ដេរីវេនៃអនុគមន៍

នៅក្នុងជំពូកនេះ យើងប្រើចំណេះដឹងនិងបំណិននៃដេរីវេដែលបានសិក្សានៅឆ្នាំទី១ ។ ក្នុងការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ អនុគមន៍បណ្ដាក់ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ លើសពីនេះទៀត គេអាចប្រើចំណេះដឹងនិងបំណិនទាំងអស់នេះក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាដែលពួកគេនឹងជួបប្រទះដូចជា ការគណនាតម្លៃអតិបរមានិងតម្លៃអប្បបរមា ការគណនាល្បឿន និង [UNCLEAR: ពាក្យមួយមុន «នៃចលនា» អានបានថា «សំណួរ/ទិសដៅ»] នៃចលនា ។

សរុបសេចក្តីមក ការសិក្សាដេរីវេបានផ្តល់ឱកាសដ៏ធំធេងឲ្យយើងក្នុងការដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាដែលពួកគេប្រទះប្រចាំថ្ងៃ ក្នុងការគណនាផ្នែកសេដ្ឋកិច្ច និង [UNCLEAR: ពាក្យចុងក្រោយនៃក្រុមពាក្យ អានបានថា «សេដ្ឋកិច្ចជាតិ»/«សង្គមជាតិ»] ។

សូមកត់សម្គាល់ ៖ សៀវភៅដាក់រូបថតរបស់លោក Sir Isaac Newton នៅទំព័របើកជំពូក ដោយសរសេរឈ្មោះជាអក្សរអុកស៊ីតង់ ។ ញូតុន និង ឡៃបនីស គឺជាអ្នកបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឯករាជ្យពីគ្នា ។ នេះជាចំណុចវប្បធម៌ មិនមែនជារូបមន្តត្រូវចងចាំទេ ។

ដំបូង សិស្សជាច្រើនគិតថាដេរីវេជាការគណនាយន្តការ ៖ គ្រាន់តែអនុវត្តរូបមន្តមួយចំនួន ។ តែចំណុចសំខាន់គឺការយល់អត្ថន័យ ។ នៅពេលយល់អត្ថន័យ សិស្សអាចសម្រេចថាតើត្រូវប្រើរូបមន្តណា និងហេតុអ្វី ។ នេះជាអ្វីដែលលំហាត់ប្រឡងបាក់ឌុបត្រូវការ ។

១. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រង់ $x_0$

ដេរីវេត្រង់ $x_0$ នៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ ជាលីមីត (បើមាន) នៃផលធៀបកំណើន $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ កាលណា $\Delta x$ ខិតទៅជិត $0$ ។

គេសរសេរ ៖ $y_0^{\prime }=f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ យើងចាប់ផ្តើមពីចំណុច $x_0$ មួយ ។ យើងរំកិលទៅមុខបន្តិច គឺ $h$ ។ ការផ្លាស់នេះធ្វើឱ្យ $y$ ប្រែប្រួលចំនួន $f(x_0+h)-f(x_0)$ ។ ផលធៀប $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ គឺជាអត្រាប្រែប្រួលមធ្យម ។ ពេល $h$ តូចជាងទៅៗ អត្រាមធ្យមនេះខិតទៅរកអត្រាប្រែប្រួលខណៈ ដែលហៅថាដេរីវេ ។

ទម្រង់ទាំងបីសមមូលគ្នា ។ ទម្រង់ទី ១ ប្រើ $\Delta x$ និង $\Delta y$ ។ ទម្រង់ទី ២ ប្រើ $x$ ខិតទៅ $x_0$ ។ ទម្រង់ទី ៣ ប្រើ $h=x-x_0$ ។ ការជ្រើសរើសទម្រង់អាស្រ័យលើអនុគមន៍ ៖ បើអនុគមន៍ជាពហុធា ទម្រង់ទី ៣ ងាយបំផុត ។ បើអនុគមន៍មានឫស ឬភាគបែង ទម្រង់ទី ២ ងាយបំផុត ព្រោះអាចគុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់ ។

ចំណុចត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ន ៖ និយមន័យនេះនិយាយថា « បើមាន » ។ មានអនុគមន៍ដែលលីមីតនេះមិនមាន ដូចជា $y=|x|$ ត្រង់ $x_0=0$ ។ ពេលនោះ គេថាអនុគមន៍គ្មានដេរីវេត្រង់ចំណុចនោះ ។

ដូច្នេះ ៖ បើ $y=f(u)$ និង $u=g(x)$ នោះ $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$ ឬ $\frac{d}{dx}\left[f(u(x))\right]=f^{\prime }(u)\times u^{\prime }(x)$ ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ អនុគមន៍បណ្តាក់មានស្រទាប់ ។ ឧទាហរណ៍ $y=(5x+1{)}^3$ មានស្រទាប់ក្នុង $u=5x+1$ និងស្រទាប់ក្រៅ $y=u^3$ ។ ច្បាប់ខ្សែសង្វាក់និយាយថា ៖ ធ្វើដេរីវេស្រទាប់ក្រៅសិន (ដោយទុកស្រទាប់ក្នុងដដែល) រួចគុណនឹងដេរីវេស្រទាប់ក្នុង ។ ដូច្នេះ $y^{\prime }=3(5x+1{)}^2\times 5$ ។

សម្រាយបញ្ហា (តាមសៀវភៅ) ៖ គេឱ្យ $F(x)=f[g(x)]$ ដោយប្រើ [UNCLEAR: «និយមន័យ» «ពិភាក្សា»] នៃដេរីវេត្រង់ $x=c$

គេត្រូវបង្ហាញថា $F^{\prime }(c)=f^{\prime }[g(c)]\times g^{\prime }(c)$

តាមនិយមន័យ $F^{\prime }(c)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(c)]}{x-c}$

$=\underset{x\to c}{\lim }\left[\frac{f[g(x)]-f[g(c)]}{g(x)-g(c)}\times \frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right],g(x)\ne g(c)$

$=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(c)]}{g(x)-g(c)}\times \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)-g(c)}{x-c}$

$=f^{\prime }[g(c)]\times g^{\prime }(c)$ ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$F^{\prime }(c)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(c)]}{x-c}=\underset{x\to c}{\lim }\left[\frac{f[g(x)]-f[g(c)]}{g(x)-g(c)}\times \frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right],g(x)\ne g(c)$$

$$=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(c)]}{g(x)-g(c)}\times \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)-g(c)}{x-c}=f^{\prime }[g(c)]\times g^{\prime }(c)$$

1. ជំហានទី១
   ដាក់ឈ្មោះអនុគមន៍បណ្តាក់ ៖ $F(x)=f[g(x)]$ ។
   ហេតុអ្វី ដើម្បីបញ្ជាក់ យើងត្រូវមានឈ្មោះសម្រាប់អនុគមន៍ដែលត្រូវធ្វើដេរីវេ ។

2. ជំហានទី២
   សរសេរអ្វីដែលត្រូវបញ្ជាក់ ៖ $F^{\prime }(c)=f^{\prime }[g(c)]\times g^{\prime }(c)$ ។
   ហេតុអ្វី ការបញ្ជាក់ត្រូវចាប់ផ្តើមពីគោលដៅច្បាស់លាស់ ។

3. ជំហានទី៣
   អនុវត្តនិយមន័យនៃដេរីវេត្រង់ $x=c$ ៖ $F^{\prime }(c)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{F(x)-F(c)}{x-c}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(c)]}{x-c}$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យ ដែលជាចំណុចចាប់ផ្តើមតែមួយគត់សម្រាប់ការបញ្ជាក់ ។

4. ជំហានទី៤
   គុណនិងចែកដោយ $g(x)-g(c)$ ៖ គុណភាគយកនិងភាគបែងនឹង $g(x)-g(c)$ ដើម្បីបង្កើតផលធៀបពីរ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាល្បិច « គុណនឹង $1$ ក្នុងទម្រង់ពិសេស » ។ តម្លៃមិនប្រែប្រួល តែទម្រង់ប្រែ ហើយបង្ហាញអត្រាពីរដាច់ពីគ្នា ។

5. ជំហានទី៥
   កត់លក្ខខណ្ឌ $g(x)\ne g(c)$ សម្រាប់ $x\ne c$ ជិត $c$ ។
   ហេតុអ្វី បើ $g(x)=g(c)$ នោះភាគបែងថ្មីស្មើ $0$ ហើយការចែកមិនត្រឹមត្រូវ ។ សៀវភៅសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះច្បាស់ ។

6. ជំហានទី៦
   បំបែកលីមីតនៃផលគុណជាផលគុណលីមីត ៖ បើលីមីតទាំងពីរមាន នោះ $\lim (AB)=\lim A\times \lim B$ ។
   ហេតុអ្វី ច្បាប់លីមីតនៃផលគុណ ។ យើងដឹងថាលីមីតទី ២ មាន ព្រោះវាជានិយមន័យនៃ $g^{\prime }(c)$ ។

7. ជំហានទី៧
   សម្គាល់ផលធៀបទី ១ ជានិយមន័យនៃ $f^{\prime }[g(c)]$ ពេលអថេរ $u=g(x)$ ខិតទៅ $g(c)$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាចំណុចសំខាន់បំផុត ៖ ស្រទាប់ក្រៅត្រូវធ្វើដេរីវេត្រង់ចំណុច $u=g(c)$ មិនមែនត្រង់ $x$ ទេ ។

8. ជំហានទី៨
   បញ្ចប់ ៖ $F^{\prime }(c)=f^{\prime }[g(c)]\times g^{\prime }(c)$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាលទ្ធផលដែលត្រូវបញ្ជាក់ ។ ដូច្នេះច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ត្រូវបានបញ្ជាក់ ។

ចំណាំលើស្កេន ៖ ពាក្យមួយក្នុងបន្ទាត់ដំបូងនៃសម្រាយបញ្ហាអានមិនច្បាស់ ។ យើងរក្សាសញ្ញាសម្គាល់ [UNCLEAR] ដើម ហើយមិនបំពេញវាដោយការស្មាន ។ តាមបរិបទ ពាក្យនោះគួរជា « និយមន័យ » ។

ដូច្នេះ ៖ បើ $y=u^n$ ដែល $u$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ នោះ $\frac{dy}{dx}=n{u}^{n-1}\times \frac{d}{u}dx=n{u}^{n-1}\times u^{\prime }$ ។

សម្រាយបញ្ហា ៖ គេមាន $y=u^n$

គេបាន $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{d}{du}(u^n)\times \frac{du}{dx}=n{u}^{n-1}\times \frac{du}{dx}$ ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{d}{du}(u^n)\times \frac{du}{dx}=n{u}^{n-1}\times \frac{du}{dx}$$

1. ជំហានទី១
   ចាប់ផ្តើមពីច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$ ។
   ហេតុអ្វី $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $u$ ហើយ $u$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ដូច្នេះ អនុវត្តបាន ។

2. ជំហានទី២
   ជំនួស $\frac{dy}{du}$ ដោយ $\frac{d}{du}(u^n)$ ។
   ហេតុអ្វី ព្រោះ $y=u^n$ ជាអនុគមន៍ស្វ័យគុណធម្មតាធៀបនឹង $u$ ។

3. ជំហានទី៣
   អនុវត្តរូបមន្តស្វ័យគុណ $\frac{d}{du}(u^n)=n{u}^{n-1}$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជារូបមន្តដេរីវេដែលបានសិក្សានៅឆ្នាំទី ១ ។

4. ជំហានទី៤
   គុណនឹង $\frac{du}{dx}$ ដើម្បីបានលទ្ធផលចុងក្រោយ $n{u}^{n-1}\times \frac{du}{dx}$ ។
   ហេតុអ្វី កត្តា $u^{\prime }$ មិនត្រូវបំភ្លេចឡើយ ។ វាជាកំហុសញឹកញាប់បំផុតរបស់សិស្ស ។

ពិសេស ៖ ករណី $n=\frac{1}{2}$ គេបាន $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{u}^{\frac{1}{2}-1}\times u^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ ដូចនេះ $\frac{dy}{dx}=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ ។

$$n=\frac{1}{2}:\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{u}^{\frac{1}{2}-1}\times u^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$$

ហេតុអ្វីករណី $n=\frac{1}{2}$ សំខាន់? ព្រោះឫសការេជាស្វ័យគុណ $\frac{1}{2}$ ។ ដូច្នេះរាល់ពេលឃើញ $\sqrt{u}$ យើងអាចប្រើរូបមន្តតែមួយនេះ ។ ឧទាហរណ៍ បើ $u=x^2-1$ នោះ $u^{\prime }=2x$ ហើយ $y^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ ។

តារាងករណីពិសេសដែលត្រូវចងចាំ ៖ បើ $n=-1$ នោះ $y=\frac{1}{u}$ ហើយ $y^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$ ។ បើ $n=-2$ នោះ $y=\frac{1}{u^2}$ ហើយ $y^{\prime }=-\frac{2u^{\prime }}{u^3}$ ។ បើ $n=\frac{1}{3}$ នោះ $y=\sqrt[3]{u}$ ហើយ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{3\sqrt[3]{u^2}}$ ។

ដូច្នេះ ៖ បើ $y=\sin x$ នោះ $y^{\prime }=\cos x$

បើ $y=\cos x$ នោះ $y^{\prime }=-\sin x$

បើ $y=\sin u$ នោះ $y^{\prime }=u^{\prime }\cos u$

បើ $y=\cos u$ នោះ $y^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$ ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ ដេរីវេនៃ $\sin$ គឺ $\cos$ (គ្មានសញ្ញាដក) ។ ដេរីវេនៃ $\cos$ គឺ $-\sin$ (មានសញ្ញាដក) ។ ចំណុចនេះខុសគ្នាត្រង់សញ្ញា ហើយសិស្សច្រើនច្រឡំ ។ ចំណែកទម្រង់បណ្តាក់បន្ថែមកត្តា $u^{\prime }$ នៅខាងមុខ ។

ដំណើរការនៃការបញ្ជាក់ (សូមមើលឧទាហរណ៍ទី ៧ និងទី ៨ ក្នុងផ្នែក ៥) ៖

១. សរសេរនិយមន័យ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$ ។

២. ប្រើរូបមន្តបំលែងផលដកទៅផលគុណ $\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$ ។

៣. រៀបឡើងវិញដើម្បីឱ្យលេចកត្តា $\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$ ។

៤. ប្រើលីមីតពិសេស $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ ។

៥. បាន $y^{\prime }=\cos x$ ។

ដូច្នេះ ៖ បើ $y=\tan x$ នោះ $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$

បើ $y=\cot x$ នោះ $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$

បើ $y=\tan u$ នោះ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}=u^{\prime }(1+{\tan }^{2}u)$

បើ $y=\cot u$ នោះ $y^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}=-u^{\prime }(1+{\cot }^{2}u)$ ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ $\tan$ និង $\cot$ មិនមែនអនុគមន៍ថ្មីទេ ។ វាជាផលធៀប $\frac{\sin }{\cos }$ និង $\frac{\cos }{\sin }$ ។ ដូច្នេះ ដេរីវេរបស់វាកើតឡើងពីច្បាប់ផលធៀប ។ នេះជាហេតុអ្វីរូបមន្តមានភាគបែង ${\cos }^{2}x$ ឬ ${\sin }^{2}x$ ។

ទម្រង់ពីរសមមូលគ្នា ៖ $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$ ព្រោះ $\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$ ។ ដូចគ្នា $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\cot }^{2}x$ ។ ការជ្រើសរើសទម្រង់អាស្រ័យលើអ្វីដែលងាយជាងក្នុងលំហាត់នោះ ។

ដែនកំណត់ ៖ $\tan x$ កំណត់ពេល $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ ហើយ $\cot x$ កំណត់ពេល $x\ne k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$ ។ នៅចំណុចទាំងនោះ ដេរីវេគ្មាន ព្រោះអនុគមន៍ខ្លួនឯងគ្មានតម្លៃ ។

ដូច្នេះ ៖ ដេរីវេទី ២ នៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ កំណត់តាងដោយ $y^{\prime \prime }$ ឬ $f^{\prime \prime }(x)$ ឬ $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ ដេរីវេទី ២ គឺជាដេរីវេនៃដេរីវេ ។ យើងធ្វើដេរីវេពីរដង ។ ដងទី ១ បាន $f^{\prime }$ ដែលប្រាប់អត្រាប្រែប្រួល ។ ដងទី ២ បាន $f^{\prime \prime }$ ដែលប្រាប់អត្រាប្រែប្រួលនៃអត្រាប្រែប្រួល ។ ក្នុងរូបវិទ្យា បើ $f$ ជាចម្ងាយ នោះ $f^{\prime }$ ជាល្បឿន ហើយ $f^{\prime \prime }$ ជាសំទុះ ។

ចំណាំលើការតាង ៖ $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ មិនមែនមានន័យថា « ចែក $d^{2}y$ នឹង $d{x}^2$ » ទេ ។ វាជានិមិត្តសញ្ញាតែមួយ ដែលអានថា « ដេរីវេទី ២ នៃ $y$ ធៀបនឹង $x$ » ។ លេខ $2$ នៅលើ $d$ និងលើ $x$ គឺជាការរំលឹកថាយើងធ្វើដេរីវេពីរដង ។

ដូច្នេះ ៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ អាចមានដេរីវេខ្ពស់ជាងដេរីវេទី ១ គឺហៅ ដេរីវេបន្តបន្ទាប់ថា ដេរីវេទី 1 , ទី 2 , ... , ទី $n$ តាងដោយ $f^{\prime },f^{\prime \prime },f^{\prime \prime \prime },...,f^{(n)}$ ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ យើងអាចបន្តធ្វើដេរីវេដដែលៗ ។ ដងទី ៣ សរសេរ $f^{\prime \prime \prime }$ ។ តែចាប់ពីដងទី ៤ ទៅ ការសរសេរសញ្ញាបឋមច្រើនពេក ដូច្នេះគេប្រើវង់ក្រចក ៖ $f^{(4)}$ , $f^{(5)}$ , ... , $f^{(n)}$ ។ នេះជាការសន្មតរបស់សៀវភៅ ហើយត្រូវគោរពតាម ។

ចំណុចសំខាន់មួយ ៖ ចំពោះពហុធាដឺក្រេ $n$ ដេរីវេទី $n+1$ ស្មើ $0$ ជានិច្ច ។ ឧទាហរណ៍ ${\left(x^4\right)}^{(5)}=0$ ។ ហេតុអ្វី? ព្រោះរាល់ដងដែលធ្វើដេរីវេ ដឺក្រេថយមួយ ។ ពេលដឺក្រេដល់ $0$ អនុគមន៍ក្លាយជាថេរ ហើយដេរីវេនៃថេរគឺ $0$ ។

ចំណាំ ៖ គេប្រើដើម្បីរក $f^{(n)}$ ចាប់ពី $n=4$ តទៅ ។

ការពន្យល់បន្ថែម ៖ សៀវភៅចង់ឱ្យសិស្សច្បាស់ថា $f^{(4)}$ មិនមែន $f^{\prime \prime \prime \prime }$ ទេ ។ ទាំងពីរមានអត្ថន័យដូចគ្នា តែទម្រង់វង់ក្រចកជាទម្រង់ស្តង់ដារ ។ ក្នុងការប្រឡង សូមប្រើ $f^{(n)}$ ដើម្បីជៀសវាងការភ័ន្តច្រឡំ ។

សេចក្តីសង្ខេប

បើ $y=f(u)$ និង $u=g(x)$ នោះ $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$

ឬ $\frac{d}{dx}f[g(x)]=f^{\prime }[g(x)]\times g^{\prime }(x)$

បើ $y=u^n$ ដែល $u$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ នោះ $y^{\prime }=n{u}^{n-1}\times u^{\prime }$

បើ $f(x)=\sin x$ នោះ $f^{\prime }(x)=\cos x$

បើ $f(x)=\cos x$ នោះ $f^{\prime }(x)=-\sin x$

បើ $f(x)=\tan x$ នោះ $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$

បើ $f(x)=\cot x$ នោះ $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$

បើ $f(x)=\sin u$ នោះ $f^{\prime }(x)=u^{\prime }\cos u$

បើ $f(x)=\cos u$ នោះ $f^{\prime }(x)=-u^{\prime }\sin u$

បើ $f(x)=\tan u$ នោះ $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(1+{\tan }^{2}u)=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$

បើ $f(x)=\cot u$ នោះ $f^{\prime }(x)=-u^{\prime }(1+{\cot }^{2}u)=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$

បើ $f(x)$ មានដេរីវេបន្តបន្ទាប់រហូតដល់លំដាប់ $n$ កំណត់តាងដោយ $f^{(n)}(x)$ ដែល $f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x){]}^{\prime }$ ។

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx},\frac{d}{dx}f[g(x)]=f^{\prime }[g(x)]\times g^{\prime }(x)$$

$$y=u^n\Rightarrow y^{\prime }=n{u}^{n-1}\times u^{\prime }$$

$$f(x)=\sin x\Rightarrow f^{\prime }(x)=\cos x;f(x)=\cos x\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\sin x$$

$$f(x)=\tan x\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$$

$$f(x)=\cot x\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$$

$$f(x)=\sin u\Rightarrow f^{\prime }(x)=u^{\prime }\cos u;f(x)=\cos u\Rightarrow f^{\prime }(x)=-u^{\prime }\sin u$$

$$f(x)=\tan u\Rightarrow f^{\prime }(x)=u^{\prime }(1+{\tan }^{2}u)=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$$

$$f(x)=\cot u\Rightarrow f^{\prime }(x)=-u^{\prime }(1+{\cot }^{2}u)=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$$

$$f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x){]}^{\prime }$$

របៀបប្រើប្រអប់នេះ ៖ បន្ទាត់ទី ១ និងទី ២ ជារូបមន្តគណនា ។ បន្ទាត់ទី ៣ ដល់ទី ១០ ជាដេរីវេត្រីកោណមាត្រ ដែលបែងចែកជាពីរក្រុម ៖ ទម្រង់ផ្ទាល់ ($x$) និងទម្រង់បណ្តាក់ ($u$) ។ បន្ទាត់ចុងក្រោយជានិយមន័យបន្តវិញនៃដេរីវេលំដាប់ខ្ពស់ ។ បន្ទាត់ចុងក្រោយនេះក៏ជាឧបករណ៍គណនាផងដែរ ៖ $f^{(n)}=[f^{(n-1)}{]}^{\prime }$ មានន័យថាយើងគណនាម្តងមួយៗពីក្រោមឡើងលើ ។

ល្បឿននៃចលនាមួយនៅខណៈ : t គឺ $V(t)=S^{\prime }(t)=\frac{dS}{dt}$ ដែល $S(t)$ ជាចម្ងាយចរនៅខណៈ : t ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ $S(t)$ ប្រាប់ថាវត្ថុនៅចម្ងាយប៉ុន្មានពីចំណុចចាប់ផ្តើម នៅខណៈ $t$ ។ ដេរីវេ $S^{\prime }(t)$ ប្រាប់ថាចម្ងាយនោះកើនលឿនប៉ុណ្ណា ។ នោះហើយជាល្បឿន ។ ឯកតានៃ $V$ គឺឯកតាចម្ងាយចែកនឹងឯកតាពេល ឧទាហរណ៍ $m/s$ ។

សញ្ញារបស់ល្បឿនមានអត្ថន័យ ៖ បើ $V(t)>0$ វត្ថុផ្លាស់ទីក្នុងទិសវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ ធ្លាក់ចុះ បើទិសចុះក្រោមជាទិសវិជ្ជមាន) ។ បើ $V(t)<0$ វត្ថុផ្លាស់ទីក្នុងទិសអវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ ឡើងលើ) ។ បើ $V(t)=0$ វត្ថុឈប់មួយភ្លែត ដែលជាចំណុចកំពូលនៃការឡើងលើ ។

ចំណុះ ៖ សំទុះនៃចលនាខណៈ : $t$ គឺ $a(t)=\frac{dV}{dt}=V^{\prime }(t)$ ដែល $V(t)$ ជាល្បឿននៃចលនាខណៈ : $t$ ។

អត្ថន័យជាភាសាសាមញ្ញ ៖ សំទុះជាអត្រាប្រែប្រួលល្បឿន ។ បើល្បឿនកើន សំទុះវិជ្ជមាន ។ បើល្បឿនថយ សំទុះអវិជ្ជមាន ។ ដោយ $V=S^{\prime }$ យើងបាន $a=V^{\prime }=S^{\prime \prime }$ ។ ដូច្នេះសំទុះជាដេរីវេទី ២ នៃចម្ងាយ ។

ចំណាំលើការគណនា ៖ ក្នុងលំហាត់ភាគច្រើន គេឱ្យ $V(t)$ ជាផលធៀប ។ ដូច្នេះត្រូវប្រើច្បាប់ផលធៀប ៖

$$a(t)=V^{\prime }(t)=\frac{V_{\text{num}}^{\prime }(t)\cdot V_{\text{den}}(t)-V_{\text{num}}(t)\cdot V_{\text{den}}^{\prime }(t)}{{\left[V_{\text{den}}(t)\right]}^2}$$

ឧទាហរណ៍ $V(t)=\frac{80t}{t+5}$ នាំឱ្យ $a(t)=\frac{80(t+5)-80t}{(t+5{)}^2}=\frac{400}{(t+5{)}^2}$ ។ ចំណុចនេះឃើញច្បាស់ក្នុងឧទាហរណ៍ទី ២០៣ ។

$$a(t)=V^{\prime }(t)=\frac{V_{\text{num}}^{\prime }(t)\cdot V_{\text{den}}(t)-V_{\text{num}}(t)\cdot V_{\text{den}}^{\prime }(t)}{{\left[V_{\text{den}}(t)\right]}^2}$$

មេរៀនសង្ខេប

• ល្បឿននៃចលនាមួយនៅខណៈ : $t$ គឺ $V(t)=\frac{dS}{dt}=S^{\prime }(t)$ ដែល $S(t)$ ជាចម្ងាយចរនៅខណៈ : $t$ ។
• សំទុះនៃចលនាមួយនៅខណៈ : $t$ គឺ $a(t)=\frac{dV}{dt}=V^{\prime }(t)$ ដែល $V(t)$ ជាល្បឿននៃចលនាមួយនៅខណៈ : $t$ ។

នេះជាប្រអប់សង្ខេបរបស់មេរៀនទី ២ ។ វាមានតែពីរបន្ទាត់ តែគ្រប់លំហាត់ចលនាទាំងអស់ក្នុងជំពូកចេញពីវា ។ លំដាប់ការងារតែងតែដូចគ្នា ៖ (១) ធ្វើដេរីវេ $S$ ដើម្បីបាន $V$ ។ (២) ធ្វើដេរីវេ $V$ ដើម្បីបាន $a$ ។ (៣) ជំនួសតម្លៃ $t$ ដែលបានសួរ ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖ រកដេរីវេត្រង់ $x_0=2$ នៃអនុគមន៍ $y=x^2-1$ ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h{)}^2-1-(2^2-1)}{h}=h+4$$

$$f^{\prime }(2)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{h\to 0}{\lim }(h+4)=4$$

1. ជំហានទី១
   ជ្រើសទម្រង់ទី ៣ នៃនិយមន័យ ជាមួយ $x_0=2$ ៖ $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ ។
   ហេតុអ្វី អនុគមន៍ជាពហុធា ដូច្នេះទម្រង់ $h$ ងាយបំផុត ព្រោះការបំផាយកត្តាធ្វើបានស្អាត ។

2. ជំហានទី២
   គណនា $f(2)=2^2-1=3$ ជាមុន ។
   ហេតុអ្វី ភាគយកត្រូវការតម្លៃ $f(2)$ ជាចំនួនជាក់លាក់ ។

3. ជំហានទី៣
   បំផាយ $(2+h{)}^2=4+4h+h^2$ ។
   ហេតុអ្វី ប្រើ $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ ដើម្បីឃើញថាតួថេរ $4$ នឹងកាត់គ្នា ។

4. ជំហានទី៤
   ដាក់ក្នុងភាគយក ៖ $(2+h{)}^2-1-(2^2-1)=(4+4h+h^2)-1-3=4h+h^2$ ។
   ហេតុអ្វី តួថេរ $4-1-3=0$ ដូច្នេះគ្មានតួថេរទេ ។ នេះជាសញ្ញាថាភាគយកមានកត្តា $h$ ។

5. ជំហានទី៥
   ចែកនឹង $h$ ៖ $\frac{4h+h^2}{h}=4+h$ ចំពោះ $h\ne 0$ ។
   ហេតុអ្វី ក្នុងលីមីត $h\ne 0$ ដូច្នេះការចែកត្រឹមត្រូវ ។ សៀវភៅសរសេរលទ្ធផលជា $h+4$ ដែលដូចគ្នា ។

6. ជំហានទី៦
   ដាក់លីមីត $h\to 0$ ៖ $f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }(h+4)=4$ ។
   ហេតុអ្វី $h+4$ ជាពហុធា ដូច្នេះគេគ្រាន់តែជំនួស $h=0$ ។

7. ជំហានទី៧
   ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយរូបមន្ត ៖ ${\left(x^2-1\right)}^{\prime }=2x$ ដូច្នេះត្រង់ $x=2$ គេបាន $2\times 2=4$ ។
   ហេតុអ្វី វិធីពីរផ្តល់ $4$ ដូចគ្នា ដូច្នេះការគណនាតាមនិយមន័យត្រឹមត្រូវ ។

ចម្លើយ $f^{\prime }(2)=4$ ។

ចំណោទ ២. ដេរីវេនៃអនុគមន៍សំយោគ

ឧទាហរណ៍ ៖ សហគ្រាសផលិតសម្ភារៈប្រើប្រាស់មួយ បានចំណាយប្រាក់ចំនួន ១៨ ពាន់រៀល ក្នុងការផលិតសម្ភារៈមួយគ្រឿង ហើយរយៈពេល $1h$ សហគ្រាសផលិតសម្ភារៈបានចំនួន ៤០ គ្រឿង ។

គេបានអត្រាមធ្យមចំណាយសរុបក្នុងរយៈពេល $1h$ គឺ $(18\text{ពាន់រៀល}/1\text{គ្រឿង})\times (40\text{គ្រឿង}/1h)=720\text{ពាន់រៀល}$ ។

ដូចនេះ បរិមាណប្រាក់ចំណាយមានអត្រា $720$ ពាន់រៀល$/1h$ ។

បើ $x$ ជាបរិមាណសម្ភារៈដែលបានផលិត ហើយ $t$ ជារយៈពេលគិតជាម៉ោង នោះក្នុងករណីខាងលើគេបានប្រាក់ចំណាយជាអនុគមន៍នៃបរិមាណសម្ភារៈ $y=f(x)$ និងបរិមាណសម្ភារៈជាអនុគមន៍នៃរយៈពេល $x=g(t)$ ។

គេបាន $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times \frac{dx}{dt}$ ដែល $\frac{dy}{dt}$ ជាអត្រាមធ្យមប្រាក់ចំណាយក្នុង $1h$

$\frac{dy}{dx}$ ជាអត្រាមធ្យមប្រាក់ចំណាយក្នុង $1$ គ្រឿង

$\frac{dx}{dt}$ ជាអត្រាមធ្យមប្រាក់ចំណាយលើបរិមាណសម្ភារៈផលិតបានក្នុង $1h$ ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$\left(\frac{18\text{ពាន់រៀល}}{1\text{គ្រឿង}}\right)\times \left(\frac{40\text{គ្រឿង}}{1h}\right)=720\text{ពាន់រៀល};y=f(x),x=g(t)$$

$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times \frac{dx}{dt}$$

1. ជំហានទី១
   កំណត់បរិមាណបី ៖ ប្រាក់ចំណាយ $y$ , បរិមាណសម្ភារៈ $x$ , រយៈពេល $t$ ។
   ហេតុអ្វី បញ្ហានិយាយអំពីបរិមាណបីដែលពឹងគ្នាជាខ្សែសង្វាក់ ៖ $t\to x\to y$ ។ ត្រូវឱ្យឈ្មោះច្បាស់មុនគណនា ។

2. ជំហានទី២
   សរសេរអត្រាចំណាយក្នុងមួយគ្រឿង ៖ $\frac{dy}{dx}=\frac{18\text{ពាន់រៀល}}{1\text{គ្រឿង}}$ ។
   ហេតុអ្វី $y=f(x)$ ជាចំណាយជាអនុគមន៍នៃបរិមាណ ដូច្នេះ $\frac{dy}{dx}$ ជាចំណាយក្នុងមួយគ្រឿង ។

3. ជំហានទី៣
   សរសេរអត្រាផលិតក្នុងមួយម៉ោង ៖ $\frac{dx}{dt}=\frac{40\text{គ្រឿង}}{1h}$ ។
   ហេតុអ្វី $x=g(t)$ ជាបរិមាណជាអនុគមន៍នៃពេល ។

4. ជំហានទី៤
   គុណអត្រាទាំងពីរ ៖ $\left(\frac{18}{1}\right)\times \left(\frac{40}{1}\right)=720$ ពាន់រៀល$/1h$ ។
   ហេតុអ្វី ឯកតា « គ្រឿង » កាត់គ្នា ហើយនៅសល់ « ពាន់រៀល/ម៉ោង » ។ នេះជាការពិនិត្យឯកតាដ៏សាមញ្ញ ។

5. ជំហានទី៥
   សរសេរជាច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ៖ $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times \frac{dx}{dt}$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាការបង្ហាញថាការគុណអត្រាខាងលើ គឺពិតជាច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ដែលយើងនឹងរៀនបន្តិចទៀត ។

6. ជំហានទី៦
   បញ្ជាក់អត្ថន័យតួនីមួយៗ ៖ $\frac{dy}{dt}$ ក្នុង $1h$ , $\frac{dy}{dx}$ ក្នុង $1$ គ្រឿង , $\frac{dx}{dt}$ លើបរិមាណក្នុង $1h$ ។
   ហេតុអ្វី ការយល់អត្ថន័យតួនីមួយៗជួយឱ្យមិនដាក់តួខុសកន្លែង ។

ចម្លើយ អត្រាចំណាយសរុប $720$ ពាន់រៀល$/1h$ , ហើយ $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times \frac{dx}{dt}$ ។

ចំណោទ លំហាត់គំរូ ៖ គេឱ្យអនុគមន៍ $y=(5x+1{)}^3$ ។ គណនា $\frac{dy}{dx}$

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$y=(5x+1{)}^3,u=5x+1,y=u^3,\frac{du}{dx}=5,\frac{dy}{du}=3u^2$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=3u^2\times 5=15u^2⟹\frac{dy}{dx}=15(5x+1{)}^2$$

1. ជំហានទី១
   តាង $u=5x+1$ នោះ $y=u^3$ ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវបំបែកស្រទាប់ក្នុង និងស្រទាប់ក្រៅ ដើម្បីអនុវត្តច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ។

2. ជំហានទី២
   គណនា $\frac{du}{dx}=5$ ។
   ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $5x+1$ គឺមេគុណ $5$ ព្រោះដេរីវេនៃថេរគឺ $0$ ។

3. ជំហានទី៣
   គណនា $\frac{dy}{du}=3u^2$ តាមរូបមន្តស្វ័យគុណ $n=3$ ។
   ហេតុអ្វី $n{u}^{n-1}=3u^{3-1}=3u^2$ ។ $n{u}^{n-1}=3u^{3-1}=3u^2$ .

4. ជំហានទី៤
   គុណ ៖ $\frac{dy}{dx}=3u^2\times 5=15u^2$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាខ្លឹមសារនៃច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ៖ ដេរីវេស្រទាប់ក្រៅ គុណ ដេរីវេស្រទាប់ក្នុង ។

5. ជំហានទី៥
   ជំនួស $u=5x+1$ វិញ ៖ $\frac{dy}{dx}=15(5x+1{)}^2$ ។
   ហេតុអ្វី ចម្លើយត្រូវសរសេរក្នុងអថេរដើម $x$ មិនមែនក្នុង $u$ ទេ ។

6. ជំហានទី៦
   ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយបំផាយ ៖ $(5x+1{)}^3=125x^3+75x^2+15x+1$ ដូច្នេះដេរីវេគឺ $375x^2+150x+15=15\left(25x^2+10x+1\right)=15(5x+1{)}^2$ ។
   ហេតុអ្វី វិធីពីរផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា ដូច្នេះចម្លើយត្រឹមត្រូវ ។

ចម្លើយ $\frac{dy}{dx}=15(5x+1{)}^2$ ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖ គេឱ្យអនុគមន៍ $y=(3x^2+5x-2{)}^3$

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$y=(3x^2+5x-2{)}^3,u=3x^2+5x-2,y=u^3,\frac{du}{dx}=6x+5,\frac{dy}{du}=3u^2$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=3u^2\times (6x+5)=3(3x^2+5x-2{)}^2(6x+5)$$

1. ជំហានទី១
   តាង $u=3x^2+5x-2$ នោះ $y=u^3$ ។
   ហេតុអ្វី ស្រទាប់ក្នុងជាពហុធាដឺក្រេ ២ ស្រទាប់ក្រៅជាស្វ័យគុណ ៣ ។

2. ជំហានទី២
   គណនា $\frac{du}{dx}=6x+5$ ។
   ហេតុអ្វី ${\left(3x^2\right)}^{\prime }=6x$ , $(5x{)}^{\prime }=5$ , $(-2{)}^{\prime }=0$ ។ ${\left(3x^2\right)}^{\prime }=6x$, $(5x{)}^{\prime }=5$, $(-2{)}^{\prime }=0$.

3. ជំហានទី៣
   $\frac{dy}{du}=3u^2$ តាម ។
   ហេតុអ្វី $n=3$ ។

4. ជំហានទី៤
   គុណ រួចជំនួស $u$ វិញ ៖ $\frac{dy}{dx}=3u^2(6x+5)=3{\left(3x^2+5x-2\right)}^2(6x+5)$ ។
   ហេតុអ្វី ការជំនួស $u$ ត្រូវធ្វើនៅចុងក្រោយ ដើម្បីកុំឱ្យភ្លេច $u^{\prime }$ ។

5. ជំហានទី៥
   ពិនិត្យដែន ៖ ចម្លើយត្រឹមត្រូវចំពោះគ្រប់ $x\in \mathbb{R}$ ព្រោះពហុធាមានដេរីវេគ្រប់កន្លែង ។
   ហេតុអ្វី គ្មានឫស ឬភាគបែង ដែលអាចបង្កើតបញ្ហា ។

ចម្លើយ $\frac{dy}{dx}=3(3x^2+5x-2{)}^2(6x+5)$ ។

ចំណោទ លំហាត់គំរូ១ : គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=(x^2-4x{)}^6$

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$y^{\prime }=6u^5\times u^{\prime }=6(x^2-4x{)}^5\times (x^2-4x{)}^{\prime }=6(x^2-4x{)}^5\times (2x-4)=12(x-2)(x^2-4x{)}^5$$

1. ជំហានទី១
   តាង $u=x^2-4x$ នោះ $y=u^6$ ។
   ហេតុអ្វី ការតាងធ្វើឱ្យឃើញស្រទាប់ពីរច្បាស់ ។

2. ជំហានទី២
   អនុវត្ត $y^{\prime }=6u^5\times u^{\prime }$ តាម ជាមួយ $n=6$ ។
   ហេតុអ្វី $n{u}^{n-1}=6u^5$ ។ $n{u}^{n-1}=6u^5$.

3. ជំហានទី៣
   គណនា $u^{\prime }=(x^2-4x{)}^{\prime }=2x-4$ ។
   ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃពហុធា គឺដេរីវេតួនីមួយៗ ។

4. ជំហានទី៤
   សរសេរ $2x-4=2(x-2)$ ។
   ហេតុអ្វី ការបំផាយកត្តាធ្វើឱ្យចម្លើយស្អាត ហើយសៀវភៅធ្វើដូច្នេះ ។

5. ជំហានទី៥
   គុណ ៖ $6(x^2-4x{)}^5\times 2(x-2)=12(x-2)(x^2-4x{)}^5$ ។
   ហេតុអ្វី $6\times 2=12$ ។ កត្តា $(x-2)$ ដាក់ខាងមុខ ព្រោះវាជាពហុធាដឺក្រេ ១ សាមញ្ញ ។

ចម្លើយ $y^{\prime }=12(x-2)(x^2-4x{)}^5$ ។

ចំណោទ លំហាត់គំរូ២ : គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=3\sqrt[3]{x^2-3x+1}$

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$y=3\sqrt[3]{x^2-3x+1}=3(x^2-3x+1{)}^{\frac{1}{3}},u=x^2-3x+1,y=3u^{\frac{1}{3}}$$

$$y^{\prime }=3\times \frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}\times u^{\prime }=(x^2-3x+1{)}^{-\frac{2}{3}}\times (x^2-3x+1{)}^{\prime }=(x^2-3x+1{)}^{-\frac{2}{3}}\times (2x-3)$$

$$=\frac{2x-3}{(x^2-3x+1{)}^{\frac{2}{3}}}⟹y^{\prime }=\frac{2x-3}{\sqrt[3]{(x^2-3x+1{)}^2}}$$

1. ជំហានទី១
   បំលែងឫសគូបទៅស្វ័យគុណសនិទាន ៖ $y=3\sqrt[3]{x^2-3x+1}=3(x^2-3x+1{)}^{\frac{1}{3}}$ ។
   ហេតុអ្វី រូបមន្ត $u^n$ ប្រើបានតែពេលអនុគមន៍សរសេរជាស្វ័យគុណ ។

2. ជំហានទី២
   តាង $u=x^2-3x+1$ នោះ $y=3u^{\frac{1}{3}}$ ។
   ហេតុអ្វី មេគុណ $3$ នៅខាងក្រៅជាថេរ ដូច្នេះវានៅដដែលពេលធ្វើដេរីវេ ។

3. ជំហានទី៣
   អនុវត្ត $y^{\prime }=3\times \frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}\times u^{\prime }$ ។
   ហេតុអ្វី $n=\frac{1}{3}$ ដូច្នេះ $n{u}^{n-1}=\frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}$ ។

4. ជំហានទី៤
   សម្រួលមេគុណ ៖ $3\times \frac{1}{3}=1$ ដូច្នេះ $y^{\prime }=u^{-\frac{2}{3}}\times u^{\prime }$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាហេតុអ្វីសៀវភៅសរសេរបន្ទាត់បន្ទាប់ដោយគ្មានលេខ $3$ នៅមុខ ។

5. ជំហានទី៥
   គណនា $u^{\prime }=(x^2-3x+1{)}^{\prime }=2x-3$ រួចគុណ ៖ $y^{\prime }=(x^2-3x+1{)}^{-\frac{2}{3}}(2x-3)$ ។
   ហេតុអ្វី ស្វ័យគុណអវិជ្ជមានអាចរក្សាទុកក្នុងភាគយក ឬផ្លាស់ទៅភាគបែង ។

6. ជំហានទី៦
   សរសេរជាផលធៀប រួចត្រឡប់ទៅឫសវិញ ៖ $y^{\prime }=\frac{2x-3}{(x^2-3x+1{)}^{\frac{2}{3}}}=\frac{2x-3}{\sqrt[3]{(x^2-3x+1{)}^2}}$ ។
   ហេតុអ្វី $u^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$ ហើយ $u^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{u^2}$ ។ ទម្រង់ឫសជាទម្រង់ចុងក្រោយរបស់សៀវភៅ ។

ចម្លើយ $y^{\prime }=\frac{2x-3}{\sqrt[3]{(x^2-3x+1{)}^2}}$ ។

ចំណោទ ៣. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

៣.១. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុស

ឧទាហរណ៍ ១ : គេឱ្យអនុគមន៍ $y=\sin x$ កំណត់ចំពោះ $x\in \mathbb{R}$

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\sin \frac{h}{2}\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)}{h}$$

$$=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\right]=1\times \cos x=\cos x$$

1. ជំហានទី១
   សរសេរនិយមន័យនៃដេរីវេត្រង់ $x$ ៖ $y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$ ។
   ហេតុអ្វី សៀវភៅបញ្ជាក់រូបមន្ត $\sin$ ពីនិយមន័យ មិនមែនគ្រាន់តែប្រកាសវា ។

2. ជំហានទី២
   ប្រើរូបមន្ត $\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$ ជាមួយ $p=x+h$ និង $q=x$ ។
   ហេតុអ្វី ភាគយកមានទម្រង់ $0/0$ ។ ការបំលែងទៅផលគុណបង្កើតកត្តា $\sin \frac{h}{2}$ ដែលអាចកាត់នឹង $h$ ។

3. ជំហានទី៣
   គណនា $\frac{p-q}{2}=\frac{h}{2}$ និង $\frac{p+q}{2}=x+\frac{h}{2}$ ដូច្នេះភាគយកស្មើ $2\sin \frac{h}{2}\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាការជំនួសត្រង់ៗ គ្មានល្បិច ។