អាំងតេក្រាល

គំនិតទី ១ — អាំងតេក្រាលគឺជាការគណនាដេរីវេដើរថយក្រោយ ។

៖ ពេលគេស្គាល់ $f$ ហើយចង់រកអនុគមន៍ $F$ ដែល $F^{\prime }=f$ នោះគេហៅ $F$ ថាជា ព្រីមីទីវ នៃ $f$ ។ ដូច្នេះ ការរកព្រីមីទីវ គឺជាការឆ្លើយសំណួរថា «តើអនុគមន៍ណាដែលមានដេរីវេស្មើនឹង $f$ ?» ។ ដេរីវេធ្វើឲ្យអនុគមន៍ «ខ្លីជាងមុន» មួយកម្រិត (ឧ. $x^3\to 3x^2$) ហើយព្រីមីទីវធ្វើឲ្យវា «វែងជាងមុន» មួយកម្រិតវិញ (ឧ. $3x^2\to x^3$) ។

គំនិតទី ២ — ព្រីមីទីវមួយមិនឯកឯងទេ វាមានគ្រួសារទាំងមូល ។

៖ បើ $F$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f$ នោះ $F+c$ ក៏ជាព្រីមីទីវដែរ ព្រោះដេរីវេនៃចំនួនថេរ $c$ ស្មើ ០ ។ ដូច្នេះចម្លើយគឺ «$F(x)+c$ ដែល $c$ ជាចំនួនពិតចេរ» ។ ដើម្បីជ្រើសយកមួយក្នុងគ្រួសារនោះ គេត្រូវការព័ត៌មានបន្ថែម ដូចជា $F(3)=2$ ឬ $S(0)=27000$ ។

គំនិតទី ៣ — អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ គឺជាឈ្មោះរួមនៃគ្រួសារព្រីមីទីវទាំងអស់ ។

៖ គេសរសេរ $\int f(x)dx=F(x)+c$ ។ សញ្ញា $\int$ មិនមែនជាការគុណទេ វាជាការបញ្ជាថា «រកព្រីមីទីវ» ។ $dx$ ប្រាប់ថាអថេរនៃការគណនាគឺ $x$ ។

គំនិតទី ៤ — អាំងតេក្រាលកំណត់ គឺជាផលដកនៃតម្លៃព្រីមីទីវនៅចុងទាំងពីរ ។

៖ ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ ។ ចំនួនថេរ $c$ បាត់ទៅវិញ ព្រោះ $(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a)$ ។ ដូច្នេះលទ្ធផលមិនអាស្រ័យទៅលើការជ្រើសរើសព្រីមីទីវទេ ។

គំនិតទី ៥ — អាំងតេក្រាលកំណត់វាស់ «កំណើនសរុប» ។

៖ បើ $f$ ជាអត្រា (ល្បឿន អត្រាកំណើនប្រាក់ចំណេញ អត្រាកើនប្រជាជន) នោះ ${\int }_a^{b}f$ ជាកំណើនសរុបចាប់ពី $a$ ដល់ $b$ ។ ឧទាហរណ៍៖ ល្បឿន $\times$ រយៈពេល = ចម្ងាយ ។

គំនិតទី ៦ — មានវិធីបួនយ៉ាងដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាល ។

៖ (ក) ប្រើរូបមន្តគ្រឹះដោយផ្ទាល់; (ខ) អថេរជំនួស ពេលឃើញ $f^{\prime }(x)$ នៅជាប់នឹង $f(x)$; (គ) អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក ពេលមានផលគុណនៃប្រភេទអនុគមន៍ខុសៗគ្នា (ឧ. $x{e}^x$, $x\sin x$, $\ln x$); (ឃ) បំបែកប្រភាគ ពេលជាប្រភាគសនិទាន $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ។

គំនិតទី ៧ — ព្រីមីទីវ និងអាំងតេក្រាលកំណត់ ជាដំណើរការបញ្ច្រាសគ្នាទៅវិញទៅមក ។

៖ ${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$ និង ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$ ។ នេះជាខ្លឹមសារនៃ ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃការគណនា ។ ប្រវត្តិវិទូ Newton និង Leibniz បានរកឃើញទំនាក់ទំនងនេះនៅដើមសតវត្សទី ១៧ ។

គំនិតទី ៨ — អាំងតេក្រាលកំណត់មានច្បាប់លេខនព្វន្ធ ដែលអនុញ្ញាតឲ្យគណនាបានលឿន ។

៖ ${\int }_a^{b}kf=k{\int }_a^{b}f$ , ${\int }_a^b(f\pm g)={\int }_a^{b}f\pm {\int }_a^{b}g$ , ${\int }_a^{b}f=-{\int }_b^{a}f$ , ${\int }_a^{a}f=0$ , ${\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f={\int }_a^{c}f$ ។ ច្បាប់ទាំងនេះមិនត្រូវច្រឡំជាមួយច្បាប់ដេរីវេទេ ។

ក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលដែលមានដើមកំណើតមកពីការគណនាផ្ទៃក្រឡានៃផ្ទៃក្រល់ និងមាឌនៃសូលីត ។ កាលពីបុរាណកាល លោក EUDOXE (406 - 359 មុន គ.ស) និងលោក ARCHIMEDES (287 - 212 មុន គ.ស) បានប្រើវិធីអមដោយផ្ទៃពីរដែលមានរាងជាពហុកោណដើម្បីគណនាផ្ទៃក្រឡា ។

នៅដើមសតវត្សទី 17 JOHANNES KEPLER (1571 - 1630) និង BONAVENTURA CAVALIERI (1598 - 1647) បានបញ្ចូលគំនិតសំខាន់ៗនៃនិយមន័យអាំងតេក្រាលតាមវិធីចតុកោណកែង ។ ដោយគិតចំការគណនាដើរវិញ និងអាំងតេក្រាលជាវិធីពីរប្រឆាំងគ្នាទៅវិញទៅមក លោក Gottfried Wilhem von Leibniz (1646 - 1716) និង Newton (1642 - 1727) បានបញ្ចូលសម្មតិកម្មអាំងតេក្រាលកំណត់ ។

នៅសតវត្សទី 19 លោក AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789 - 1847) បានបញ្ចូលនិយមន័យសម្មតិ ${\int }_a^{b}f(x)dx$ ជានិយមន័យអាំងតេក្រាលកំណត់នៃអនុគមន៍មួយដែលជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ ។

ក្នុងជំពូកនេះ គេសិក្សាតែលើពីរប្រភេទ គឺ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ និងអាំងតេក្រាលកំណត់ ។

ចំណាំ ពាក្យ វិធីចតុកោណកែង (rectangle method) គឺជាឈ្មោះវិធីដែលគេប្រើដើម្បីទៅដល់និយមន័យនេះ ។

វត្ថុបំណង

• កំណត់និយមន័យព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍
• កំណត់និយមន័យអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍
• គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដោយប្រើរូបមន្តគ្រឹះ
• គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដោយប្រើ [UNCLEAR: ចេរជាដូនស

ចំណាំ ពាក្យដែលមិនច្បាស់នៅចុងបញ្ចប់នៃចំណុចទី ៤ ត្រូវបានរក្សាទុកដូចដើម ។ តាមបរិបទ វាជាឈ្មោះវិធានអថេរជំនួស ដែលគេសិក្សានៅចំណុច 4.22 ។

និយមន័យ ៖ $F(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ កាលណា $F^{\prime }(x)=f(x)$ ចំពោះគ្រប់តម្លៃ $x$ ក្នុងដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។

ការពន្យល់ពាក្យ ព្រីមីទីវ (primitive) មានន័យត្រង់ៗថា «អនុគមន៍ដើម» គឺអនុគមន៍ដែលគេចេញមកពីដេរីវេ ។ សៀវភៅសរសេរពាក្យនេះពីរបែប ៖ ព្រីមីទីវ និង ប្រីមីទីវ ដែលមានន័យដូចគ្នា ។

ចំណងជើងក្នុងសៀវភៅ

ព្រីមីទីវ ៖ បើ $F(x)$ ជាព្រីមីទីវមួយនៃ $f(x)$ នោះព្រីមីទីវទាំងអស់នៃ $f$ មានទម្រង់ $F(x)+c$ ដែល $c$ ជាចំនួនពិតចេរ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ គេមានអនុគមន៍ $(F(x)+c{)}^{\prime }=f(x)$ ព្រោះ $F(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ ។

$(F(x)+c{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$ ព្រោះ $F(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ ។

ហេតុអ្វីត្រឹមត្រូវ ដេរីវេនៃចំនួនថេរស្មើ ០ ដូច្នេះការបន្ថែម $c$ មិនផ្លាស់ប្តូរដេរីវេ ។ ផ្ទុយមកវិញ បើព្រីមីទីវពីរមានដេរីវេស្មើគ្នា នោះផលដករបស់វាជាចំនួនថេរ ។

សំគាល់ ៖ គេអាចគណនាចំនួនពិត $c$ បាន កាលណាគេស្គាល់តម្លៃនៃព្រីមីទីវចំពោះតម្លៃ $x$ ណាមួយ ។

ចំណាំ នេះហើយជាហេតុផលដែលគេហៅ $c$ ថា «ចំនួនថេរអាំងតេក្រាល» (constant of integration) ។ ឧទាហរណ៍ $F(3)=2$ កំណត់ $c=-7$ ក្នុងឧទាហរណ៍ 5.13 ។

និយមន័យ ៖ បើ $F(x)$ ជាព្រីមីទីវមួយនៃ $f(x)$ នោះអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃ $f(x)$ កំណត់ដោយ $\int f(x)dx=F(x)+c$ ដែល $c$ ជាចំនួនពិតចេរ ។

$\int f(x)dx=F(x)+c$ អានថាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃ $f(x)$ ស្មើនឹង $F(x)+c$ ។

ជាទូទៅ ៖ បើ $k\ne 0$ នោះ $\int kdx=kx+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ដែល $c$ ជាចំនួនពិតចេរ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ព្រោះថា $(kx+c{)}^{\prime }=k$ ដូចនេះ $\int kdx=kx+c$

សំគាល់ ៖ $\int dx=\int 1dx=x+c$ ដែល $c$ ជាចំនួនចេរ ។

ហេតុអ្វីត្រឹមត្រូវ គេផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយដេរីវេត្រឡប់វិញ ៖ ដេរីវេនៃ $kx+c$ គឺ $k$ ដែលជាអនុគមន៍ដើម ។ វិធីនេះហៅថា «ផ្ទៀងផ្ទាត់តាមនិយមន័យ» ។

ជាទូទៅ ៖ បើ $k\ne 0$ នោះ $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ដោយប្រើ $\int f(x)dx=F(x)+c$ សមមូល $(F(x)+c{)}^{\prime }=f(x)$

គេបាន ${\left[k\int f(x)dx\right]}^{\prime }=k{\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=k(F(x)+c{)}^{\prime }=kf(x)$

ហេតុអ្វីត្រឹមត្រូវ ភាពស្មើគ្នានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ គឺភាពស្មើគ្នានៃដេរីវេ ។ ដូច្នេះគេគ្រាន់តែបង្ហាញថាដេរីវេនៃអង្គទាំងពីរស្មើគ្នា ។

ជាទូទៅ ៖ បើ $n\ne -1$ នោះ $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ដោយប្រើ $\int f(x)dx=F(x)+c$ សមមូល $(F(x)+c{)}^{\prime }=f(x)$

គេបាន ${\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\right]}^{\prime }=(n+1)\frac{x^n}{n+1}=x^n$

ដូចនេះ $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ ដែល $n\ne -1$ ។

ហេតុអ្វីត្រូវការ $n\ne -1$ ព្រោះ $n=-1$ ធ្វើឲ្យភាគបែង $n+1$ ស្មើ ០ ហើយរូបមន្តបាត់អត្ថន័យ ។ ករណី $n=-1$ មានរូបមន្តដោយឡែក គឺ $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+c$ (ចំណុច 4.21) ។

ជាទូទៅ ៖ $\int \frac{1}{x^2}dx=\frac{-1}{x}+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ដោយប្រើ $\int f(x)dx=F(x)+c$ សមមូល $[F(x)+c{]}^{\prime }=f(x)$

គេបាន ${\left[\frac{-1}{x}+c\right]}^{\prime }=(-1)\left(\frac{-1}{x^2}\right)=\frac{1}{x^2}$

ដូចនេះ $\int \frac{1}{x^2}dx=\frac{-1}{x}+c$ ។

ហេតុអ្វីត្រឹមត្រូវ នេះជាករណី $n=-2$ នៃរូបមន្តថាមពល $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ ព្រោះ $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ ហើយ $\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$ ។

ជាទូទៅ ៖ $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ដោយប្រើ $\int f(x)dx=F(x)+c$ សមមូល $[F(x)+c{]}^{\prime }=f(x)$

គេបាន $[2\sqrt{x}+c{]}^{\prime }=2\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

ដូចនេះ $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+c$ ។

ហេតុអ្វីត្រឹមត្រូវ $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ ដូច្នេះ $\frac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{x}$ តាមរូបមន្តថាមពល ។

ជាទូទៅ ៖ $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ បើ $[F(x)+c{]}^{\prime }=f(x)$ នោះ $\int f(x)dx=F(x)+c$

គេបាន $[F(x)\pm G(x)+c{]}^{\prime }=F^{\prime }(x)\pm G^{\prime }(x)=f(x)\pm g(x)$

នោះ $\int (f(x)\pm g(x))dx=F(x)\pm G(x)+c$ ម្យ៉ាងទៀត

$\int (f(x)\pm g(x))dx=[F(x)+c_1]\pm [G(x)+c_2]=F(x)\pm G(x)+(c_1+c_2)$

$=F(x)\pm G(x)+c$ , $c=c_1+c_2$

ដូចនេះ $\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ ។

ចំណាំ ចំនួនថេរពីរ $c_1$ និង $c_2$ រួមគ្នាជាចំនួនថេរតែមួយ $c$ ។ ដូច្នេះគេមិនសរសេរ $c_1+c_2$ នៅចម្លើយចុងក្រោយទេ ។

តាមលក្ខណៈខាងលើគេអាចពន្យល់បានត្រូវបន្តនូវខាងលើឱ្យកាន់តែទូទៅ

ជាទូទៅ ៖ $\int [c_1{f}_1(x)+c_2{f}_2(x)+c_3{f}_3(x)+...+c_n{f}_n(x)]dx$

$=c_1\int f_1(x)dx+c_2\int f_2(x)dx+c_3\int f_3(x)dx+...+c_n\int f_n(x)dx$ ។

ការប្រើប្រាស់ លក្ខណៈនេះជាមូលដ្ឋាននៃការគណនាអាំងតេក្រាលនៃពហុធា ៖ គេបំបែកជាផលបូកនៃតួនីមួយៗ រួចគណនាតួនីមួយៗដោយរូបមន្តថាមពល ។

ជាទូទៅ ៖ $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ដែល $x\ne 0$ ។

ហេតុអ្វីត្រូវការតម្លៃដាច់ខាត ដេរីវេនៃ $\ln x$ គឺ $\frac{1}{x}$ តែនៅពេល $x>0$ ប៉ុណ្ណោះ ។ នៅពេល $x<0$ គេប្រើ $\ln (-x)$ ដែលមានដេរីវេ $\frac{1}{-x}\cdot (-1)=\frac{1}{x}$ ។ ដូច្នេះ $\ln |x|$ ដំណើរការទាំងពីរករណី ។

ជាទូទៅ ៖ $\int e^{x}dx=e^x+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ។

ហេតុអ្វីត្រឹមត្រូវ $e^x$ ជាអនុគមន៍តែមួយគត់ដែលស្មើនឹងដេរីវេរបស់ខ្លួនឯង ។ ដូច្នេះវាជាព្រីមីទីវរបស់ខ្លួនឯង ។

ព្រោះថា $(e^x+c{)}^{\prime }=e^x$ ។ ដូចនេះ $\int e^{x}dx=e^x+c$ ។

ចំណាំ រូបមន្តនេះជារូបមន្តដូចគ្នានឹងចំណុច 4.15 ដែលសៀវភៅសរសេរឡើងវិញនៅដើមទំព័រ ១១៧ ដោយបន្ថែមសម្រាយបញ្ជាក់ ។

២.៤. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ចំណាំ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានដេរីវេជាវដ្ត ៖ $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ ។ ដូច្នេះព្រីមីទីវរបស់វាក៏វិលជាវដ្តដែរ តែដោយទិសផ្ទុយ ។

ដូចនេះ ៖ $\int \sin xdx=-\cos x+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ។

ព្រោះថា $(-\cos x+c{)}^{\prime }=\sin x$ ។ ដូចនេះ $\int \sin xdx=-\cos x+c$ ។

ហេតុអ្វីមានសញ្ញាដក ដេរីវេនៃ $\cos x$ គឺ $-\sin x$ ។ ដូច្នេះត្រូវដាក់សញ្ញាដកនៅមុខ $\cos x$ ដើម្បីឲ្យដេរីវេត្រឡប់មក $+\sin x$ វិញ ។

ដូចនេះ ៖ $\int \cos xdx=\sin x+c$ , $c\in \mathbb{R}$ ។

ព្រោះថា $(\sin x+c{)}^{\prime }=\cos x$ ។ ដូចនេះ $\int \cos xdx=\sin x+c$ ។

ហេតុអ្វីគ្មានសញ្ញាដក ដេរីវេនៃ $\sin x$ គឺ $+\cos x$ ដោយផ្ទាល់ ។