ព្រីមីទីវនិងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

១. ព្រីមីទីវគឺជាអនុគមន៍ដើម បើគេឱ្យ $f$ មក ហើយសួរថា «តើអនុគមន៍ណាដែលដេរីវេរបស់វាស្មើ $f$ ?» នោះចម្លើយគឺព្រីមីទីវ ។ ឧទាហរណ៍ ព្រីមីទីវនៃ $3x^2$ គឺ $x^3$ ព្រោះ $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ ។

២. ព្រីមីទីវមិនមែនមានតែមួយទេ $x^3$ , $x^3+1$ , $x^3-7$ សុទ្ធតែមានដេរីវេ $3x^2$ ។ ដូច្នេះចម្លើយពិតត្រូវមាន $+c$ ជានិច្ច ។ បើភ្លេច $+c$ ចម្លើយនោះខ្វះព្រីមីទីវរាប់មិនអស់ ។

៣. ដេរីវេជាមធ្យោបាយត្រួតពិនិត្យ គ្មានវិធីណាល្អជាងការគណនាដេរីវេនៃចម្លើយរបស់អ្នកទេ ។ បើចេញដូចដើម ចម្លើយត្រូវ ។ បើខុសសញ្ញា ឬខុសមេគុណ អ្នកឃើញភ្លាម ។

៤. អាំងតេក្រាលមិនមែនជាការគុណទេ $\int$ គឺជាបញ្ជាឱ្យរកព្រីមីទីវ មិនមែនជាចំនួនដែលគុណនឹង $f(x)dx$ ទេ ។ $dx$ ប្រាប់ថាអថេរគឺ $x$ ។ ដូច្នេះ $\int 5dx=5x+c$ តែ $\int 5dt=5t+c$ ។

៥. ការប្តូរអថេរគឺជា «ការស្លៀកសម្លៀកបំពាក់ថ្មី» យើងប្តូរកន្សោមដែលរញ៉េរញ៉ៃមួយ ទៅជាអថេរថ្មី $t$ ដែលសាមញ្ញ ។ គន្លឹះគឺត្រូវរកឃើញថាផ្នែកមួយនៃអាំងតេក្រាលគឺជាដេរីវេនៃផ្នែកមួយទៀត ។ ឧទាហរណ៍ $2xdx$ គឺ $d(x^2+1)$ ។

៦. អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកគឺជា «ផលិតផលដកអាំងតេក្រាលសាមញ្ញជាង» រូបមន្ត $\int udv=uv-\int vdu$ មិនដោះស្រាយអាំងតេក្រាលភ្លាមទេ តែប្តូរវាទៅអាំងតេក្រាលថ្មីដែលងាយជាង ។ ដូច្នេះការជ្រើស $u$ ត្រូវធ្វើឱ្យ $\int vdu$ ងាយ ។

៧. រាងសនិទានត្រូវមើលភាគបែងមុន បើភាគបែងជាការ៉េស្មើគ្នា ចម្លើយមានប្រភាគ ។ បើភាគបែងមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ចម្លើយមានលោការីត ។ បើគ្មានឫសពិត ចម្លើយមាន $\arctan$ ។ ការមើលឌីស្គ្រីមីណង់ $\Delta =b^2-4ac$ ប្រាប់យើងភ្លាមថាត្រូវទៅខាងណា ។

៨. ត្រីកោណមាត្រត្រូវបន្ថយស្វ័យគុណមុន ${\sin }^{2}x$ មិនមានព្រីមីទីវខ្លីទេ តែ ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ មានព្រីមីទីវភ្លាម ។ ដូចគ្នា ${\sin }^{3}x$ ត្រូវសរសេរជា $(1-{\cos }^{2}x)\sin x$ រួចតាង $t=\cos x$ ។

និយមន័យប្រីមីទីវ ៖ $F(x)$ ជាប្រីមីទីវ នៃ $f(x)$ កាលណា $F^{\prime }(x)=f(x)$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ក្នុងដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។

ការពន្យល់ ពាក្យ «ចំពោះគ្រប់ $x$ ក្នុងដែនកំណត់» មានន័យថាត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់លើចន្លោះទាំងមូល មិនមែនត្រឹមចំណុចមួយទេ ។ ឧទាហរណ៍ $F(x)=\ln |x|$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)=\frac{1}{x}$ លើ $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ តែមិនមែនលើ $\mathbb{R}$ ទេ ព្រោះ $F$ មិនកំណត់នៅ $x=0$ ។ ដូចគ្នា $F(x)=\sqrt{x}$ ជាព្រីមីទីវនៃ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ តែលើ $(0,+\infty )$ ប៉ុណ្ណោះ ។

ពាក្យបច្ចេកទេស ព្រីមីទីវ (primitive, also called antiderivative) = អនុគមន៍ដែលដេរីវេរបស់វាស្មើអនុគមន៍ដែលបានឱ្យ ។ ដេរីវេ (derivative) = អត្រាប្រែប្រួលភ្លាមៗ ។

លក្ខណៈប្រីមីទីវ ៖ បើ $F(x)$ ជាប្រីមីទីវមួយនៃ $f(x)$ នោះប្រីមីទីវទាំងអស់នៃ $f$ មានទម្រង់ទៅ $F(x)+c$ ដោយ $c$ ជាចំនួនថេរ ។

ការពន្យល់ ហេតុអ្វីគ្មានព្រីមីទីវផ្សេងទៀត ? ព្រោះបើ $G^{\prime }=F^{\prime }$ នោះ $(G-F{)}^{\prime }=0$ ដូច្នេះ $G-F$ ជាចំនួនថេរ ។ ដូច្នេះព្រីមីទីវទាំងអស់ខុសគ្នាតែដោយចំនួនថេរ ។ នេះជាហេតុផលដែលយើងសរសេរ $+c$ នៅចុងគ្រប់ចម្លើយ ។

ចំណាំ លក្ខណៈនេះពិតលើចន្លោះតែមួយ ។ បើដែនកំណត់ជាពីរចន្លោះដាច់ពីគ្នា ដូចជា $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ នោះចំនួនថេរអាចខុសគ្នានៅចន្លោះនីមួយៗ ។

សម្គាល់ ៖ គេអាចជ្រើសរើសចំនួនថេរ $c$ បានកាលណាគេស្គាល់តម្លៃនៃប្រីមីទីវចំពោះតម្លៃ $x$ ណាមួយ ។

ការពន្យល់ ជំហានមានបី ៖ (១) រកព្រីមីទីវទូទៅ $F(x)+c$ ; (២) ដាក់ $x=x_0$ រួចដោះស្រាយរក $c$ ; (៣) សរសេរចម្លើយចុងក្រោយដោយជំនួស $c$ ចូល ។ លក្ខខណ្ឌបែបនេះហៅថាលក្ខខណ្ឌដើម (initial condition) ព្រោះវាកំណត់ព្រីមីទីវតែមួយគត់ក្នុងចំណោមព្រីមីទីវរាប់មិនអស់ ។

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ៖ ក. និយមន័យ ៖ បើ $F(x)$ ជាប្រីមីទីវមួយនៃ $f(x)$ នោះអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃ $f(x)$ កំណត់ដោយ $\int f(x)dx=F(x)+c$ ， $c$ ជាចំនួនថេរ ។

ការពន្យល់ សញ្ញា $\int$ អានថា «អាំងតេក្រាល» ហើយ $f(x)$ ហៅថាអនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាល (integrand) ។ $dx$ ប្រាប់ថាអថេរគឺ $x$ ។ ដូច្នេះ $\int f(x)dx$ ជាសំណុំនៃអនុគមន៍ទាំងអស់ដែលមានដេរីវេ $f$ ។ ការពិនិត្យត្រូវធ្វើដោយដេរីវេ ៖ ${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$ ។

ចំណាំអំពីការសរសេរ គេសរសេរ $\int f(x)dx$ ឬ $\int f$ ក៏បាន ។ តែមិនត្រូវសរសេរ $\int f(x)$ ដោយគ្មាន $dx$ ទេ ព្រោះវាមិនបញ្ជាក់អថេរ ។

ខ. លក្ខណៈ ៖

១. $\int \lambda f(x)dx=\lambda \int f(x)dx$ ;

២. $\int \left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ ។

ការពន្យល់ លក្ខណៈទី ១ និយាយថាចំនួនថេរអាចដកចេញពីអាំងតេក្រាលបាន ។ លក្ខណៈទី ២ និយាយថាអាំងតេក្រាលនៃផលបូក គឺផលបូកនៃអាំងតេក្រាល ។ ទាំងពីរមានន័យថាយើងអាចធ្វើអាំងតេក្រាលដោយឡែកៗតាមតួ ។

$$\int \left(7x^6-5x^3+2x^2+3\right)dx=7\cdot \frac{x^7}{7}-5\cdot \frac{x^4}{4}+2\cdot \frac{x^3}{3}+3x+c$$

ហេតុអ្វីមាន $c$ តែមួយ បើយើងសរសេរ $c_1+c_2+c_3$ នោះផលបូកនៃចំនួនថេរនៅតែជាចំនួនថេរ ។ ដូច្នេះយើងបង្រួមវាទៅ $c$ តែមួយ ។

គ. រូបមន្តគ្រឹះនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ៖

រូបមន្ត ១–៣ ៖ តួថេរ និងលីនេអ៊ែរ

$$1.\int dx=x+c$$

$$2.\int kdx=kx+c$$

$$3.\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

រូបមន្ត ៤–៩ ៖ ស្វ័យគុណ និងច្រាស

$$4.\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c(n\ne -1)$$

$$5.\int \frac{1}{x}dx=\int x^{-1}dx=\ln |x|+c$$

$$6.\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+c$$

$$7.\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+c$$

$$8.\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+c$$

$$9.\int \frac{1}{x^n}dx=-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+c(n\ne 1)$$

រូបមន្ត ១០–១៣ ៖ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$$10.\int e^{x}dx=e^x+c$$

$$11.\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+c$$

$$12.\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax+b}+c$$

$$13.\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln x}+c$$

ចំណាំអំពីរូបមន្ត ១៣ / Note on formula 13. សៀវភៅបោះពុម្ពភាគបែងជា $\ln x$ ។ យើងរក្សាវាដូចបោះពុម្ព ។ តាមការគណនា ភាគបែងត្រូវជា $\ln a$ (ចំនួនថេរ) មិនមែន $\ln x$ (អថេរ) ទេ ព្រោះ ${\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)}^{\prime }=a^x$ ។ សូមមើលបញ្ជីចន្លោះប្រហោង ។ — The book prints the denominator as $\ln x$; we keep it exactly as printed. The correct denominator is the constant $\ln a$, since ${\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)}^{\prime }=a^x$. See the gaps list.

រូបមន្ត ១៤–១៥ ៖ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

$$14.\int \sin xdx=-\cos x+c$$

$$15.\int \cos xdx=\sin x+c$$

ការពន្យល់បន្ថែម រូបមន្តទី ៤ និងទី ៩ ជារូបមន្តតែមួយ តែសរសេរខុសគ្នា ៖ បើ $n<0$ នោះ $-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}$ គឺ $-\frac{1}{n-1}{x}^{-(n-1)}$ ដែលជាទម្រង់ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ដដែល ។ ឧទាហរណ៍ $n=6$ ៖ $\int \frac{dx}{x^6}=-\frac{1}{5x^5}+c$ ។ រូបមន្តទី ៨ គឺជាករណីពិសេសនៃច្បាប់ខ្សែសង្វាក់បញ្ច្រាស ៖ បើ $u=ax+b$ នោះ $du=adx$ ដូច្នេះត្រូវចែកនឹង $a$ ។ រូបមន្តទី ១១ និងទី ១២ ក៏ដូចគ្នា ៖ ដេរីវេនៃ $e^{ax}$ គឺ $a{e}^{ax}$ ដូច្នេះត្រូវចែកនឹង $a$ ។

(តារាងរូបមន្តបន្តពីទំព័រមុន)

រូបមន្ត ១៦–១៧ ៖ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃ $ax+b$

$$16.\int \sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+c$$

$$17.\int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+c$$

រូបមន្ត ១៨–១៩ ៖ តង់សង់ និងកូតង់សង់

$$18.\int \left(1+{\tan }^{2}x\right)dx=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+c$$

$$19.\int \left(1+{\cot }^{2}x\right)dx=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+c$$

រូបមន្ត ២០–២៣ ៖ ឫសការ៉េ និងភាគបែងការ៉េ

$$20.\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c$$

$$21.\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+c,a\ne 0$$

$$22.\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+c$$

$$23.\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+c$$

ការពន្យល់ រូបមន្ត ១៨ និង ១៩ ជារូបមន្តត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ និង $1+{\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ សរសេរជាអាំងតេក្រាល ។ រូបមន្ត ២០ ២២ ២៣ ជារូបមន្តស្តង់ដារ ដែលចម្លើយមាន $\ln$ , $\arctan$ , $\arcsin$ ។ ចំពោះរូបមន្ត ២១ ត្រូវប្រយ័ត្នសញ្ញា ៖ លទ្ធផលមាន $\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|$ ដែលមានន័យថាភាគបែងជា $x-a$ ។ បើអ្នករៀបភាគបែងជា $a-x$ សញ្ញានឹងប្តូរ ។

៤) ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើអថេរជំនួយ ៖ ចំណាំ ៖ ជាជំហានសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើអថេរជំនួយ ៖

១. តាង $t=f(x)$ រួចទាញរក $dt=f^{\prime }(x)dx$

២. ជំនួស $f(x)$ ដោយ $t$ និង $f^{\prime }(x)dx$ ដោយ $dt$

៣. រកចម្លើយអាំងតេក្រាល (គណនាអាំងតេក្រាលចម្លើយ)

៤. ជំនួស $t$ ដោយ $f(x)$ វិញ ដូចនេះ ៖ គេបានចម្លើយអាំងតេក្រាលចុងក្រោយជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។

ការពន្យល់ ចំណុចសំខាន់គឺជំហានទី ២ ៖ បើអ្នកជំនួស $f(x)$ ដោយ $t$ តែមិនជំនួស $f^{\prime }(x)dx$ ដោយ $dt$ ទេ នោះអាំងតេក្រាលនឹងលាយអថេរពីរ ហើយគណនាមិនបាន ។ ចំណុចសំខាន់ទីពីរគឺជំហានទី ៤ ៖ ចម្លើយចុងក្រោយត្រូវតែជាអនុគមន៍នៃ $x$ វិញ មិនមែន $t$ ទេ ។

ឧទាហរណ៍បង្ហាញជំហាន គណនា $\int {\left(x^2+1\right)}^5\cdot 2xdx$ ៖

1. តាង $t=x^2+1$ នោះ $dt=2xdx$ ។
2. អាំងតេក្រាលក្លាយជា $\int t^{5}dt$ ។
3. $\int t^{5}dt=\frac{t^6}{6}+c$ ។
4. ជំនួសត្រឡប់ ៖ $\frac{{\left(x^2+1\right)}^6}{6}+c$ ។

៥) រូបមន្តគណនាអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក ៖ រូបមន្តសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដោយផ្នែកគឺ ៖ $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f^{\prime }(x)dx$ ។

ការពន្យល់ រូបមន្តនេះមកពីដេរីវេនៃផលគុណ ${\left(fg\right)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ ។ បើយើងធ្វើអាំងតេក្រាលទាំងសងខាង យើងបាន $fg=\int f^{\prime }gdx+\int f{g}^{\prime }dx$ រួចដក $\int f^{\prime }gdx$ ចេញ ។ ដូច្នេះរូបមន្តនេះមិនមែនជារូបមន្តថ្មីទេ គឺជាការសរសេរឡើងវិញនៃដេរីវេនៃផលគុណ ។

ពេលខ្លះដើម្បីស្រួលដល់ការសរសេរគេប្រើ ៖ $\int udv=uv-\int vdu$ ។ (ក្នុងការតាងគួរអនុវត្តតាមច្បាប់ $LPET$) ។

ការពន្យល់ $LPET$ ជាលំដាប់អាទិភាពសម្រាប់ជ្រើស $u$ ៖ បើអាំងតេក្រាលមានផលគុណនៃប្រភេទពីរ គេយកប្រភេទដែលនៅខាងឆ្វេងជាងធ្វើជា $u$ ។ ដូច្នេះ ៖

• $L$ = លោការីត ($\ln x$) យកជា $u$ មុនគេ
• $P$ = ពហុធា ($x$, $x^2$, …)
• $E$ = អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ($e^x$)
• $T$ = ត្រីកោណមាត្រ ($\sin x$, $\cos x$)

ឧទាហរណ៍ ៖ ក្នុង $\int x{e}^{x}dx$ មាន $P$ និង $E$ ដូច្នេះ $u=x$ (P មុន E) ហើយ $dv=e^{x}dx$ ។ ក្នុង $\int x^2\ln xdx$ មាន $P$ និង $L$ ដូច្នេះ $u=\ln x$ (L មុន P) ។

៦) វិធីសាស្ត្រគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ៖

១. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int P(x)\sqrt{Q(x)}dx$ គេត្រូវតាង $\{\begin{array}{l}u=P(x)\\ dv=\sqrt{Q(x)}\end{array}$ ។

ការពន្យល់ នៅទីនេះ $LPET$ មិនជួយទេ ព្រោះគ្មានលោការីត គ្មានអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។ គោលការណ៍គឺផ្ទុយពីធម្មតា ៖ យើងយកពហុធាធ្វើជា $u$ ព្រោះដេរីវេរបស់វាសាមញ្ញជាង ($P^{\prime }$ មានដឺក្រេទាបជាង $P$ មួយ) ហើយយើងយក $\sqrt{Q(x)}$ ធ្វើជា $dv$ ព្រោះអាំងតេក្រាលរបស់វាអាចរកបាន ។ បន្ទាប់មកធ្វើម្តងទៀត រហូតដល់ដឺក្រេនៃពហុធាធ្លាក់មក $0$ ។

២. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int \frac{1}{(ax+\beta )\sqrt{ax+b}}dx$ ។ គេត្រូវតាង $u=\sqrt{ax+b}\Rightarrow ax+b=u^2\iff x=\frac{1}{a}\left(u^2-b\right)\Rightarrow dx=\frac{2}{a}udu$ ។ ណែនាំ ៖ $I$ មានរាង $\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}$ និង $\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{u-a}{u+a}\right|+c$ ។

ការពន្យល់ ហេតុអ្វីត្រូវតាង $u=\sqrt{ax+b}$ ? ព្រោះឫសការ៉េនៅក្នុងភាគបែងធ្វើឱ្យយើងមិនអាចបំពេញការ៉េបានស្រួល ។ ពេលតាង $u$ ឫសការ៉េបាត់ ហើយ $dx$ ក៏ប្តូរទៅ $udu$ ដែលសមតួនឹង $u$ នៅក្នុងភាគបែង ។ បន្ទាប់មកភាគបែងក្លាយជាការ៉េនៃ $u$ ដូច្នេះយើងប្រើរូបមន្ត ២២ ឬ ២១ ។

ចំណាំ នៅក្នុងរូបមន្តទីពីរ សៀវភៅបោះពុម្ព $\ln \left|\frac{u-a}{u+a}\right|$ ។ នេះខុសគ្នាតែសញ្ញាពីរូបមន្ត ២១ ដែលបោះពុម្ព $\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|$ ។ ទាំងពីរត្រូវបានរក្សាទុកដូចបោះពុម្ព ។

៣. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}dx$ ។ សរសេរកន្សោម $a{x}^2+bx+c$ ជារាង $(Ax+B{)}^2+C$ ។ តាង $u=Ax+B\iff x=\frac{1}{A}(u-B)\Rightarrow dx=\frac{du}{A}$ ។ ណែនាំ ៖ $I$ មានរាង $\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+c$ ; $\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}+c$ ; $\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{u-a}{u+a}\right|+c$ ។

ការពន្យល់ មានករណីបី អាស្រ័យលើសញ្ញានៃ $C$ ក្នុង $(Ax+B{)}^2+C$ ៖

• បើ $C=0$ ភាគបែងជាការ៉េស្មើគ្នា ៖ ចម្លើយមានប្រភាគ $-\frac{1}{u}$ ។ (នេះជាករណី $\Delta =0$ ។)
• បើ $C>0$ គ្មានឫសពិត ៖ ចម្លើយមាន $\arctan$ ។ (ករណី $\Delta <0$ ។)
• បើ $C<0$ មានឫសពិតពីរ ៖ ចម្លើយមាន $\ln$ ។ (ករណី $\Delta >0$ ។)

ដូច្នេះការមើលឌីស្គ្រីមីណង់ប្រាប់យើងភ្លាមថាត្រូវប្រើរូបមន្តណា ។

៤. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int \frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}dx$ ។ សរសេរកន្សោម $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$ ជារាង

$$\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}=\alpha \frac{{\left(a{x}^2+bx+c\right)}^{\prime }}{a{x}^2+bx+c}+\beta \frac{1}{a{x}^2+bx+c}$$

គេបាន $I=\alpha \int \frac{{\left(a{x}^2+bx+c\right)}^{\prime }}{a{x}^2+bx+c}dx+\beta \int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$ ចំពោះ $\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$ [UNCLEAR: ត្រូវដឹង…ស្ថាយដូច ៣

ការពន្យល់ គំនិតគឺចង់ឱ្យភាគយកស្មើនឹងដេរីវេនៃភាគបែង ។ ដេរីវេនៃ $a{x}^2+bx+c$ គឺ $2ax+b$ ។ ដូច្នេះយើងរក $\alpha$ និង $\beta$ ដែល $Ax+B=\alpha (2ax+b)+\beta$ ។ ការធៀបមេគុណផ្តល់ $\alpha =\frac{A}{2a}$ និង $\beta =B-\frac{Ab}{2a}$ ។ ផ្នែកដំបូងក្លាយជា $\ln \left|a{x}^2+bx+c\right|$ ដោយរូបមន្ត ៥ និងច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ។ ផ្នែកទីពីរគឺជាវិធីសាស្ត្រ ៦.៣ ។

ចំណាំ ឃ្លាខ្មែរខ្លីៗនៅក្នុងប្រភពមិនអានបានច្បាស់ទេ ។ យើងរក្សាសញ្ញា [UNCLEAR] ទុក ហើយមិនបង្កើតអត្ថបទថ្មីទេ ។ អត្ថន័យគឺច្បាស់ពីបរិបទ ៖ ភាគទីពីរគឺជាអាំងតេក្រាលដែលបានដោះស្រាយនៅវិធីសាស្ត្រ ៦.៣ ។

៥. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int \frac{1}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ ។ សរសេរកន្សោម $a{x}^2+bx+c$ ជារាង $(Ax+B{)}^2+C$ ។ តាង $u=Ax+B\iff x=\frac{1}{A}(u-B)\Rightarrow dx=\frac{du}{A}$ ។ ណែនាំ ៖ $I$ មានរាង $\int \frac{du}{u}=\ln |u|+c$ ; $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=\arcsin \frac{u}{a}+c$ ; $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}}=\ln \left|u+\sqrt{u^2+a^2}\right|+c$ ។

ការពន្យល់ ឥឡូវមានបីករណីទៀត ៖ បើ $C=0$ ភាគបែងក្លាយជា $|u|$ ដូច្នេះចម្លើយជា $\ln |u|$ ។ បើ $C>0$ ភាគបែងជា $\sqrt{u^2+a^2}$ ដូច្នេះចម្លើយជាលោការីត (រូបមន្ត

២០) ។ បើ $C<0$ ភាគបែងជា $\sqrt{a^2-u^2}$ ដូច្នេះចម្លើយជា $\arcsin$ (រូបមន្ត

២៣) ។ ត្រូវប្រយ័ត្ន ៖ បើ $a$ (មេគុណនៃ $x^2$) អវិជ្ជមាន ត្រូវដក $-1$ ចេញមុន ។

៦. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int \frac{Ax+B}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ ។ សរសេរកន្សោម $\frac{Ax+B}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ ជារាង

$$\frac{Ax+B}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=\alpha \frac{{\left(a{x}^2+bx+c\right)}^{\prime }}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}+\beta \frac{1}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$$

គេបាន $I=\alpha \int \frac{{\left(a{x}^2+bx+c\right)}^{\prime }}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx+\beta \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ (បន្តនៅទំព័រ ៧៧) ។

បន្តពីទំព័រ ៧៦

$I=2\alpha \sqrt{a{x}^2+bx+c}+\beta \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ ចំពោះ $\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ [UNCLEAR: ត្រូវដឹងដែរ…ស្រាយដូច ៥

$I=2\alpha \sqrt{a{x}^2+bx+c}+\beta \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$; for $\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ [UNCLEAR: ត្រូវដឹងដែរ…ស្រាយដូច ៥

$$I=2\alpha \sqrt{a{x}^2+bx+c}+\beta \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$$

ការពន្យល់ ហេតុអ្វី $\alpha \int \frac{(a{x}^2+bx+c{)}^{\prime }}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx=2\alpha \sqrt{a{x}^2+bx+c}$ ? ព្រោះបើ $w=a{x}^2+bx+c$ នោះ $w^{\prime }=2ax+b$ ហើយ $\int \frac{w^{\prime }}{\sqrt{w}}dx=2\sqrt{w}$ ដោយរូបមន្ត ៧ (ដែល $\int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}$) ។ ដូច្នេះផ្នែកនេះគ្មានលោការីតទេ គឺជាឫសការ៉េសុទ្ធ ។

៧. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int \sin mx\cos nxdx$ , $I=\int \cos mx\cos nxdx$ , $I=\int \sin mx\sin nxdx$ ។ គេប្រើរូបមន្ត ៖

$$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a+b)+\sin (a-b)\right]$$

$$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)+\cos (a-b)\right]$$

$$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)-\cos (a-b)\right]$$

ចំណាំអំពីរូបមន្តទីបី / Note on the third formula. សៀវភៅបោះពុម្ព $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)-\cos (a-b)\right]$ ។ យើងរក្សាវាដូចបោះពុម្ព ។ តាមការគណនា ទម្រង់ត្រឹមត្រូវគឺ $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]$ (គឺបញ្ច្រាសលំដាប់) ។ បើអ្នកប្រើទម្រង់ដូចបោះពុម្ព ចម្លើយនឹងខុសសញ្ញាទាំងអស់ ។ សូមមើលបញ្ជីចន្លោះប្រហោង ។ — The book prints $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]$; we keep it as printed. The correct form is $\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$ — the two cosine terms are swapped. Using the printed form flips the sign of every answer. See the gaps list.

ការពន្យល់ ហេតុអ្វីត្រូវបំប្លែង ? ព្រោះអាំងតេក្រាលនៃផលគុណ $\sin mx\cos nx$ មិនស្ថិតក្នុងតារាងរូបមន្តទេ ។ តែអាំងតេក្រាលនៃផលបូក $\sin (px)$ ងាយណាស់ គឺ $-\frac{1}{p}\cos (px)$ ។ ដូច្នេះយើងបំប្លែងផលគុណទៅផលបូកមុន រួចធ្វើអាំងតេក្រាលតាមតួ ។

៨. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int {\sin }^{n}x\cos xdx$ គេប្រើអថេរ $u=\sin x$ ; $I=\int {\cos }^{n}x\sin xdx$ គេប្រើអថេរ $u=\cos x$ ; $I=\int {\tan }^{n}x\cdot \frac{dx}{{\cos }^{2}x}$ គេប្រើអថេរ $u=\tan x$ ; $I=\int {\cot }^{n}x\cdot \frac{dx}{{\sin }^{2}x}$ គេប្រើអថេរ $u=\cot x$ ។

ការពន្យល់ លក្ខខណ្ឌគឺត្រូវមានដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយនៅក្បែរកំណត់ស្វ័យគុណរបស់វា ៖ $\cos x$ គឺជាដេរីវេនៃ $\sin x$ ; $-\sin x$ គឺជាដេរីវេនៃ $\cos x$ ; $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ គឺជាដេរីវេនៃ $\tan x$ ; $-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ គឺជាដេរីវេនៃ $\cot x$ ។ បើគ្មានកត្តានេះទេ វិធីនេះប្រើមិនបាន ។

៩. អាំងតេក្រាលមានរាង $I=\int {\sin }^{2n}xdx$ , $I=\int {\cos }^{2n}xdx$ ។ ត្រូវប្រើរូបមន្ត ៖ ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ , ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ , ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$ , ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$ ។

ការពន្យល់ ស្វ័យគុណគូត្រូវបន្ថយម្តងមួយកម្រិត ៖ ${\sin }^{4}x={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2$ រួចបន្ថយ ${\cos }^{2}2x$ ទៀត ។ ដូច្នេះ ${\sin }^{4}x$ ត្រូវការរូបមន្តពីរជាន់ ។ ហេតុអ្វីត្រូវធ្វើបែបនេះ ? ព្រោះអាំងតេក្រាលនៃ $\cos (2kx)$ ងាយណាស់ តែអាំងតេក្រាលនៃ ${\sin }^{4}x$ ដោយផ្ទាល់មិនមានក្នុងតារាង ។