆ្លុះ» ។ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅស្តាំ ។ ចំណងជើងខាងក្រោម ៖ «បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta :x=h-p$» និង «អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក $p>0$» ។
• ស្តាំ ($p<0$) ៖ រូបឆ្លុះ បន្ទាត់ប្រាប់ទិសឈរនៅខាងស្តាំ កំណុំ $F$ នៅខាងឆ្វេង $V$ ចតុកោណកែងដាច់ៗមានស្លាក $p<0$ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅឆ្វេង មានស្លាក $k$ និង $h$ ។ ចំណងជើង ៖ «បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta :x=h-p$» និង «អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក $p<0$» ។

ការពន្យល់ សមីការនេះជាការធ្វើដំណើរឆ្ងាយពីគល់ ៖ បើយើងជំនួស $x$ ដោយ $x-h$ និង $y$ ដោយ $y-k$ នោះយើង «រំកិល» ប៉ារ៉ាបូលទាំងមូល ។ ដូច្នេះ រូបមន្ត $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ គឺជារូបមន្ត $y^2=4px$ ដែលផ្លាស់ទីទៅចំណុច $(h,k)$ ។ ហេតុដូច្នេះ ធាតុទាំងអស់ក៏ផ្លាស់ទីដែរ ៖ កំពូល $(0,0)\to (h,k)$; កំណុំ $(p,0)\to (h+p,k)$; បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $x=-p\to x=h-p$ ។

ខ. ករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta$ ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស

ដូចគ្នាដែរ សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h,k)$ និងអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរគឺ

$(x-h{)}^2=4p(y-k)$

រូបភាព ដ្យាក្រាមពីរជាប់គ្នា ៖

• ឆ្វេង ($p>0$) ៖ ប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ មានកំពូល $V(h,k)$ ។ អ័ក្សឆ្លុះឈរមានស្លាក $x=h$ និង «អ័ក្សឆ្លុះ» (នៅខាងលើ មានបន្ទាត់ដាច់ៗចុះក្រោម) ។ កំណុំ $F(h,k+p)$ សម្គាល់នៅខាងលើ $V$ ។ គ្នាបមួយមានស្លាក $p>0$ រវាង $V$ និង $F$ ។ $k$ សម្គាល់នៅលើអ័ក្ស $y$ និង $h$ នៅលើអ័ក្ស $x$ ។ បន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ដេកនៅខាងក្រោម ។ ចំណងជើង ៖ «បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta :y=k-p$», «អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ $:p>0$» ។
• ស្តាំ ($p<0$) ៖ ប៉ារ៉ាបូលបើកចុះក្រោម ។ $V$ នៅខាងលើ កំណុំ $F$ នៅខាងក្រោមវា គ្នាបមួយមានស្លាក $p<0$ ។ បន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ដេកនៅខាងលើ ។ $h$ សម្គាល់នៅលើអ័ក្ស $x$ និង $k$ នៅលើអ័ក្ស $y$ ដោយគល់ $O$ នៅខាងស្តាំ ។ ចំណងជើង ៖ «បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $\Delta :y=k-p$», «អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ $:p<0$» ។

ចំណាំ : សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូលត្រង់ចំណុច $(h,k)$ គឺ

1. បើអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក នោះប៉ារ៉ាបូលមានសមីការស្តង់ដារ $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ ហើយមានកំណុំ $(h+p,k)$ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសមានសមីការ $x=h-p$ ។

• ប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $x>0$ បើ $p>0$
• ប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $x<0$ បើ $p<0$ ។

2. បើអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ នោះប៉ារ៉ាបូលមានសមីការស្តង់ដារ $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ ហើយមានកំណុំ $(h,k+p)$ និងបន្ទាត់ប្រាប់ទិសមានសមីការ $y=k-p$ ។

• ប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $y>0$ បើ $p>0$
• ប៉ារ៉ាបូលបែរផ្នែកផតទៅរកទិស $y<0$ បើ $p<0$ ។

៣.៣. សមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល

• ករណីអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ ប៉ារ៉ាបូលមានសមីការស្តង់ដារ $(x-h{)}^2=4p(y-k)$

សមីការសរុបរួម $x^2-2hx-4py+h^2+4kp=0$ [តាមសៀវភៅ]

(សៀវភៅបោះពុម្ពតួចុងក្រោយជា $4kp$; តាមពិជគណិតត្រូវជា $4pk$ ។

ការពន្យល់ ការពន្លាត $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ ផ្តល់ $x^2-2hx+h^2=4py-4pk$ ។ បើយើងដាក់អង្គទាំងអស់នៅខាងឆ្វេង គេបាន $x^2-2hx-4py+h^2+4pk=0$ ។ សមីការនេះមានរាង $A{x}^2+Dy+Cx+E=0$ ដែល $A\ne 0$ និងគ្មានតួ $y^2$ ទេ ។ នេះជាសញ្ញាសម្គាល់ថាវាជាប៉ារ៉ាបូល មិនមែនអេលីប ឬអ៊ីពែបូល ។

• ករណីអ័ក្សស៊ីមេទ្រីជាអ័ក្សដេក ៖ ប៉ារ៉ាបូលបើកតាមទិសដេក មានសមីការស្តង់ដា $(y-k{)}^2=4p(x-h)$

សមីការសរសេរជា $y^2-4px-2ky+k^2+4hp=0$ សមីការដែលបានបន្លាយហើយមានរាង ៖ ករណីអ័ក្សស៊ីមេទ្រីជាអ័ក្សឈរ ៖ $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$, $(A\ne 0)$ ករណីអ័ក្សស៊ីមេទ្រីជាអ័ក្សដេក ៖ $B{y}^2+Cx+Dy+E=0$, $(B\ne 0)$

ការពន្យល់ មានតែមួយក្នុងចំណោម $x^2$ និង $y^2$ ដែលលេចឡើង ។ បើ $x^2$ លេចឡើង អ័ក្សឆ្លុះឈរ; បើ $y^2$ លេចឡើង អ័ក្សឆ្លុះដេក ។ ដូច្នេះ ការមើលសមីការទូទៅភ្លាម យើងដឹងទិសអ័ក្ស ។

ចំណាំ ៖ សមីការទូទៅប៉ារ៉ាបូលមានរាង ៖

• $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$, $(A\ne 0)$ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីជាអ័ក្សឈរ
• $B{y}^2+Cx+Dy+E=0$, $(B\ne 0)$ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីជាអ័ក្សដេក ។

ចំណាំ ត្រូវមានតួដឺក្រេទី ១ ផងដែរ ៖ បើ $D=0$ ក្នុងករណីដំបូង សមីការអាចគ្មានចម្លើយ ឬជាបន្ទាត់ឈរពីរ ។ ដូច្នេះ មិនមែនគ្រប់សមីការដែលខ្វះ $y^2$ ជាប៉ារ៉ាបូលទេ ។

មេរៀនសង្ខេប

• សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូលជាចំណុចកំណើតកូអរដោនេ

• សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូលផ្សេងពីចំណុចកំណើតកូអរដោនេ

៤. លក្ខណៈអុបទិចនៃប៉ារ៉ាបូល

កញ្ចក់រាងប៉ារ៉ាបូលមានលក្ខណៈចំណាំងផ្លាតដូចកញ្ចក់រាងផ្លុងដែរ ។ ត្រូវសង់បន្ទាត់ $l$ ប៉ះប៉ារ៉ាបូលត្រង់ $P(x_0,y_0)$ ។ ប៉ារ៉ាបូលមានសមីការ $x^2=4py$ និងមានកំណុំ $F(0,p)$ ។ តាង $\alpha$ ជាមុំផ្គុំរវាងបន្ទាត់ $(l)$ និងអង្កត់ $FP$ ហើយ $\beta$ ជាមុំផ្គុំរវាងបន្ទាត់ $(l)$ និងបន្ទាត់ឈរដែលកាត់តាម $P$ ស្របនឹងអ័ក្សស៊ីមេទ្រី ។ បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច $P$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $y^{\prime }=\frac{2x_0}{4p}=\frac{x_0}{2p}$ សមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖ $y-y_0=\frac{x_0}{2p}(x-x_0)$ បន្ទាត់ប៉ះនេះកាត់អ័ក្សអ័រដោយនៅត្រង់ចំណុច $Q(0,q)$ គេបាន ៖ $q=y_0-\frac{x_0^2}{2p}=\frac{x_0^2}{4p}-\frac{x_0^2}{2p}=-\frac{x_0^2}{4p}$ ប្រវែងអង្កត់ $FQ$ គឺ $p-q=p+\frac{x_0^2}{4p}$ តាមរូបមន្ត ចម្ងាយរវាងពីរចំណុចគេបានប្រវែង $FP$ គឺ $\sqrt{x_0^2+(y_0-p{)}^2}=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{x_0^2}{4p}-p\right)}^2}$ $=\sqrt{{\left(\frac{x_0^2}{4p}\right)}^2+2\frac{x_0^2}{4p}\cdot p+p^2}=\sqrt{{\left(\frac{x_0^2}{4p}+p\right)}^2}=\frac{x_0^2}{4p}+p$ ដូចនេះ ត្រីកោណ $FQP$ ជាត្រីកោណសមបាតគេទាញបាន $\alpha =\beta$ ។ មានន័យថា កាំរស្មី $i$ ដែលស្របនឹងអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូលមកប៉ះប៉ារ៉ាបូលត្រង់ $P$ ហើយចាំងផ្លាតទៅតាម $PF$ ។

រូបភាព អ័ក្សកូអរដោនេមានគល់ $O$; អ័ក្ស $y$ ឈរ អ័ក្ស $x$ ដេក ។ ប៉ារ៉ាបូល $x^2=4py$ បើកឡើងលើ កំពូលនៅ $O$ ។ កំណុំ $F(0,p)$ សម្គាល់នៅលើអ័ក្ស $y$ វិជ្ជមាន ខាងលើ $O$ បន្តិច ។ ចំណុច $P(x_0,y_0)$ សម្គាល់នៅលើសាខាខាងស្តាំ ។ បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $P$ គូសឡើងខ្ពស់ទៅស្តាំ ហើយបន្តចុះឆ្វេង កាត់អ័ក្ស $y$ ត្រង់ $Q(0,q)$ នៅខាងក្រោម $O$ (អ័ក្ស $y$ អវិជ្ជមាន) ។ បន្ទាត់ឈរដាច់ៗមានស្លាក $i$ កាត់តាម $P$ ស្របនឹងអ័ក្ស $y$ ។ មុំ $\alpha$ សម្គាល់នៅ $F$ រវាងអង្កត់ $FP$ និងបន្ទាត់ប៉ះ; មុំ $\beta$ សម្គាល់នៅ $P$ រវាងបន្ទាត់ប៉ះ និងបន្ទាត់ឈរ $i$ ។ សញ្ញាមុំកែងគូសនៅកន្លែងដែលបន្ទាត់ជំនួយដេកពី $O$ ប្រសព្វអ័ក្ស $x$ ។

ការពន្យល់ជំហានៗ ដំណែងសំខាន់ៗមាន ៦ ៖

1. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ ។ ពី $x^2=4py$ យើងមាន $y=\frac{x^2}{4p}$ ដូច្នេះ $y^{\prime }=\frac{2x}{4p}=\frac{x}{2p}$ ។ នៅ $P$ មេគុណប្រាប់ទិសគឺ $\frac{x_0}{2p}$ ។
2. រកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស $y$ ។ ដាក់ $x=0$ ក្នុងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ ៖ $q=y_0-\frac{x_0^2}{2p}$ ។ ដោយ $P$ នៅលើប៉ារ៉ាបូល $y_0=\frac{x_0^2}{4p}$ ដូច្នេះ $q=\frac{x_0^2}{4p}-\frac{x_0^2}{2p}=-\frac{x_0^2}{4p}$ ។
3. គណនា $FQ$ ។ $F(0,p)$ និង $Q(0,q)$ នៅលើអ័ក្ស $y$ ដូច្នេះ $FQ=p-q=p+\frac{x_0^2}{4p}$ ។
4. គណនា $FP$ ។ តាមរូបមន្តចម្ងាយ ហើយជំនួស $y_0=\frac{x_0^2}{4p}$ ។ ការបំពេញការ៉េនៅក្រោមឫសផ្តល់ ${\left(\frac{x_0^2}{4p}+p\right)}^2$ ដូច្នេះ $FP=\frac{x_0^2}{4p}+p$ ។
5. សន្និដ្ឋាន $FQ=FP$ ។ ត្រីកោណ $FQP$ មានជ្រុងពីរស្មើ ដូច្នេះវាជាត្រីកោណសមបាត ហើយមុំនៅមូលដ្ឋានស្មើគ្នា ៖ $\alpha =\beta$ ។
6. បកស្រាយរូបវិទ្យា ។ កាំរស្មី $i$ ស្របនឹងអ័ក្ស ប៉ះប៉ារ៉ាបូលត្រង់ $P$ ហើយឆ្លុះទៅតាម $PF$ ព្រោះមុំចំណាំងបែរស្មើមុំចំណាំងផ្លាត ។ ដូច្នេះ កាំរស្មីស្របគ្នាទាំងអស់ប្រមូលគ្នានៅ $F$ ។

ចំណាំ ចំណុច $Q$ អាចស្ថិតនៅក្រោម $O$ (ដូចក្នុងរូប) ឬនៅលើ $O$ អាស្រ័យលើ $P$ ។ បើ $p>0$ នោះ $q<0$ ជានិច្ច ដូច្នេះ $Q$ នៅខាងក្រោមអ័ក្ស $x$ ។

ចំណាំ ៖ បន្ទាត់ស្របនឹងអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូលដែលកាត់ប៉ារ៉ាបូលត្រង់ $P$ និងបន្ទាត់ $PF$ ផ្គុំជាមួយបន្ទាត់ប៉ះប៉ារ៉ាបូលត្រង់ $P$ បានមុំស្មើគ្នា ។

ដូចនេះកាំពន្លឺស្របនឹងអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមកប៉ះប៉ារ៉ាបូលចាំងផ្លាតទៅចំណុចតែមួយគឺកំណុំ $F$ នៃប៉ារ៉ាបូល ។ លក្ខណៈអុបទិចនេះមានការអនុវត្តជាច្រើន ។

ការពន្យល់ លក្ខណៈនេះជា«មូលដ្ឋាន»នៃការប្រើប្រាស់ប៉ារ៉ាបូល ៖ កាំរស្មីស្របគ្នាពីចម្ងាយ (ដូចជាពន្លឺពីផ្កាយ) មកប៉ះចាន ហើយប្រមូលគ្នានៅកំណុំ ។ ដូច្នេះ គេដាក់ឧបករណ៍ទទួលនៅកំណុំ ។ ផ្ទុយវិញ បើដាក់ប្រភពពន្លឺនៅកំណុំ កាំរស្មីឆ្លុះចេញជាកាំស្របគ្នា ។

ដូចគ្នានេះដែរ [UNCLEAR: គេលក្ខណៈនេះ two words unreadable] ត្រូវបានគេយកទៅអនុវត្តក្នុងការសង់កញ្ចក់កែវយឹត ។ កាំពន្លឺចាំងប៉ះដែលស្របនឹងអ័ក្សស៊ីមេទ្រីទៅប៉ះកញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូល ចាំងផ្លាតមកវិញទៅកាន់កំណុំ ។

ការពន្យល់ កញ្ចក់កែវយឹតប្រើលក្ខណៈនេះដើម្បីប្រមូលពន្លឺពីផ្កាយឆ្ងាយ ។ បើកញ្ចក់ធំ ពន្លឺកាន់តែច្រើនប្រមូលបាន ។ នេះជាហេតុផលដែលតេឡេស្កុបអុបទិចសម័យថ្មីប្រើកញ្ចក់ធំៗ ។

១. សេចក្តីផ្តើម

ប្លង់មួយកាត់កោនបរិវត្តន៍ដែលមានមុំកំពូលជាកែង ហើយមិនកែងនឹងអ័ក្សកោន នោះផ្នែកប្រសព្វដែលបានជារូបបរិមាត្រមួយដែលហៅថា អេលីប ។ ដូចនេះ អេលីបជាកោនិកមួយ ។

រូបភាព គំនូរនៅខាងស្តាំ ៖ កោនពីរជាន់ (ស្រទាប់ពីរជួបគ្នាត្រង់កំពូលមួយ) ដោយអ័ក្សគូសជាបន្ទាត់កណ្តាលបញ្ឈរ ។ ប្លង់ចតុកោណទ្រេតមួយ (គូសជាមានស្រមោល មើលពីចំហៀង) កាត់ស្រទាប់ខាងលើដោយទ្រេត ហើយបង្កើតផ្នែកកាត់ជាអេលីបបិទជិត ដែលគូសជាអេលីបមានស្រមោលនៅលើប្លង់នោះ ។

ការពន្យល់ ពាក្យ «កោនបរិវត្តន៍» មានន័យថាកោនដែលកើតពីការវិលបន្ទាត់មួយជុំវិញអ័ក្ស ។ លក្ខខណ្ឌ «មិនកែងនឹងអ័ក្ស» សំខាន់ណាស់ ៖ បើប្លង់កែងនឹងអ័ក្ស ស្នាមកាត់ជារង្វង់ (ដែលជាករណីពិសេសនៃអេលីប) ។