អ៊ីពែបូល

ជំពូកទី 16 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

90 min10 គោលដៅសិក្សា37 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

លំនាំសញ្ញាបង្ហាញអ័ក្សឆ្លងកាត់។ បន្ទាប់មកប្រើ c² = a² + b² ហើយគូសអាស៊ីមតូតដោយយោងតាមចតុកោណជំនួយ។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

សរសេរនិយមន័យអ៊ីពែបូលជាសំណុំចំណុចដែលផលដកចម្ងាយទៅកំណុំពីរជាចំនួនថេរ។
កំណត់កំពូល កំណុំ ផ្ចិត អ័ក្សទទឹង និងអ័ក្សឆ្លាស់ នៃអ៊ីពែបូលមួយ ។
សរសេរសមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូល ពេលផ្ចិតនៅគល់អ័ក្សកូអរដោនេ និងពេលផ្ចិតខុសគល់អ័ក្សកូអរដោនេ ។
ប្រើទំនាក់ទំនង $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ដើម្បីគណនា $c$ រួចរកកូអរដោនេកំណុំ ។
ស្គាល់សមីការទូទៅ $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0$ ដែល $A \cdot B < 0$ ថាជាសមីការអ៊ីពែបូល ។
គណនាអ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ $e = \frac{c}{a}$ និងពន្យល់ថាហេតុអ្វី $e > 1$ ។
រកសមីការអាស៊ីមតូត រួចសង់អ៊ីពែបូល និងអាស៊ីមតូតរបស់វានៅក្នុងតម្រូវតែមួយ ។
បំលែងសមីការទូទៅជាសមីការស្តង់ដារដោយបំពេញការេ ។
សរសេរសមីការអ៊ីពែបូលពីទិន្នន័យដែលឱ្យ (កំពូល កំណុំ អាស៊ីមតូត ឬចំណុចមួយនៅលើក្រាប)។
សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងអ៊ីពែបូលត្រង់ចំណុចមួយ ឬកាត់តាមចំណុចមួយនៅក្រៅក្រាប ។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 02

Hyperbola equations and asymptotes

Read the transverse axis from the positive term, then calculate vertices, foci, asymptotes, and eccentricity.

ឧទាហរណ៍ 01For (x−1)²/16−(y+2)²/9=1, find vertices, foci, and asymptotes.

1Center (1,−2), a=4,b=3,c=5.
2The transverse axis is horizontal; use slopes ±b/a.

ចម្លើយVertices (−3,−2),(5,−2); foci (−4,−2),(6,−2); y+2=±(3/4)(x−1)

ឧទាហរណ៍ 02For (y+1)²/25−(x−2)²/11=1, find foci and asymptotes.

1The axis is vertical with a=5,b=√11,c=6.
2Vertical hyperbola asymptotes have slopes ±a/b.

ចម្លើយFoci (2,−1±6); y+1=±(5/√11)(x−2)

ឧទាហរណ៍ 03Convert 4x²−9y²−16x−54y−101=0 to standard form.

1Complete squares: 4(x−2)²−9(y+3)²=36.
2Divide through by 36.

ចម្លើយ(x−2)²/9−(y+3)²/4=1

ឧទាហរណ៍ 04Find the eccentricity of x²/36−y²/28=1.

1a=6,b=√28; c²=a²+b²=64, so c=8.
2Compute e=c/a.

ចម្លើយ4/3

ឧទាហរណ៍ 05A horizontal hyperbola has vertices (±3,0) and asymptotes y=±(4/3)x. Find its equation and foci.

1a=3 and b/a=4/3, so b=4.
2Then c=5 and use the standard form.

ចម្លើយx²/9−y²/16=1; foci (±5,0)

ឧទាហរណ៍ 06Find the asymptotes of 9y²−4x²=36.

1Write y²/4−x²/9=1, so a=2,b=3.
2For a vertical hyperbola, slopes are ±a/b.

ចម្លើយy=±(2/3)x

ឧទាហរណ៍ 07Find the center and vertices of 25x²−9y²−100x−54y−206=0.

1Complete squares: 25(x−2)²−9(y+3)²=225.
2Divide by 225 to read center and a².

ចម្លើយCenter (2,−3); vertices (2±3,−3)

ឧទាហរណ៍ 08For (y−4)²/9−(x+1)²/16=1, find the foci and eccentricity.

1Center (−1,4), a=3,b=4; c=5.
2The transverse axis is vertical.

ចម្លើយFoci (−1,4±5); e=5/3

ឧទាហរណ៍ 09Find the hyperbola centered at (2,−1), with horizontal transverse axis, a=5, and e=13/5.

1c=ea=13, so b²=c²−a²=169−25=144.
2Place a² under the positive x-term.

ចម្លើយ(x−2)²/25−(y+1)²/144=1

ឧទាហរណ៍ 10For x²/4−y²/5=1, find the rectangle corners and asymptote slopes.

1Center is (0,0), a=2 and b=√5.
2The guide rectangle has corners (±a,±b); slopes are ±b/a.

ចម្លើយCorners (±2,±√5); slopes ±√5/2

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

១. អ៊ីពែបូលគឺ «ផលដកចម្ងាយថេរ» យកខ្សែមួយ ចងចុងម្ខាងនឹងដែកគោល $F_{1}$ ចងចុងម្ខាងទៀតនឹងដែកគោល $F_{2}$ ។ បើយើងទាញខ្សែឱ្យតឹង ហើយរំកិលចុងខ្មៅដៃ ដោយរក្សាឱ្យផលដកនៃចម្ងាយទាំងពីរថេរ នោះចុងខ្មៅដឹកនឹងគូសអ៊ីពែបូលមួយ ។ ចំណុចសំខាន់៖ គេយកផលដក មិនមែនផលបូក (ផលបូកផ្តល់អេលីប) ហើយផលដកនោះត្រូវយកតម្លៃដាច់ខាត ព្រោះចម្ងាយមួយណាធំជាងគេមិនដឹងមុន ។

២. សាខាពីរ និងចន្លោះទទេកណ្តាល ក្រាបអ៊ីពែបូលមានពីរសាខា (branch) ដែលបើកចេញពីគ្នា ។ រវាងសាខាទាំងពីរ គ្មានចំណុចណានៅលើក្រាបទេ ។ កំពូលទាំងពីរគឺជាចំណុចជិតគ្នាបំផុតនៃសាខាទាំងពីរ ហើយចម្ងាយរវាងវាគឺ $2 a$ ។ ដូច្នេះបើគេសួរថា «តើចំណុច $(0, 0)$ នៅលើក្រាប $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ ឬ?» ចម្លើយគឺទេ ព្រោះ $0 - 0 = 0 \neq = 1$ ។

៣. $a$ , $b$ , $c$ មាននាទីខុសៗគ្នា $a$ ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំពូល (ដូច្នេះកំពូលគឺ $2 a$ ពីគ្នា)។ $c$ ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំ (ដូច្នេះកំណុំគឺ $2 c$ ពីគ្នា)។ $b$ មិនមែនជាចម្ងាយទៅចំណុចពិសេសណាមួយនៅលើក្រាបទេ តែវាជាជើងម្ខាងនៃចតុកោណកែងជំនួយ ហើយវាកើតឡើងពីទំនាក់ទំនង $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ។ ដោយ $b^{2} = c^{2} - a^{2} > 0$ គេបាន $c > a$ ជានិច្ច ។

៤. ចតុកោណកែងជំនួយ និងអាស៊ីមតូត គូសចតុកោណកែងដែលមានជើង $2 a$ និង $2 b$ ដោយផ្ចិតនៅកណ្តាល ។ អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃចតុកោណនោះ គឺជាអាស៊ីមតូត ។ សាខាទាំងពីររត់ទៅជិតអាស៊ីមតូតដោយមិនប៉ះវា ។ ដូច្នេះ ដើម្បីសង់ក្រាបឱ្យត្រូវ ត្រូវសង់ចតុកោណកែងនេះមុន ។

៥. តើអ័ក្សណាជា «អ័ក្សទទឹង» មើលពាក្យដែលមានសញ្ញាបូក ។ បើ $\frac{x ^{2}}{a ^{2}}$ មានសញ្ញាបូក នោះអ័ក្សទទឹងស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយសាខាបើកឆ្វេង-ស្តាំ ។ បើ $\frac{y ^{2}}{a ^{2}}$ មានសញ្ញាបូក នោះអ័ក្សទទឹងស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ហើយសាខាបើកឡើង-ចុះ ។ ពាក្យដែលមានសញ្ញាដកគឺជាពាក្យដែលផ្តល់ $b$ ។

៦. របៀបអានសមីការស្តង់ដារ ធ្វើតាមលំដាប់នេះជានិច្ច ៖ (ក) អានផ្ចិត $I (h, k)$ ពីកន្សោម $(x - h)$ និង $(y - k)$ ; (ខ) អាន $a^{2}$ ពីភាគបែងនៃពាក្យវិជ្ជមាន និង $b^{2}$ ពីភាគបែងនៃពាក្យអវិជ្ជមាន; (គ) គណនា $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; (ឃ) សរសេរកំពូល និងកំណុំដោយបូក/ដក $a$ និង $c$ តាមទិសអ័ក្សទទឹង; (ង) សរសេរអាស៊ីមតូត ។ បើធ្វើតាមលំដាប់នេះ គ្មានធាតុណាមួយរបូតទេ ។

៧. សមីការទូទៅ គឺគ្រាន់តែសមីការស្តង់ដារដែលបានពន្លាត បើគេពន្លាត $\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ គេឡើងដល់ទម្រង់ $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0$ ដែល $A$ និង $B$ មានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ។ ដូច្នេះ ដើម្បីត្រឡប់ក្រោយ គេគ្រាន់តែបំពេញការេ ។ លក្ខខណ្ឌ $A \cdot B < 0$ គឺជាសញ្ញាសម្គាល់ថាជាអ៊ីពែបូល (បើ $A \cdot B > 0$ នោះជាអេលីប ឬគ្មានក្រាប)។

៨. អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេវាស់ «កម្រិតបើក» $e = \frac{c}{a} = 1 + \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$ ។ បើ $b$ តូចជាង $a$ ច្រើន នោះ $e$ ជិត $1$ ហើយសាខាទាំងពីរតូចចង្អៀត ។ បើ $b$ ធំជាង $a$ ច្រើន នោះ $e$ ធំ ហើយសាខាបើកធំទូលាយ ។ គ្រប់អ៊ីពែបូលមាន $e > 1$ ។

៩. ការផ្លាស់ទីមិនផ្លាស់ទម្រង់ បើផ្ចិតផ្លាស់ពី $(0, 0)$ ទៅ $(h, k)$ នោះ $a$ , $b$ , $c$ , $e$ មិនផ្លាស់ទេ ។ មានតែកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការអាស៊ីមតូតប៉ុណ្ណោះដែលផ្លាស់ ។ ដូច្នេះ ការងាយស្រួលបំផុតគឺ គូសក្រាបនៅគល់អ័ក្សសិន រួចរំកិលទាំងអស់ទៅ $(h, k)$ ។

ផ្នែក 02

4.1 និយមន័យអ៊ីពែបូល

១) និយមន័យ។ អ៊ីពែបូល ជាសំណុំចំណុច $P$ នៅក្នុងប្លង់ ដែលមានផលដករវាងចម្ងាយពីចំណុច $P$ ទៅចំណុចនឹងពីរ $F_{1}$ និង $F_{2}$ ជាចំនួនថេរ ។

ការពន្យល់ ចំណុចនឹងទាំងពីរ $F_{1}$ និង $F_{2}$ ហៅថាកំណុំ ។ ចម្ងាយ $P F_{1}$ និង $P F_{2}$ គឺជាចម្ងាយពីចំណុចរត់ $P$ ទៅកំណុំនីមួយៗ ។ ពាក្យ «ថេរ» មានន័យថា ទោះ $P$ រត់ទៅណាក៏ដោយ ផលដកនោះមិនប្រែប្រួល ។ យើងសរសេរតម្លៃដាច់ខាត $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣$ ព្រោះបើគ្មានវា ផលដកអាចអវិជ្ជមាន ហើយចម្ងាយមិនអាចអវិជ្ជមានទេ ។ តម្លៃថេរនោះគឺ $2 a$ ដែល $a$ ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំពូល ។

ចំណាំ និយមន័យនេះជាមូលដ្ឋាននៃលំហាត់ប្រភេទ «ផលដកចម្ងាយស្មើនឹង …» ។ នៅពេលឃើញពាក្យនោះ ត្រូវដឹងភ្លាមថា ចំណុចទាំងពីរដែលឱ្យគឺជាកំណុំ ហើយតម្លៃថេរគឺ $2 a$ ។

FORMULA $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = constant$

ផ្នែក 03

4.2 លក្ខណៈនៃអ៊ីពែបូល

២) លក្ខណៈនៃអ៊ីពែបូល។

ចំណុច $V_{1}$ និង $V_{2}$ ហៅថា កំពូល ។
ចំណុច $F_{1}$ និង $F_{2}$ ហៅថា កំណុំ ។
បន្ទាត់ $F_{1} F_{2}$ ហៅថា អ័ក្សទទឹង ។
ចំណុច $O$ កណ្តាលអង្កត់ $F_{1} F_{2}$ ហៅថា ផ្ចិត នៃអ៊ីពែបូល ។
មេដ្យាទ្រីសនៃអង្កត់ $F_{1} F_{2}$ ហៅថា អ័ក្សឆ្លាស់ ។
អ័ក្សទទឹង និងអ័ក្សឆ្លាស់ ហៅថា [UNCLEAR: អ័ក្សឆ់ ុះ
តាមនិយមន័យអ៊ីពែបូល $V_{1} V_{2} = 2 a$ ។

ការពន្យល់ អ័ក្សទទឹងគឺជាអ័ក្សដែលផ្ទុកកំពូល និងកំណុំទាំងអស់ ។ អ័ក្សឆ្លាស់កែងនឹងអ័ក្សទទឹង ហើយកាត់ត្រង់ផ្ចិត $O$ ។ ដោយ $O$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃ $F_{1} F_{2}$ គេបាន $O F_{1} = O F_{2} = c$ ហើយដោយ $V_{1}$ និង $V_{2}$ ស៊ីមេទ្រីត្រង់ $O$ គេបាន $O V_{1} = O V_{2} = a$ ។ ដូច្នេះ $V_{1} V_{2} = 2 a$ ជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃនិយមន័យ ។

រូបភាព សាខាពីរនៃអ៊ីពែបូលបើកឆ្វេង និងស្តាំ លើអ័ក្សដេក ។ នៅលើអ័ក្ស ពីឆ្វេងទៅស្តាំ មានសម្គាល់ $F_{2}$ (ចំណុចខ្មៅ), $V_{2}$ , ផ្ចិត $o$ , $V_{1}$ និង $F_{1}$ (ចំណុចខ្មៅ) ។ មានបន្ទាត់ឈរមួយកាត់ត្រង់ $o$ (គឺអ័ក្សឆ្លាស់) ។ ចំណុច $P$ មួយនៅលើផ្នែកខាងលើនៃសាខាស្តាំ ។ នៅក្រោមអ័ក្ស មានរង្វាស់ពីរប្រវែង $a$ ពី $o$ ទៅ $V_{2}$ និងពី $o$ ទៅ $V_{1}$ (សរសេរ $a$ ទាំងពីរ) និងរង្វាស់ពីរប្រវែង $c$ ពី $o$ ទៅ $F_{2}$ និងពី $o$ ទៅ $F_{1}$ (សរសេរ $c$ ទាំងពីរ) ។ អ័ក្សឈរសរសេរថា អ័ក្សឆ្លាស់ ហើយអ័ក្សដេកសរសេរថា អ័ក្សទទឹង ។

ហេតុអ្វីរូបនេះសំខាន់ រូបនេះបង្ហាញថា $a$ និង $c$ គឺជាចម្ងាយពីផ្ចិតដូចគ្នា ។ ដោយកំណុំស្ថិតនៅខាងក្រៅកំពូល គេឃើញភ្លាមថា $c > a$ ។ នេះជាមូលដ្ឋាននៃការពន្យល់ថា $e > 1$ នៅខាងក្រោម ។

FORMULAV_1V_2=2a

ផ្នែក 04

4.3 សមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិតជាគល់អ័ក្សកូអរដោនេ

៣) សមីការអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិតជាគល់អ័ក្សកូអរដោនេ។

ផ្ចិត	អ័ក្សទទឹង	កំពូល	កំណុំ	សមីការស្តង់ដារ	អាស៊ីមតូត
$O (0, 0)$	នៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស	$V (\pm a, 0)$	$F (\pm c, 0)$	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = \pm \frac{b}{a} x$
$O (0, 0)$	នៅលើអ័ក្សអរដោនេ	$V (0, \pm a)$	$F (0, \pm c)$	$\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = \pm \frac{a}{b} x$

Centre	Transverse axis	Vertices	Foci	Standard equation	Asymptotes
$O (0, 0)$	on the abscissa axis	$V (\pm a, 0)$	$F (\pm c, 0)$	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = \pm \frac{b}{a} x$
$O (0, 0)$	on the ordinate axis	$V (0, \pm a)$	$F (0, \pm c)$	$\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = \pm \frac{a}{b} x$

ការពន្យល់ មានតែពីរទម្រង់ប៉ុណ្ណោះ ហើយភាពខុសគ្នាគឺពាក្យណាមានសញ្ញាបូក ។ ក្នុងទម្រង់ទីមួយ ពាក្យ $x^{2}$ មានសញ្ញាបូក ដូច្នេះកំពូលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយអាស៊ីមតូតមានមេគុណប្រាណ $\frac{b}{a}$ ។ ក្នុងទម្រង់ទីពីរ ពាក្យ $y^{2}$ មានសញ្ញាបូក ដូច្នេះកំពូលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេ ហើយអាស៊ីមតូតមានមេគុណប្រាណ $\frac{a}{b}$ ។ សង្កេតថា មេគុណប្រាណនៃអាស៊ីមតូតតែងតែជា $\frac{ជើងឈរ}{ជើងដេក}$ នៃចតុកោណកែងជំនួយ ។

ឧទាហរណ៍ប្រើប្រាស់

សមីការ / Equation	អ័ក្សទទឹង / Transverse	$a$	$b$	អាស៊ីមតូត / Asymptotes
$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$	ដេក / horizontal	$3$	$4$	$y = \pm \frac{4}{3} x$
$\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{16} = 1$	ឈរ / vertical	$3$	$4$	$y = \pm \frac{3}{4} x$
$x^{2} - y^{2} = 1$	ដេក / horizontal	$1$	$1$	$y = \pm x$
$y^{2} - 4 x^{2} = 16 ⟺ \frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{4} = 1$	ឈរ / vertical	$4$	$2$	$y = \pm 2 x$

FORMULA $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, y = \pm \frac{b}{a} x \frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1, y = \pm \frac{a}{b} x$

ផ្នែក 05

4.4 ចំណាំអំពីទំនាក់ទំនងរវាង $a$ , $b$ និង $c$

សម្គាល់ៈ គណនា $c$ តាមទំនាក់ទំនង $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ដែល $a > 0, b > 0$ ។

ការពន្យល់ ទំនាក់ទំនងនេះមានន័យថា $c$ ធំជាង $a$ និងធំជាង $b$ ជានិច្ច ។ ដូច្នេះពេលគណនា $c$ គេត្រូវយកផលបូក មិនមែនផលដក ។ បើគេដឹង $c$ និង $a$ ហើយចង់បាន $b$ នោះ $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ ។ បើគេដឹង $a$ និង $b$ នោះ $c = a^{2} + b^{2}$ ។ ចំណាំថា ក្នុងអេលីប ទំនាក់ទំនងគឺ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ដែលផ្តល់ $c < a$ ។ ការភ័ណ្ឌច្រឡំរវាងទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះ គឺជាកំហុសធ្ងន់ធ្ងរបំផុតក្នុងជំពូកនេះ ។

FORMULA $c^{2} = a^{2} + b^{2}, a > 0, b > 0$

ផ្នែក 06

4.5 សមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិត $I (h, k)$

៤) សមីការអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិតខុសគល់អ័ក្សកូអរដោនេ។

ផ្ចិត	អ័ក្សទទឹង	កំពូល	កំណុំ	សមីការស្តង់ដារ	អាស៊ីមតូត
$I (h, k)$	ស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស	$V (h \pm a, k)$	$F (h \pm c, k)$	$\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = k \pm \frac{b}{a} (x - h)$
$I (h, k)$	ស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ	$V (h, k \pm a)$	$F (h, k \pm c)$	$\frac{( y - k ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( x - h ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = k \pm \frac{a}{b} (x - h)$

Centre	Transverse axis	Vertices	Foci	Standard equation	Asymptotes
$I (h, k)$	parallel to the abscissa axis	$V (h \pm a, k)$	$F (h \pm c, k)$	$\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = k \pm \frac{b}{a} (x - h)$
$I (h, k)$	parallel to the ordinate axis	$V (h, k \pm a)$	$F (h, k \pm c)$	$\frac{( y - k ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( x - h ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$y = k \pm \frac{a}{b} (x - h)$

ការពន្យល់ នេះជាតារាងដូចខាងលើ តែបានរំកិលទាំងអស់ទៅផ្ចិត $I (h, k)$ ។ គ្រប់កូអរដោនេកើន $h$ តាមទិសដេក និង $k$ តាមទិសឈរ ។ ដូច្នេះ $x$ ក្លាយជា $x - h$ ហើយ $y$ ក្លាយជា $y - k$ ។ សមីការអាស៊ីមតូតក៏ផ្លាស់ដែរ៖ ចំណុចកាត់អ័ក្សឈររបស់វាគឺ $k$ មិនមែន $0$ ទេ ។ $a$ , $b$ , $c$ , $e$ មិនផ្លាស់ ។

របៀបចងចាំ សញ្ញានៅខាងក្នុងវង់ក្រចកត្រូវតែជាដក ទាំងពីរ ៖ $(x - h)$ និង $(y - k)$ ។ បើសមីការឱ្យមកជា $(x + 4)^{2}$ នោះ $h = - 4$ (មិនមែន $+ 4$ ) ។

FORMULA $\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1, y = k \pm \frac{b}{a} (x - h) \frac{( y - k ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( x - h ) ^{2}}{b ^{2}} = 1, y = k \pm \frac{a}{b} (x - h)$

ផ្នែក 07

4.6 សមីការទូទៅនៃអ៊ីពែបូល

៥) សមីការទូទៅនៃអ៊ីពែបូល។ សមីការមានទម្រង់ $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0$ ដែល $A \cdot B < 0$ ជាសមីការទូទៅនៃអ៊ីពែបូល ។

ការពន្យល់ លក្ខខណ្ឌ $A \cdot B < 0$ មានន័យថា $A$ និង $B$ មានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ។ នេះជាអ្វីដែលធ្វើឱ្យសមីការនេះជាអ៊ីពែបូល ព្រោះពាក្យការេមួយមានសញ្ញាបូក ឯពាក្យការេមួយទៀតមានសញ្ញាដក ។ បើ $A \cdot B > 0$ នោះពាក្យការេទាំងពីរមានសញ្ញាដូចគ្នា ។ ករណីនោះ បើបំពេញការេហើយផ្នែកស្តាំវិជ្ជមាន គេបានអេលីប; បើផ្នែកស្តាំសូន្យ គេបានចំណុចមួយ; បើអវិជ្ជមាន គ្មានក្រាបទេ ។ ដូច្នេះ ការត្រួតពិនិត្យ $A \cdot B$ គឺជាជំហានដំបូងដែលយើងធ្វើជានិច្ច ។

តារាងសម្រេច

លក្ខខណ្ឌ / Condition	ក្រាប / Graph
$A \cdot B < 0$	អ៊ីពែបូល / hyperbola
$A \cdot B > 0$ និងផ្នែកស្តាំ $> 0$	អេលីប / ellipse
$A \cdot B > 0$ និងផ្នែកស្តាំ $= 0$	ចំណុចមួយ / a single point
$A \cdot B > 0$ និងផ្នែកស្តាំ $< 0$	សំណុំទទេ / empty set

FORMULA $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0, A \cdot B < 0$

ផ្នែក 08

4.7 អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ

៦) អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ។ អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ $e$ នៃអ៊ីពែបូលគឺជាផលធៀបរវាង $c$ (ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំ) និង $a$ (ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំពូល) នៃអ៊ីពែបូល

$e = \frac{c}{a}$

ការពន្យល់ អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេជាចំនួនគ្មានឯកតា (unitless) ព្រោះវាជាផលធៀបនៃចម្ងាយពីរ ។ វាវាស់ថាតើសាខាទាំងពីរបើកធំប៉ុណ្ណា ។ ដោយ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ គេអាចសរសេរ

$e = \frac{c}{a} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a} = 1 + \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$

ដូច្នេះ $e$ អាស្រ័យតែលើផលធៀប $\frac{b}{a}$ ប៉ុណ្ណោះ ។ ឧទាហរណ៍ បើ $a = 3$ និង $b = 4$ នោះ $c = 5$ ហើយ $e = \frac{5}{3} \approx 1.67$ ។

ចំណាំ $e$ មិនមែនជាមុំទេ ហើយក៏មិនមែនជាមេគុណប្រាណនៃអាស៊ីមតូតដែរ ។ មេគុណប្រាណនៃអាស៊ីមតូតគឺ $\frac{b}{a}$ (ឬ $\frac{a}{b}$ ) ឯ $e = \frac{c}{a}$ គឺជាចំនួនផ្សេង ។

FORMULA $e = \frac{c}{a}$

ផ្នែក 09

4.8 ចំណាំអំពីហេតុអ្វី $e > 1$

សម្គាល់ៈ គ្រប់អ៊ីពែបូលដែលមានកំពូលនៅលើអ័ក្សទទឹងនៃអ៊ីពែបូល ដែល $c > a > 0$ នោះ $\frac{c}{a} > 1$ ឬ $e > 1$ ។

ការពន្យល់ ហេតុអ្វី $c > a$ ? ព្រោះ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ហើយ $b^{2} > 0$ ដូច្នេះ $c^{2} > a^{2}$ ។ ដោយ $a > 0$ និង $c > 0$ គេបាន $c > a$ ។ បន្ទាប់មក ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $a > 0$ ដោយមិនប្តូរទិសវិសមីការ គេបាន $\frac{c}{a} > 1$ ។ នេះជាហេតុផលធរណីមាត្រដែលថា កំណុំតែងតែស្ថិតនៅខាងក្រៅកំពូល ។ ផ្ទុយទៅវិញ ក្នុងអេលីប $c < a$ ដូច្នេះ $0 < e < 1$ ។

FORMULA $c > a > 0 ⟹ \frac{c}{a} > 1 or e > 1$

ផ្នែក 10

ឧទាហរណ៍គំរូទី ១

ចំណោទ គេឱ្យអ៊ីពែបូល $(H) : \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ ។ រកផ្ចិត អ័ក្សទទឹង កំពូល កំណុំ អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ និងអាស៊ីមតូត រួចសង់ក្រាប ។

ជំហានទី១ — ធៀបជាមួយទម្រង់ស្តង់ដារ
សមីការនេះមានទម្រង់ $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ដោយ $a^{2} = 9$ និង $b^{2} = 16$ ។ ដូច្នេះ $a = 3$ និង $b = 4$ ។
ហេតុអ្វី ភាគបែងនៃពាក្យវិជ្ជមានគឺ $a^{2}$ ហើយភាគបែងនៃពាក្យអវិជ្ជមានគឺ $b^{2}$ ។ យើងយកឫសវិជ្ជមានតែមួយ ព្រោះ $a$ និង $b$ ជាប្រវែង ។

ជំហានទី២ — ផ្ចិត និងអ័ក្សទទឹង
គ្មាន $(x - h)$ ឬ $(y - k)$ ទេ ដូច្នេះ $h = 0$ និង $k = 0$ ។ ផ្ចិតគឺ $O (0, 0)$ ។ ពាក្យ $x^{2}$ មានសញ្ញាបូក ដូច្នេះអ័ក្សទទឹងស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស (អ័ក្សដេក) ។
ហេតុអ្វី ការខ្វះ $(x - h)$ មានន័យថា $h = 0$ ។ សញ្ញាបូកនៅលើពាក្យ $x^{2}$ កំណត់ទិសអ័ក្សទទឹង ។

ជំហានទី៣ — កំពូល
កំពូលគឺ $V (\pm a, 0)$ ដូច្នេះ

$V_{1} (3, 0), V_{2} (- 3, 0)$

ចម្ងាយរវាងកំពូលទាំងពីរគឺ $V_{1} V_{2} = 6 = 2 a$ ។
ហេតុអ្វី កំពូលស្ថិតនៅលើអ័ក្សទទឹង ចម្ងាយ $a$ ពីផ្ចិតទៅម្ខាងៗ ។

ជំហានទី៤ — គណនា $c$
ប្រើ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ៖

$c^{2} = 9 + 16 = 25 ⟹ c = 5$

ហេតុអ្វី នេះជាទំនាក់ទំនងតែមួយគត់ដែលភ្ជាប់ $a$ , $b$ , $c$ ក្នុងអ៊ីពែបូល ។ យើងបូក មិនមែនដក ។

ជំហានទី៥ — កំណុំ
កំណុំគឺ $F (\pm c, 0)$ ៖

$F_{1} (5, 0), F_{2} (- 5, 0)$

ហេតុអ្វី កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សទទឹងដូចកំពូល តែចម្ងាយ $c$ ពីផ្ចិត ។ ដោយ $c = 5 > a = 3$ កំណុំស្ថិតនៅខាងក្រៅកំពូល ។

ជំហានទី៦ — អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1.67$

ហេតុអ្វី តាមនិយមន័យ $e = \frac{c}{a}$ ហើយ $e > 1$ ដូចដែលត្រូវតែមាន ។ តម្លៃ $1.67$ បង្ហាញថាសាខាបើកធំជាងបណ្តោយ $a$ បន្តិច ។

ជំហានទី៧ — អាស៊ីមតូត
តាមតារាង អាស៊ីមតូតគឺ $y = \pm \frac{b}{a} x$ ៖

$y = \frac{4}{3} x និង / and y = - \frac{4}{3} x$

ហេតុអ្វី មេគុណប្រាណនៃអាស៊ីមតូតគឺ $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$ ព្រោះអ័ក្សទទឹងដេក ។ អាស៊ីមតូតកាត់ត្រង់ផ្ចិត $O (0, 0)$ ។

ជំហានទី៨ — ចតុកោណកែងជំនួយ និងការសង់
គូសចតុកោណកែងដែលមានជើងដេក $2 a = 6$ (ពី $x = - 3$ ដល់ $x = 3$ ) និងជើងឈរ $2 b = 8$ (ពី $y = - 4$ ដល់ $y = 4$ ) ។ អង្កត់ទ្រូងរបស់វាជាអាស៊ីមតូតទាំងពីរ ។ សាខាស្តាំចេញពី $V_{1} (3, 0)$ ហើយបើកទៅស្តាំ ដោយឡើងលើតាម $y = \frac{4}{3} x$ និងចុះក្រោមតាម $y = - \frac{4}{3} x$ ។ សាខាឆ្វេងស៊ីមេទ្រីត្រង់ $O$ ។ គ្មានចំណុចណានៅចន្លោះ $- 3 < x < 3$ ទេ ។
ហេតុអ្វី តាមសមីការ $\frac{x ^{2}}{9} = 1 + \frac{y ^{2}}{16} \geq 1$ ដូច្នេះ $x^{2} \geq 9$ គឺ $∣ x ∣ \geq 3$ ។ នេះជាហេតុផលដែលសាខាទាំងពីរមិនជាប់គ្នា ។

ជំហានទី៩ — ត្រួតពិនិត្យដោយចំណុចមួយ
យក $x = 5$ ៖ $\frac{25}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ ដូច្នេះ $\frac{y ^{2}}{16} = \frac{16}{9}$ ហើយ $y = \pm \frac{16}{3} \approx \pm 5.33$ ។ ចំណុច $(5; \frac{16}{3})$ ស្ថិតនៅលើសាខាស្តាំ ហើយស្ថិតនៅក្រោមអាស៊ីមតូត $y = \frac{4}{3} (5) = \frac{20}{3}$ ។
ហេតុអ្វី ចំណុចនេះបញ្ជាក់ថាសាខាស្ថិតនៅក្រោមអាស៊ីមតូតនៅខាងស្តាំ ដែលជាលក្ខណៈត្រឹមត្រូវនៃអ៊ីពែបូល ។

ផ្នែក 11

ឧទាហរណ៍គំរូទី ២

ចំណោទ បង្ហាញថាសមីការ $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$ ជាសមីការអ៊ីពែបូល ។ បំលែងវាជាសមីការស្តង់ដារ រួចរកផ្ចិត កំពូល កំណុំ អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ និងអាស៊ីមតូត ។

ជំហានទី១ — ត្រួតពិនិត្យប្រភេទក្រាប
នៅទីនេះ $A = 9$ , $B = - 1$ , $C = - 36$ , $D = - 6$ , $E = 18$ ។ ដោយ

$A \cdot B = 9 \times (- 1) = - 9 < 0$

សមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល ។
ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌ $A \cdot B < 0$ គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អ៊ីពែបូល ។

ជំហានទី២ — ដាក់ជាក្រុម
ដាក់ពាក្យ $x$ ជាក្រុមមួយ និងពាក្យ $y$ ជាក្រុមមួយ ៖

$(9 x^{2} - 36 x) - (y^{2} + 6 y) + 18 = 0$

ហេតុអ្វី ការបំពេញការេធ្វើមួយអថេរម្តងៗ ដូច្នេះត្រូវបំបែកអថេរទាំងពីរចេញពីគ្នាមុន ។

ជំហានទី៣ — ដកមេគុណចេញ
ក្នុងក្រុម $x$ មេគុណគឺ $9$ ; ក្នុងក្រុម $y$ មេគុណគឺ $- 1$ ៖

$9 (x^{2} - 4 x) - (y^{2} + 6 y) + 18 = 0$

ហេតុអ្វី ត្រូវឱ្យមេគុណនៃ $x^{2}$ និង $y^{2}$ ក្នុងវង់ក្រចកស្មើ $1$ ទើបអាចប្រើ $(x - p)^{2} = x^{2} - 2 p x + p^{2}$ បាន ។

ជំហានទី៤ — បំពេញការេ
ដោយ $x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ និង $y^{2} + 6 y = (y + 3)^{2} - 9$ ៖

$9 [(x - 2)^{2} - 4] - [(y + 3)^{2} - 9] + 18 = 0$

ហេតុអ្វី យើងបន្ថែម និងដកការេនៃពាក់កណ្តាលមេគុណនៃ $x$ (គឺ $(\frac{4}{2})^{2} = 4$ ) និងនៃ $y$ (គឺ $(\frac{6}{2})^{2} = 9$ ) ដើម្បីរក្សាតម្លៃដើមមិនឱ្យប្រែប្រួល ។

ជំហានទី៥ — ពន្លាត និងបង្រួម
ពន្លាត៖ $9 (x - 2)^{2} - 36 - (y + 3)^{2} + 9 + 18 = 0$ ដូច្នេះ

$9 (x - 2)^{2} - (y + 3)^{2} - 9 = 0 ⟹ 9 (x - 2)^{2} - (y + 3)^{2} = 9$

ហេតុអ្វី $- 36 + 9 + 18 = - 9$ ជាចំនួនថេរ ដែលយើងរុញទៅខាងស្តាំ ។ ត្រូវចាំថាមេគុណ $9$ គុណទាំង $(x - 2)^{2}$ និង លេខ $- 4$ ។

ជំហានទី៦ — ចែកនឹងចំនួនថេរ
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $9$ ៖

$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$

ហេតុអ្វី ទម្រង់ស្តង់ដារត្រូវមាន $1$ នៅខាងស្តាំ ។ ការចែកនឹង $9$ ធ្វើឱ្យ $a^{2} = 1$ និង $b^{2} = 9$ ។

ជំហានទី៧ — អានធាតុទាំងអស់
ផ្ចិត $I (2, - 3)$ ; អ័ក្សទទឹងដេក (ព្រោះពាក្យ $x$ មានសញ្ញាបូក); $a = 1$ , $b = 3$ ; $c^{2} = 1 + 9 = 10$ ដូច្នេះ $c = 10 \approx 3.16$ ; $e = \frac{10}{1} = 10 \approx 3.16$ ។ ដូច្នេះ

$V_{1} (3, - 3), V_{2} (1, - 3), F_{1} (2 + 10, - 3), F_{2} (2 - 10, - 3)$

និងអាស៊ីមតូត

$y + 3 = \pm 3 (x - 2)$

ហេតុអ្វី $h = 2$ និង $k = - 3$ អានពី $(x - 2)$ និង $(y + 3) = (y - (- 3))$ ។ កំពូលគឺ $h \pm a$ តាមទិសដេក ហើយកំណុំគឺ $h \pm c$ ។ មេគុណប្រាណអាស៊ីមតូត $\frac{b}{a} = 3$ ។

ជំហានទី៨ — ការសង់
គូសចតុកោណកែងជំនួយ $2 a = 2$ ដេក និង $2 b = 6$ ឈរ ដោយផ្ចិត $I (2, - 3)$ ។ អង្កត់ទ្រូងមានមេគុណប្រាណ $\pm 3$ ដែលជាអាស៊ីមតូត ។ សាខាស្តាំចេញពី $V_{1} (3, - 3)$ ទៅស្តាំ ។
ហេតុអ្វី ដោយ $a = 1$ តូចជាង $b = 3$ សាខាទាំងពីរតូចចង្អៀត ហើយបើកធំ ។ នេះស្របនឹង $e = 10 \approx 3.16$ ដែលធំ ។

ផ្នែក 12

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៣

ចំណោទ កំណុំទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូលគឺ $F_{1} (0, 3)$ និង $F_{2} (0, - 3)$ ។ ចំណុច $P$ នៅលើអ៊ីពែបូលមាន $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = 2$ ។ តាមនិយមន័យ ចូររកសមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលនោះ ។

ជំហានទី១ — អានផ្ចិតពីកំណុំ
ផ្ចិតគឺចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $F_{1} F_{2}$ ៖

$O (\frac{0 + 0}{2}; \frac{3 + ( - 3 )}{2}) = O (0, 0)$

ហេតុអ្វី តាមលក្ខណៈ ផ្ចិតជាកណ្តាលអង្កត់ $F_{1} F_{2}$ ហើយកណ្តាលគណនាដោយមធ្យមកូអរដោនេ ។

ជំហានទី២ — អាន $c$
$c$ ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំ ៖

$c = O F_{1} = (0 - 0)^{2} + (3 - 0)^{2} = 3$

ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យនៃ $c$ ហើយយើងគណនាវាដោយរូបមន្តចម្ងាយ ។

ជំហានទី៣ — អាន $a$ ពីនិយមន័យ
តាមនិយមន័យ $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = 2 a$ ដូច្នេះ

$2 a = 2 ⟹ a = 1$

ហេតុអ្វី តម្លៃថេរក្នុងនិយមន័យគឺ $2 a$ ព្រោះ $V_{1} V_{2} = 2 a$ ។ នេះជាចំណុចដែលសិស្សច្រើនភ្លេច៖ តម្លៃថេរ មិនមែន $a$ ទេ តែ $2 a$ ។

ជំហានទី៤ — គណនា $b^{2}$
ពី $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ៖

$b^{2} = c^{2} - a^{2} = 9 - 1 = 8$

ហេតុអ្វី នៅទីនេះយើងដឹង $c$ និង $a$ ហើយរក $b$ ។ ដូច្នេះត្រូវដក ។

ជំហានទី៥ — ជ្រើសទម្រង់ត្រឹមត្រូវ
កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឈរ ដូច្នេះអ័ក្សទទឹងឈរ ហើយពាក្យ $y^{2}$ ត្រូវមានសញ្ញាបូក ៖

$\frac{y ^{2}}{1} - \frac{x ^{2}}{8} = 1$

ហេតុអ្វី ទាំងពីរកំណុំមាន $x = 0$ ដូច្នេះអ័ក្សទទឹងគឺអ័ក្សអរដោនេ ហើយយើងប្រើទម្រង់ទីពីរនៃ ។

ជំហានទី៦ — ត្រួតពិនិត្យដោយចំណុចកំពូល
កំពូលគឺ $V (0, \pm 1)$ ។ យក $P (0, 1)$ ៖

$P F_{1} = ∣ 3 - 1 ∣ = 2, P F_{2} = ∣ 1 - (- 3) ∣ = 4, ∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = ∣ 2 - 4 ∣ = 2$

ដែលស្មើនឹងតម្លៃថេរដែលឱ្យ ។
ហេតុអ្វី កំពូលគឺជាចំណុចងាយបំផុតសម្រាប់ផ្ទៀងផ្ទាត់ ព្រោះវាស្ថិតនៅលើអ័ក្ស ដូច្នេះចម្ងាយគណនាបានភ្លាម ។

ផ្នែក 13

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៤

ចំណោទ រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងអ៊ីពែបូល $9 x^{2} - 4 y^{2} = 36$ ដែលកាត់តាមចំណុច $(1, 0)$ ។

ជំហានទី១ — សរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដារ
ចែកនឹង $36$ ៖

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$

ដូច្នេះ $a^{2} = 4$ និង $b^{2} = 9$ ។
ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌប៉ះខាងក្រោមសរសេរតាម $a^{2}$ និង $b^{2}$ ដូច្នេះត្រូវមានទម្រង់ស្តង់ដារមុន ។

ជំហានទី២ — ពិនិត្យបន្ទាត់ឈរ
បន្ទាត់ឈរកាត់ $(1, 0)$ គឺ $x = 1$ ។ ជំនួស៖ $9 - 4 y^{2} = 36$ គឺ $y^{2} = - \frac{27}{4} < 0$ ដែលគ្មានឫសពិត ។ ដូច្នេះ $x = 1$ មិនប្រសព្វក្រាបទេ ។
ហេតុអ្វី បើយើងមិនពិនិត្យករណីនេះទេ យើងអាចខកខានចម្លើយ ឬសរសេរចម្លើយខុស ។ នៅទីនេះ ករណីនេះចោលបាន ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រូវមានមេគុណប្រាណ ។

ជំហានទី៣ — សរសេរបន្ទាត់កាត់តាម $(1, 0)$

$y = m (x - 1) = m x - m$

ដូច្នេះ $k = - m$ ក្នុងទម្រង់ $y = m x + k$ ។
ហេតុអ្វី បន្ទាត់ទាំងអស់កាត់ $(1, 0)$ លើកលែងតែបន្ទាត់ឈរ ដែលយើងបានច្រានចោលហើយ ។

ជំហានទី៤ — ជំនួសក្នុងសមីការ
ជំនួស $y = m (x - 1)$ ក្នុង $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ៖

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{m ^{2} ( x - 1 ) ^{2}}{9} = 1$

គុណនឹង $36$ ៖

$9 x^{2} - 4 m^{2} (x - 1)^{2} = 36$

ហេតុអ្វី ចំណុចប្រសព្វគឺជាឫសនៃសមីការនេះ ។ បើបន្ទាត់ប៉ះ នោះមានឫសតែមួយ (ឫសឌុប) ។

ជំហានទី៥ — រៀបជាសមីការដឺក្រេទី២

$(9 - 4 m^{2}) x^{2} + 8 m^{2} x - (4 m^{2} + 36) = 0$

ហេតុអ្វី យើងពន្លាត $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ រួចប្រមូលពាក្យតាមស្វ័យគុណនៃ $x$ ។ មេគុណគឺ $9 - 4 m^{2}$ , $8 m^{2}$ និង $- (4 m^{2} + 36)$ ។

ជំហានទី៦ — ដាក់ឌីស្គ្រីមីណង់ស្មើ $0$

$Δ = (8 m^{2})^{2} + 4 (9 - 4 m^{2}) (4 m^{2} + 36) = 1296 - 432 m^{2}$

ដាក់ $Δ = 0$ ៖ $432 m^{2} = 1296$ ដូច្នេះ $m^{2} = 3$ ហើយ $m = \pm 3$ ។
ហេតុអ្វី ឫសឌុបមានន័យថា $Δ = 0$ ; នេះជាលក្ខខណ្ឌប៉ះ អនុវត្តតាមឌីស្គ្រីមីណង់ ។ ដោយ $m^{2} = 3$ មានបន្ទាត់ប៉ះពីរ ។

ជំហានទី៧ — សរសេរសមីការ

$y = 3 (x - 1) និង / and y = - 3 (x - 1)$

ឬក្នុងទម្រង់ទូទៅ $3 x - y - 3 = 0$ និង $3 x + y - 3 = 0$ ។
ហេតុអ្វី ជំនួស $m = \pm 3$ ក្នុង $y = m (x - 1)$ ។

ជំហានទី៨ — រកចំណុចប៉ះ
សម្រាប់ $m = 3$ ឫសឌុបគឺ

$x = - \frac{8 m ^{2}}{2 ( 9 - 4 m ^{2} )} = - \frac{24}{2 ( 9 - 12 )} = 4, y = 3 (4 - 1) = 33$

ដូចគ្នា សម្រាប់ $m = - 3$ គេបានចំណុច $(4, - 33)$ ។ ពិនិត្យ៖ $\frac{16}{4} - \frac{27}{9} = 4 - 3 = 1$ ✓ ។
ហេតុអ្វី ចំណុចប៉ះគឺជាឫសឌុប $x = - \frac{B}{2 A}$ នៃសមីការដឺក្រេទី២ ហើយការពិនិត្យចុងក្រោយបញ្ជាក់ថាចំណុចនោះពិតជានៅលើក្រាប ។

ផ្នែក 14

លំហាត់ទី ១

១. រកទម្រង់ស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមាន ៖

ក. ផ្ចិត $(4, - 1)$ កំពូល $(6, - 1)$ និងកំណុំ $(7, - 1)$

ខ. ផ្ចិត $(- 3, 1)$ កំពូល $(- 3, 4)$ និងកំណុំ $(- 3, 6)$

គ. ផ្ចិត $(1, 4)$ កំពូល $(0, 4)$ និងកំណុំ $(- 2, 4)$

ឃ. កំណុំ $(- 4, 0)$ កំពូល $(- 4, 4)$ និង $(- 4, 2)$

ង. កំពូល $(- 1, - 1)$ និង $(3, - 1)$ អាស៊ីមតូត $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3}$

ច. កំពូល $(1, - 3)$ និង $(1, 1)$ អាស៊ីមតូត $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

វិធីធ្វើទូទៅ សម្រាប់គ្រប់ចំណុច៖ ផ្ចិតឱ្យ $I (h, k)$ ; $a$ ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំពូល; $c$ ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំ; បន្ទាប់មក $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ ។ ទិសអ័ក្សទទឹងកំណត់ដោយថាតើកំពូលផ្លាស់តាមទិសដេក ឬទិសឈរ ។

ក. កំពូល $(6, - 1)$ មាន $y$ ដូចផ្ចិត ដូច្នេះអ័ក្សទទឹងដេក ហើយ

$a = 6 - 4 = 2, c = 7 - 4 = 3, b^{2} = 9 - 4 = 5$

$\frac{( x - 4 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 1 ) ^{2}}{5} = 1$

ខ. កំពូល $(- 3, 4)$ មាន $x$ ដូចផ្ចិត ដូច្នេះអ័ក្សទទឹងឈរ ហើយ

$a = 4 - 1 = 3, c = 6 - 1 = 5, b^{2} = 25 - 9 = 16$

$\frac{( y - 1 ) ^{2}}{9} - \frac{( x + 3 ) ^{2}}{16} = 1$

គ. កំពូល $(0, 4)$ និងកំណុំ $(- 2, 4)$ ស្ថិតនៅខាងឆ្វេងផ្ចិត $(1, 4)$ ដូច្នេះអ័ក្សទទឹងដេក ហើយ

$a = ∣ 0 - 1 ∣ = 1, c = ∣ - 2 - 1 ∣ = 3, b^{2} = 9 - 1 = 8$

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{1} - \frac{( y - 4 ) ^{2}}{8} = 1$

ឃ. នៅទីនេះគេឱ្យកំពូលពីរ មិនមែនផ្ចិត ។ ផ្ចិតគឺកណ្តាលនៃកំពូលទាំងពីរ ៖

$I (- 4; \frac{4 + 2}{2}) = I (- 4, 3)$

ដោយកំពូលទាំងពីរមាន $x = - 4$ អ័ក្សទទឹងឈរ ។ ដូច្នេះ

$a = \frac{4 - 2}{2} = 1, c = ∣ 0 - 3 ∣ = 3, b^{2} = 9 - 1 = 8$

$\frac{( y - 3 ) ^{2}}{1} - \frac{( x + 4 ) ^{2}}{8} = 1$

ង. ផ្ចិតគឺកណ្តាលនៃកំពូល $(- 1, - 1)$ និង $(3, - 1)$ ៖

$I (\frac{- 1 + 3}{2}; - 1) = I (1, - 1), a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2$

អាស៊ីមតូត $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3}$ សរសេរជា $y + 1 = \frac{3}{2} (x - 1)$ ដូច្នេះមេគុណប្រាណគឺ $\frac{3}{2}$ ។ ដោយអ័ក្សទទឹងដេក $\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ ហើយ $b = 3$ ។ ដូច្នេះ

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 1 ) ^{2}}{9} = 1$

ច. ផ្ចិតគឺកណ្តាលនៃកំពូល $(1, - 3)$ និង $(1, 1)$ ៖

$I (1; \frac{- 3 + 1}{2}) = I (1, - 1), a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2$

អ័ក្សទទឹងឈរ ដូច្នេះមេគុណប្រាណអាស៊ីមតូតគឺ $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ដែលផ្តល់ $b = \frac{2 a}{3} = \frac{4}{3}$ ។ ដូច្នេះ

$\frac{( y + 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{16/9} = 1 ឬ / or \frac{( y + 1 ) ^{2}}{4} - \frac{9 ( x - 1 ) ^{2}}{16} = 1$

ចំណាំ ក្នុង ង និង ច អាស៊ីមតូតគឺជាបន្ទាត់តែមួយ តែអ័ក្សទទឹងខុសគ្នា ។ ដូច្នេះផលធៀប $\frac{b}{a}$ និង $\frac{a}{b}$ ត្រូវជ្រើសតាមទិសអ័ក្ស ។

ផ្នែក 15

លំហាត់ទី ២

២. សង់អ៊ីពែបូល និងអាស៊ីមតូតរបស់វា ៖

ក. $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$

ខ. $\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{16} = 1$

គ. $y^{2} - 4 x^{2} = 16$

ឃ. $x^{2} - y^{2} = 1$

ង. $\frac{( y + 2 ) ^{2}}{9} - \frac{( x + 2 ) ^{2}}{4} = 1$

ច. $y^{2} - x^{2} = 25$

ឆ. $9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$

ជ. $y^{2} - x^{2} = 1$

ឈ. $x^{2} - 5 y^{2} = 25$

ញ. $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{25} - \frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} = 1$

ដ. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$

ឋ. $\frac{( y + 3 ) ^{2}}{4} - \frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} = 1$

ឌ. $\frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4/9} = 1$

ឍ. $(y - 3)^{2} - (x + 2)^{2} = 1$

ណ. $(x + 1)^{2} - (y + 2)^{2} = 1$

ត. $(y - 2)^{2} - (x - 2)^{2} = 1$

ដោះស្រាយបន្ថែម

វិធីសង់ (១) សរសេរសមីការជាទម្រង់ស្តង់ដារដោយចែកនឹងចំនួនថេរ ។ (២) អានផ្ចិត $(h, k)$ , $a$ និង $b$ ; គូសចតុកោណកែង $2 a \times 2 b$ ដោយផ្ចិតនៅ $(h, k)$ ។ (៣) គូសអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ (អាស៊ីមតូត) ។ (៤) គូសសាខាពីកំពូលទាំងពីរ ដោយប៉ះនឹងជ្រុងចតុកោណកែង ហើយរត់ទៅជិតអាស៊ីមតូត ។

	សមីការស្តង់ដារ / Standard form	ផ្ចិត / Centre	អ័ក្ស / Axis	$a$	$b$	$c$	កំពូល / Vertices	អាស៊ីមតូត / Asymptotes
ក	$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$	$(0, 0)$	ដេក / H	$3$	$4$	$5$	$(\pm 3, 0)$	$y = \pm \frac{4}{3} x$
ខ	$\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{16} = 1$	$(0, 0)$	ឈរ / V	$3$	$4$	$5$	$(0, \pm 3)$	$y = \pm \frac{3}{4} x$
គ	$\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{4} = 1$	$(0, 0)$	ឈរ / V	$4$	$2$	$25$	$(0, \pm 4)$	$y = \pm 2 x$
ឃ	$\frac{x ^{2}}{1} - \frac{y ^{2}}{1} = 1$	$(0, 0)$	ដេក / H	$1$	$1$	$2$	$(\pm 1, 0)$	$y = \pm x$
ង	$\frac{( y + 2 ) ^{2}}{9} - \frac{( x + 2 ) ^{2}}{4} = 1$	$(- 2, - 2)$	ឈរ / V	$3$	$2$	$13$	$(- 2, 1)$ , $(- 2, - 5)$	$y + 2 = \pm \frac{3}{2} (x + 2)$
ច	$\frac{y ^{2}}{25} - \frac{x ^{2}}{25} = 1$	$(0, 0)$	ឈរ / V	$5$	$5$	$52$	$(0, \pm 5)$	$y = \pm x$
ឆ	$\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$	$(0, 0)$	ដេក / H	$4$	$3$	$5$	$(\pm 4, 0)$	$y = \pm \frac{3}{4} x$
ជ	$\frac{y ^{2}}{1} - \frac{x ^{2}}{1} = 1$	$(0, 0)$	ឈរ / V	$1$	$1$	$2$	$(0, \pm 1)$	$y = \pm x$
ឈ	$\frac{x ^{2}}{25} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$	$(0, 0)$	ដេក / H	$5$	$5$	$30$	$(\pm 5, 0)$	$y = \pm \frac{5}{5} x$
ញ	$\frac{( x - 3 ) ^{2}}{25} - \frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} = 1$	$(3, 1)$	ដេក / H	$5$	$2$	$29$	$(- 2, 1)$ , $(8, 1)$	$y - 1 = \pm \frac{2}{5} (x - 3)$
ដ	$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$	$(2, - 3)$	ដេក / H	$2$	$3$	$13$	$(0, - 3)$ , $(4, - 3)$	$y + 3 = \pm \frac{3}{2} (x - 2)$
ឋ	$\frac{( y + 3 ) ^{2}}{4} - \frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} = 1$	$(2, - 3)$	ឈរ / V	$2$	$3$	$13$	$(2, - 1)$ , $(2, - 5)$	$y + 3 = \pm \frac{2}{3} (x - 2)$
ឍ	$(y - 3)^{2} - (x + 2)^{2} = 1$	$(- 2, 3)$	ឈរ / V	$1$	$1$	$2$	$(- 2, 2)$ , $(- 2, 4)$	$y - 3 = \pm (x + 2)$
ណ	$(x + 1)^{2} - (y + 2)^{2} = 1$	$(- 1, - 2)$	ដេក / H	$1$	$1$	$2$	$(- 2, - 2)$ , $(0, - 2)$	$y + 2 = \pm (x + 1)$
ត	$(y - 2)^{2} - (x - 2)^{2} = 1$	$(2, 2)$	ឈរ / V	$1$	$1$	$2$	$(2, 1)$ , $(2, 3)$	$y - 2 = \pm (x - 2)$

ចំណាំសំខាន់អំពីចំណុច ឌ / Important note on part ឌ. សមីការដែលបានបោះពុម្ពគឺ $\frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4/9} = 1$ ដែលមានសញ្ញាបូក ។ តាមលក្ខខណ្ឌ $A \cdot B < 0$ សញ្ញាបូកនេះផ្តល់អេលីប មិនមែនអ៊ីពែបូលទេ ៖ ផ្ចិត $(2, 1)$ អ័ក្សពាក់កណ្តាល $2$ តាមទិសឈរ និង $\frac{2}{3}$ តាមទិសដេក ។ យើងរក្សាសមីការដូចបោះពុម្ព ហើយសម្គាល់វានៅក្នុងបញ្ជីចន្លោះប្រហោង ។ បើអានជាសញ្ញាដក នោះគេបានអ៊ីពែបូល $\frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4/9} = 1$ ដែលមាន $a = 2$ , $b = \frac{2}{3}$ , $c = \frac{2 10}{3}$ និងអាស៊ីមតូត $y - 1 = \pm 3 (x - 2)$ ។

ផ្នែក 16

លំហាត់ទី ៣

៣. រកផ្ចិត កំណុំ កំពូល អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ និងអាស៊ីមតូតនៃអ៊ីពែបូលខាងក្រោម បន្ទាប់មកសង់ក្រាបនៃអ៊ីពែបូលនោះ ៖

ក. $y^{2} - \frac{x ^{2}}{4} = 1$

ខ. $5 y^{2} = 4 x^{2} + 20$

គ. $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 2 ) ^{2}}{1} = 1$

ឃ. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$

ង. $4 (x - 2)^{2} - 9 (y + 3)^{2} = 36$

ច. $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

ឆ. $4 x^{2} - y^{2} + 8 x + 2 y - 1 = 0$

ជ. $x^{2} - y^{2} - 2 x - 2 y - 1 = 0$

ឈ. $y^{2} - 4 x^{2} - 16 x - 2 y - 19 = 0$

ញ. $3 y^{2} - x^{2} + 6 x - 12 y = 0$

ដ. $4 x^{2} - 5 y^{2} - 16 x + 10 y + 31 = 0$

ឋ. $4 x^{2} - 9 y^{2} + 32 x + 18 y + 91 = 0$

ឌ. $- x^{2} + 4 y^{2} - 2 x - 16 y + 11 = 0$

ឍ. $25 x^{2} - 16 y^{2} + 250 x + 32 y + 109 = 0$

ដោះស្រាយបន្ថែម

គំរូធ្វើមួយជំហានៗ សម្រាប់ចំណុច ច / Full step-by-step for part ច. $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$ ។ (១) $A = 9$ , $B = - 1$ , $A \cdot B < 0$ ដូច្នេះជាអ៊ីពែបូល ។ (២) ដាក់ក្រុម ៖ $(9 x^{2} - 36 x) - (y^{2} + 6 y) + 18 = 0$ ។ (៣) ដកមេគុណ ៖ $9 (x^{2} - 4 x) - (y^{2} + 6 y) + 18 = 0$ ។ (៤) បំពេញការេ ៖ $9 [(x - 2)^{2} - 4] - [(y + 3)^{2} - 9] + 18 = 0$ ។ (៥) បង្រួម ៖ $9 (x - 2)^{2} - (y + 3)^{2} = 9$ ។ (៦) ចែកនឹង $9$ ៖ $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$ ។ (៧) អាន ៖ ផ្ចិត $(2, - 3)$ , $a = 1$ , $b = 3$ , $c = 10$ , $e = 10$ ។ (៨) កំពូល $(1, - 3)$ និង $(3, - 3)$ ; កំណុំ $(2 \pm 10, - 3)$ ; អាស៊ីមតូត $y + 3 = \pm 3 (x - 2)$ ។

	ទម្រង់ស្តង់ដារ / Standard form	ផ្ចិត / Centre	អ័ក្ស	$a$	$b$	$c$	$e$	កំពូល / Vertices	កំណុំ / Foci	អាស៊ីមតូត / Asymptotes
ក	$\frac{y ^{2}}{1} - \frac{x ^{2}}{4} = 1$	$(0, 0)$	ឈរ / V	$1$	$2$	$5$	$5$	$(0, - 1)$ , $(0, 1)$	$(0, \pm 5)$	$y = \pm \frac{1}{2} x$
ខ	$\frac{y ^{2}}{4} - \frac{x ^{2}}{5} = 1$	$(0, 0)$	ឈរ / V	$2$	$5$	$3$	$\frac{3}{2}$	$(0, - 2)$ , $(0, 2)$	$(0, \pm 3)$	$y = \pm \frac{2 5}{5} x$
គ	$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 2 ) ^{2}}{1} = 1$	$(1, - 2)$	ដេក / H	$2$	$1$	$5$	$\frac{5}{2}$	$(- 1, - 2)$ , $(3, - 2)$	$(1 \pm 5, - 2)$	$y + 2 = \pm \frac{1}{2} (x - 1)$
ឃ	$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$	$(2, - 3)$	ដេក / H	$2$	$3$	$13$	$\frac{13}{2}$	$(0, - 3)$ , $(4, - 3)$	$(2 \pm 13, - 3)$	$y + 3 = \pm \frac{3}{2} (x - 2)$
ង	$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{4} = 1$	$(2, - 3)$	ដេក / H	$3$	$2$	$13$	$\frac{13}{3}$	$(- 1, - 3)$ , $(5, - 3)$	$(2 \pm 13, - 3)$	$y + 3 = \pm \frac{2}{3} (x - 2)$
ច	$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$	$(2, - 3)$	ដេក / H	$1$	$3$	$10$	$10$	$(1, - 3)$ , $(3, - 3)$	$(2 \pm 10, - 3)$	$y + 3 = \pm 3 (x - 2)$
ឆ	$\frac{( x + 1 ) ^{2}}{1} - \frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} = 1$	$(- 1, 1)$	ដេក / H	$1$	$2$	$5$	$5$	$(- 2, 1)$ , $(0, 1)$	$(- 1 \pm 5, 1)$	$y - 1 = \pm 2 (x + 1)$
ជ	$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{1} - \frac{( y + 1 ) ^{2}}{1} = 1$	$(1, - 1)$	ដេក / H	$1$	$1$	$2$	$2$	$(0, - 1)$ , $(2, - 1)$	$(1 \pm 2, - 1)$	$y + 1 = \pm (x - 1)$
ឈ	$\frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( x + 2 ) ^{2}}{1} = 1$	$(- 2, 1)$	ឈរ / V	$2$	$1$	$5$	$\frac{5}{2}$	$(- 2, - 1)$ , $(- 2, 3)$	$(- 2, 1 \pm 5)$	$y - 1 = \pm 2 (x + 2)$
ញ	$\frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( x - 3 ) ^{2}}{3} = 1$	$(3, 2)$	ឈរ / V	$1$	$3$	$2$	$2$	$(3, 1)$ , $(3, 3)$	$(3, 0)$ , $(3, 4)$	$y - 2 = \pm \frac{3}{3} (x - 3)$
ដ	$\frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( x - 2 ) ^{2}}{5} = 1$	$(2, 1)$	ឈរ / V	$2$	$5$	$3$	$\frac{3}{2}$	$(2, - 1)$ , $(2, 3)$	$(2, - 2)$ , $(2, 4)$	$y - 1 = \pm \frac{2 5}{5} (x - 2)$
ឋ	$\frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( x + 4 ) ^{2}}{9} = 1$	$(- 4, 1)$	ឈរ / V	$2$	$3$	$13$	$\frac{13}{2}$	$(- 4, - 1)$ , $(- 4, 3)$	$(- 4, 1 \pm 13)$	$y - 1 = \pm \frac{2}{3} (x + 4)$
ឌ	$\frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} = 1$	$(- 1, 2)$	ឈរ / V	$1$	$2$	$5$	$5$	$(- 1, 1)$ , $(- 1, 3)$	$(- 1, 2 \pm 5)$	$y - 2 = \pm \frac{1}{2} (x + 1)$
ឍ	$\frac{( x + 5 ) ^{2}}{20} - \frac{( y - 1 ) ^{2}}{125/4} = 1$	$(- 5, 1)$	ដេក / H	$25$	$\frac{5 5}{2}$	$\frac{205}{2}$	$\frac{41}{4}$	$(- 5 \pm 25, 1)$	$(- 5 \pm \frac{205}{2}, 1)$	$y - 1 = \pm \frac{5}{4} (x + 5)$

ការសង់ក្រាប គ្រប់ករណី សង់ចតុកោណកែង $2 a \times 2 b$ ដោយផ្ចិតនៅចំណុចដែលបាន រួចគូសអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរជាអាស៊ីមតូអត ។ សាខាចេញពីកំពូលនីមួយៗ ហើយប៉ះជ្រុងចតុកោណកែង ។ បើ $a < b$ សាខាតូចចង្អៀត; បើ $a > b$ សាខាបើកធំ ។

ត្រួតពិនិត្យ ក្នុងគ្រប់ករណី $e > 1$ ។ បើការគណនាផ្តល់ $e < 1$ នោះមានកំហុសក្នុងការបំពេញការេ ឬក្នុងការអាន $a$ និង $b$ ។

ផ្នែក 17

លំហាត់ទី ៤

៤. រកផ្ចិត អ័ក្សទទឹង កំពូល និងកំណុំរបស់អ៊ីពែបូល ដែលមានសមីការដូចខាងក្រោម ៖

ក. $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} - (y + 2)^{2} = 1$

ខ. $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{144} - (y + 2)^{2} = 1$

គ. $(x + 6)^{2} - (y - 2)^{2} = 1$

ឃ. $4 (y - 1)^{2} - 9 (x + 3)^{2} = 1$

ង. $(y - 2)^{2} - 4 (x + 2)^{2} = 1$

ច. $(x + 4)^{2} - 9 (y - 3)^{2} = 1$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ចំណាំវិធី ក្នុងចំណុច ឃ, ង, ច មេគុណនៅពីមុខវង់ក្រចកមិនមែន $1$ ទេ ។ ត្រូវចែកអង្គទាំងពីរនឹងមេគុណនោះមុន ៖

$4 (y - 1)^{2} - 9 (x + 3)^{2} = 1 ⟹ \frac{( y - 1 ) ^{2}}{1/4} - \frac{( x + 3 ) ^{2}}{1/9} = 1$

	សមីការស្តង់ដារ / Standard form	ផ្ចិត / Centre	អ័ក្សទទឹង / Transverse axis	$a$	$b$	$c$	កំពូល / Vertices	កំណុំ / Foci
ក	$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 2 ) ^{2}}{1} = 1$	$(1, - 2)$	$y = - 2$ (ស្រប $x^{'} x$ / ∥ $x^{'} x$ )	$2$	$1$	$5$	$(- 1, - 2)$ , $(3, - 2)$	$(1 \pm 5, - 2)$
ខ	$\frac{( x + 1 ) ^{2}}{144} - \frac{( y + 2 ) ^{2}}{1} = 1$	$(- 1, - 2)$	$y = - 2$ (ស្រប $x^{'} x$ / ∥ $x^{'} x$ )	$12$	$1$	$145$	$(- 13, - 2)$ , $(11, - 2)$	$(- 1 \pm 145, - 2)$
គ	$\frac{( x + 6 ) ^{2}}{1} - \frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} = 1$	$(- 6, 2)$	$y = 2$ (ស្រប $x^{'} x$ / ∥ $x^{'} x$ )	$1$	$1$	$2$	$(- 7, 2)$ , $(- 5, 2)$	$(- 6 \pm 2, 2)$
ឃ	$\frac{( y - 1 ) ^{2}}{1/4} - \frac{( x + 3 ) ^{2}}{1/9} = 1$	$(- 3, 1)$	$x = - 3$ (ស្រប $y^{'} y$ / ∥ $y^{'} y$ )	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{6}$	$(- 3, \frac{1}{2})$ , $(- 3, \frac{3}{2})$	$(- 3, 1 \pm \frac{13}{6})$
ង	$\frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( x + 2 ) ^{2}}{1/4} = 1$	$(- 2, 2)$	$x = - 2$ (ស្រប $y^{'} y$ / ∥ $y^{'} y$ )	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{2}$	$(- 2, 1)$ , $(- 2, 3)$	$(- 2, 2 \pm \frac{5}{2})$
ច	$\frac{( x + 4 ) ^{2}}{1} - \frac{( y - 3 ) ^{2}}{1/9} = 1$	$(- 4, 3)$	$y = 3$ (ស្រប $x^{'} x$ / ∥ $x^{'} x$ )	$1$	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{3}$	$(- 5, 3)$ , $(- 3, 3)$	$(- 4 \pm \frac{10}{3}, 3)$

ចំណាំ ក្នុងចំណុច ខ គេបាន $a = 12$ និង $b = 1$ ដូច្នេះ $e = \frac{145}{12} \approx 1.003$ ជិត $1$ ខ្លាំង ។ នេះមានន័យថាសាខាទាំងពីរតូចចង្អៀតខ្លាំង ហើយនៅលើក្រដាសវាស្រដៀងនឹងបន្ទាត់ដេកពីរ ។

ផ្នែក 18

លំហាត់ទី ៥

៥. បំលែងទម្រង់ទូទៅនៃសមីការអ៊ីពែបូលខាងក្រោម ជាទម្រង់ស្តង់ដារ រួចសង់ក្រាបរបស់វា ៖

ក. $x^{2} - 9 y^{2} + 36 y - 72 = 0$

ខ. $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y + 62 = 0$

គ. $16 y^{2} - x^{2} + 2 x + 64 y + 62 = 0$

ឃ. $x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 81 = 0$

ង. $9 x^{2} - y^{2} + 54 x + 10 y + 55 = 0$

ច. $2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y + 3 = 0$

ឆ. $2 x^{2} - y^{2} + 4 y + 4 x - 4 = 0$

ជ. $y^{2} - x^{2} - 4 y + 4 x - 1 = 0$

ឈ. $y^{2} - 4 x^{2} - 16 x - 2 y - 19 = 0$

ដោះស្រាយបន្ថែម

គំរូធ្វើមួយជំហានៗ សម្រាប់ចំណុច ក / Full step-by-step for part ក. $x^{2} - 9 y^{2} + 36 y - 72 = 0$ ។ (១) $A = 1$ , $B = - 9$ , $A \cdot B < 0$ : អ៊ីពែបូល ។ (២) ដាក់ក្រុម ៖ $x^{2} - 9 (y^{2} - 4 y) - 72 = 0$ ។ (៣) បំពេញការេ ៖ $x^{2} - 9 [(y - 2)^{2} - 4] - 72 = 0$ ។ (៤) បង្រួម ៖ $x^{2} - 9 (y - 2)^{2} + 36 - 72 = 0$ គឺ $x^{2} - 9 (y - 2)^{2} = 36$ ។ (៥) ចែកនឹង $36$ ៖ $\frac{x ^{2}}{36} - \frac{( y - 2 ) ^{2}}{4} = 1$ ។ (៦) អាន ៖ ផ្ចិត $(0, 2)$ , $a = 6$ , $b = 2$ , $c = 40 = 210 \approx 6.32$ , $e = \frac{2 10}{6} = \frac{10}{3} \approx 1.05$ ។ (៧) កំពូល $(- 6, 2)$ និង $(6, 2)$ ; កំណុំ $(\pm 210, 2)$ ; អាស៊ីមតូត $y - 2 = \pm \frac{1}{3} x$ ។

	ទម្រង់ស្តង់ដារ / Standard form	ផ្ចិត / Centre	អ័ក្ស	$a$	$b$	$c$	$e$	កំពូល / Vertices	អាស៊ីមតូត / Asymptotes
ក	$\frac{x ^{2}}{36} - \frac{( y - 2 ) ^{2}}{4} = 1$	$(0, 2)$	ដេក / H	$6$	$2$	$210$	$\frac{10}{3}$	$(\pm 6, 2)$	$y - 2 = \pm \frac{1}{3} x$
ខ	$\frac{( y + 3 ) ^{2}}{2} - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{18} = 1$	$(1, - 3)$	ឈរ / V	$2$	$32$	$25$	$10$	$(1, - 3 \pm 2)$	$y + 3 = \pm \frac{1}{3} (x - 1)$
គ	$\frac{( y + 2 ) ^{2}}{1/16} - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{1} = 1$	$(1, - 2)$	ឈរ / V	$\frac{1}{4}$	$1$	$\frac{17}{4}$	$17$	$(1, - 2 \pm \frac{1}{4})$	$y + 2 = \pm \frac{1}{4} (x - 1)$
ឃ	$\frac{( x + 1 ) ^{2}}{1} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{1/9} = 1$	$(- 1, - 3)$	ដេក / H	$1$	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{10}{3}$	$(- 2, - 3)$ , $(0, - 3)$	$y + 3 = \pm \frac{1}{3} (x + 1)$
ង	$\frac{( x + 3 ) ^{2}}{1/9} - \frac{( y - 5 ) ^{2}}{1} = 1$	$(- 3, 5)$	ដេក / H	$\frac{1}{3}$	$1$	$\frac{10}{3}$	$10$	$(- 3 \pm \frac{1}{3}, 5)$	$y - 5 = \pm 3 (x + 3)$
ច	$\frac{( y + 2 ) ^{2}}{2} - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} = 1$	$(1, - 2)$	ឈរ / V	$2$	$2$	$6$	$3$	$(1, - 2 \pm 2)$	$y + 2 = \pm \frac{2}{2} (x - 1)$
ឆ	$\frac{( x + 1 ) ^{2}}{1} - \frac{( y - 2 ) ^{2}}{2} = 1$	$(- 1, 2)$	ដេក / H	$1$	$2$	$3$	$3$	$(- 2, 2)$ , $(0, 2)$	$y - 2 = \pm 2 (x + 1)$
ជ	$\frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( x - 2 ) ^{2}}{1} = 1$	$(2, 2)$	ឈរ / V	$1$	$1$	$2$	$2$	$(2, 1)$ , $(2, 3)$	$y - 2 = \pm (x - 2)$
ឈ	$\frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( x + 2 ) ^{2}}{1} = 1$	$(- 2, 1)$	ឈរ / V	$2$	$1$	$5$	$\frac{5}{2}$	$(- 2, - 1)$ , $(- 2, 3)$	$y - 1 = \pm 2 (x + 2)$

ការសង់ក្រាប ដូចលំហាត់ទី ៣ ៖ ចតុកោណកែង $2 a \times 2 b$ ផ្ចិតនៅ $(h, k)$ អង្កត់ទ្រូងជាអាស៊ីមតូត សាខាចេញពីកំពូល ។ ចំណុច ឈ នៃលំហាត់ទី ៥ គឺជាសមីការដូចគ្នាបេះបិទនឹងចំណុច ឈ នៃលំហាត់ទី ៣ ដូច្នេះក្រាបរបស់វាក៏ដូចគ្នាដែរ ។

ផ្នែក 19

លំហាត់ទី ៦

៦. រកសមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូល ដែលដឹងថាមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម ៖

ក. មានកូអរដោនេផ្ចិត $(0, 0)$ កំពូល $(0, 2)$ និងកំណុំ $(0, 4)$ ។

ខ. មានកូអរដោនេផ្ចិត $(0, 0)$ កំពូល $(3, 0)$ និងកំណុំ $(5, 0)$ ។

គ. កំពូលទាំងពីរមានកូអរដោនេ $(\pm 1, 0)$ និងអាស៊ីមតូតទាំងពីរមានសមីការ $y = \pm 3 x$ ។

ឃ. កំពូលទាំងពីរមានកូអរដោនេ $(0, \pm 3)$ និងអាស៊ីមតូតទាំងពីរមានសមីការ $y = \pm 3 x$ ។

ង. កំពូលទាំងពីរមានកូអរដោនេ $(2, \pm 3)$ និងចំណុចមួយនៅលើក្រាបនៃអ៊ីពែបូលមានកូអរដោនេ $(0, 5)$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. កំពូល $(0, 2)$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សឈរ ដូច្នេះអ័ក្សទទឹងឈរ ហើយ $a = 2$ ; កំណុំ $(0, 4)$ ផ្តល់ $c = 4$ ។ ដូច្នេះ

$b^{2} = c^{2} - a^{2} = 16 - 4 = 12 ⟹ \frac{y ^{2}}{4} - \frac{x ^{2}}{12} = 1$

ខ. កំពូល $(3, 0)$ នៅលើអ័ក្សដេក ដូច្នេះ $a = 3$ ; កំណុំ $(5, 0)$ ផ្តល់ $c = 5$ ។ ដូច្នេះ

$b^{2} = 25 - 9 = 16 ⟹ \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$

គ. កំពូល $(\pm 1, 0)$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សដេក ដូច្នេះ $a = 1$ និងអ័ក្សទទឹងដេក ។ អាស៊ីមតូតមានមេគុណប្រាណ $\pm 3$ ហើយសម្រាប់អ័ក្សដេក មេគុណនោះគឺ $\frac{b}{a}$ ។ ដូច្នេះ $\frac{b}{1} = 3$ គឺ $b = 3$ ៖

$\frac{x ^{2}}{1} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$

ឃ. កំពូល $(0, \pm 3)$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សឈរ ដូច្នេះ $a = 3$ និងអ័ក្សទទឹងឈរ ។ ឥឡូវមេគុណប្រាណអាស៊ីមតូតគឺ $\frac{a}{b}$ ។ ដូច្នេះ $\frac{3}{b} = 3$ គឺ $b = 1$ ៖

$\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{1} = 1$

ង. កំពូលទាំងពីរមាន $x = 2$ ដូច្នេះផ្ចិតមាន $x = 2$ ហើយ $y$ ជាមធ្យមនៃ $- 3$ និង $3$ គឺ $0$ ។ ដូច្នេះ $I (2, 0)$ និង $a = 3$ ជាមួយអ័ក្សទទឹងឈរ ៖

$\frac{y ^{2}}{9} - \frac{( x - 2 ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$

ចំណុច $(0, 5)$ នៅលើក្រាប ដូច្នេះជំនួស $x = 0$ , $y = 5$ ៖

$\frac{25}{9} - \frac{4}{b ^{2}} = 1 ⟹ \frac{4}{b ^{2}} = \frac{16}{9} ⟹ b^{2} = \frac{9}{4}$

ដូច្នេះ

$\frac{y ^{2}}{9} - \frac{( x - 2 ) ^{2}}{9/4} = 1 ឬ / or \frac{y ^{2}}{9} - \frac{4 ( x - 2 ) ^{2}}{9} = 1$

ហេតុអ្វី ក្នុងគ្រប់ករណី យើងអាន $a$ ពីចម្ងាយផ្ចិត-កំពូល និង $c$ ពីចម្ងាយផ្ចិត-កំណុំ ឬអាន $b$ ពីមេគុណប្រាណអាស៊ីមតូត ។ បន្ទាប់មកប្រើ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ដើម្បីបំពេញចំនួនដែលខ្វះ ។ ក្នុង ង យើងប្រើចំណុចមួយនៅលើក្រាបដើម្បីរក $b$ ព្រោះគេមិនឱ្យកំណុំ ។

ផ្នែក 20

លំហាត់ទី ៧

៧. អ៊ីពែបូលមួយមានកំពូល $V_{1} (3, 0)$ និង $V_{2} (- 3, 0)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $P (5, 2)$ ។

១. រកសមីការស្តង់ដារ កូអរដោនេកំណុំ និងសមីការអាស៊ីមតូត ។

២. សង់អ៊ីពែបូលនោះ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ផ្ចិត និង $a$ កំពូលទាំងពីរស្ថិតនៅលើអ័ក្សដេក ហើយស៊ីមេទ្រីត្រង់ $O (0, 0)$ ។ ដូច្នេះ

$a = \frac{3 - ( - 3 )}{2} = 3$

សមីការមានទម្រង់ $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ។

រក $b^{2}$ ដោយចំណុច $P$ ជំនួស $x = 5$ , $y = 2$ ៖

$\frac{25}{9} - \frac{4}{b ^{2}} = 1 ⟹ \frac{4}{b ^{2}} = \frac{16}{9} ⟹ b^{2} = \frac{9}{4}$

ដូច្នេះ $b = \frac{3}{2}$ ហើយ

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{9/4} = 1 ឬ / or \frac{x ^{2}}{9} - \frac{4 y ^{2}}{9} = 1$

កំណុំ $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + \frac{9}{4} = \frac{45}{4}$ ដូច្នេះ $c = \frac{3 5}{2} \approx 3.35$ ។ កំណុំគឺ

$F_{1} (\frac{3 5}{2}, 0), F_{2} (- \frac{3 5}{2}, 0)$

អាស៊ីមតូត មេគុណប្រាណគឺ $\frac{b}{a} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$ ៖

$y = \frac{1}{2} x និង / and y = - \frac{1}{2} x$

ការសង់ គូសចតុកោណកែង $2 a = 6$ ដេក និង $2 b = 3$ ឈរ ផ្ចិត $O$ ។ អង្កត់ទ្រូងមានមេគុណប្រាណ $\pm \frac{1}{2}$ ។ សាខាស្តាំចេញពី $(3, 0)$ កាត់តាម $P (5, 2)$ ហើយឡើងទៅតាម $y = \frac{1}{2} x$ ។ ពិនិត្យ៖ $P (5, 2)$ ស្ថិតនៅលើអាស៊ីមតូតគ្រប់គ្រាន់ ( $y = \frac{5}{2} = 2.5 > 2$ ) ដូច្នេះក្រាបស្ថិតនៅក្រោមអាស៊ីមតូត ដែលត្រឹមត្រូវ ។
ហេតុអ្វី ចំណុចនៅលើសាខាតែងតែស្ថិតនៅខាងក្នុងចតុកោណកែង ពោលគឺក្រោមអាស៊ីមតូតនៅខាងស្តាំ ។

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

១. ប្រើទំនាក់ទំនងរបស់អេលីប / Using the ellipse relation. កំហុស៖ សរសេរ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ក្នុងអ៊ីពែបូល ហើយទាញថា $c < a$ ។ ការកែ៖ ក្នុងអ៊ីពែបូលទំនាក់ទំនងគឺ

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

ដូច្នេះ $c > a$ ជានិច្ច ។ បើគណនាបាន $c < a$ នោះដឹងភ្លាមថាមានកំហុស ។ — Wrong: writing $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ for a hyperbola and concluding $c < a$ . Correction: in a hyperbola $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , so $c > a$ always; if your computation gives $c < a$ you know at once that something is wrong.

២. យកតម្លៃថេរជា $a$ ជំនួស $2 a$ / Taking the constant as $a$ instead of $2 a$ . កំហុស៖ នៅពេលឃើញ «ផលដកចម្ងាយស្មើ $6$ » សរសេរ $a = 6$ ។ ការកែ៖ តម្លៃនោះគឺ $2 a$ ដូច្នេះ $a = 3$ ។ ហេតុផល៖ កំពូលទាំងពីរគឺ $2 a$ ពីគ្នា ហើយនិយមន័យវាស់ផលដករវាងចម្ងាយទាំងពីរ ។ — Wrong: reading "the difference of distances equals 6" and setting $a = 6$ . Correction: that value is $2 a$ , so $a = 3$ ; the vertices are $2 a$ apart and the definition measures the difference between the two distances.

៣. ដាក់ $a^{2}$ និង $b^{2}$ ខុសកន្លែង / Putting $a^{2}$ and $b^{2}$ in the wrong denominators. កំហុស៖ សរសេរ $\frac{x ^{2}}{b ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ ឬសន្មតថា $a$ នៅក្រោម $x^{2}$ ជានិច្ច ។ ការកែ៖ $a^{2}$ គឺជាភាគបែងនៃពាក្យវិជ្ជមាន ជានិច្ច ។ បើសមីការគឺ $\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{16} = 1$ នោះ $a = 3$ (អ័ក្សឈរ) ហើយ $b = 4$ ទោះបីជា $b > a$ ក៏ដោយ ។ — Wrong: writing $\frac{x ^{2}}{b ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ , or assuming $a$ is always under $x^{2}$ . Correction: $a^{2}$ is always the denominator of the positive term; in $\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{16} = 1$ we have $a = 3$ (vertical axis) and $b = 4$ , even though $b > a$ .

៤. គណនាអ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេខុស / Computing the eccentricity wrongly. កំហុស៖ សរសេរ $e = \frac{b}{a}$ ឬ $e = \frac{c}{b}$ ឬយក $e$ ជាមេគុណប្រាណអាស៊ីមតូត ។ ការកែ៖ $e = \frac{c}{a}$ តាមនិយមន័យ ហើយត្រូវតែបាន $e > 1$ ។ មេគុណប្រាណអាស៊ីមតូតគឺ $\frac{b}{a}$ ឬ $\frac{a}{b}$ ដែលជាចំនួនផ្សេង ។ — Wrong: $e = \frac{b}{a}$ , or $e = \frac{c}{b}$ , or taking $e$ to be the asymptote slope. Correction: $e = \frac{c}{a}$ by definition, and you must get $e > 1$ ; the asymptote slopes $\frac{b}{a}$ or $\frac{a}{b}$ are different numbers.

៥. បំពេញការេដោយមិនដកមេគុណចេញ / Completing the square without factoring out. កំហុស៖ ពី $4 x^{2} - 16 x$ សរសេរតែ $(2 x - 4)^{2}$ ឬបន្ថែម $- 16$ ដោយមិនគុណនឹង $4$ ។ ការកែ៖

$4 x^{2} - 16 x = 4 (x^{2} - 4 x) = 4 [(x - 2)^{2} - 4] = 4 (x - 2)^{2} - 16$

គឺត្រូវដក $4$ ចេញមុន ហើយចាំថាលេខថេរខាងក្នុងត្រូវគុណនឹង $4$ ពេលពន្លាតវិញ ។ — Wrong: turning $4 x^{2} - 16 x$ into $(2 x - 4)^{2}$ , or adding $- 16$ without multiplying by $4$ . Correction: factor out $4$ first, and remember the inner constant gets multiplied by $4$ when you expand back.

៦. ចែកតែម្ខាង ឬតែពាក្យមួយ / Dividing only one side, or only one term. កំហុស៖ ពី $9 (x - 2)^{2} - (y + 3)^{2} = 9$ សរសេរ $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} - (y + 3)^{2} = 1$ គឺចែកតែពាក្យទីមួយ ហើយទុកពាក្យទីពីរដើម ។ ការកែ៖ ចែកគ្រប់ពាក្យទាំងអស់នឹង $9$ ៖

$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{( y + 3 ) ^{2}}{9} = 1$

— Wrong: from $9 (x - 2)^{2} - (y + 3)^{2} = 9$ , writing $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} - (y + 3)^{2} = 1$ , i.e. dividing only the first term and leaving the second untouched. Correction: divide every term by $9$ .

៧. អានសញ្ញាក្នុងវង់ក្រចកខុស / Misreading the sign inside the bracket. កំហុស៖ ឃើញ $(x + 4)^{2}$ ហើយសរសេរ $h = 4$ ។ ការកែ៖ $(x + 4)^{2} = (x - (- 4))^{2}$ ដូច្នេះ $h = - 4$ ។ ដូចគ្នា $(y - 3)^{2}$ ផ្តល់ $k = 3$ ។ កំហុសនេះធ្វើឱ្យកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងអាស៊ីមតូតខុសទាំងអស់ ។ — Wrong: seeing $(x + 4)^{2}$ and writing $h = 4$ . Correction: $(x + 4)^{2} = (x - (- 4))^{2}$ , so $h = - 4$ ; likewise $(y - 3)^{2}$ gives $k = 3$ . This single slip shifts the vertices, the foci and the asymptotes.

៨. ភ្ជាប់សាខាទាំងពីរ / Joining the two branches. កំហុស៖ គូសខ្សែកោងជាប់គ្នាឆ្លងកាត់ចន្លោះរវាងកំពូលទាំងពីរ ដូចជាគូសរង្វង់មូល ។ ការកែ៖ អ៊ីពែបូលមានសាខាពីរដាច់ពីគ្នា ។ តាមសមីការ $\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} = 1 + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} \geq 1$ ដូច្នេះ $∣ x - h ∣ \geq a$ ហើយគ្មានចំណុចនៅចន្លោះ $h - a < x < h + a$ ទេ ។ — Wrong: drawing one continuous curve through the gap between the vertices, as if it were a circle or an ellipse. Correction: a hyperbola has two separate branches; since $\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} = 1 + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} \geq 1$ , we have $∣ x - h ∣ \geq a$ and there are no points with $h - a < x < h + a$ .

៩. ប្រើសញ្ញាដាច់ខាតមិនបាន / Dropping the absolute value. កំហាត់បែបទីតាំង (locus) ផ្តល់ចំណុចពីរ ហើយនិយាយថា «ផលដកចម្ងាយស្មើ $6$ » ។ កំហុស៖ សន្មតថា $P F_{1} - P F_{2} = 6$ ជានិច្ច ហើយទទួលបានតែសាខាមួយ ។ ការកែ៖ ត្រូវសរសេរ $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = 6$ ដែលផ្តល់សាខាទាំងពីរ ។ — In locus problems two points are given and "the difference of the distances equals 6". Wrong: assuming $P F_{1} - P F_{2} = 6$ always, which yields only one branch. Correction: write $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = 6$ , which yields both branches.

១០. ភ្លេចករណីបន្ទាត់ឈរ ក្នុងលំហាត់បន្ទាត់ប៉ះ / Forgetting the vertical case in tangent problems. កំហុស៖ សរសេរបន្ទាត់ជា $y = m (x - x_{0})$ តែម្នាក់ ហើយសន្មតថាបានគ្រប់ចម្លើយ ។ ការកែ៖ ត្រូវពិនិត្យបន្ទាត់ឈរ $x = x_{0}$ ដោយឡែក មុននឹងសន្និដ្ឋាន ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងឧទាហរណ៍គំរូទី ៤ បន្ទាត់ $x = 1$ មិនប្រសព្វក្រាបទេ ដូច្នេះវាមិនមែនជាបន្ទាត់ប៉ះ ។ — Wrong: writing every line as $y = m (x - x_{0})$ and assuming that is all. Correction: check the vertical line $x = x_{0}$ separately before concluding; in model example 4 the line $x = 1$ misses the curve entirely, so it is not a tangent.

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

អ៊ីពែបូល

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

Hyperbola equations and asymptotes

គំនិតសំខាន់

4.1 និយមន័យអ៊ីពែបូល

4.2 លក្ខណៈនៃអ៊ីពែបូល

4.3 សមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិតជាគល់អ័ក្សកូអរដោនេ

4.4 ចំណាំអំពីទំនាក់ទំនងរវាង $a$ , $b$ និង $c$

4.5 សមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិត $I (h, k)$

4.6 សមីការទូទៅនៃអ៊ីពែបូល

4.7 អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ

4.8 ចំណាំអំពីហេតុអ្វី $e > 1$

ឧទាហរណ៍គំរូទី ១

ឧទាហរណ៍គំរូទី ២

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៣

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៤

លំហាត់ទី ១

លំហាត់ទី ២

លំហាត់ទី ៣

លំហាត់ទី ៤

លំហាត់ទី ៥

លំហាត់ទី ៦

លំហាត់ទី ៧

Hyperbola equations and asymptotes

គំនិតសំខាន់

4.1 និយមន័យអ៊ីពែបូល

4.2 លក្ខណៈនៃអ៊ីពែបូល

4.3 សមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិតជាគល់អ័ក្សកូអរដោនេ

4.4 ចំណាំអំពីទំនាក់ទំនងរវាង a, b និង c

4.5 សមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិត I(h,k)

4.6 សមីការទូទៅនៃអ៊ីពែបូល

4.7 អ៊ិចសង់ទ្រីស៊ីតេ

4.8 ចំណាំអំពីហេតុអ្វី e>1

ឧទាហរណ៍គំរូទី ១

ឧទាហរណ៍គំរូទី ២

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៣

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៤

លំហាត់ទី ១

លំហាត់ទី ២

លំហាត់ទី ៣

លំហាត់ទី ៤

លំហាត់ទី ៥

លំហាត់ទី ៦

លំហាត់ទី ៧

4.4 ចំណាំអំពីទំនាក់ទំនងរវាង $a$ , $b$ និង $c$

4.5 សមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែបូលដែលមានផ្ចិត $I (h, k)$

4.8 ចំណាំអំពីហេតុអ្វី $e > 1$