អាំងតេក្រាលកំណត់

១. អាំងតេក្រាលកំណត់ជាចំនួន អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ជាអនុគមន៍ ${\int }_a^{b}f(x)dx$ មានដែនកំណត់ពីរ ដូច្នេះលទ្ធផលរបស់វាជាចំនួនថេរមួយ ដូចជា $27$ ឬ $\frac{26}{3}$។ ចំណែក $\int f(x)dx$ គ្មានដែនកំណត់ ដូច្នេះលទ្ធផលរបស់វាជាអនុគមន៍ ហើយត្រូវបញ្ចប់ដោយ $+C$។ បើអ្នកសរសេរ $+C$ នៅចុងអាំងតេក្រាលកំណត់ នោះជាកំហុស ។

២. អាំងតេក្រាលកំណត់វាស់ផ្ទៃមានសញ្ញា បើក្រាបនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស នោះអាំងតេក្រាលវិជ្ជមាន។ បើក្រាបនៅក្រោមអ័ក្ស នោះអាំងតេក្រាលអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ អាំងតេក្រាលមិនមែនតែងតែស្មើនឹងក្រឡាផ្ទៃទេ វាអាចតូចជាង ឬសូម្បីតែស្មើ $0$ ។

៣. សញ្ញាក្នុងតង្កៀប $[{]}_a^b$ មានន័យថា «ដាក់ខាងលើ ដក ដាក់ខាងក្រោម» ព្រីមីទីវ $F$ ត្រូវសរសេរតែម្តង រួចដាក់ $b$ និង $a$ ចូល ។ គេមិនដាក់ $+C$ ទេ ព្រោះ $C$ ដកខ្លួនឯងបាត់ ។

៤. ភាពជាប់ជាលក្ខខណ្ឌពិតប្រាកដ រូបមន្ត $F(b)-F(a)$ ត្រឹមត្រូវលុះត្រាតែ $f$ ជាប់លើចន្លោះទាំងមូល $[a,b]$។ បើ $f$ មានប៉ូល (ភាគបែងស្មើ $0$) នៅក្នុងចន្លោះនោះ នោះអាំងតេក្រាលអាចគ្មានតម្លៃ ។ ដូច្នេះ មុនគណនា ត្រូវពិនិត្យភាគបែង និងដែនកំណត់នៃឫសការេជាមុន ។

៥. ជំនួសអថេរ ត្រូវប្តូរដែនកំណត់ផង បើ $u=g(x)$ នោះដែនកំណត់ $x=a$ ក្លាយជា $u=g(a)$ ហើយ $x=b$ ក្លាយជា $u=g(b)$។ បើអ្នកប្តូរអថេរ តែមិនប្តូរដែនកំណត់ នោះចម្លើយនឹងខុសទាំងស្រុង ។ អ្នកក៏អាចរកព្រីមីទីវជា $x$ រួចដាក់ដែនកំណត់ដើមវិញ តែមិនត្រូវលាយពីរវិធីចូលគ្នាទេ ។

៦. ដោយផ្នែក រក្សាដែនកំណត់នៅគ្រប់ជំហាន រូបមន្ត ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$ មានដែនកំណត់នៅពីរកន្លែង ។ ត្រូវដាក់ដែនកំណត់ចូល $uv$ ភ្លាមៗ ហើយកុំភ្លេចដាក់ចូលអាំងតេក្រាលទីពីរ ។

៧. ក្រឡាផ្ទៃត្រូវបំបែកត្រង់ចំណុចកាត់អ័ក្ស បើ $f$ ប្តូរសញ្ញានៅក្នុងចន្លោះ នោះ ${\int }_a^{b}f(x)dx$ មិនមែនជាក្រឡាផ្ទៃទេ ព្រោះផ្នែកអវិជ្ជមានដកផ្នែកវិជ្ជមាន ។ ត្រូវរកឫសនៃ $f(x)=0$ រួចបំបែកចន្លោះ ហើយបូកតម្លៃដាច់ខាតនៃអាំងតេក្រាលនីមួយៗ ។

៨. មាឌ = $\pi$ គុណនឹងអាំងតេក្រាលនៃការេ ពេលវិលជុំវិញអ័ក្សអាប់ស៊ីស ផ្នែកកាត់នីមួយៗជារង្វង់កាំ $f(x)$ ដូច្នេះផ្ទៃកាត់គឺ $\pi [f(x){]}^2$។ ដូច្នេះ $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$។ ចំណែកក្រឡាផ្ទៃរវាងខ្សែកោងពីរ គឺ ${\int }_a^b(\text{ក្រាបលើ}-\text{ក្រាបក្រោម})dx$ ដោយគ្មាន $\pi$ និងគ្មានការេ ។

និយមន័យ ៖ អាំងតេក្រាលកំណត់ពី $a$ ទៅ $b$ នៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ ជាកំណត់នៃអនុគមន៍ព្រីមីទីវ $F(x)$ ដែលត្រូវគ្នានឹងកំណត់នៅ $x$ ពី $a$ ទៅ $b$ ។ គេសរសេរដោយ ៖

ការពន្យល់ លេខ $a$ ហៅថាដែនកំណត់ខាងក្រោម (lower limit) ហើយ $b$ ហៅថាដែនកំណត់ខាងលើ (upper limit)។ អថេរ $x$ នៅក្នុងអាំងតេក្រាលគឺជា «អថេរសម្ងាត់» (dummy variable)៖ បើយើងសរសេរ ${\int }_a^{b}f(t)dt$ ឬ ${\int }_a^{b}f(u)du$ នោះតម្លៃគឺដូចគ្នា ។ អ្វីដែលសំខាន់គឺ $f$ និងដែនកំណត់ទាំងពីរ ។

ហេតុអ្វីត្រូវការភាពជាប់ បើ $f$ ជាប់លើ $[a,b]$ នោះព្រីមីទីវ $F$ មានពិតប្រាកដ ហើយ $F(b)-F(a)$ មិនអាស្រ័យលើការជ្រើសរើស $F$ ទេ ។ ព្រីមីទីវពីរខុសគ្នាតែដោយចំនួនថេរ $C$ ដូច្នេះ $(F_1(b)+C)-(F_1(a)+C)=F_1(b)-F_1(a)$ ដូចគ្នា ។ នេះជាហេតុផលដែលយើងអាចជ្រើសយកព្រីមីទីវណាមួយក៏បាន ។

ឧទាហរណ៍ខ្លី

$${\int }_1^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^3=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$$

លក្ខណៈ ៖ អាំងតេក្រាលកំណត់ ៖

១. បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ នោះចំពោះ ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$ ។

២. ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ ។

៣. បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ និង $a<b<c$ នោះចំពោះ ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$ ។

៤. ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$ ដែល $k\in \mathbb{R}$ ។

៥. បើមាន ${\int }_a^{b}f(x)dx$ និង ${\int }_a^{b}g(x)dx$ នោះចំពោះ ${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$ ។

៦. ${\int }_a^b[\alpha f(x)\pm \beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx\pm \beta {\int }_a^{b}g(x)dx$ ដែល $\alpha$ និង $\beta$ ជាចំនួនពិត ។

ការពន្យល់ លក្ខណៈ ១ ប្រាប់ថាការប្តូរដែនកំណត់បញ្ច្រាសសញ្ញា ។ នេះជាហេតុផលដែល ${\int }_1^{0}f(x)dx=-{\int }_0^{1}f(x)dx$។ លក្ខណៈ ២ ប្រាប់ថាបើដែនកំណត់ស្មើគ្នា នោះគ្មានទីតាំងសម្រាប់ផ្ទៃ ដូច្នេះលទ្ធផលគឺ $0$។ លក្ខណៈ ៣ ហៅថាលក្ខណៈឆ្លងកាត់ (Chasles' relation)៖ គេអាចកាត់ចន្លោះជាដុំៗ ហើយបូកចូលគ្នាវិញ ។ លក្ខណៈ ៤ និង ៥ ប្រាប់ថាអាំងតេក្រាលកំណត់ជាការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ (linear operation)៖ គេអាចទាញចំនួនថេរចេញ និងបំបែកផលបូកបាន ។ លក្ខណៈ ៦ គ្រាន់តែជាការរួមបញ្ចូលលក្ខណៈ ៤ និង ៥ ចូលគ្នា ។

ចំណាំ លក្ខណៈ ៣ មានប្រយោជន៍ខ្លាំងពេល $f$ ប្តូរសញ្ញានៅចំណុច $b$ ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីរកក្រឡាផ្ទៃនៃ $y=4-x^2$ លើ $[-2,3]$ ត្រូវបំបែកជា ${\int }_{-2}^2(4-x^2)dx$ និង ${\int }_2^3(x^2-4)dx$ ព្រោះក្រាបកាត់អ័ក្សត្រង់ $x=2$ ដែលស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះ ។

អាំងតេក្រាលកំណត់ដោយជំនួសអថេរ ៖ បើ $u=g(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានដេរីវេលើ $[a,b]$ នោះចំពោះ ៖

ការពន្យល់ រូបមន្តនេះគឺជាច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ (chain rule) ដែលអានច្រាសទិស ។ សម្គាល់ថាដែនកំណត់ថ្មីគឺ $g(a)$ និង $g(b)$ មិនមែន $a$ និង $b$ ទេ ។ នេះជាភាពខុសគ្នាធំបំផុតរវាងអាំងតេក្រាលកំណត់ និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ។

ដំណើរការបួនជំហាន

1. ជ្រើស $u=g(x)$ ជាកន្សោមដែលនៅក្នុងស្វ័យគុណ ឬក្រោមឫស ឬជាភាគបែង ។
2. គណនា $du=g^{\prime }(x)dx$ រួចរក $g^{\prime }(x)$ នៅក្នុងអាំងតេក្រាល ។
3. ប្តូរដែនកំណត់ ៖ $x=a\Rightarrow u=g(a)$ និង $x=b\Rightarrow u=g(b)$ ។
4. គណនាអាំងតេក្រាលថ្មីក្នុងអថេរ $u$ រួចដាក់ដែនកំណត់ថ្មី ។

ចំណាំ បើអ្នកភ្លេចប្តូរដែនកំណត់ តែដាក់ $0$ និង $2$ ដូចដើម នោះចម្លើយនឹងខុសទាំងស្រុង ព្រោះ $u$ មិនមែន $x$ ទេ ។

អាំងតេក្រាលកំណត់ដោយផ្នែក ៖ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ និងមានដេរីវេលើចន្លោះ $(a,b)$ នោះចំពោះ ៖

ការពន្យល់ រូបមន្តនេះកើតចេញពីដេរីវេនៃផលគុណ $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ ដែលយើងធ្វើអាំងតេក្រាលពី $a$ ទៅ $b$ ។ ពាក្យ $[f(x)g(x){]}_a^b$ គឺជាចំណែកដែលគេហៅថា «ព្រំដែន» (boundary term) ហើយវាជាហេតុផលដែលយើងមិនអាចគ្រាន់តែគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ពីរដង ។

ការជ្រើស $f$ និង $g^{\prime }$ គេជ្រើស $f$ ជាអនុគមន៍ដែលដេរីវេរបស់វាសាមញ្ញជាង (ដូចជា $\ln x$, $x$, $x^2$) ហើយ $g^{\prime }$ ជាអនុគមន៍ដែលព្រីមីទីវរបស់វាស្គាល់ (ដូចជា $e^x$, $\cos x$, $\sin x$, $1$) ។ បើជម្រើសមិនល្អ អាំងតេក្រាលថ្មីនឹងពិបាកជាងដើម ។

ចំណុះក្រឡាផ្ទៃ ៖ ក. ក្រឡាផ្ទៃក្រោមខ្សែកោងដោយក្រាបអនុគមន៍ និងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងបន្ទាត់ឈរ ៖ [UNCLEAR: first word of the sentence] ខណ្ឌដោយខ្សែកោង $C:y=f(x)$ ជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស $(x^{\prime }Ox)$ និងបន្ទាត់ឈរ $x=a$ និង $x=b$ កំណត់ដោយ ៖

ការពន្យល់ បើក្រាបនៅលើអ័ក្សទាំងស្រុង នោះអាំងតេក្រាលវិជ្ជមាន ហើយស្មើនឹងក្រឡាផ្ទៃតែម្តង ។ បើក្រាបនៅក្រោមអ័ក្សទាំងស្រុង នោះអាំងតេក្រាលអវិជ្ជមាន ដូច្នេះត្រូវដាក់សញ្ញាដកនៅមុខ ។ ក្នុងករណីទាំងពីរ ក្រឡាផ្ទៃជាចំនួនវិជ្ជមាន ។

អនុវត្តជាក់ស្តែង រូបមន្តនេះគ្រប់គ្រាន់លុះត្រាតែ $f$ រក្សាសញ្ញាដូចគ្នាលើ $[a,b]$ ។ បើ $f$ កាត់អ័ក្សនៅខាងក្នុង ត្រូវបំបែកចន្លោះត្រង់ឫសនោះ រួចបូកក្រឡាផ្ទៃនីមួយៗ ។

ខ. ចំណុះក្រឡាផ្ទៃដោយក្រាបពីរ ៖ បើ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ នោះចំណុះក្រឡាផ្ទៃដែលខណ្ឌដោយខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ទាំងពីរ កំណត់ដោយ ៖

$$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx\text{ បើ }f(x)\ge g(x);S={\int }_a^b[g(x)-f(x)]dx\text{ បើ }f(x)\le g(x)$$

ដែល $f$ និង $g$ ប្រសព្វគ្នាត្រង់ $x=a$ និង $x=b$ ។

$$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx\text{if }f(x)\ge g(x)$$

$$S={\int }_a^b[g(x)-f(x)]dx\text{if }f(x)\le g(x)$$

ការពន្យល់ គំនិតគឺសាមញ្ញ ៖ នៅចំណុច $x$ ណាមួយ កម្ពស់នៃចន្លោះរវាងក្រាបទាំងពីរគឺ $|f(x)-g(x)|$។ ដូច្នេះក្រឡាផ្ទៃគឺអាំងតេក្រាលនៃកម្ពស់នោះ ។ ក្នុងការអនុវត្ត គេជ្រើសយក «ក្រាបលើ ដក ក្រាបក្រោម» ដើម្បីឱ្យលទ្ធផលវិជ្ជមាន ។

ដំណើរការបីជំហាន

1. ដោះស្រាយ $f(x)=g(x)$ ដើម្បីរកចំណុចប្រសព្វ (ដែនកំណត់) ។
2. ជ្រើសចំណុចសាកល្បងមួយនៅចន្លោះ ដើម្បីដឹងថាក្រាបណានៅលើ ។
3. គណនា ${\int }_a^b(\text{លើ}-\text{ក្រោម})dx$ ។

មាឌស៊ូលីតជុំវិញអ័ក្ស ៖ ក. មាឌស៊ូលីតជុំវិញអ័ក្សអាប់ស៊ីសនៃផ្ទៃដែលខណ្ឌដោយក្រាបអនុគមន៍ និងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ៖ អនុគមន៍ $y=f(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និងវិជ្ជមានលើចន្លោះ $[a,b]$ ។ មាឌនៃស៊ូលីតជុំវិញ ដែលកើតឡើងដោយរង្វិលជុំវិញអ័ក្សអាប់ស៊ីស នៃផ្ទៃដែលខណ្ឌដោយខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ $y=f(x)$ និងអ័ក្សអាប់ស៊ីស បន្ទាត់ឈរ $x=a$ និង $x=b$ កំណត់ដោយ ៖

ការពន្យល់ គេកាត់ស៊ូលីតជាចំណិតស្តើងៗចំនួន $n$ ដែលនីមួយៗមានកម្រាស់ $\Delta x$ និងមានផ្នែកកាត់ជារង្វង់កាំ $f(x_k)$ ។ ផ្ទៃរង្វង់គឺ $\pi [f(x_k){]}^2$ ដូច្នេះមាឌចំណិតគឺ $\pi [f(x_k){]}^2\Delta x$។ ពេល $n\to +\infty$ ផលបូកក្លាយជាអាំងតេក្រាល ។

ហេតុអ្វីត្រូវការ $f$ វិជ្ជមាន កាំនៃរង្វង់គឺ $|f(x)|$ ដែលជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ។ ក្នុងរូបមន្តយើងលើកជាការេ ដូច្នេះសញ្ញាបាត់ដោយស្វ័យប្រវត្តិ ។ តែបើ $f$ ប្តូរសញ្ញា នោះផ្នែកពីរនឹងវិលបង្កើតស៊ូលីតតែមួយ ហើយយើងមិនគួរបូកមាឌទេ ត្រូវបំបែកជាមុន ។

មាឌនៃស៊ូលីតជុំវិញអ័ក្សអាប់ស៊ីស នៃផ្ទៃដែលខណ្ឌដោយក្រាបអនុគមន៍ $y=f(x)$ និង $y=g(x)$ លើចន្លោះ $[a,b]$ ដែល $f(x)\ge g(x)$ កំណត់ដោយ ៖

ការពន្យល់ ស៊ូលីតដែលបានមកគឺជា «ស៊ូលីតមានប្រហោង» (washer)៖ ផ្នែកកាត់ជារង្វង់ដែលមានកាំខាងក្រៅ $f(x)$ និងកាំខាងក្នុង $g(x)$ ។ ផ្ទៃកាត់គឺ $\pi [f(x){]}^2-\pi [g(x){]}^2$ ដូច្នេះមាឌគឺជាផលដកនៃអាំងតេក្រាលពីរ ។ នេះជាហេតុផលដែលរូបមន្តត្រូវមាន $f$ នៅក្នុងតង្កៀបទីពីរ ។

ការអនុវត្ត គេសរសេរជាទូទៅ ៖

$$V=\pi {\int }_a^b\left(\right[f(x){]}^2-[g(x){]}^2)dx$$

ដោយ $f$ ជាក្រាបខាងលើ (កាំខាងក្រៅ) ។ បើអ្នកបញ្ច្រាសលំដាប់ លទ្ធផលនឹងអវិជ្ជមាន ដែលជាសញ្ញាថាអ្នកបានដាក់ខុស ។

ខ. មាឌស៊ូលីតបរិវត្តដែលបានពីរង្វិលជុំវិញអ័ក្សអដ្ឋកែង ៖ រង្វិលជុំវិញអ័ក្ស $y^{\prime }Oy$ នៃផ្ទៃដែលកំណត់ដោយក្រាបតាង $x=g(y)$ អ័ក្ស $y^{\prime }Oy$ បន្ទាត់ដេក $y=c$ និង $y=d$ បង្កើតបានស៊ូលីតបរិវត្ត ដែលមានមាឌកំណត់ដោយ ៖

ការពន្យល់ នៅទីនេះអថេរនៃការគណនាគឺ $y$ មិនមែន $x$ ទេ ។ ដូច្នេះជំហានទីមួយគឺត្រូវសរសេរខ្សែកោងក្នុងទម្រង់ $x=g(y)$ ដោយដោះ $y=f(x)$ ចេញ ។ បន្ទាប់មក កាំនៃរង្វង់គឺ $g(y)$ ហើយដែនកំណត់គឺតម្លៃ $y$ ។

ឧទាហរណ៍បំភ្លឺ បើ $y=\sqrt{3-x}$ នោះ $y^2=3-x$ ដូច្នេះ $x=3-y^2$ ហើយមាឌគឺ $V=\pi {\int }_0^{\sqrt{3}}[3-y^2{]}^{2}dy$ ។

អនុគមន៍កំណត់តាមអាំងតេក្រាលកំណត់ ៖ បើ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ និងជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ ។ អនុគមន៍ $F$ ដែលកំណត់ និងជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ ដោយ ៖

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

ហៅថាអនុគមន៍កំណត់តាមអាំងតេក្រាលកំណត់ ។

ការពន្យល់ នៅទីនេះ $x$ លេចមកនៅក្នុងដែនកំណត់ខាងលើ ដូច្នេះ $F$ ពិតជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។ អថេរ $t$ គឺជាអថេរសម្ងាត់ដែលរត់ពី $a$ ដល់ $x$ ។ ដោយសារ $f$ ជាប់ នោះ $F$ ក៏ជាប់ដែរ ។ នេះជាគំរូដំបូងនៃអនុគមន៍ដែលគេកំណត់ដោយអាំងតេក្រាល ហើយវាជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទ ៤.១១ ។

ចំណាំ បើដែនកំណត់ខាងក្រោមមិនមែន $a$ តែជាអនុគមន៍ $u(x)$ នោះដេរីវេត្រូវប្រើច្បាប់ខ្សែសង្វាក់បន្ថែម ។

បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ នោះអនុគមន៍ $F$ កំណត់លើចន្លោះ $[a,b]$ និងមានដេរីវេត្រង់គ្រប់ចំនុចនៅចន្លោះ $[a,b]$ ហើយ ៖

ការពន្យល់ នេះជាទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃគណនាវិភាគ (fundamental theorem of calculus) ។ វាប្រាប់ថាដេរីវេ និងអាំងតេក្រាលជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសគ្នា។ ដូច្នេះ បើអ្នកឃើញអាំងតេក្រាលដែលមាន $x$ នៅដែនកំណត់ខាងលើ ហើយគេសួររកដេរីវេ នោះចម្លើយគឺគ្រាន់តែជាអនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាល ដោយជំនួស $t$ ដោយ $x$ ។ គ្មានការគណនាអាំងតេក្រាលត្រូវការទេ ។

ឧទាហរណ៍ខ្លី

$$\frac{d}{dx}\left[{\int }_0^x\cos tdt\right]=\cos x$$

តម្លៃមធ្យមនៃអនុគមន៍ ៖ បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ នោះតម្លៃមធ្យមនៃអនុគមន៍ $f$ លើ $x$ កំណត់ដោយ ៖

ការពន្យល់ គំនិតគឺដូចគ្នានឹងមធ្យមភាគធម្មតា ៖ បូកតម្លៃទាំងអស់ រួចចែកនឹងចំនួនតម្លៃ ។ នៅទីនេះ «ផលបូក» គឺអាំងតេក្រាល ហើយ «ចំនួនតម្លៃ» គឺប្រវែងចន្លោះ $b-a$ ។ ដូច្នេះ $y_m$ គឺជាកម្ពស់នៃចតុកោណដែលមានក្រឡាផ្ទៃស្មើនឹងក្រឡាផ្ទៃក្រោមក្រាប ។

ឧទាហរណ៍ខ្លី សម្រាប់ $y=\sqrt{x}$ លើ $[0,4]$ ៖ $y_m=\frac{1}{4}{\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{3}=\frac{4}{3}$ ។

ប្រវែងខ្សែកោង ៖ ប្រវែងខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ $f$ ដែលនៅចន្លោះបន្ទាត់ឈរ $x=a$ និង $x=b$ កំណត់ដោយ ៖

ការពន្យល់ ចំណិតតូចមួយនៃខ្សែកោងដែលមានការផ្លាស់ $dx$ និងការឡើង $dy=f^{\prime }(x)dx$ មានប្រវែង $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=dx\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}$ ដោយទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ ។ បូកចំណិតទាំងអស់ រួចយកលីមីត គេបានរូបមន្តខាងលើ ។

ចំណាំបច្ចេកទេស កន្សោម $1+[f^{\prime }(x){]}^2$ ច្រើនតែក្លាយជាការេបរិបូណ៌ ដូចជា $1+8x$ ឬ $(x^2+1{)}^2$ ដើម្បីឱ្យឫសការេដកចេញបាន ។ បើមិនដូច្នេះទេ អាំងតេក្រាលនឹងពិបាកខ្លាំង ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖ គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ខាងក្រោម ៖

ក. ${\int }_1^3{x}^{2}dx$

ខ. ${\int }_1^4(2x^2-4x+5)dx$

គ. ${\int }_1^3\left(x^2+\frac{1}{x}-e^x\right)dx$

ឃ. ${\int }_1^0(-3x^5-3x^2+2x+5)dx$

ង. ${\int }_1^0\left(\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}\right)dx$

ច. ${\int }_1^0\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$ ។

ក. ${\int }_1^3{x}^{2}dx$ |

ខ. ${\int }_1^4(2x^2-4x+5)dx$ |

គ. ${\int }_1^3\left(x^2+\frac{1}{x}-e^x\right)dx$

ឃ. ${\int }_1^0(-3x^5-3x^2+2x+5)dx$ |

ង. ${\int }_1^0\left(\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}\right)dx$ |

ច. ${\int }_1^0\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$.

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. ${\int }_1^3{x}^{2}dx$

1. ជំហានទី១
   រកព្រីមីទីវនៃ $x^2$ គឺ $\frac{x^3}{3}$។
   ហេតុអ្វី តាមច្បាប់ $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ជាមួយ $n=2$ ហើយ ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$ ។
2. ជំហានទី២
   សរសេរក្នុងតង្កៀប ${\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^3$។
   ហេតុអ្វី នេះជាការអនុវត្តផ្ទាល់នៃរូបមន្តញូតុន–លីបនីស ។
3. ជំហានទី៣
   ដាក់ $3$ និង $1$ ចូល ៖ $\frac{3^3}{3}-\frac{1^3}{3}$។
   ហេតុអ្វី តង្កៀប $[{]}_a^b$ មានន័យថា «តម្លៃនៅ $b$ ដកតម្លៃនៅ $a$» ហើយគ្មាន $+C$ ទេ ។
4. ជំហានទី៤
   $\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$។

ចម្លើយ

ខ. ${\int }_1^4(2x^2-4x+5)dx$

1. ជំហានទី១
   ប្រើលក្ខណៈ ៥ ដើម្បីបំបែកជាបីអាំងតេក្រាល ៖ $2{\int }_1^4{x}^{2}dx-4{\int }_1^{4}xdx+5{\int }_1^{4}1dx$។
   ហេតុអ្វី អាំងតេក្រាលជាការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះផលបូក និងផលដកបំបែកបាន ។
2. ជំហានទី២
   រកព្រីមីទីវនៃគ្រប់ពាក្យ ៖ $2\cdot \frac{x^3}{3}-4\cdot \frac{x^2}{2}+5x=\frac{2x^3}{3}-2x^2+5x$។
   ហេតុអ្វី ច្បាប់ស្វ័យគុណសម្រាប់ $x^2$ និង $x$ ហើយ $\int 1dx=x$ ។
3. ជំហានទី៣
   ដាក់ដែនកំណត់ $4$ និង $1$ ៖ តម្លៃនៅ $4$ គឺ $\frac{128}{3}-32+20=\frac{128}{3}-12=\frac{92}{3}$។
   ហេតុអ្វី $2\cdot 4^3=128$ និង $2\cdot 4^2=32$ ហើយ $5\cdot 4=20$ ។ $2\cdot 4^3=128$, $2\cdot 4^2=32$, $5\cdot 4=20$.
4. ជំហានទី៤
   តម្លៃនៅ $1$ គឺ $\frac{2}{3}-2+5=\frac{11}{3}$។
5. ជំហានទី៥
   ដក ៖ $\frac{92}{3}-\frac{11}{3}=\frac{81}{3}=27$។

ចម្លើយ

គ. ${\int }_1^3\left(x^2+\frac{1}{x}-e^x\right)dx$

1. ជំហានទី១
   ពិនិត្យភាពជាប់ ៖ នៅលើ $[1,3]$ យើងមាន $x>0$ ដូច្នេះ $\frac{1}{x}$ ជាប់ ហើយអនុគមន៍ទាំងមូលជាប់ ។
   ហេតុអ្វី ភាពជាប់ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់នៃរូបមន្តញូតុន–លីបនីស ។
2. ជំហានទី២
   រកព្រីមីទីវតាមពាក្យ ៖ $\frac{x^3}{3}+\ln |x|-e^x$។ ដោយ $x>0$ យើងសរសេរ $\ln x$ ។
   ហេតុអ្វី ${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ និង ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ ។
3. ជំហានទី៣
   តម្លៃនៅ $3$ ៖ $9+\ln 3-e^3$។
4. ជំហានទី៤
   តម្លៃនៅ $1$ ៖ $\frac{1}{3}+0-e$ ។
5. ជំហានទី៥
   ដក ហើយដាក់ជាប្រភាគតែមួយ ៖ $\left(9+\ln 3-e^3\right)-\left(\frac{1}{3}-e\right)=\frac{26}{3}+\ln 3-e^3+e$។

ចម្លើយ

ឃ. ${\int }_1^0(-3x^5-3x^2+2x+5)dx$

1. ជំហានទី១
   ដែនកំណត់ខាងលើតូចជាងខាងក្រោម ។ ប្រើលក្ខណៈ ១ ដើម្បីបញ្ច្រាស ៖ ${\int }_1^0=-{\int }_0^1$។
   ហេតុអ្វី ${\int }_a^{b}f=-{\int }_b^{a}f$ ដូច្នេះយើងគណនាតែអាំងតេក្រាលធម្មតា រួចប្តូរសញ្ញា ។
2. ជំហានទី២
   រកព្រីមីទីវ ៖ $-\frac{3x^6}{6}-x^3+x^2+5x=-\frac{x^6}{2}-x^3+x^2+5x$។
   ហេតុអ្វី $\int x^{5}dx=\frac{x^6}{6}$ ហើយ $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$ ។
3. ជំហានទី៣
   តម្លៃនៅ $1$ ៖ $-\frac{1}{2}-1+1+5=\frac{9}{2}$ ហើយតម្លៃនៅ $0$ គឺ $0$ ។
4. ជំហានទី៤
   ដូច្នេះ ${\int }_0^1=\frac{9}{2}-0=\frac{9}{2}$ ហើយ ${\int }_1^0=-\frac{9}{2}$។

ចម្លើយ

ង. ${\int }_1^0\left(\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}\right)dx$

1. ជំហានទី១
   សរសេរជាស្វ័យគុណ ៖ $\sqrt{x}=x^{1/2}$ និង $\frac{4}{\sqrt{x}}=4x^{-1/2}$។
   ហេតុអ្វី ច្បាប់ស្វ័យគុណអនុវត្តបានតែលើទម្រង់ $x^n$ ប៉ុណ្ណោះ ។
2. ជំហានទី២
   រកព្រីមីទីវ ៖ $\frac{x^{3/2}}{3/2}-4\cdot \frac{x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}{x}^{3/2}-8\sqrt{x}$។
   ហេតុអ្វី ប្រើ $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ជាមួយ $n=\frac{1}{2}$ និង $n=-\frac{1}{2}$ ។
3. ជំហានទី៣
   តម្លៃនៅ $1$ ៖ $\frac{2}{3}-8=-\frac{22}{3}$ ហើយតម្លៃនៅ $0$ គឺ $0$ ។
4. ជំហានទី៤
   ដាក់ដែនកំណត់តាមលំដាប់ដែលបានឱ្យ ៖ $0-\left(-\frac{22}{3}\right)=\frac{22}{3}$។

ចម្លើយ

ច. ${\int }_1^0\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$ — ត្រូវឈប់ និងពិនិត្យជាមុន

1. ជំហានទី១
   ពិនិត្យភាពជាប់លើចន្លោះ $[0,1]$ ៖ ពាក្យ $\frac{1}{x}$ និង $\frac{1}{x^2}$ មិនកំណត់នៅ $x=0$ ទេ ។
   ហេតុអ្វី $x=0$ ជាចុងម្ខាងនៃចន្លោះ ដូច្នេះវាជាអាំងតេក្រាលមិនប្រក្រតី (improper integral) ហើយរូបមន្តញូតុន–លីបនីសមិនអនុវត្តដោយផ្ទាល់បានទេ ។
2. ជំហានទី២
   គណនាលើ $[\epsilon ,1]$ ជាមួយ $\epsilon >0$ ៖

$${\int }_{\epsilon }^1\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx={\left[x+\ln x-\frac{1}{x}\right]}_{\epsilon }^1=\left(1+0-1\right)-\left(\epsilon +\ln \epsilon -\frac{1}{\epsilon }\right)$$

ហេតុអ្វី នៅលើ $[\epsilon ,1]$ អនុគមន៍ជាប់ ដូច្នេះយើងអាចប្រើរូបមន្តបាន ។

3. ជំហានទី៣
   លទ្ធផលគឺ $-\epsilon -\ln \epsilon +\frac{1}{\epsilon }$ ។ ពេល $\epsilon \to 0^{+}$ ពាក្យ $\frac{1}{\epsilon }\to +\infty$ ។
   ហេតុអ្វី ពាក្យ $\frac{1}{\epsilon }$ លើសពាក្យផ្សេងៗទាំងអស់ ដូច្នេះលីមីតគឺ $+\infty$ ។
4. ជំហានទី៤
   ដូច្នេះ ${\int }_0^1\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$ គ្មានតម្លៃកំណត់ ហើយដោយលក្ខណៈ ១ អាំងតេក្រាល ${\int }_1^0$ ក៏គ្មានតម្លៃកំណត់ដែរ ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន សម្រាប់ចំណុច ច. អាំងតេក្រាលគ្មានតម្លៃ (divergent) ព្រោះអនុគមន៍មិនជាប់នៅ $x=0$ ដែលជាចុងនៃចន្លោះ ។ សៀវភៅបោះពុម្ពវាក្នុងបញ្ជីលំហាត់គណនាផ្ទាល់ ដូច្នេះសូមពិនិត្យជាមួយគ្រូថាតើដែនកំណត់ខាងក្រោមត្រូវបានបោះពុម្ពត្រឹមត្រូវឬយ៉ាងណា ។ មេរៀននេះរក្សាទុកចំណុចនេះក្នុងបញ្ជីចន្លោះប្រហោងនៅផ្នែក ៧ ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖ គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ខាងក្រោម ៖

ក. ${\int }_2^4\left(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{2x}\right)dx$

ខ. ${\int }_2^4(4x-5)dx+{\int }_2^4(5-6x)dx$

គ. ${\int }_0^{10}{e}^{x}dx$ ។

ក. ${\int }_2^4\left(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{2x}\right)dx$ |

ខ. ${\int }_2^4(4x-5)dx+{\int }_2^4(5-6x)dx$ |

គ. ${\int }_0^{10}{e}^{x}dx$.

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. ${\int }_2^4\left(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{2x}\right)dx$

1. ជំហានទី១
   សរសេរ $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$ និង $\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}$។
   ហេតុអ្វី ត្រូវកំណត់ថាតើពាក្យណាប្រើច្បាប់ស្វ័យគុណ ហើយពាក្យណាប្រើព្រីមីទីវនៃ $\frac{1}{x}$ ។
2. ជំហានទី២
   ព្រីមីទីវ ៖ $3\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+\frac{1}{2}\ln |x|=-\frac{3}{x}+\frac{1}{2}\ln x$ ។
   ហេតុអ្វី ${\left(-\frac{3}{x}\right)}^{\prime }=\frac{3}{x^2}$ និង ${\left(\frac{1}{2}\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{2x}$ ។
3. ជំហានទី៣
   តម្លៃនៅ $4$ ៖ $-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\ln 4$ ។
4. ជំហានទី៤
   តម្លៃនៅ $2$ ៖ $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\ln 2$ ។
5. ជំហានទី៥
   ដក ហើយប្រើ $\ln 4-\ln 2=\ln 2$ ៖ $\left(-\frac{3}{4}+\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2}\ln 2=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$ ។
   ហេតុអ្វី $-\frac{3}{4}-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{4}$ ហើយ $\frac{1}{2}\left(\ln 4-\ln 2\right)=\frac{1}{2}\ln 2$ ។

ចម្លើយ

ខ. ${\int }_2^4(4x-5)dx+{\int }_2^4(5-6x)dx$

1. ជំហានទី១
   ដែនកំណត់ដូចគ្នា ។ ប្រើលក្ខណៈ ៥ បញ្ចូលអាំងតេក្រាលទាំងពីរជាមួយគ្នា ៖ ${\int }_2^4[(4x-5)+(5-6x)]dx$។
   ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខណៈបូក ដែលអនុញ្ញាតឱ្យបញ្ចូលអនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាល ។
2. ជំហានទី២
   សម្រួល ៖ $(4x-5)+(5-6x)=-2x$ ។ ពាក្យថេរ $-5$ និង $+5$ បាត់ទៅវិញ ។
3. ជំហានទី៣
   គណនា ${\int }_2^4(-2x)dx=[-x^2{]}_2^4=-16-(-4)=-12$ ។
   ហេតុអ្វី $\int -2xdx=-x^2$ ព្រោះ ${\left(-x^2\right)}^{\prime }=-2x$ ។
4. ជំហានទី៤
   ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយគណនាដោយឡែក ៖ ${\int }_2^4(4x-5)dx=14$ និង ${\int }_2^4(5-6x)dx=-26$ ដូច្នេះផលបូកគឺ $-12$ ។
   ហេតុអ្វី ការផ្ទៀងផ្ទាត់បង្ហាញថាលក្ខណៈ ៥ មិនបានផ្លាស់ប្តូរតម្លៃទេ ។

ចម្លើយ

គ. ${\int }_0^{10}{e}^{x}dx$

1. ជំហានទី១
   ព្រីមីទីវនៃ $e^x$ គឺ $e^x$ ខ្លួនឯង ។
   ហេតុអ្វី ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ ។
2. ជំហានទី២
   $[e^x{]}_0^{10}=e^{10}-e^0$ ។ $[e^x{]}_0^{10}=e^{10}-e^0$.
3. ជំហានទី៣
   ដោយ $e^0=1$ ចម្លើយគឺ $e^{10}-1$ ។

ចម្លើយ

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖ គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ខាងក្រោម ៖

ក. ${\int }_0^{2}x(x^2+1{)}^{3}dx$

ខ. ${\int }_1^2{\left(\frac{3x^2}{x^3+1}\right)}^{2}dx$

គ. ${\int }_0^1{\left(\frac{x+1}{x^2+2x+2}\right)}^{3}dx$

ឃ. ${\int }_0^2\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx$

ង. ${\int }_1^4\frac{e^{\sqrt{x}}}{x}dx$

ច. ${\int }_0^{\pi /2}2x\sin x^{2}dx$ ។

ក. ${\int }_0^{2}x(x^2+1{)}^{3}dx$ |

ខ. ${\int }_1^2{\left(\frac{3x^2}{x^3+1}\right)}^{2}dx$ |

គ. ${\int }_0^1{\left(\frac{x+1}{x^2+2x+2}\right)}^{3}dx$

ឃ. ${\int }_0^2\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx$ |

ង. ${\int }_1^4\frac{e^{\sqrt{x}}}{x}dx$ |

ច. ${\int }_0^{\pi /2}2x\sin x^{2}dx$.

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. ${\int }_0^{2}x(x^2+1{)}^{3}dx$

1. ជំហានទី១
   ជ្រើស $u=x^2+1$ ព្រោះវាជាកន្សោមក្នុងស្វ័យគុណ ។ នោះ $du=2xdx$ ដូច្នេះ $xdx=\frac{du}{2}$ ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវរកឃើញ $g^{\prime }(x)=2x$ នៅក្នុងអាំងតេក្រាល ហើយវាមានពិត (គឺ $x$) ។
2. ជំហានទី២
   ប្តូរដែនកំណត់ ៖ ពេល $x=0$ នោះ $u=1$ ហើយពេល $x=2$ នោះ $u=5$ ។
   ហេតុអ្វី រូបមន្ត កំណត់ដែនកំណត់ថ្មីជា $g(a)$ និង $g(b)$ ។
3. ជំហានទី៣
   អាំងតេក្រាលក្លាយជា $\frac{1}{2}{\int }_1^5{u}^{3}du$ ។
4. ជំហានទី៤
   គណនា ៖ $\frac{1}{2}{\left[\frac{u^4}{4}\right]}_1^5=\frac{1}{8}\left(625-1\right)=\frac{624}{8}=78$ ។
   ហេតុអ្វី $5^4=625$ និង $1^4=1$ ។

ចម្លើយ

ខ. ${\int }_1^2{\left(\frac{3x^2}{x^3+1}\right)}^{2}dx$

1. ជំហានទី១
   ជ្រើស $u=x^3+1$ ព្រោះ $du=3x^{2}dx$ ដែលជាភាគយកពិតប្រាកដ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាគំរូស្តង់ដារ $\frac{u^{\prime }}{u^2}$ ។
2. ជំហានទី២
   ដែនកំណត់ថ្មី ៖ $x=1\Rightarrow u=2$ និង $x=2\Rightarrow u=9$ ។
3. ជំហានទី៣
   សរសេរអាំងតេក្រាលជា $9{\int }_1^2\frac{x^4}{{\left(x^3+1\right)}^2}dx$ រួចជំនួស ៖ ដោយ $x^{4}dx=x^2\cdot x^{2}dx=x^2\cdot \frac{du}{3}$ ហើយ $x^2={\left(u-1\right)}^{2/3}$ យើងបាន

$$9{\int }_1^2\frac{x^{4}dx}{{\left(x^3+1\right)}^2}=3{\int }_2^9\frac{{\left(u-1\right)}^{2/3}}{u^2}du$$

ហេតុអ្វី ពី $u=x^3+1$ យើងបាន $x=(u-1{)}^{1/3}$ ដូច្នេះ $x^2=(u-1{)}^{2/3}$ មិនមែន $u-1$ ទេ ។

4. ជំហានទី៤
   អាំងតេក្រាលនេះមិនមានព្រីមីទីវជាអនុគមន៍មូលដ្ឋានទេ ។ តម្លៃលេខរបស់វាគឺប្រហែល $2.2681$ (បង្គត់ ៤ ខ្ទង់ទសភាគ) ។

ចំណាំ សូមកត់សម្គាល់ថាបើអាំងតេក្រាលពិតជាទម្រង់ ${\int }_1^2\frac{3x^2}{{\left(x^3+1\right)}^2}dx$ នោះវាគណនាបានស្រួល ៖ ${\left[-\frac{1}{x^3+1}\right]}_1^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=\frac{7}{18}$ ។ មេរៀននេះរក្សាទម្រង់ដូចដែលសៀវភៅបោះពុម្ព ហើយកត់ត្រាចំណុចនេះក្នុងបញ្ជីចន្លោះប្រហោង ។

គ. ${\int }_0^1{\left(\frac{x+1}{x^2+2x+2}\right)}^{3}dx$

1. ជំហានទី១
   ជ្រើស $u=x^2+2x+2$ ។ នោះ $du=2(x+1)dx$ ដូច្នេះ $(x+1)dx=\frac{du}{2}$ ។
   ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃភាគបែងគឺ $2(x+1)$ ដែលសមាមាត្រនឹងភាគយក ។
2. ជំហានទី២
   សរសេរភាគយកក្នុងអថេរ $u$ ៖ ដោយ $u=(x+1{)}^2+1$ យើងបាន $(x+1{)}^2=u-1$ ។ ដូច្នេះ $(x+1{)}^3=(u-1)(x+1)$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាល្បិចសំខាន់ ៖ យើងទុក $(x+1)$ មួយទៅតាម $du$ ហើយបំប្លែងតែ $(x+1{)}^2$ ។
3. ជំហានទី៣
   ដែនកំណត់ ៖ $x=0\Rightarrow u=2$ និង $x=1\Rightarrow u=5$ ។ អាំងតេក្រាលក្លាយជា $\frac{1}{2}{\int }_2^5\frac{u-1}{u^3}du$ ។
4. ជំហានទី៤
   បំបែក $\frac{u-1}{u^3}=\frac{1}{u^2}-\frac{1}{u^3}$ រួចគណនា ៖ $\frac{1}{2}{\left[-\frac{1}{u}+\frac{1}{2u^2}\right]}_2^5$ ។
   ហេតុអ្វី $\int u^{-2}du=-\frac{1}{u}$ និង $\int u^{-3}du=-\frac{1}{2u^2}$ ។
5. ជំហានទី៥
   តម្លៃនៅ $5$ ៖ $-\frac{1}{5}+\frac{1}{50}=-\frac{9}{50}$ ។ តម្លៃនៅ $2$ ៖ $-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$ ។
6. ជំហានទី៦
   ដក ៖ $\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{50}+\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{39}{200}=\frac{39}{400}$ ។
   ហេតុអ្វី $\frac{3}{8}-\frac{9}{50}=\frac{75-36}{200}=\frac{39}{200}$ ។

ចម្លើយ

ឃ. ${\int }_0^2\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx$

1. ជំហានទី១
   ជ្រើស $u=x^2+4x+1$ ដែលនៅក្រោមឫស ។ នោះ $du=(2x+4)dx=2(x+2)dx$ ដូច្នេះ $(x+2)dx=\frac{du}{2}$ ។
   ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃកន្សោមក្រោមឫសគឺ $2(x+2)$ ដែលសមាមាត្រនឹងភាគយក ។
2. ជំហានទី២
   ដែនកំណត់ ៖ $x=0\Rightarrow u=1$ និង $x=2\Rightarrow u=13$ ។
3. ជំហានទី៣
   អាំងតេក្រាលក្លាយជា $\frac{1}{2}{\int }_1^{13}{u}^{-1/2}du=\frac{1}{2}[2\sqrt{u}{]}_1^{13}$ ។
   ហេតុអ្វី $\int u^{-1/2}du=2\sqrt{u}$ ។
4. ជំហានទី៤
   $\sqrt{13}-\sqrt{1}=\sqrt{13}-1$ ។ $\sqrt{13}-1$.

ចម្លើយ

ង. ${\int }_1^4\frac{e^{\sqrt{x}}}{x}dx$

1. ជំហានទី១
   ជ្រើស $u=\sqrt{x}$ ព្រោះវាជានិទស្សន្តនៃ $e$ ។ នោះ $du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$ ដូច្នេះ $\frac{dx}{x}=2\frac{du}{u}$ (ព្រោះ $x=u^2$) ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវសរសេរ $dx$ តាម $du$ មុននឹងជំនួស ។
2. ជំហានទី២
   ដែនកំណត់ ៖ $x=1\Rightarrow u=1$ និង $x=4\Rightarrow u=2$ ។
3. ជំហានទី៣
   អាំងតេក្រាលក្លាយជា $2{\int }_1^2\frac{e^u}{u}du$ ។
4. ជំហានទី៤
   អាំងតេក្រាល $\int \frac{e^u}{u}du$ មិនមានព្រីមីទីវជាអនុគមន៍មូលដ្ឋានទេ ។ ដូច្នេះទម្រង់ដែលបោះពុម្ពមិនអាចគណនាបានដោយវិធីជំនួសអថេរតែមួយ ។

ចំណាំ ប្រភពសរសេរបន្ទាត់នេះដោយមិនច្បាស់ ([UNCLEAR]) ។ បើភាគបែងពិតជា $\sqrt{x}$ មិនមែន $x$ នោះអាំងតេក្រាលក្លាយជា ${\int }_1^{2}2e^{u}du=2\left(e^2-e\right)$ ដែលជាចម្លើយស្អាត ។ មេរៀននេះមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីទេ ហើយកត់ត្រាចំណុចនេះក្នុងបញ្ជីចន្លោះប្រហោង ។

ច. $\displaystyle\int_0^{\pi

1. ជំហានទី១
   ជ្រើស $u=x^2$ ដែលជាមុំនៃស៊ីនុស ។ នោះ $du=2xdx$ ដែលជាភាគយកពិតប្រាកដ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាគំរូ $\int f(u)u^{\prime }dx$ ។
2. ជំហានទី២
   ដែនកំណត់ ៖ $x=0\Rightarrow u=0$ និង $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u=\frac{{\pi }^2}{4}$ ។
3. ជំហានទី៣
   អាំងតេក្រាលក្លាយជា ${\int }_0^{{\pi }^2/4}\sin udu=[-\cos u{]}_0^{{\pi }^2/4}$ ។
   ហេតុអ្វី ព្រីមីទីវនៃ $\sin u$ គឺ $-\cos u$ ។
4. ជំហានទី៤
   $-\cos \frac{{\pi }^2}{4}+\cos 0=1-\cos \frac{{\pi }^2}{4}$ ។

ចម្លើយ

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖ គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ខាងក្រោម ៖

ក. ${\int }_0^{\pi /2}x\cos xdx$

ខ. ${\int }_0^{4}x{e}^{x}dx$

គ. ${\int }_0^{2}x{e}^{2x}dx$