សិក្សាអនុគមន៍លោការីត

ពេលឃើញ $\ln 8$ ត្រូវគិតថា៖ «តើ $e$ ត្រូវលើកកម្ពស់ប៉ុន្មាន ទើបបាន $8$?» ។ ចម្លើយគឺប្រហែល $2.08$ ព្រោះ $e^{2.08}\approx 8$ ។ លោការីតតែងតែផ្តល់ចំនួនតូចជាងអាគុយម៉ង់របស់វាច្រើន ពេលអាគុយម៉ង់ធំ៖ $\ln 1000\approx 6.9$ ។ ដូច្នេះក្រាបរបស់ $\ln$ ឡើងយឺតខ្លាំង ។

លោការីតមានន័យតែលើចំនួនវិជ្ជមានដាច់ខាត ។ ដូច្នេះពេលឃើញ $\ln u(x)$ ត្រូវដោះវិសមីការ $u(x)>0$ ជាមុនគេ ។ បើភាគបែងមាន $\ln$ ត្រូវបន្ថែមលក្ខខណ្ឌភាគបែងខុសពី $0$ ៖ ក្នុងលំហាត់ទី ១៥ គេត្រូវដោះ $\ln x-1\ne 0$ គឺ $x\ne e$ ។ ឧទាហរណ៍ $\ln (x-2)$ អាចប្រើបានតែពេល $x>2$ ។

នេះជាលីមីតដែលយើងប្រើជាប្រចាំ មិនមែនជាការសង្កេតលើក្រាបទេ៖ $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$ និង $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=0$ ។ ដោយ $x^n$ ឈ្នះ $\ln x$ គ្រប់ $n>0$ នោះពេលគណនាលីមីតនៃ $\frac{\ln x}{x^n}$ ចម្លើយគឺ $0$ ដោយមិនចាំបាច់គណនាអ្វីបន្ថែម ។ ឧទាហរណ៍ $\ln 1000\approx 6.9$ តែ $1000$ ធំជាងវាជាច្រើនរយដង ។

ដេរីវេ $\frac{1}{x}$ វិជ្ជមាន តែតូចជាង $1$ ពេល $x>1$ ហើយកាន់តែតូចពេល $x$ កាន់តែធំ ។ ដូច្នេះក្រាប $\ln$ ឡើងខ្ពស់ពេលនៅជិត $0^{+}$ រួចរាបស្មើបន្តិចម្តងៗ ។ ក្រាបបែបនេះហៅថា ប៉ោងចុះ (concave down) ។

ព្រោះ $\ln x\to -\infty$ ពេល $x\to 0^{+}$ ស្ទើរតែគ្រប់លំហាត់ដែលមាន $\ln x$ ក្នុងភាគយក គឺមានអាស៊ីមតូតឈរ $x=0$ (អ័ក្សអដ្ឋកញ្ញា) ។ ត្រូវគណនាលីមីតនៅ $0^{+}$ ជាមុន ដើម្បីបញ្ជាក់ថាវាទៅ $-\infty$ ឬ $+\infty$ ពិតប្រាកដ មិនមែនសន្និដ្ឋានតាមរូបរាងក្រាបទេ ។

$\ln 1=0$ ដូច្នេះ $x=1$ ជាកន្លែងក្រាបកាត់អ័ក្សអប់ស៊ីស; $\ln e=1$ និង $\ln \frac{1}{e}=-1$ ។ ចំណុចទាំងនេះជួយឱ្យយើងមិនសរសេរតម្លៃខុសក្នុងតារាង ហើយជួយគូសក្រាបបានត្រឹមត្រូវ ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងលំហាត់ទី ១ តម្លៃអតិបរមាគឺនៅ $x=e^{-1}$ ព្រោះ $f^{\prime }(x)=0$ ពេល $\ln x=-1$ ។

ចំនួនឬសនៃ $f(x)=k$ គឺចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ដេក $y=k$ ។ ដូច្នេះត្រូវអានតារាងអថេរភាព៖ តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាបែងចែកចន្លោះតម្លៃ $k$ ជាបីផ្នែក ។ នេះជាសំណួរទី ៥ នៃលំហាត់ជាច្រើន ។

ពេលគណនាផ្ទៃរវាងក្រាប និងអាស៊ីមតូតដេក $y=\ell$ ត្រូវគណនាអាំងតេក្រាលនៃ $f(x)-\ell$ ឬ $\ell -f(x)$ តាមថាតើមួយណាវិជ្ជមាន ។ ពេលគណនាផ្ទៃរវាងក្រាប និងអ័ក្សអប់ស៊ីស ត្រូវពិនិត្យសញ្ញានៃ $f$ លើចន្លោះនោះជាមុន ។ គ្មានផ្ទៃណាអវិជ្ជមានទេ ។

I. លក្ខណៈនៃលោការីតនេពែរ ៖ អនុគមន៍លោការីតនេពែរ $x$ ដែល $x>0$ កំណត់ដោយ $y=\ln x$ ។ ❖ ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍លោការីតនេពែរ ៖ ➢ អនុគមន៍ $y=\ln x$ មានន័យកាលណា $x>0$ គេបានដែនកំណត់ $D=(0,+\infty )$ ។ ➢ អនុគមន៍ $y=\ln u(x)$ មានន័យកាលណា $u(x)>0$ ។

ការពន្យល់ ពាក្យ «នេពែរ» (neperian) មកពីឈ្មោះរបស់គណិតវិទូ John Napier។ លោការីតនេពែរគឺជាលោការីតគោល $e$ ដែល $e\approx 2.718$។ ដែនកំណត់ $D=(0,+\infty )$ មានន័យថាយើងអាចដាក់ចូលតែចំនួនវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ លេខ $0$ និងលេខអវិជ្ជមានមិនស្ថិតក្នុងដែនកំណត់ទេ ព្រោះគ្មានស្វ័យគុណណានៃ $e$ ស្មើ $0$ ឬអវិជ្ជមានឡើយ។

របៀបប្រើប្រាស់ ដើម្បីរកដែនកំណត់ ត្រូវសរសេរលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ដែលកន្សោមត្រូវការ៖

តារាងនេះគឺជាគំរូសម្រាប់លំហាត់ទាំង ១៨៖ ជួរទីមួយបង្ហាញកន្សោម ជួរទីពីរបង្ហាញវិសមីការត្រូវដោះ ជួរទីបីបង្ហាញលទ្ធផល។

ចំណាំសំខាន់ លក្ខខណ្ឌ $u(x)>0$ ត្រូវដោះដោយខ្លួនឯង មិនត្រូវសន្និដ្ឋានថា $u(x)$ វិជ្ជមានជានិច្ចទេ។ ឧទាហរណ៍ $\ln (x^2+1)$ មានដែនកំណត់ $\mathbb{R}$ ព្រោះ $x^2+1>0$ គ្រប់ $x$ តែ $\ln (x^2-1)$ មានដែនកំណត់ $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$ ព្រោះត្រូវការ $x^2>1$។

II. លក្ខណៈនៃលោការីតនេពែរ ៖

ក. $\ln e=1$

ខ. $\ln 1=0$

គ. $\ln (mn)=\ln m+\ln n$

ឃ. $\ln \left(\frac{m}{n}\right)=\ln m-\ln n$

ង. $\ln e^x=x\ln e=x$

ច. $e^{\ln x}=x$ ។

ក. $\ln e=1$;

ខ. $\ln 1=0$;

គ. $\ln (mn)=\ln m+\ln n$;

ឃ. $\ln \left(\frac{m}{n}\right)=\ln m-\ln n$;

ង. $\ln e^x=x\ln e=x$;

ច. $e^{\ln x}=x$.

ការពន្យល់ លក្ខណៈ

គ. និង

ឃ. បំប្លែងផលគុណ និងផលចែកទៅជាផលបូក និងផលដក ។ នេះជាអំណាចពិសេសរបស់លោការីត៖ វាបន្ថយដឺក្រេនៃប្រតិបត្តិការ ។ លក្ខណៈ

ង. និង

ច. បង្ហាញថា $\ln$ និង $\exp$ ជាអនុគមន៍ច្រាសគ្នា ៖ មួយដោះ មួយទៀត ។ លក្ខណៈ

ង. ក៏អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរ $\ln \frac{1}{x}=-\ln x$ និង $\ln x^2=2\ln x$ សម្រាប់ $x>0$ ផងដែរ ។

អត្ថន័យនៃរូបមន្តនីមួយៗ

• ក. $\ln e=1$៖ លោការីតនៃ $e$ ស្មើ $1$ ព្រោះ $e^1=e$។
• ខ. $\ln 1=0$៖ លោការីតនៃ $1$ ស្មើ $0$ ព្រោះ $e^0=1$។
• គ. $\ln (mn)=\ln m+\ln n$៖ លោការីតនៃផលគុណ ស្មើផលបូកលោការីតនីមួយៗ។ ត្រូវមាន $m>0$ និង $n>0$។
• ឃ. $\ln \left(\frac{m}{n}\right)=\ln m-\ln n$៖ លោការីតនៃផលចែក ស្មើលោការីតភាគយក ដកលោការីតភាគបែង។ ត្រូវមាន $m>0$ និង $n>0$។
• ង. $\ln (e^x)=x\ln e=x$៖ $\ln$ លុបចោលស្វ័យគុណដែលមានគោល $e$ ដូច្នេះយើងបានត្រឡប់ទៅ $x$ វិញ។
• ច. $e^{\ln x}=x$៖ ការលើក $e$ ជាស្វ័យគុណនៃ $\ln x$ ក៏ត្រឡប់ទៅ $x$ វិញដែរ។ ត្រូវមាន $x>0$។

ចំណាំ កុំបូកលោការីតពេលមានផលបូកក្នុងវង់ក្រចក៖ ជាទូទៅ $\ln (m+n)\ne \ln m+\ln n$។

ឧទាហរណ៍ប្រើប្រាស់ លំហាត់ក្នុងជំពូកនេះប្រើលក្ខណៈទាំងនេះដើម្បីបំប្លែងកន្សោមមុនពេលគណនាលីមីត ឬដេរីវេ៖

$$\frac{x+\ln x}{x}=1+\frac{\ln x}{x},\frac{x^2+\ln x}{x^2}=1+\frac{\ln x}{x^2}$$

$$\frac{x^2-2x+\ln x}{x}=x-2+\frac{\ln x}{x},1-\frac{2\ln x}{x}=\frac{x-2\ln x}{x}$$

ការបំប្លែងទីមួយ ទីពីរ និងទីបី ធ្វើឱ្យឃើញភ្លាមថាលីមីតនៅ $+\infty$ គឺ $1$, $1$ និង $+\infty$ ។

III. លីមីតនៃអនុគមន៍លោការីតនេពែរ ៖

ក. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$

ខ. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$

គ. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

ឃ. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$ , $(n>0)$

ង. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^n}{\ln x}=+\infty$ , $(n>0)$

ច. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln x=0$ , $(n>0)$

ក. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$;

ខ. ${\lim }_{x\to +\infty }\ln x=+\infty$;

គ. ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$;

ឃ. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x^n}=0$, $(n>0)$;

ង. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^n}{\ln x}=+\infty$, $(n>0)$;

ច. ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^n\ln x=0$, $(n>0)$.

ការពន្យល់ លីមីត $\ln x$ ពេល $x\to 0^{+}$ និង $x\to +\infty$ បង្ហាញពីរូបរាងក្រាប៖ វាធ្លាក់ចុះគ្មានព្រំដែននៅជិត $0$ ខាងស្តាំ ហើយកើនឡើងគ្មានព្រំដែននៅពេល $x$ ធំ។ ផលគុណ $x^n\ln x$ ពេល $x\to 0^{+}$ ជាទម្រង់មិនកំណត់ $0\cdot \infty$ ប៉ុន្តែលទ្ធផលគឺ $0$ ព្រោះ $x^n$ ខិតទៅ $0$ លឿនជាង $|\ln x|$ កើន។ ពេល $x\to +\infty$, $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$ និង $\frac{x^n}{\ln x}\to +\infty$ បង្ហាញថា $x^n$ កើនលឿនជាង $\ln x$។

តារាងសង្ខេប តារាងនេះជួយឱ្យយើងជ្រើសរើសលីមីតត្រូវនៅពេលគណនា៖

ហេតុអ្វីលីមីតទាំងនេះសំខាន់ ស្ទើរតែគ្រប់លំហាត់ទាំង ១៨ ត្រូវការលីមីត

គ. ឬ

ឃ. ៖ ពេលគណនា $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$ ក្នុងលំហាត់ទី ១ និងទី ៤ យើងប្រើ

គ. ហើយពេលគណនា $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$ ក្នុងលំហាត់ទី ២ ទី ៣ និងទី ៥ យើងប្រើ

ឃ. ។ បើគ្មានលីមីតទាំងនេះទេ យើងមិនអាចរកអាស៊ីមតូតបានឡើយ ។

IV. ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត ៖ ➢ បើ $y=\ln x$ នោះ $y^{\prime }=\frac{1}{x}$ ដែល $x>0$ ។ ➢ បើ $y=\ln u(x)$ នោះ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$ ដែល $u(x)>0$ ។

ការពន្យល់ រូបមន្តទីពីរគឺជាច្បាប់ខ្សែសង្វាក់អនុវត្តលើ $\ln u$៖ យើងយកដេរីវេនៃ $u$ រួចចែកនឹង $u$ ខ្លួនវា។ ហេតុនេះដេរីវេនៃ $\ln u$ មានសញ្ញាដូច $u^{\prime }$ ព្រោះ $u>0$។ នេះជាចំណុចងាយបំផុតក្នុងការសិក្សាអថេរភាព៖ សញ្ញានៃ $f^{\prime }$ គឺសញ្ញានៃ $u^{\prime }$ ឬសញ្ញានៃភាគយក បើ $f^{\prime }$ ជាផលចែក។

ឧទាហរណ៍ប្រើប្រាស់ តារាងខាងក្រោមរាយដេរីវេទាំងអស់ដែលលំហាត់ក្នុងជំពូកនេះត្រូវការ៖

ចំណាំ នៅពេលគណនាដេរីវេនៃកន្សោមដូចជា $\frac{\ln x}{x^2}$ ត្រូវប្រើច្បាប់ផលចែកជាមុន រួចទើបសម្រួលភាគយកដោយប្រើ $\frac{1}{x}\cdot x^2=x$។ បើមិនសម្រួលទេ ភាគយកនឹងមើលទៅស្មុគស្មាញ ហើយសញ្ញានឹងពិបាកអាន។

ចំណោទ អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=1-x\ln x$ ហើយមានខ្សែកោង $C$ ។

១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនាលីមីត $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ និង $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ។ ចូរពន្យល់ពី $f$ ដាច់ខាងស្តាំត្រង់ $x=0$ ឬទេ?

២. បង្ហាញថា $f$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ $x=e^{-1}$ ហើយគណនា $f(e^{-1})$ ។

៣. គណនាតម្លៃ $f(1)$ និង $f(2)$ ។ សង់ខ្សែកោង $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមាល់ ។ (គេនឹងយក $e^{-1}=0.4$, $\ln 2=0.7$)

៤. គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែកោង $C$ និងបន្ទាត់ $D$ មានសមីការ $y=1-x$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — ដែនកំណត់
   កន្សោម $x\ln x$ ទាមទារតែ $\ln x$ មានន័យ គឺ $x>0$។ ដូច្នេះ $D=(0,+\infty )$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាការអនុវត្តផ្ទាល់នៃ ៖ $\ln x$ មានន័យលុះត្រាតែ $x>0$។ គ្មានភាគបែង និងគ្មានឫសការេ ដូច្នេះគ្មានលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតទេ។

2. ជំហានទី២ — លីមីតនៅ $0^{+}$
   យើងសរសេរ

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(1-x\ln x\right)=1-\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=1-0=1.$$

ហេតុអ្វី លីមីត ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ គឺជាលីមីត គ. នៃ ។ យើងអាចញែកលីមីតបាន ព្រោះលីមីតទាំងពីរមានកំណត់។

3. ជំហានទី៣ — តើ $f$ ដាច់ត្រង់ $x=0$ ឬទេ
   $f$ មិនកំណត់ត្រង់ $x=0$ ទេ ព្រោះ $0$ មិនស្ថិតក្នុងដែនកំណត់។ ដូច្នេះយើងមិនអាចនិយាយថា $f$ «ដាច់» ត្រង់ $x=0$ បានឡើយ៖ គ្មានតម្លៃ $f(0)$ ដែលត្រូវប្រៀបធៀបនឹងលីមីត។ តែដោយ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$ ជាចំនួនកំណត់ គេអាចបន្ត $f$ ដោយការបន្ត (prolongement par continuité) ដោយកំណត់ $f(0)=1$ ។ ដូច្នេះ $f$ មិនមែនជាអនុគមន៍ដាច់នៅខាងស្តាំ $x=0$ ទេ តែវាខ្វះនិយមន័យត្រង់ចំណុចនោះប៉ុណ្ណោះ។
   ហេតុអ្វី និយមន័យនៃភាពដាច់ទាមទារឱ្យអនុគមន៍កំណត់នៅចំណុចនោះ។ ដោយសារលីមីតខាងស្តាំមានកំណត់ គ្មានការលោតឡើយ គ្រាន់តែជារន្ធមួយក្នុងដែនកំណត់។

4. ជំហានទី៤ — លីមីតនៅ $+\infty$
   ពេល $x\to +\infty$ គេបាន $x\ln x\to +\infty$ ដូច្នេះ

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\ln x\right)=-\infty .$$

ហេតុអ្វី ផលគុណ $x\ln x$ មានកត្តាទាំងពីរទៅ $+\infty$ ដូច្នេះផលគុណទៅ $+\infty$។ សញ្ញាដកនៅខាងមុខធ្វើឱ្យ $f$ ទៅ $-\infty$។ ដោយសារលីមីតមិនកំណត់ ក្រាបគ្មានអាស៊ីមតូតដេកឡើយ។

5. ជំហានទី៥ — ដេរីវេ
   ដោយប្រើ $(x\ln x{)}^{\prime }=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$ គេបាន

$$f^{\prime }(x)=0-\left(\ln x+1\right)=-\ln x-1.$$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $1$ គឺ $0$; ដេរីវេនៃ $x\ln x$ គឺផលគុណ $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ ជាមួយ $u=x$, $v=\ln x$ ហើយ $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ តាម ។

6. ជំហានទី៦ — សញ្ញានៃដេរីវេ និងតារាង
   ដោះ $f^{\prime }(x)=0$៖

$$-\ln x-1=0⟺\ln x=-1⟺x=e^{-1}.$$

បើ $0<x<e^{-1}$ នោះ $\ln x<-1$ ដូច្នេះ $f^{\prime }(x)>0$ ។ បើ $x>e^{-1}$ នោះ $\ln x>-1$ ដូច្នេះ $f^{\prime }(x)<0$ ។ ដូច្នេះ $f$ កើនលើ $(0,e^{-1})$ និងចុះលើ $(e^{-1},+\infty )$៖

ហេតុអ្វី $\ln$ ជាអនុគមន៍កើន ដូច្នេះ $\ln x<-1$ សមមូលនឹង $x<e^{-1}$។ ការប្តូរសញ្ញាពី $+$ ទៅ $-$ បង្ហាញថាចំណុចនោះជាអតិបរមា។

7. ជំហានទី៧ — តម្លៃអតិបរមា
   ដោយ $\ln \left(e^{-1}\right)=-1$ គេបាន

$$f\left(e^{-1}\right)=1-e^{-1}\cdot \ln \left(e^{-1}\right)=1-e^{-1}\cdot (-1)=1+e^{-1}.$$

ដោយ $e^{-1}=0.4$ គេបាន $f\left(e^{-1}\right)\approx 1.4$ ។
ហេតុអ្វី $\ln e^a=a$ តាម (លក្ខណៈ ង.) ជាមួយ $a=-1$។ ផលគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមានពីរជាចំនួនវិជ្ជមាន។

8. ជំហានទី៨ — តម្លៃ $f(1)$ និង $f(2)$
   ដោយ $\ln 1=0$ និង $\ln 2=0.7$៖

$$f(1)=1-1\cdot \ln 1=1-0=1,$$

$$f(2)=1-2\ln 2=1-2(0.7)=1-1.4=-\mathrm{0.4.}$$

ហេតុអ្វី យើងជំនួស $x=1$ និង $x=2$ ក្នុងកន្សោម រួចប្រើ $\ln 1=0$ និងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលសៀវភៅផ្តល់ឱ្យ $\ln 2=0.7$។

9. ជំហានទី៩ — ការគូសក្រាប $C$
   យើងដាក់ចំណុចទាំងនេះក្នុងតម្រុយ៖ $\left(e^{-1};1.4\right)\approx (0.4;1.4)$ ជាអតិបរមា, $(1;1)$ និង $(2;-0.4)$ ។ ក្រាបចេញពីចំណុច $(0;1)$ ដែលជារន្ធ (បន្តបាន) ឡើងដល់កំពូល $(0.4;1.4)$ រួចចុះកាត់អ័ក្សអប់ស៊ីសម្តង ហើយបន្តចុះក្រោមឥតដែនកំណត់។ ក្រាបកាត់អ័ក្សអប់ស៊ីសនៅ $x$ ដែល $1-x\ln x=0$ គឺ $x\ln x=1$ ដែលស្ថិតនៅចន្លោះ $1$ និង $2$ (ព្រោះ $f(1)=1>0$ និង $f(2)=-0.4<0$)។
   ហេតុអ្វី តារាងអថេរភាពផ្តល់ទិសដៅ និងតម្លៃបរមា; ទ្រឹស្តីបទតម្លៃកណ្តាលធានាថាមានឫសមួយនៅចន្លោះ $1$ និង $2$ ព្រោះ $f$ បន្ត និងប្តូរសញ្ញា។

10. ជំហានទី១០ — ចំណុចប្រសព្វជាមួយ $D$
    ដោះសមីការ

$$1-x\ln x=1-x⟺-x\ln x=-x⟺x\ln x=x⟺x\left(\ln x-1\right)=0.$$

ដោយ $x>0$ គេបាន $\ln x=1$ គឺ $x=e$ ។ តម្លៃ $y$ គឺ $y=1-e$ ។ ដូច្នេះចំណុចប្រសព្វគឺ

$$P\left(e;1-e\right)\approx \left(2.7;-1.7\right).$$

ហេតុអ្វី យើងដោះសមីការដោយដាក់កន្សោមទាំងពីរស្មើគ្នា។ ការចែកនឹង $x$ សុពលភាព ព្រោះ $x>0$ ដូច្នេះ $x\ne 0$។ ចម្លើយ $\ln x=1$ ផ្តល់ $x=e$ ដោយ (លក្ខណៈ ង.)។

ចំណោទ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $f(x)=2\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)$ ហើយមានក្រាប $C$ ។

១. គណនា $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ និង $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ។ កំណត់សមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។

២. គណនាដេរីវេ $f^{\prime }(x)$ និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f^{\prime }(x)$ ។ កំណត់តម្លៃបរមានៃ $f$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។

៣. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $M$ រវាងក្រាប $C$ និងអាស៊ីមតូតដេករបស់វា ។ រកសមីការបន្ទាត់ $L$ ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ $M$ ។

៤. សង់បន្ទាត់ $L$ អាស៊ីមតូត និងក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយតម្យ (យក $e=2.7$ ; $2/e=0.7$) ។

៥. កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $k$ ដោយប្រើក្រាប $C$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $2\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=k$ មានឬស ។

៦. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្រទាក់ដែលកំណត់ដោយក្រាប $C$ អ័ក្ស $(x^{\prime }Ox)$ និងបន្ទាត់ឈរ $x=1$ និង $x=e$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — លីមីតនៅ $0^{+}$
   ពេល $x\to 0^{+}$ គេបាន $\ln x\to -\infty$ និង $\frac{1}{x}\to +\infty$ ដូច្នេះ

$$\frac{\ln x}{x}⟶-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=2\left(1-(-\infty )\right)=+\infty .$$

ដូច្នេះបន្ទាត់ $x=0$ (អ័ក្សអដ្ឋកញ្ញា) ជាអាស៊ីមូតឈរ។
ហេតុអ្វី ផលគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមានធំ និងចំនួនវិជ្ជមានធំ គឺអវិជ្ជមានធំ។ លីមីតអនន្តជានិយមន័យនៃអាស៊ីមតូតឈរ។

2. ជំហានទី២ — លីមីតនៅ $+\infty$
   តាម លីមីត ឃ. ជាមួយ $n=1$៖

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2(1-0)=2.$$

ដូច្នេះបន្ទាត់ $y=2$ ជាអាស៊ីមតូតដេក។
ហេតុអ្វី លោការីតចាញ់ស្វ័យគុណ $x^1$ នៅ $+\infty$ ។ នេះជាហេតុផលតែមួយគត់ដែលធ្វើឱ្យផលចែកមានលីមីតកំណត់។

3. ជំហានទី៣ — ដេរីវេ
   យើងគណនាដេរីវេនៃ $\frac{\ln x}{x}$ ដោយច្បាប់ផលចែក៖

$${\left(\frac{\ln x}{x}\right)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot \ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

ដូច្នេះ

$$f^{\prime }(x)=-2\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}=\frac{2\left(\ln x-1\right)}{x^2}.$$

ហេតុអ្វី កត្តា $2$ ជាចំនួនថេរ ដូច្នេះវាគ្រាន់តែគុណនឹងដេរីវេនៃកន្សោមក្នុងវង់ក្រចក។ ដេរីវេនៃ $\ln x$ គឺ $\frac{1}{x}$ ហើយដេរីវេនៃ $x$ គឺ $1$។

4. ជំហានទី៤ — សញ្ញានៃ $f^{\prime }$ និងតារាង
   ភាគបែង $x^2>0$ ដូច្នេះសញ្ញានៃ $f^{\prime }$ គឺសញ្ញានៃ $\ln x-1$៖

$$f^{\prime }(x)=0⟺\ln x=1⟺x=e.$$

$f^{\prime }(x)<0$ ពេល $0<x<e$ និង $f^{\prime }(x)>0$ ពេល $x>e$ ។

ហេតុអ្វី $x^2>0$ ចំពោះ $x\ne 0$ ដូច្នេះវាមិនប៉ះពាល់សញ្ញាទេ។ ការប្តូរពី $-$ ទៅ $+$ បង្ហាញអប្បបរមា។

5. ជំហានទី៥ — តម្លៃបរមា
   ដោយ $\ln e=1$៖

$$f(e)=2\left(1-\frac{1}{e}\right)=2-\frac{2}{e}\approx 2-0.7=\mathrm{1.3.}$$

នេះជាតម្លៃអប្បបរមា មិនមែនអតិបរមាទេ ព្រោះ $f$ ចុះមុន $e$ ហើយកើនក្រោយ $e$។
ហេតុអ្វី សញ្ញាដេរីវេប្តូរពីអវិជ្ជមានទៅវិជ្ជមាន ដូច្នេះវាជាបាតកំពូលចុះក្រោម (អប្បបរមា)។

6. ជំហានទី៦ — ចំណុច $M$ លើអាស៊ីមតូតដេក
   ដោះ $f(x)=2$៖

$$2\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=2⟺1-\frac{\ln x}{x}=1⟺\frac{\ln x}{x}=0⟺\ln x=0⟺x=1.$$

ដូច្នេះ $M\left(1;2\right)$ ។
ហេតុអ្វី ផលចែក $\frac{\ln x}{x}$ ស្មើ $0$ លុះត្រាតែភាគយកស្មើ $0$ ព្រោះភាគបែង $x\ne 0$។ រួច $\ln x=0⟺x=1$ ។

7. ជំហានទី៧ — បន្ទាត់ប៉ះ $L$
   ជម្រាល៖

$$f^{\prime }(1)=\frac{2\left(\ln 1-1\right)}{1^2}=2(0-1)=-2.$$

ដូច្នេះ

$$L:y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=-2(x-1)+2=-2x+4.$$

ហេតុអ្វី សមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $a=1$ គឺ $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ (ចំណេះដឹងមុន ទី ៧) ហើយ $f(1)=2$ ព្រោះ $M$ ស្ថិតលើក្រាប។

8. ជំហានទី៨ — ចំនួនឬសនៃ $f(x)=k$
   តាមតារាង និងតាមការពិតថា $f(x)<2$ គ្រប់ $x>0$ (ព្រោះ $\frac{\ln x}{x}>0$ ពេល $x>1$ និង $<0$ ពេល $x<1$) យើងបាន៖

ហេតុអ្វី ចំនួនឬសគឺចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាង $C$ និងបន្ទាត់ដេក $y=k$; តម្លៃអប្បបរមា $2-\frac{2}{e}$ និងលីមីត $2$ បែងចែកករណីទាំងនេះ។

9. ជំហានទី៩ — ផ្ទៃក្រឡា
   លើ $[1,e]$ គេបាន $f(x)\ge 2-\frac{2}{e}>0$ ដូច្នេះផ្ទៃក្រឡាគឺ

$$S={\int }_1^{e}f(x)dx={\int }_1^e\left(2-\frac{2\ln x}{x}\right)dx.$$

ព្រីមីទីវនៃ $\frac{2\ln x}{x}$ គឺ $(\ln x{)}^2$ ព្រោះ ${\left((\ln x{)}^2\right)}^{\prime }=2\cdot \frac{1}{x}\ln x$ ។ ដូច្នេះ

$$S={\left[2x-(\ln x{)}^2\right]}_1^e=\left(2e-1\right)-\left(2-0\right)=2e-3\approx 5.4-3=\mathrm{2.4.}$$

ហេតុអ្វី $(\ln x{)}^2$ ជាព្រីមីទីវ ព្រោះដេរីវេរបស់វាគឺ $\frac{2\ln x}{x}$ (ចំណេះដឹងមុន ទី ៨)។ សញ្ញាបូកនៃ $f$ ធានាថាអាំងតេក្រាលផ្តល់ផ្ទៃវិជ្ជមានដោយផ្ទាល់។

ចំណោទ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x\in D=(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$ ដោយ $f(x)=-\frac{x}{2}+\ln \left(\frac{x-1}{x}\right)$ ហើយមានខ្សែកោង $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមាល់មួយ ។

១. គណនា $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)$ និង $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$ ។ រកអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរនៃ $C$ ។

២. គណនា និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f^{\prime }(x)$ ដោយដឹងថា $x(x-1)>0$ ចំពោះ $x\in D$ ។ គណនាតម្លៃអប្បបរមា និងអតិបរមានៃអនុគមន៍ $f$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។

៣. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $L:y=-\frac{x}{2}$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃខ្សែកោង $C$ ។

៤. សង់អាស៊ីមតូតទាំងអស់ និងខ្សែកោង $C$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ ។ គេរក $\ln 2=0.7$, $\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2=-0.7$ ។

៥. រកតម្លៃនៃ $a$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $-\frac{x}{2}+\ln \left(\frac{x-1}{x}\right)=a$ មានឬសពិតពីរផ្សេងគ្នា ដោយប្រើខ្សែកោង $C$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — ការពិនិត្យដែនកំណត់
   ត្រូវការ $\frac{x-1}{x}>0$ គឺ $x(x-1)>0$ ដែលផ្តល់ $x<0$ ឬ $x>1$។ នេះត្រូវនឹង $D=(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$ ដែលសៀវភៅបានឱ្យ។
   ហេតុអ្វី តារាងសញ្ញានៃត្រីភាគី $x(x-1)$ ផ្តល់សញ្ញាបូកនៅខាងក្រៅឫស $0$ និង $1$។ នេះជាការអនុវត្ត លើ $u(x)=\frac{x-1}{x}$។

2. ជំហានទី២ — លីមីតនៅចុងដែនកំណត់
   ពេល $x\to \pm \infty$ គេបាន $\frac{x-1}{x}\to 1$ ដូច្នេះ $\ln \frac{x-1}{x}\to \ln 1=0$ ។ ដូច្នេះ

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty .$$

ពេល $x\to 0^{-}$ គេបាន $\frac{x-1}{x}\to +\infty$ ដូច្នេះ $\ln \frac{x-1}{x}\to +\infty$ ហើយ $-\frac{x}{2}\to 0$ ៖

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=+\infty .$$

ពេល $x\to 1^{+}$ គេបាន $\frac{x-1}{x}\to 0^{+}$ ដូច្នេះ $\ln \frac{x-1}{x}\to -\infty$ ហើយ $-\frac{x}{2}\to -\frac{1}{2}$ ៖

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=-\infty .$$

ដូច្នេះអាស៊ីមតូតឈរគឺ $x=0$ និង $x=1$ ។
ហេតុអ្វី $\ln 1=0$ ; នៅ $0^{-}$ ភាគបែង $x$ អវិជ្ជមានតូច ដូច្នេះផលចែកធំវិជ្ជមាន; នៅ $1^{+}$ ភាគយកវិជ្ជមានតូច ដូច្នេះផលចែកតូចវិជ្ជមាន ហើយ $\ln$ នៃចំនួនតូចវិជ្ជមានទៅ $-\infty$។

3. ជំហានទី៣ — ដេរីវេ
   ដាក់ $u(x)=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$ នោះ $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$ ហើយ

$${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}=\frac{1}{x^2}\cdot \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x(x-1)}.$$

ដូច្នេះ

$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{x(x-1)}=\frac{-x(x-1)+2}{2x(x-1)}=\frac{-x^2+x+2}{2x(x-1)}=-\frac{(x-2)(x+1)}{2x(x-1)}.$$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $-\frac{x}{2}$ គឺ $-\frac{1}{2}$; ដេរីវេនៃ $\ln u$ គឺ $\frac{u^{\prime }}{u}$ ។ ការបំបែកជាកត្តា $-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)$ ធ្វើឱ្យអានសញ្ញាបានងាយ។

4. ជំហានទី៤ — សញ្ញានៃ $f^{\prime }$
   លើ $D$ គេបាន $x(x-1)>0$ ដូច្នេះភាគបែង $2x(x-1)>0$ ហើយសញ្ញានៃ $f^{\prime }$ គឺសញ្ញានៃ $-(x-2)(x+1)$៖

ហេតុអ្វី សៀវភៅផ្តល់ឱ្យ $x(x-1)>0$ ដើម្បីឱ្យយើងបោះបង់ភាគបែងចេញពីការវិភាគសញ្ញា។ ត្រីភាគី $-(x-2)(x+1)$ បើកចុះក្រោម ដូច្នេះវាអវិជ្ជមាននៅខាងក្រៅឫស $-1$ និង $2$។

5. ជំហានទី៥ — តម្លៃបរមា
   នៅ $x=-1$ (ស្ថិតក្នុង $(-\infty ,0)$)៖

$$f(-1)=-\frac{-1}{2}+\ln \frac{-2}{-1}=\frac{1}{2}+\ln 2\approx 0.5+0.7=\mathrm{1.2.}$$

នៅ $x=2$ (ស្ថិតក្នុង $(1,+\infty )$)៖

$$f(2)=-1+\ln \frac{1}{2}=-1-\ln 2\approx -1-0.7=-\mathrm{1.7.}$$

ដូច្នេះ អប្បបរមា គឺ $\frac{1}{2}+\ln 2$ នៅ $x=-1$ លើសាខា $(-\infty ,0)$ ហើយ អតិបរមា គឺ $-1-\ln 2$ នៅ $x=2$ លើសាខា $(1,+\infty )$ ។
ហេតុអ្វី ដែនកំណត់មានពីរសាខាដាច់ពីគ្នា ដូច្នេះយើងត្រូវរកបរមាលើសាខានីមួយៗដោយឡែក។ $\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$ តាម (លក្ខណៈ ឃ.)។

6. ជំហានទី៦ — អាស៊ីមតូតទ្រេត
   គណនាផលដក

$$f(x)-\left(-\frac{x}{2}\right)=\ln \frac{x-1}{x}⟶\ln 1=0(x\to \pm \infty ).$$

ដោយផលដកនេះទៅ $0$ បន្ទាត់ $L:y=-\frac{x}{2}$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $C$ ទាំងនៅ $-\infty$ និងនៅ $+\infty$ ។
ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យផ្ទាល់នៃអាស៊ីមតូតទ្រេត (ចំណេះដឹងមុន ទី ៦)៖ ផលដករវាងអនុគមន៍ និងបន្ទាត់ត្រូវទៅ $0$។

7. ជំហានទី៧ — ចំនួនឬសនៃ $f(x)=a$
   តាមតារាង សាខាទីមួយ $(-\infty ,0)$ មានតម្លៃតូចបំផុត $\frac{1}{2}+\ln 2$ ហើយសាខាទីពីរ $(1,+\infty )$ មានតម្លៃធំបំផុត $-1-\ln 2$ ។ ដូច្នេះ៖

ដូច្នេះសមីការមានឬសពិតពីរផ្សេងគ្នាលុះត្រាតែ

$$a\in \left(-\infty ;-1-\ln 2\right)\cup \left(\frac{1}{2}+\ln 2;+\infty \right).$$

ហេតុអ្វី នៅលើសាខានីមួយៗ ក្រាបធ្លាក់ចុះ រួចឡើង (ឬឡើង រួចធ្លាក់ចុះ) ដូច្នេះបន្ទាត់ដេក $y=a$ កាត់ក្រាបបានពីរដងលុះត្រាតែ $a$ ធំជាង (ឬតូចជាង) តម្លៃបរមានៃសាខានោះ។ តម្លៃ $a$ នៅចន្លោះតម្លៃបរមាទាំងពីរមិនឱ្យឬសសោះ។

១. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=1-x\ln x$ ហើយមានខ្សែកោង $C$ ។

១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនាលីមីត $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ និង $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ។ ចូរពន្យល់ពី $f$ ដាច់ខាងស្តាំត្រង់ $x=0$ ឬទេ?

២. បង្ហាញថា $f$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ $x=e^{-1}$ ហើយគណនា $f(e^{-1})$ ។

៣. គណនាតម្លៃ $f(1)$ និង $f(2)$ ។ សង់ខ្សែកោង $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមាល់ ។ (គេនឹងយក $e^{-1}=0.4$, $\ln 2=0.7$)

៤. គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែកោង $C$ និងបន្ទាត់ $D$ មានសមីការ $y=1-x$ ។

ចម្លើយ $D=(0,+\infty )$; $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$; $f^{\prime }(x)=-\ln x-1$; អតិបរមាត្រង់ $x=e^{-1}$ មានតម្លៃ $1+e^{-1}\approx 1.4$; $f(1)=1$; $f(2)=1-2\ln 2\approx -0.4$; $C\cap D$ គឺ $P\left(e;1-e\right)\approx (2.7;-1.7)$ ។ ដំណោះស្រាយលម្អិតមាននៅឧទាហរណ៍គំរូទី ១ ផ្នែក ៥។

២. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y=f(x)=\frac{x+\ln x}{x}$ ហើយមានខ្សែកោង $C$ ។

១. គណនាដេរីវេ $f^{\prime }(x)$ ។ បង្ហាញថា $f$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ [UNCLEAR: "ត្រង់ ហើយ"

២. គណនាលីមីត $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ និង $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ។ កំណត់សមីការនៃអាស៊ីមូតឈរ និងដេកនៃ $C$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។

ចម្លើយ សរសេរ $f(x)=1+\frac{\ln x}{x}$ ។ $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$ ដូច្នេះ $f^{\prime }(x)=0$ នៅ $x=e$ ។ ដោយសញ្ញានៃ $f^{\prime }$ ប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ ត្រង់ $e$ តម្លៃអតិបរមាគឺ $f(e)=1+\frac{1}{e}\approx 1.37$ នៅ $x=e$ ។ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$ (អាស៊ីមូតឈរ $x=0$); $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$ (អាស៊ីមូតដេក $y=1$)។

តារាងអថេរភាព

ចំណាំ សៀវភៅមិនបានបោះពុម្ពអាប់ស៊ីសដែលអនុគមន៍ឈានដល់អតិបរមាទេ (សញ្ញា [UNCLEAR] ខាងលើ)។ ការគណនាដេរីវេបង្ហាញថាអាប់ស៊ីសនោះគឺ $x=e$ ។

៣. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y=f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ហើយមានខ្សែកោង $C$ ។

១. គណនាលីមីតនៃ $f(x)$ ចំពោះ $x\to 0^{+}$ និង $x\to +\infty$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមូតឈរ និងអាស៊ីមូតដេកនៃខ្សែកោង $C$ ។

២. គណនាដេរីវេ $f^{\prime }(x)$ ។ បង្ហាញថា $f$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ $x=e$ ។

៣. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គណនា $f(1)$ និង $f(e)$ ។

៤. សង់ខ្សែកោង $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមាល់ ។

ចម្លើយ

១. ពេល $x\to 0^{+}$ គេបាន $\ln x\to -\infty$ និង $\frac{1}{x}\to +\infty$ ដូច្នេះ $f(x)\to -\infty$ ។ អាស៊ីមូតឈរគឺ $x=0$ ។ តាម លីមីត