សិក្សាអនុគមន៍សនិទាន និងអនុគមន៍ផ្សេងៗ

ក. អនុគមន៍សនិទានជាអ្វី? វាជាប្រភាគនៃពហុធាពីរ $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$ ។ ចំនុចដែល $Q(x)=0$ មិនស្ថិតក្នុងដែនកំណត់ទេ ព្រោះគេមិនអាចចែកនឹង $0$ ។ ដូច្នេះជំហានទីមួយជានិច្ចគឺ៖ ដោះស្រាយ $Q(x)=0$ រួចដកឫសទាំងនោះចេញពី $\mathbb{R}$ ។

ខ. អាស៊ីមតូតជាបន្ទាត់ដែលក្រាប«ដេកអោប» ។ មានបីប្រភេទ ៖

• អាស៊ីមតូតឈរ $x=a$ ៖ កើតឡើងនៅពេល $x$ ខិតទៅ $a$ ហើយ $y$ រត់ទៅ $\pm \infty$ ។ ក្រាបឡើង ឬចុះជាប់នឹងបន្ទាត់ឈរនេះ ។
• អាស៊ីមតូតដេក $y=b$ ៖ កើតឡើងនៅពេល $x\to \pm \infty$ ហើយ $y$ ខិតទៅចំនួនថេរ $b$ ។ សម្រាប់អនុគមន៍ដែលដឺក្រេភាគយកស្មើដឺក្រេភាគបែង គឺ $b=\frac{\text{មេគុណនាំមុខភាគយក}}{\text{មេគុណនាំមុខភាគបែង}}$ ។
• អាស៊ីមតូតដេកទ្រេត $y=ax+b$ ៖ កើតឡើងនៅពេលដឺក្រេភាគយកធំជាងដឺក្រេភាគបែងមួយដឺក្រេ ។ គេចែកពហុធា រួចយកផ្នែកពហុធានៃលទ្ធផល ។ ឧ. $\frac{x^2-3}{2x-4}=\frac{x}{2}+1+\frac{1}{2x-4}$ ដូច្នេះអាសីមតូតគឺ $y=\frac{x}{2}+1$ ។

គ. ហេតុអ្វីបានជាចែកពហុធាហើយឃើញអាសីមតូត? ព្រោះបន្ទាប់ពីចែក គេបាន $f(x)=(ax+b)+\frac{k}{px+q}$ ។ ពាក្យ $\frac{k}{px+q}$ ខិតទៅ $0$ កាលណា $x\to \pm \infty$ ។ ដូច្នេះ $f(x)-(ax+b)\to 0$: ក្រាបខិតទៅជិតបន្ទាត់ $y=ax+b$ ឥតឈប់ ។

ឃ. របៀបសិក្សាអចិរភាព (ជាជំហានថេរ) ៖

១) ដែនកំណត់ →

២) ទម្រង់កំណត់ចិត្ត →

៣) ដេរីវេ →

៤) ឫសនៃដេរីវេ និងសញ្ញា →

៥) តម្លៃបរមា →

៦) លីមីតនៅ $\pm \infty$ និងនៅជិតអាសីមតូតឈរ →

៧) អាសីមតូត →

៨) ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស →

៩) តារាងអចិរភាព →

១០) ក្រាប ។ ធ្វើតាមលំដាប់នេះ នោះមិនភ្លេចអ្វីទេ ។

ង. ផ្ចិតឆ្លុះ ៖ សម្រាប់អនុគមន៍ $\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}$ ក្រាបមានរាងជាអ៊ីពែបូល ។ ចំណុចប្រសព្វនៃអាសីមតូតឈរ និងអាសីមតូតដេកទ្រេត គឺជាផ្ចិតឆ្លុះ ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ គេរំកិលចំណុចកំណើតទៅ $I$ រួចបង្ហាញថាសមីការថ្មីមានរាង $Y=X+\frac{k}{X}$ ដែលជាអនុគមន៍សេស ។

ច. អនុគមន៍ $\frac{a{x}^2+bx+c}{p{x}^2+qx+r}$ ៖ វាមានអាស៊ីមតូតដេកមួយជានិច្ច ($y=\frac{a}{p}$) ។ ចំនួនអាសីមតូតឈរអាស្រ័យនឹង $\Delta =q^2-4pr$ ៖ $\Delta <0$ គ្មាន (មែកមួយ), $\Delta =0$ មួយ (មែកពីរ), $\Delta >0$ ពីរ (មែកបី) ។

ឆ. ការអានក្រាបដើម្បីរាប់ឫស ៖ សមីការដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $m$ ជាញឹកញាប់អាចសរសេរជា $f(x)=m$ ។ ឫសគឺជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វ រវាងក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ដេក $y=m$ ។ គូរបន្ទាត់ដេករំកិលពីក្រោមទៅលើ រួចរាប់ចំនួនចំណុចប្រសព្វ ។ ពេលបន្ទាត់ប៉ះក្រាប (tangent) នោះឫសជាឫសឌុប ។

ជ. ចំនួន $e$ ៖ $e=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\approx 2.7182$ ។ វាជាចំនួនថេរធម្មជាតិមួយ ដូចជា $\pi$ ។ អនុគមន៍ $y=e^x$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ កើនជានិច្ច ហើយវិជ្ជមានជានិច្ច ។ លក្ខណៈពិសេសរបស់វាគឺ $(e^x{)}^{\prime }=e^x$: ដេរីវេស្មើនឹងខ្លួនវា ។

ឈ. លោការីតនេពែ $\ln$ ៖ វាជាអនុគមន៍ច្រាសនៃ $e^x$ ។ ន័យរបស់វាសាមញ្ញណាស់ ៖ $\ln k$ គឺជានិទស្សន្តដែលត្រូវដាក់លើ $e$ ដើម្បីបាន $k$ ។ ឧ. $\ln 1=0$ ព្រោះ $e^0=1$; $\ln e=1$ ព្រោះ $e^1=e$ ។ ដេរីវេ $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ ធ្វើឱ្យ $\ln$ ក្លាយជាឧបករណ៍ដោះសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។

ញ. អនុវត្តន៍ ៖ គំរូកំណើន/រលាយ $y=a{e}^{kt}$ (បើ $k>0$ កើន, បើ $k<0$ រលាយ) ។ ការប្រាក់សមាស $A=p{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}$ ហើយបើការទូទាត់ជាបន្តបន្ទាប់ $A=p{e}^{rt}$ ។

នៅក្នុងជំពូកនេះ គេនឹងសិក្សាអំពីចរិតភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ សនិទាន អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស៊ូលនិងអនុគមន៍លោការីត ។ បន្ទាប់ពីសិក្សាមេរៀន សិក្សាអចិរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍ សនិទាន អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស៊ូលនិងអនុគមន៍លោការីត សិស្សអាចយកចំណេះដឹងនិងបំណិនទៅ ដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗដែលទាក់ទងនឹងការប្រើប្រាស់ក្នុងជីវិត ។

ចំណាំ ពាក្យ «អចិរភាព» និង «អថិរភាព» ត្រូវបានប្រើក្នុងសៀវភៅនេះក្នុងន័យដូចគ្នា គឺ variation (ការកើន និងការចុះនៃអនុគមន៍) ។

វត្ថុបំណង ☐ រកអាសីតូតដេកទ្រេតនៃក្រាបតាងអនុគមន៍សនិទាន ☐ សិក្សាអចិរភាពនិងសង់ក្រាបតាងអនុគមន៍សនិទាន ☐ ដោះស្រាយវិសមីការដោយប្រើក្រាប ☐ ពិភាក្សាអត្តិភាពនិងសំណួរសំនួរ វិសមីការដឺក្រេទី 2 មានឫសម៉្លេះដោយប្រើក្រាប ។

១. អនុគមន៍សំរួល $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}$ ។ នេះជាគ្រួសារទីមួយដែលយើងសិក្សា ៖ ភាគយកជាពហុធាដឺក្រេ ២ ឯភាគបែងជាពហុធាដឺក្រេ ១ ។ ដោយសារដឺក្រេភាគយកធំជាងមួយដឺក្រេ ក្រាបមានអាសីតូតដេកទ្រេត ។

និយមន័យ ៖ បន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y=ax+b$ ជាអាសីមតូតដេកទ្រេតនៃក្រាបរបស់ $f$ កាលណា $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ ឬ $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ ។

ពន្យល់ជាភាសាសាមញ្ញ ៖ យើងវាស់គម្លាតឈររវាងក្រាប និងបន្ទាត់ ត្រង់អាប់ស៊ីសដូចគ្នា ។ បើគម្លាតនោះខិតទៅ $0$ កាលណា $x$ រត់ទៅអនន្ត នោះបន្ទាត់ជាអាសីមតូតដេកទ្រេត ។ គ្មានលក្ខខណ្ឌលើសពីនេះទេ ។

សំគាល់ ៖ តាមនិយមន័យគេបាន $f(x)-(ax+b)=\epsilon (x)$ ដែល $\underset{x\to +\infty }{\lim }\epsilon (x)=0$ ឬ $\underset{x\to -\infty }{\lim }\epsilon (x)=0$ ។ គេសរសេរ ៖ $\frac{f(x)}{x}-\frac{(ax+b)}{x}=\frac{\epsilon (x)}{x}$ $\left(\frac{f(x)}{x}=a+\frac{b}{x}+\frac{\epsilon (x)}{x}\right)\to a$ កាលណា $x$ ខិតទៅអនន្ត ។ ម្យ៉ាងទៀត $f(x)-ax=b+\epsilon (x)\to b$ កាលណា $x$ ខិតទៅអនន្ត ។

នេះជាមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្ត្រលីមីត ៖ បើយើងមិនអាចចែកពហុធាបាន (ឧ. អនុគមន៍មានឫសការេ) នោះយើងរក $a$ មុន រួចរក $b$ ។

ដូចនេះ បើ $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$ និង $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f(x)-ax\right]=b$ នោះបន្ទាត់មានសមីការ $y=ax+b$ ជាអាសីមតូតដេកទ្រេតនៃក្រាបតាង $f$ ។

ហេតុអ្វីត្រូវរក $a$ មុន? ព្រោះ $b$ អាស្រ័យនឹង $a$ ។ បើយើងមិនដឹង $a$ ទេ នោះកន្សោម $f(x)-ax$ មិនមានន័យ ។ លំដាប់ត្រូវធ្វើ ៖ (១) $a=\lim \frac{f(x)}{x}$ (២) $b=\lim \left[f(x)-ax\right]$ (៣) សរសេរ $y=ax+b$ ។

យក $M(x,y)$ នៅក្នុងតម្រុយកែង $(ox,oy)$ ។ តម្រង់ $O$ ជាត្រង់ចំណុច $\omega (x_0,y_0)$ នោះអ័ក្ស $(x^{\prime }x)$ តម្រង់ទៅរក $(\omega X)$ និង $(y^{\prime }y)$ តម្រង់ទៅរក $(\omega Y)$ ។ ដូចនេះកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ ធៀបនឹងតម្រុយថ្មី $(\omega X,\omega Y)$ គឺ $M(X,Y)$ ។ គេបាន $\{\begin{array}{l}x=x_0+X\\ y=y_0+Y\end{array}$ នោះជា រូបមន្តបំលែងកូអរដោនេ ។

ប្រយោជន៍ ៖ រូបមន្តនេះជួយសម្រួលសមីការនៃខ្សែកោង ដើម្បីឱ្យឃើញភ្លាមថាវាជាអនុគមន៍សេស (ដូច្នេះមានផ្ចិតឆ្លុះ) ឬដើម្បីរកសមីការក្នុងតម្រុយថ្មី ។

ចំពោះក្រាបនៃអនុគមន៍ $f$ ក្នុងឧទាហរណ៍ 1 ខាងលើ ៖ បើគេរំកិលអ័ក្សកូអរដោនេ គេបាន $\{\begin{array}{l}x=2+X\\ y=-1+Y\end{array}$ ហើយ $y=\frac{x^2-5x+7}{x-2}=x-3+\frac{1}{x-2}$ សមីការខ្សែកោង អាចសរសេរ $Y-1=X+2-3+\frac{1}{2+X-2}=X-1+\frac{1}{X}$ នាំឲ្យ $Y=X+\frac{1}{X}$ តាង $Y=F(X)=X+\frac{1}{X}$ ត្រូវ $X\ne 0$, $F(-X)=-X+\frac{1}{-X}=-\left(X+\frac{1}{X}\right)=-F(X)$ $F(-X)=-F(X)$ នាំឲ្យ $F$ ជាអនុគមន៍សេស ។ ដូចនេះ ខ្សែកោងមានចំណុច $I(2,-1)$ ជាផ្ចិតឆ្លុះ ។

ហេតុអ្វីបានជាអនុគមន៍សេសបញ្ជាក់ផ្ចិតឆ្លុះ? ក្រាបនៃអនុគមន៍សេសមានលក្ខណៈឆ្លុះធៀបនឹងចំណុចកំណើត ។ ដោយយើងបានរំកិលចំណុចកំណើតទៅ $I$ ហើយសមីការថ្មីជាអនុគមន៍សេស នោះក្រាបដើមឆ្លុះធៀបនឹង $I$ ។

ដូចនេះ ៖ មានអនុគមន៍ $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}$ ដែល $a\ne 0$, $p\ne 0$ និង $a{x}_0^2+b{x}_0+c\ne 0$ ចំពោះគ្រប់ $x_0\ne -\frac{q}{p}$ ។

• ដែនកំណត់ ៖ $D=\mathbb{R}-\left\{-\frac{q}{p}\right\}$
• ដេរីវេ ៖ $y^{\prime }=\frac{(a{x}^2+bx+c{)}^{\prime }(px+q)-(a{x}^2+bx+c)(px+q{)}^{\prime }}{(px+q{)}^2}=\frac{ap{x}^2+2aqx+bq-cp}{(px+q{)}^2}$
• បើ $y^{\prime }=0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា នោះអនុគមន៍មានអតិបរមាមួយ និងអប្បបរមាមួយ ។
• បើ $y^{\prime }=0$ គ្មានឫស នោះអនុគមន៍គ្មានបរមា ។
• បើ $y^{\prime }=0$ មានឫសឌុប នោះអនុគមន៍គ្មានបរមា ។
• អាសីមតូត ៖ បន្ទាត់ $x=-\frac{q}{p}$ ជាអាសីមតូតឈរ ។ បើ $y=mx+n+\frac{k}{px+q}$ នោះបន្ទាត់ $y=mx+n$ ជាអាសីមតូតដេកទ្រេត ។
• ក្រាបជាអ៊ីពែរបូល ដែលផ្ចិតឆ្លុះជាចំណុចប្រសព្វរវាងអាសីមតូតទាំងពីរ ។
• ក្រាបមានរាងទូទៅដូចខាងក្រោម ៖

បួនរាងសំខាន់ (ដូចក្នុងសៀវភៅ គូរជាក្រាបតូចៗបួន) ៖ (១) $a<0$, $y^{\prime }=0$ គ្មានឫស ៖ អាសីមតូតទាំងពីរមានជម្រាលអវិជ្ជមាន; មែកទាំងពីរចុះ គ្មានបរមា ។ (២) $a>0$, $y^{\prime }=0$ គ្មានឫស ៖ អាសីមតូតទាំងពីរមានជម្រាលវិជ្ជមាន; មែកទាំងពីរកើន គ្មានបរមា ។ (៣) $a<0$; $y^{\prime }=0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា ៖ មានអតិបរមានៅមែកឆ្វេង និងអប្បបរមានៅមែកស្តាំ ។ (៤) $a>0$; $y^{\prime }=0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា ៖ ក៏មានអតិបរមានៅមែកឆ្វេង និងអប្បបរមានៅមែកស្តាំ ដែរ ។

សំគាល់ ៖ ចំពោះការកសាងក្រាប គួរឲ្យចំនួនចំណុចនៃក្រាប គេត្រូវប្រើបន្ទាត់ប៉ះនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ។

[UNCLEAR: ចំនួន — number

ការអនុវត្តជាក់ស្តែង ៖ ក្រាបមួយសង់បានល្អ លុះត្រាតែមាន ៖ (១) អាសីមតូតទាំងអស់ជាបន្ទាត់ដាច់ៗ (២) ចំណុចបរមា (បើមាន) (៣) ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស (៤) ចំណុចប្រសព្វជាមួយអាសីមតូត (បើមាន) (៥) ព្រួញបញ្ជាក់ទិសនៅចុងមែកនីមួយៗ ។

ចំណាំ ៖ អនុគមន៍ $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{p{x}^2+qx+r}$ ដែល $a,b,c$ ខុសពីសូន្យ និង $p\ne 0$ អនុគមន៍មានលក្ខណៈមួយចំនួនដូចខាងក្រោម ៖

• គ្រប់ក្រាបតាងអនុគមន៍នេះ មានអាស៊ីមតូតដេកមួយជានិច្ច ។
• ចំនួនអាស៊ីមតូតឈរគឺអាស្រ័យនឹងឫសសមីការ $p{x}^2+qx+r=0$ ។

បើ $\Delta =q^2-4pr<0$ គ្មានអាស៊ីមតូតឈរទេ និងក្រាបមានម៉ូកតែមួយ ។ បើ $\Delta =q^2-4pr=0$ មានអាស៊ីមតូតឈរមួយ $x=-\frac{q}{2p}$ និងក្រាបមានម៉ូកពីរដាច់គ្នា ។ បើ $\Delta =q^2-4pr>0$ មានអាស៊ីមតូតឈរពីរ $x=\frac{-q\pm \sqrt{\Delta }}{2p}$ និងក្រាបមានម៉ូកបីដាច់គ្នា ។

ពាក្យ «ម៉ូក» ក្នុងសៀវភៅមានន័យថា មែក នៃក្រាប (branch) ។ មែកមួយៗស្ថិតនៅចន្លោះអាសីមតូតឈរពីរ ឬនៅខាងក្រៅអាសីមតូតទាំងអស់ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{p{x}^2+qx+r}$ មានរាងដូចខាងក្រោម ៖

១. $\Delta <0$ (ក្រាប

៤) ·

២. $\Delta =0$ (ក្រាប

៤) ·

៣. $\Delta >0$ (ក្រាប

៣) ។ ក្រាបទាំងអស់មានអាសីមតូតដេកជាបន្ទាត់ពេញទទឹង និងអាសីមតូតឈរជាបន្ទាត់ដាច់ៗ ។

(គ្មានអាសីមតូតឈរ ៖ ក្រាបជាបន្ទាត់តែមួយជាប់គ្នា) (ក) ខ្ទុះមួយពីលើអាសីមតូត ៖ កើនដល់អតិបរមាកណ្តាល រួចចុះមកជិតអាសីមតូតទាំងសងខាង ។ (ខ) ខ្ទុះមួយពីក្រោមអាសីមតូត ៖ អប្បបរមាកណ្តាល ។ (គ) ខ្សែកោងរាង «S» ៖ ចូលពីលើ កាត់អាសីមតូត ចុះក្រោម រួចកាត់ម្តងទៀត ហើយឡើង ។ (ឃ) ចូលពីក្រោម ឡើងឆ្លងកាត់អតិបរមាមួយពីលើ រួចចុះមកជិតអាសីមតូត (កាត់ពីរដង) ។

(អាសីមតូតឈរមួយ ៖ មែកពីរ) (ក) មែកទាំងពីរនៅសងខាងអាសីមតូត ៖ មែកឆ្វេងឡើងដល់អតិបរមា ឯមែកស្តាំសំប៉ែតតាមអាសីមតូត ។ (ខ) អប្បបរមានៅខាងឆ្វេងអាសីមតូត; មែកទាំងពីរចូលជិតបន្ទាត់ពីសងខាង ។ (គ) មែកទាំងពីរដេកអោបអាសីមតូតពីសងខាង ដោយមានលំញ័រមួយសិន រួចសំប៉ែត ។ (ឃ) មែកឆ្វេងដេកអោបពីលើ មែកស្តាំចុះខ្លាំង កាត់ រួចរត់តាមអាសីមតូត ។

(អាសីមតូតឈរពីរ ៖ មែកបី) មានក្រាបបីទៀតនៅទំព័របន្ទាប់ (ក) មែកឆ្វេងឡើងដល់អាសីមតូតទីមួយ; មែកកណ្តាលចុះពី $+\infty$ ឆ្លងកាត់កណ្តាល ហើយបន្តក្រោមអាសីមតូតដេក; មែកស្តាំសំប៉ែតលើអាសីមតូត ។ (ខ) មែកឆ្វេងសំប៉ែតចូលជិតអាសីមតូត; មែកកណ្តាលចុះជាឯកតោនភាពពីលើដល់ក្រោម; មែកស្តាំសំប៉ែតពីខាងត្រង់ផ្សេង ។ (គ) មែកឆ្វេងឡើងខ្លាំង; មែកកណ្តាលជាធ្នូបើកពីលើ មានអប្បបរមាកណ្តាលក្រោមអាសីមតូតដេក; មែកស្តាំចុះពីអាសីមតូតទីពីរ ។

ក្រាបបីទៀតនៃករណី $\Delta >0$ (ទំព័រ ៧៥) ៖ (ក) មែកឆ្វេងចូលពីក្រោមឆ្វេង; មែកកណ្តាលជាធ្នូរាង U; មែកស្តាំឡើង រួចសំប៉ែត ។ (ខ) មែកឆ្វេងសំប៉ែត; មែកកណ្តាលធ្លាក់ចុះ; មែកស្តាំឡើងខ្លាំង រួចសំប៉ែត ។ (គ) មែកបី ៖ ឆ្វេងឡើង, កណ្តាលជាធ្នូចុះក្រោម (រាង ∩), ស្តាំចុះពីអាសីមតូតទីពីរ ។

មេរៀនសង្ខេប ១. អនុគមន៍ $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}$ ដែល $p\ne 0$, $a\ne 0$ និង $a{x}_0^2+b{x}_0+c\ne 0$ ចំពោះ $x_0\ne -\frac{q}{p}$

• ដែនកំណត់ $D=R-\left\{-\frac{q}{p}\right\}$
• ទិសដៅអភិភាព

ដេរីវេ ៖ $y^{\prime }=\frac{ap{x}^2+2aqx+bq-cp}{(px+q{)}^2}$ បើ $y^{\prime }=0$ មានឫសពីរខុសគ្នា នោះអនុគមន៍មានអតិបរមាមួយ និងអប្បបរមាមួយ បើ $y^{\prime }=0$ គ្មានឫស នោះអនុគមន៍គ្មានបរមា បើ $y^{\prime }=0$ មានឫសឌុប នោះអនុគមន៍ក្លាយជាដេរីវេទីមួយ

• អាស៊ីមតូត

បន្ទាត់ $x=-\frac{q}{p}$ ជាអាស៊ីមតូតឈរ អនុគមន៍ $y=ax+b+\frac{k}{px+q}$ មានបន្ទាត់ $y=ax+b$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត

• មានក្រាបជាអ៊ីពែរបូល ដែលមានចំណុចឆ្លុះជាចំណុចប្រសព្វរបស់អាស៊ីមតូតទាំងពីរ

ចំណាំលើពាក្យ «ដេរីវេទីមួយ» ៖ ក្នុងបន្ទាត់ចុងក្រោយ សៀវភៅសរសេរថា «អនុគមន៍ក្លាយជាដេរីវេទីមួយ» ។ អត្ថន័យគឺ នៅពេល $y^{\prime }=0$ មានឫសឌុប នោះ $y^{\prime }$ មិនប្តូរសញ្ញា ដូច្នេះអនុគមន៍មិនមានបរមា ហើយវានៅជាឯកតោន (កើន ឬចុះទាំងស្រុង) លើចន្លោះនីមួយៗ ។

២. អនុគមន៍ $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{p{x}^2+qx+r}$ ដែល $a$, $b$, $c$ ខុសពីសូន្យ និង $p\ne 0$

• មានអាស៊ីមតូតដេកមួយជានិច្ច
• ចំនួនអាស៊ីមតូតឈរត្រូវអាស្រ័យនឹងឫសសមីការ $p{x}^2+qx+r=0$

បើ $\Delta =q^2-4pr<0$ គ្មានអាស៊ីមតូតឈរទេ និងក្រាបមានមែកតែមួយ ។ បើ $\Delta =q^2-4pr=0$ មានអាស៊ីមតូតឈរមួយ $x=-\frac{q}{2p}$ និងក្រាបមានមែកពីរ ។ បើ $\Delta =q^2-4pr>0$ មានអាស៊ីមតូតឈរពីរ $x=\frac{-q\pm \sqrt{\Delta }}{2p}$ និងក្រាបមានមែកបី ។

វត្ថុបំណង ☐ រកចំនួន $e$ ☐ រកលីមីតសំខាន់នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលតាម $e$ ☐ រកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលតាម $e$ ☐ សិក្សាអភិភាពនិងសង់ក្រាប ដែលទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ $y=e^x$ ។

១. ចំនួន $e$ គណនាកន្សោម ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ កាលណា $n$ យកតម្លៃធំពីមួយៗ ។ គេសង្កេតឃើញថា បើ $n$ យកតម្លៃកាន់តែធំ នោះកន្សោម ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ ខិតទៅរកតម្លៃលីមីតមួយស្មើ $2.718281$ ។ លីមីត ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ កាលណា $n$ ខិតទៅរក $+\infty$ ហៅថា ចំនួន $e$ ។ គេបាន $e=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\approx 2.7182$ តម្លៃនេះជាតម្លៃដែលគេនិយមប្រើប្រាស់ ។

អានតារាងនេះដូចម្តេច? នៅពេល $n$ កើនពី $1$ ដល់ $10$ តម្លៃលោតពី $2$ ដល់ $2.59$ ។ តែនៅពេល $n$ កើនពី $10^8$ ដល់ $10^9$ តម្លៃប្រែប្រួលតែ $0.00000002$ ប៉ុណ្ណោះ ។ នេះបង្ហាញថាតម្លៃកំណត់ខិតជិត $2.7182818\dots$ ឥតឈប់ ។

២. អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ២.១. និយមន័យ និងលក្ខណៈពិសេស

ក. និយមន័យ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=e^x$ ហៅថា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលតាម $e$ ឬអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។

២. ក្រាប សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y=e^x$

ដោយគេលើ $e=2.7182$ នោះអនុគមន៍ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាអនុគមន៍កើនលើ $\mathbb{R}$ ។

លក្ខណៈដែលឃើញពីក្រាប ៖ (១) ក្រាបកាត់អ័ក្ស $y^{\prime }y$ ត្រង់ $(0,1)$ (២) ក្រាបនៅពីលើអ័ក្ស $x^{\prime }x$ ជានិច្ច ព្រោះ $e^x>0$ (៣) អ័ក្ស $x^{\prime }x$ ជាអាសីមតូតដេក នៅពេល $x\to -\infty$ (៤) ក្រាបឡើងខ្លាំងនៅពេល $x\to +\infty$ (៥) ចំណុច $(1,e)$ ស្ថិតនៅលើក្រាប ។

៣. លក្ខណៈ ៖ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $m$, $n$ គេបាន

ក. $e^{m+n}=e^m\cdot e^n$

ខ. $e^{-n}=\frac{1}{e^n}$

គ. $e^{m-n}=\frac{e^m}{e^n}$

ឃ. ${\left(e^m\right)}^n=e^{mn}$ ។

ច្បាប់ទាំងបួននេះជាច្បាប់ធម្មតានៃនិទស្សន្ត ។ គ្មានច្បាប់ថ្មីទេ ។ អ្វីដែលថ្មីគឺថា គោល គឺ $e$ ជាចំនួនអសនិទានមួយ ។ ច្បាប់ទី ២ និងទី ៣ ជួយបំប្លែងកន្សោមដែលមាន $e^{-x}$ ទៅជាប្រភាគ ដែលងាយគណនាលីមីត ។