លីមីត

ពេលយើងសរសេរ $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ យើងសួរថា ៖ «បើ $x$ ចូលទៅជិត $a$ ខ្លាំងប៉ុណ្ណា $f(x)$ ចូលទៅជិត $L$ ខ្លាំងប៉ុណ្ណោះ?» ។ តម្លៃ $f(a)$ ខ្លួនឯងមិនសំខាន់ទេ ។ អនុគមន៍អាចមិនកំណត់ត្រង់ $a$ ក៏បាន តែនៅមានលីមីត ។

សត្រូវ (ឬគ្រូ) ជ្រើសរើសទំហំខុសតូច $\epsilon >0$ ណាមួយ ។ យើងត្រូវរក $\delta >0$ មួយ ដែលធានាថា «បើ $x$ នៅចម្ងាយតិចជាង $\delta$ ពី $a$ នោះ $f(x)$ ឋិតក្នុងចម្ងាយតិចជាង $\epsilon$ ពី $L$» ។ បើយើងរក $\delta$ បានគ្រប់ $\epsilon$ នោះលីមីតពិតជាមាន ។

បើ $x$ ចូលពីខាងឆ្វេងផ្តល់តម្លៃមួយ ហើយចូលពីខាងស្តាំផ្តល់តម្លៃមួយផ្សេង នោះលីមីតពីរខាងមិនមានទេ ។ ឧទាហរណ៍ $\frac{3}{x-2}$ នៅ $x=2$ ៖ ខាងឆ្វេងទៅ $-\infty$ ខាងស្តាំទៅ $+\infty$ ។

ពេលជំនួសហើយឃើញ $\frac{0}{0}$ នោះមានន័យថា «នៅមានការងារត្រូវធ្វើ» ។ យើងត្រូវបំបែកជាផលគុណកត្តា សម្រួលកត្តារួម ឬគុណចែកនឹងកន្សោមផ្សំស្រប់ រួចទើបគណនាឡើងវិញ ។ រាល់ទម្រង់មិនកំណត់មានវិធីរៀងៗខ្លួន ។

លីមីត $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ ពិតតែពេល $x$ ជារ៉ាដ្យង់ ។ បើ $x$ ជាដឺក្រេ តម្លៃនឹងខុស ។ ដូចគ្នា រាល់ការគណនាលីមីតត្រីកោណមាត្រក្នុងមេរៀននេះសន្មតថាមុំគិតជារ៉ាដ្យង់ ។

ពេល $x\to +\infty$ នោះ $\frac{e^x}{x^n}\to +\infty$ គ្រប់ $n>0$ តែ $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$ ។ នេះជាការប្រៀបធៀបកម្លាំងលូតលាស់ ហើយវាជាគន្លឹះដោះលំហាត់ច្រើន ។

អនុគមន៍ជាប់ត្រង់ $c$ ពេលគូសក្រាបមិនលើកខ្មៅដៃ ហើយតម្លៃដែលឃើញត្រូវស្មើនឹងលីមីត ។ លក្ខខណ្ឌបី ៖ $f(c)$ មាន លីមីតមាន ហើយវាស្មើគ្នា ។ ខ្វះមួយ គឺដាច់ ។

បើអនុគមន៍ជាប់លើ $[a,b]$ ហើយ $f(a)$ និង $f(b)$ មានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា នោះក្រាបត្រូវកាត់អ័ក្ស $x$ យ៉ាងតិចម្តង ។ ដូចនេះសមីការ $f(x)=0$ មានឫសយ៉ាងតិចមួយ ។ យើងមិនចាំបាច់ដោះសមីការទេ ។

យើងបានសិក្សារួចមកហើយ នៅថ្នាក់ទី ៚ [UNCLEAR: លេខថ្នាក់ពីរខ្ទង់ បោះពុម្ពជាសញ្ញាតូចដែលអានមិនច្បាស់] ពីបញ្ញត្តិមូលដ្ឋាននៃលីមីតនិងប្រមាណវិធីលើលីមីតរបស់អនុគមន៍ពីជគណិត ។

នៅក្នុងជំពូកនេះ គេនិងសិក្សាបន្តពីលីមីត មានលីមីតនៃអនុគមន៍មិនពីជគណិត ដូចជា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល អនុគមន៍លោការីត និងសិក្សាពីអនុគមន៍ដាប ។

បន្ទាប់ពីទទួលបានបញ្ញត្តិនៃលីមីតនិងបំណិនក្នុងការគណនាលីមីត និងភាពជាប់នៃអនុគមន៍នៅនោះមក គេអាចប្រើប្រាស់បំណិននេះ ក្នុងការសិក្សាអចិរភាពនិងសង្កាត់ការនៃអនុគមន៍ [UNCLEAR: ឃ្លាចុងក្រោយនៅគែមបាតទំព័រ «រួចអាស្រ័យក្រោយ…» ប្រយោគត្រូវកាត់ដោយការស្កេន] ។

ពន្យល់បន្ថែម «អនុគមន៍ពីជគណិត» គឺពហុធា អនុគមន៍សនិទាន និងឫស ។ «អនុគមន៍មិនពីជគណិត» គឺ $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$, $\ln x$ ។ ជំពូកនេះបន្ថែមអនុគមន៍ទាំងនោះលើអ្វីដែលយើងដឹងរួច ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

វត្ថុបំណង

☐ បង្ហាញលីមីតដោយប្រើនិយមន័យ ☐ គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍អសនិទាននិងអនុគមន៍បណ្តាក់ ☐ គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍មិនពីជគណិត ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

និយមន័យ ៖ អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $L$ កាលណា $x$ ខិតជិត $a$ បើគ្រប់ចំនួន $\epsilon >0$ មានចំនួន $\delta >0$ ដែល $0<|x-a|<\delta$ នាំឱ្យ $|f(x)-L|<\epsilon$ ។

គេសរសេរ ៖ $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ ។

ពន្យល់ពាក្យបច្ចេកទេស $\epsilon$ (អេបស៊ីឡុន epsilon) គឺជាទំហំខុសដែលអនុញ្ញាត ។ $\delta$ (ដែលតា delta) គឺជាចម្ងាយជុំវិញ $a$ ។ លក្ខខណ្ឌ $0<|x-a|$ មានន័យថាយើងមិនខ្វល់ពី $x=a$ ទេ ។

ឧទាហរណ៍បង្ហាញអត្ថន័យ បើគេឱ្យ $\epsilon =0.2$ ហើយយើងរក $\delta =0.1$ បាន នោះគ្រប់ $x$ ក្នុងចន្លោះ $(a-0.1,a+0.1)$ ផ្តល់ $f(x)$ ក្នុង $(L-0.2,L+0.2)$ ។ បើគេឱ្យ $\epsilon$ តូចជាង យើងក៏ត្រូវរក $\delta$ តូចជាងដែរ ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

និយមន័យ ៖ គេថាអនុគមន៍ $f$ ខិតទៅ $+\infty$ (ឬ $-\infty$) កាលណា $x$ ខិតទៅជិត $a$ បើចំពោះគ្រប់ចំនួន $M>0$ មាន $\delta >0$ ដែល $0<|x-a|<\delta$ នាំឱ្យ $f(x)>M$ (ឬ $f(x)<-M$) ។

គេសរសេរ ៖ $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty$ ឬ $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\infty$ ។

ចំណាំ «លីមីតអនន្ត» មិនមែនជាចំនួនទេ ។ វាជាការពិពណ៌នាអំពីឥរិយាបទ ៖ តម្លៃលូតលាស់ ឬធ្លាក់ចុះដោយគ្មានទីបញ្ចប់ ។ ដូចនេះ «លីមីតស្មើ $+\infty$» មិនមានន័យថាលីមីតមានជាចំនួនពិតទេ ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

និយមន័យ ៖ អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $L$ កាលណា $x$ ខិតទៅ $+\infty$ (ឬ $-\infty$) បើចំពោះគ្រប់ចំនួន $\epsilon >0$ មាន $N>0$ ដែល $x>N$ (ឬ $x<-N$) នាំឱ្យ $|f(x)-L|<\epsilon$ ។

គេសរសេរ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=L$ ឬ $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=L$ ។

ពន្យល់ នៅទីនេះតួរបស់ $\delta$ ត្រូវជំនួសដោយ $N$ ៖ ជំនួសឱ្យ «នៅជិត $a$» យើងនិយាយថា «ធំជាង $N$» ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook (two bullets).

និយមន័យ ៖

• អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $+\infty$ កាលណា $x$ ខិតទៅ $+\infty$ បើចំពោះគ្រប់ $M>0$ មាន $N>0$ ដែល $x>N$ នាំឱ្យ $f(x)>M$ ។ គេសរសេរ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ ។

• អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $+\infty$ កាលណា $x$ ខិតទៅ $-\infty$ បើចំពោះគ្រប់ $M>0$ មាន $N>0$ ដែល $x<-N$ នាំឱ្យ $f(x)>M$ ។ គេសរសេរ $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ ។

បើ $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$, $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=M$ និង $\underset{x\to a}{\lim }h(x)=N$ បើយើង $L$, $M$, $N$ ជាចំនួនពិត គេបាន

ក. $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L\pm M$ ដែល ($a$ អាចជាចំនួនកំណត់ ឬអនន្ត)

ខ. $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)+g(x)-h(x)]=L+M-N$

គ. $\underset{x\to a}{\lim }kf(x)=kL$ , $k$ ជាចំនួនថេរ

ឃ. $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)]=L\cdot M\cdot N$

ង. $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}=\frac{L}{M}$ ដែល $M\ne 0$ , $g(a)\ne 0$

ច. $\underset{x\to a}{\lim }[f(x){]}^n=L^n$ ដែល $n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ។

ចំណាំ លក្ខខណ្ឌសំខាន់បំផុតគឺ $M\ne 0$ ក្នុងច្បាប់ចែក ។ បើ $M=0$ យើងមិនអាចប្រើច្បាប់នេះបានទេ ហើយត្រូវវិភាគបន្ថែម ។

លក្ខណៈ ៖ ដោយប្រើនិយមន័យចូរបង្ហាញថា ៖

ក. $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{x}=\sqrt{2}$

ខ. $\underset{x\to 0,x<0}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. បង្ហាញ $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{x}=\sqrt{2}$ ។

1. ជំហានទី១ — សរសេរភាពខុសដែលត្រូវបង្ហាញតូច
   $|\sqrt{x}-\sqrt{2}|$ ។

ហេតុអ្វី និយមន័យ ទាមទារ $|f(x)-L|<\epsilon$ ដែលនៅទីនេះ $f(x)=\sqrt{x}$ និង $L=\sqrt{2}$ ។

2. ជំហានទី២ — គុណចែកនឹងកន្សោមផ្សំស្រប់
   

$$|\sqrt{x}-\sqrt{2}|=\frac{|x-2|}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$$

ហេតុអ្វី $(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})=x-2$ ។ ការគុណចែកនឹងចំនួនវិជ្ជមានមួយមិនប្តូរតម្លៃទេ ។

3. ជំហានទី៣ — ធ្វើឱ្យភាគបែងតូចជាងគេ
   សម្រាប់ $x>0$ គេបាន $\sqrt{x}+\sqrt{2}>\sqrt{2}$ ដូចនេះ

$$|\sqrt{x}-\sqrt{2}|<\frac{|x-2|}{\sqrt{2}}$$

ហេតុអ្វី បើភាគបែងធំជាង $\sqrt{2}$ នោះប្រភាគតូចជាង $\frac{|x-2|}{\sqrt{2}}$ ។ យើងធ្វើឱ្យកន្សោមធំជាងមុន ដើម្បីងាយគ្រប់គ្រង ។

4. ជំហានទី៤ — ជ្រើសរើស $\delta$
   យក $\delta =\epsilon \sqrt{2}$ ។ បើ $0<|x-2|<\delta$ នោះ

$$|\sqrt{x}-\sqrt{2}|<\frac{\delta }{\sqrt{2}}=\epsilon$$

ហេតុអ្វី យើងដោះវិសមភាព $\frac{|x-2|}{\sqrt{2}}<\epsilon$ រក $|x-2|$ ។ ចម្លើយ $\delta$ អាចជាចំនួនតូចជាងក៏បាន ព្រោះតម្រូវការគឺ «យ៉ាងហោចណាស់មាន $\delta$ មួយ» ។

5. ជំហានទី៥ — សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
   គ្រប់ $\epsilon >0$ មាន $\delta =\epsilon \sqrt{2}>0$ ដែល $0<|x-2|<\delta$ នាំឱ្យ $|\sqrt{x}-\sqrt{2}|<\epsilon$ ។ ដូចនេះ $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{x}=\sqrt{2}$ ។

ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខខណ្ឌពេញលេញនៃនិយមន័យ គ្មានខ្វះ ។

ខ. បង្ហាញ $\underset{x\to 0,x<0}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$ ។

1. ជំហានទី១ — យក $M>0$ តាមអំពើចិត្ត
   ត្រូវរក $\delta >0$ ដែល $-\delta <x<0$ នាំឱ្យ $\frac{1}{x}<-M$ ។

ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យលីមីតអនន្ត ជាមួយ $f(x)<-M$ ។

2. ជំហានទី២ — ដោះវិសមភាព
   ដោយ $x<0$ គុណវិសមភាពនឹង $x$ បញ្ច្រាសសញ្ញា ៖ $\frac{1}{x}<-M⟺1>-Mx⟺x>-\frac{1}{M}$ ។

ហេតុអ្វី ការគុណវិសមភាពនឹងចំនួនអវិជ្ជមានបញ្ច្រាសទិសវិសមភាព ។ នេះជាកំហុសញឹកញាប់បំផុត ។

3. ជំហានទី៣ — ជ្រើសរើស $\delta$
   យក $\delta =\frac{1}{M}$ ។ បើ $-\frac{1}{M}<x<0$ នោះ $\frac{1}{x}<-M$ ។

ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌ $-\delta <x<0$ គឺស្មើនឹង $x>-\delta =-\frac{1}{M}$ ដែលជាអ្វីដែលយើងទើបរកឃើញ ។

4. ជំហានទី៤ — សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
   គ្រប់ $M>0$ មាន $\delta =\frac{1}{M}$ ដូចនេះ $\underset{x\to 0,x<0}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$ ។

ហេតុអ្វី យើងបានបង្ហាញគ្រប់ជំហាននៃនិយមន័យ ។

លក្ខណៈ ៖ បង្ហាញថា

ក. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=2$

ខ. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-x^2}{3x+5}=-\infty$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=2$ ។

1. ជំហានទី១ — បង្ហាញភាពខុស
   $\frac{2x+1}{x-1}-2=\frac{2x+1-2(x-1)}{x-1}=\frac{3}{x-1}$ ។

ហេតុអ្វី និយមន័យ ត្រូវការ $\left|\frac{2x+1}{x-1}-2\right|<\epsilon$ ។ ការដាក់ភាគបែងរួមធ្វើឱ្យឃើញទំហំពិត ។

2. ជំហានទី២ — សម្រាប់ $x>2$ ធ្វើឱ្យភាគបែងតូចជាងគេ
   បើ $x>2$ នោះ $x-1>1$ ដូចនេះ $\frac{3}{x-1}<3$ មិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ត្រូវការតូចជាង $\epsilon$ ។ យើងប្រើ $x-1>\frac{x}{2}$ ពេល $x>2$ ដូចនេះ $\frac{3}{x-1}<\frac{6}{x}$ ។

ហេតុអ្វី $\frac{6}{x}<\epsilon ⟺x>\frac{6}{\epsilon }$ ដែលជាលក្ខខណ្ឌ $x>N$ ត្រឹមត្រូវ ។

3. ជំហានទី៣ — ជ្រើសរើស $N$
   យក $N=\max \left(2,\frac{6}{\epsilon }\right)$ ។ បើ $x>N$ នោះ $\left|\frac{2x+1}{x-1}-2\right|<\epsilon$ ។

ហេតុអ្វី ត្រូវធានាទាំង $x>2$ (សម្រាប់ការប៉ាន់) និង $x>\frac{6}{\epsilon }$ (សម្រាប់ $\epsilon$) ។ ការយកតម្លៃធំជាងក្នុងចំណោមទាំងពីរធានាទាំងពីរ ។

4. ជំហានទី៤ — សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
   ដូចនេះ $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=2$ ។

ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យ $\epsilon$–$N$ ពេញលេញ ។

ខ. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-x^2}{3x+5}=-\infty$ ។

1. ជំហានទី១ — ដាក់ដឺក្រេខ្ពស់ជាកត្តារួម
   

$$\frac{2x-x^2}{3x+5}=\frac{x^2\left(\frac{2}{x}-1\right)}{x\left(3+\frac{5}{x}\right)}=\frac{x\left(\frac{2}{x}-1\right)}{3+\frac{5}{x}}$$

ហេតុអ្វី នេះជាវិធានសម្រាប់ទម្រង់ $\frac{\infty }{\infty }$ ។

2. ជំហានទី២ — ពិនិត្យកត្តានីមួយៗ
   $\frac{2}{x}\to 0$ ដូចនេះ $\frac{2}{x}-1\to -1$ ; ហើយ $3+\frac{5}{x}\to 3$ ។

ហេតុអ្វី $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ ជាលីមីតមូលដ្ឋានដែលគេស្គាល់ ។

3. ជំហានទី៣ — គុណកត្តា
   $x\cdot (-1)÷3\to -\infty$ ព្រោះ $x\to +\infty$ និងភាគបែងទៅ $3>0$ ។

ហេតុអ្វី ចំនួនវិជ្ជមានធំគុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមានជិត $-1$ ផ្តល់ចំនួនអវិជ្ជមានធំ ។

4. ជំហានទី៤ — សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-x^2}{3x+5}=-\infty$ ។

ហេតុអ្វី ភាគយកមានដឺក្រេ $2$ ភាគបែងដឺក្រេ $1$ ហើយមេគុណនាំមុខអវិជ្ជមាន ។

លក្ខណៈ ៖ កំណត់តម្លៃ $a$ និង $b$ ដែលលីមីត [UNCLEAR: ពាក្យកណ្តាលអានមិនច្បាស់ អានបានប្រហែល «…ក្នុងលំនាំ…»] $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+ax-6}{2x^2+3x-2}=b$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — ពិនិត្យភាគបែងនៅ $x=-2$
   $2(-2{)}^2+3(-2)-2=8-6-2=0$ ។

ហេតុអ្វី បើភាគបែងទៅ $0$ នោះលីមីតជាចំនួនពិតបានលុះត្រាតែភាគយកក៏ទៅ $0$ ដែរ ។

2. ជំហានទី២ — ដាក់លក្ខខណ្ឌលើភាគយក
   $(-2{)}^2+a(-2)-6=0\Rightarrow 4-2a-6=0\Rightarrow -2a=2\Rightarrow a=-1$ ។

ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ដើម្បីឱ្យកត្តា $(x+2)$ មានទាំងភាគយកនិងភាគបែង ។

3. ជំហានទី៣ — បំបែកកត្តា និងសម្រួល
   ជាមួយ $a=-1$ ៖ $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ និង $2x^2+3x-2=(x+2)(2x-1)$ ។

ហេតុអ្វី ការបំបែកកត្តាបង្ហាញកត្តារួម $(x+2)$ ដែលជាហេតុនៃទម្រង់ $\frac{0}{0}$ ។

4. ជំហានទី៤ — គណនាលីមីតថ្មី
   $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(2x-1)}=\frac{-2-3}{2(-2)-1}=\frac{-5}{-5}=1$ ។

ហេតុអ្វី បន្ទាប់ពីសម្រួលកត្តារួម អនុគមន៍ថ្មីជាប់នៅ $x=-2$ ដូចនេះជំនួសផ្ទាល់បាន ។

5. ជំហានទី៥ — សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
   $a=-1$ និង $b=1$ ។

ហេតុអ្វី $b$ គឺជាតម្លៃលីមីតដែលទើបគណនាបាន ។

ចំណែក ២ — លីមីតនៃអនុគមន៍អសនិទាន

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

ចំណុច ៖

• $\underset{x\to a}{\lim }\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$ ចំពោះ $a\ge 0$ និង $n\in N,n\ge 2$
• $\underset{x\to a}{\lim }\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$ ចំពោះ $a<0$ និង $n$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិសេសធំជាង 2
• $\underset{x\to a}{\lim }\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}=\sqrt[n]{L}=L^{\frac{1}{n}}$

បើ $L\ge 0$ និង $n\in N,n\ge 2$ បើ $L<0$ និង $n$ ជាចំនួនគត់សេសធំជាង 2 ។

ពន្យល់ ឫសអាច «ចូល» ក្នុងលីមីតបាន ព្រោះឫសជាអនុគមន៍ជាប់លើដែនកំណត់របស់វា ។ លក្ខខណ្ឌសំខាន់ ៖ បើ $n$ ជាចំនួនគូ នោះត្រូវការ $a\ge 0$ (និង $L\ge 0$) ។

ចំណាំ សៀវភៅសរសេរ $n\in N$ ដែលនៅទីនេះមានន័យថា $n$ ជាចំនួនគត់ធំជាង ឬស្មើ $2$ ។

ចំណែក ៣ — លីមីតនៃអនុគមន៍បណ្តាក់

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

ចំណុច ៖ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍ពីរ ។ អនុគមន៍បណ្តាក់នៃអនុគមន៍ $f$ និង $g$ ដែលតាងដោយ $g\circ f$ គឺជាអនុគមន៍ដែលកំណត់ $g\circ f(x)=g[f(x)]$ ។

ពន្យល់ពាក្យបច្ចេកទេស «អនុគមន៍បណ្តាក់» គឺជាម៉ាស៊ីនពីរតំរងគ្នា ៖ លទ្ធផលរបស់ម៉ាស៊ីនទីមួយ ($f$) ចូលទៅជាវត្ថុធាតុដើមរបស់ម៉ាស៊ីនទីពីរ ($g$) ។ លំដាប់សំខាន់ណាស់ ៖ $g\circ f$ មិនដូច $f\circ g$ ជាទូទៅទេ ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

ចំណុច ៖ បើ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍ដែលមានលីមីត $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L$ និង $\underset{x\to L}{\lim }f(x)=f(L)$ នោះ $\underset{x\to a}{\lim }f[g(x)]=f(L)$ ។

ហេតុអ្វីត្រូវការ $\underset{x\to L}{\lim }f(x)=f(L)$ លក្ខខណ្ឌនេះមានន័យថា $f$ ជាប់ត្រង់ $L$ ។ បើ $f$ មិនជាប់ នោះការចូលទៅ $L$ មិនធានាថាលទ្ធផលចូលទៅ $f(L)$ ទេ ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

បើមានអនុគមន៍ $f$, $g$ និងចំនួនពិត $A$ ដែល $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$ និង $f(x)\ge g(x)$ ចំពោះគ្រប់ $x\ge A$ នោះ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ ។

រូបភាពគំនិត បើអនុគមន៍តូចមួយរត់ទៅ $+\infty$ ហើយអនុគមន៍របស់យើងនៅពីលើវា នោះអនុគមន៍របស់យើងក៏ត្រូវរត់ទៅ $+\infty$ ដែរ ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

បើមានអនុគមន៍ $f$, $g$ និងចំនួនពិត $A$ ដែល $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$ និង $f(x)\le g(x)$ ចំពោះគ្រប់ $x\ge A$ នោះ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

បើមានអនុគមន៍ $f$, $g$, $h$ និងចំនួនពិត $A$ ដែល $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)=\lambda$ និង $g(x)\le f(x)\le h(x)$ ចំពោះគ្រប់ $x\ge A$ នោះ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\lambda$ ។

ឈ្មោះក្នុងភាសាសាមញ្ញ គេហៅថា «ទ្រឹស្តីបទបញ្ចូលចន្លោះ» ឬ «sandwich theorem» ព្រោះ $f$ ត្រូវបានគៀបនៅចន្លោះ $g$ និង $h$ ដូចសាច់នៅចន្លោះនំប៉័ងពីរ ។

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

បើមានអនុគមន៍ $f$ និង $g$ និងចំនួនពិត $A$ ដែល $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\lambda$ , $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)={\lambda }^{\prime }$ និង $f(x)\le g(x)$ នោះចំពោះគ្រប់ $x\ge A$ គេបាន $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$ ។

ចំណាំសំខាន់ វិសមភាពដាច់ខាត $f(x)<g(x)$ មិនធានាថា $\lambda <{\lambda }^{\prime }$ ទេ ។ ឧទាហរណ៍ $f(x)=0$ និង $g(x)=\frac{1}{x}$ លើ $x>0$ ៖ $f<g$ តែលីមីតទាំងពីរស្មើ $0$ ។

សំគាល់ ៖ គេនឹងបានលទ្ធផលដូចគ្នា កាលណា $x\to -\infty$ ដោយគ្រាន់តែជំនួស $x\ge A$ ដោយ $x\le A$ វិញ ។

ពន្យល់ គ្មានទ្រឹស្តីបទថ្មីទេ ។ គ្រាន់តែប្តូរទិស «ខាងស្តាំនៃ $A$» ទៅ «ខាងឆ្វេងនៃ $A$» ប៉ុណ្ណោះ ។

ចំណែក ៤ — លីមីតរាងមិនកំណត់

ប្រអប់ក្នុងសៀវភៅ / Boxed in the textbook.

វិធាន ៖ ដើម្បីគណនាលីមីតដែលមានរាងមិនកំណត់ $\frac{0}{0}$ គេត្រូវបំបែកភាគយក និងភាគបែងជាផលគុណកត្តា ហើយសម្រួលកត្តារួម រួចគណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី ។

ហេតុអ្វីវិធីនេះបានផល កត្តារួមដែលបាត់នៅ $x=a$ គឺជាហេតុនៃ $\frac{0}{0}$ ។ ពេលលុបវាចេញ អនុគមន៍ថ្មីជាប់នៅ $a$ ដូចនេះជំនួសផ្ទាល់បាន ។