សិក្សាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$e$ ជាចំនួនពិតមួយ ដែលមានតម្លៃប្រហែល $2.718$ ។ នៅក្នុង $e^x$ តម្លៃ $x$ ជាអ្នកផ្លាស់ប្តូរ ហើយ $e$ នៅដដែល ។ នៅក្នុងលំហាត់ គេច្រើនឱ្យតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល ($e=2.7$) ដើម្បីគណនាលេខ តែនៅក្នុងរូបមន្ត យើងរក្សា $e$ ជានិមិត្តសញ្ញា ។ ឧទាហរណ៍ $e^0=1$, $e^1=e\approx 2.7$ និង $e^{-1}\approx 0.4$ ។

គ្រប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលមានតម្លៃធំជាង $0$ ជានិច្ច ដូច្នេះក្រាបស្ថិតនៅលើអ័ក្សអប់ស៊ីសទាំងស្រុង ហើយមិនកាត់វាឡើយ ។ នេះជាហេតុផលដែលយើងមិនដែលដោះ $e^{f(x)}=0$ ដើម្បីរកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអប់ស៊ីស ៖ គ្រាន់តែសរសេរថា «គ្មានចំណុចប្រសព្វ» ។ ឧទាហរណ៍ $e^{-2}\approx 0.14$ តែមិនស្មើ $0$ ។

យកដេរីវេនៃកំពូល $f$ រួចគុណនឹង $e^{f(x)}$ ខ្លួនវា៖ ${\left(e^{f(x)}\right)}^{\prime }=f^{\prime }(x)e^{f(x)}$ ។ ដោយ $e^{f(x)}>0$ សញ្ញានៃដេរីវេគឺសញ្ញានៃ $f^{\prime }$ ដែរ ដូច្នេះដើម្បីសិក្សាអថេរភាពនៃ $e^{f(x)}$ គេគ្រាន់តែសិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ ។ ឧទាហរណ៍ $(e^{3x}{)}^{\prime }=3e^{3x}$ និង $(e^{1-x}{)}^{\prime }=-e^{1-x}$ ។

បើ $f$ កើន នោះ $e^f$ ក៏កើន ។ បើ $f$ ចុះ នោះ $e^f$ ក៏ចុះ ។ ដូច្នេះក្រាបនៃ $e^f$ មានទិសដៅដូចក្រាបនៃ $f$ គ្រាន់តែខ្ពស់ជាង ឬទាបជាងប៉ុណ្ណោះ ។ ឧទាហរណ៍ $e^{1-x}$ ចុះគ្រប់កន្លែង ព្រោះ $1-x$ ចុះគ្រប់កន្លែង ។

សម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល យើងតែងតែគណនាលីមីតនៅ $x\to -\infty$, នៅ $x\to +\infty$ និងនៅជិតចំណុចដែលភាគបែងស្មើ $0$ ។ លីមីតទីបីជាអ្នកបង្កើតអាស៊ីមតូតឈរ ។ ឧទាហរណ៍ $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ តែ $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$ ។

បើ $f(x)\to \ell$ នោះបន្ទាត់ដេក $y=\ell$ ជាអាស៊ីមតូត ។ បើ $f(x)-(-x-2)\to 0$ នោះបន្ទាត់ $y=-x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។ គន្លឹះគឺត្រូវដកបន្ទាត់ចេញពីអនុគមន៍ រួចមើលថាតើលទ្ធផលខិតជិត $0$ ឬអត់ ។

តារាងនេះផ្តល់ឱ្យយើងទាំងបរមា ទាំងទិសដៅកើនចុះ ទាំងចំនួនឫសនៃសមីការ $f(x)=k$ ។ ដោយគ្មានវា យើងមិនអាចគូសក្រាបបានត្រឹមត្រូវ ហើយក៏មិនអាចដោះវិសមីការតាមក្រាបបានដែរ ។

នៅពេលឃើញ $e^{-x}$ ក្នុងអនុគមន៍ គេច្រើនតែអាចគូសក្រាបដោយឆ្លុះក្រាបនៃ $e^x$ តាមអ័ក្សអដ្ឋកញ្ញា ។ ដូចគ្នា បើ $f(-x)=-f(x)$ នោះក្រាបមាន $O$ ជាផ្ចិតឆ្លុះ ហើយយើងគ្រាន់តែគូសពាក់កណ្តាលម្ខាង ។

ដែនកំណត់ ៖ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $y=e^{f(x)}$ មានន័យគ្រប់តម្លៃ $x$ ទាំងអស់ ។ ដូច្នេះដែនកំណត់ $D=\mathbb{R}$ ។

ការពន្យល់ ដែនកំណត់ (domain) គឺជាសំណុំនៃតម្លៃ $x$ ទាំងអស់ដែលយើងអាចដាក់ចូលក្នុងអនុគមន៍បាន។ សម្រាប់ $e^{f(x)}$ គ្មានតម្លៃ $x$ ណាដែលធ្វើឱ្យបញ្ហាទេ ព្រោះ $e$ ជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយ $e^y$ មានន័យចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $y$។ ដូច្នេះ បើ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ នោះ $e^{f(x)}$ ក៏កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដែរ។

ចំណាំសំខាន់ និយមន័យនេះនិយាយតែពី $e^{f(x)}$ ដែលនៅជាភាគយក ឬនៅម្នាក់ឯង។ បើអនុគមន៍មានភាគបែងជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដូចជា $\frac{e^x+1}{e^x-1}$ នោះដែនកំណត់តូចជាង $\mathbb{R}$ ព្រោះត្រូវដកតម្លៃ $x$ ដែលធ្វើឱ្យភាគបែងស្មើ $0$ ចេញ។ ឧទាហរណ៍ $\frac{e^x+1}{e^x-1}$ កំណត់តែពេល $e^x\ne 1$ គឺ $x\ne 0$។

លក្ខណៈ ៖ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ៖ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $m$ និង $n$ គេបាន ៖

ការពន្យល់ លក្ខណៈទាំងបួននេះជាច្បាប់នៃស្វ័យគុណ (rules of indices) ដែលយើងដឹងរួចហើយពីថ្នាក់ទី ១០ តែឥឡូវយើងប្រើវាជាមួយស្វ័យគុណដែលមាន $e$ ជាគោល។ លក្ខណៈ

ក. បូកស្វ័យគុណ = គុណគ្នា។ លក្ខណៈ

ខ. ស្វ័យគុណអវិជ្ជមាន = ច្រាស។ លក្ខណៈ

គ. ដកស្វ័យគុណ = ចែកគ្នា។ លក្ខណៈ

ឃ. ស្វ័យគុណនៃស្វ័យគុណ = គុណស្វ័យគុណ។

ហេតុអ្វីវាសំខាន់ក្នុងជំពូកនេះ ស្ទើរតែគ្រប់លំហាត់ក្នុងជំពូកនេះត្រូវការបំប្លែងកន្សោមមួយជាទម្រង់សាមញ្ញជាង មុននឹងគណនាលីមីត ឬដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីបង្ហាញថា $\frac{e^x}{e^x-x}=\frac{1}{1-x{e}^{-x}}$ គេចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង $e^x$ ដោយប្រើលក្ខណៈ គ.។ ដើម្បីគណនា ${\lim }_{x\to +\infty }x{e}^{-x}$ គេសរសេរ $x{e}^{-x}=\frac{x}{e^x}$ ដោយប្រើលក្ខណៈ ខ.។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ៖

ក. បើ $f(x)=e^x$ នោះ $f^{\prime }(x)=e^x$

ខ. បើ $f(x)=e^{u(x)}$ នោះ $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot e^{u(x)}$ ។

ការពន្យល់ លក្ខណៈ

ក. គឺជាលក្ខណៈពិសេសរបស់ $e$៖ អនុគមន៍ $e^x$ ស្មើនឹងដេរីវេរបស់ខ្លួនឯង។ លក្ខណៈ

ខ. គឺជាច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ (chain rule) អនុវត្តលើ $e^u$៖ យើងយកដេរីវេនៃស្វ័យគុណ $u$ គុណនឹង $e^u$ ដើម។

ឧទាហរណ៍ប្រើប្រាស់

ចំណាំ នៅពេលគណនាដេរីវេនៃកន្សោមដូចជា $x{e}^{-x}$ ឬ $\frac{e^x}{e^x-x}$ ត្រូវប្រើច្បាប់ផលគុណ ឬច្បាប់ផលចែកជាមុន រួចទើបប្រើ $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$ សម្រាប់ផ្នែកអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ការភ្លេចគុណនឹង $u^{\prime }$ គឺជាកំហុសញឹកញាប់បំផុតក្នុងជំពូកនេះ។

ចំណោទ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=e^{1-x}$ និង $C$ ជាខ្សែកាងតាង $f$ ។

១. បញ្ជាក់ដែនកំណត់នៃ $f$ រួចស្រាយបំភ្លឺថា $f$ ជាអនុគមន៍ចុះ ។

២. គណនា ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$ រួច ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ ។ ទាញរកអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។

៣. ចូរគូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។

៤. កំណត់កូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $C$ និងអ័ក្សអដ្ឋកញ្ញា ។ (ដោយ $e=2.7$)

៥. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $D$ ដែលប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ $x=1$ ។

៦. ចូរគូសក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $D$ នៅក្នុងតម្រូវអរតូណរមែលតែមួយ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — ដែនកំណត់
   $f(x)=e^{1-x}$ មានន័យចំពោះគ្រប់ $x\in \mathbb{R}$ ព្រោះ $1-x$ ជាចំនួនពិតគ្រប់ $x$ ហើយ $e^y$ មានន័យគ្រប់ $y$ ។ ដូច្នេះ $D=\mathbb{R}$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាការអនុវត្តផ្ទាល់នៃនិយមន័យ ។ គ្មានភាគបែង គ្មានឫសការេ ដូច្នេះគ្មានតម្លៃណាត្រូវដកចេញឡើយ។

2. ជំហានទី២ — ដេរីវេ
   ដាក់ $u(x)=1-x$ នោះ $u^{\prime }(x)=-1$ ហើយ

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)e^{u(x)}=-1\cdot e^{1-x}=-e^{1-x}.$$

ហេតុអ្វី នេះជាការប្រើរូបមន្ត $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$ ។ កុំភ្លេចគុណនឹង $u^{\prime }=-1$។

3. ជំហានទី៣ — សញ្ញានៃដេរីវេ
   ចំពោះគ្រប់ $x\in \mathbb{R}$ គេបាន $e^{1-x}>0$ ដូច្នេះ $f^{\prime }(x)=-e^{1-x}<0$ ។ ហេតុនេះ $f$ ជាអនុគមន៍ចុះលើ $\mathbb{R}$ ។
   ហេតុអ្វី អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលវិជ្ជមានជានិច្ច ហើយសញ្ញាដកនៅខាងមុខធ្វើឱ្យដេរីវេអវិជ្ជមាន។ ដេរីវេអវិជ្ជមានលើចន្លោះមួយ មានន័យថាអនុគមន៍ចុះលើចន្លោះនោះ។

4. ជំហានទី៤ — លីមីតនៅ $-\infty$
   ពេល $x\to -\infty$ គេបាន $1-x\to +\infty$ ដូច្នេះ

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{t\to +\infty }{\lim }{e}^t=+\infty .$$

ហេតុអ្វី យើងជំនួស $t=1-x$ ដើម្បីត្រឡប់ទៅលីមីតមូលដ្ឋាន ${\lim }_{t\to +\infty }{e}^t=+\infty$ ដែលដឹងរួច។

5. ជំហានទី៥ — លីមីតនៅ $+\infty$
   ពេល $x\to +\infty$ គេបាន $1-x\to -\infty$ ដូច្នេះ

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{t\to -\infty }{\lim }{e}^t=0.$$

ហេតុអ្វី គឺជាលីមីតមូលដ្ឋាន ${\lim }_{t\to -\infty }{e}^t=0$ បន្ទាប់ពីជំនួស $t=1-x$។

6. ជំហានទី៦ — អាស៊ីមតូតដេក
   ដោយ ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ បន្ទាត់ $y=0$ (គឺអ័ក្សអប់ស៊ីស) ជាអាស៊ីមតូដេកនៃ $C$ នៅខាង $+\infty$ ។ នៅខាង $-\infty$ គ្មានអាស៊ីមតូតឡើយ ព្រោះ $f(x)\to +\infty$ ។
   ហេតុអ្វី និយមន័យអាស៊ីមតូតដេកទាមទារលីមីតជាចំនួនពិត។ លីមីត $+\infty$ មិនផ្តល់អាស៊ីមតូតទេ។

7. ជំហានទី៧ — តារាងអថេរភាព
   យើងដាក់ $-\infty$, $+\infty$ ក្នុងជួរ $x$, សញ្ញា $-$ ក្នុងជួរ $f^{\prime }$, និងព្រួញចុះពី $+\infty$ ទៅ $0$ ក្នុងជួរអថេរភាព៖

ហេតុអ្វី តារាងនេះសង្ខេបលទ្ធផលនៃជំហានទី ៣ ទី ៤ និងទី ៥ ក្នុងទម្រង់តែមួយ ដែលយើងអាចអានបានភ្លាម។

8. ជំហានទី៨ — ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអដ្ឋកញ្ញា
   ដាក់ $x=0$៖ $f(0)=e^{1-0}=e\approx 2.7$ ។ ដូច្នេះ $C$ កាត់អ័ក្សអដ្ឋកញ្ញាត្រង់ចំណុច $(0;e)$ គឺប្រហែល $(0;2.7)$ ។
   ហេតុអ្វី ចំណុចនៅលើអ័ក្សអដ្ឋកញ្ញាមានអាប់ស៊ីស $x=0$ ដូច្នេះគ្រាន់តែគណនា $f(0)$។

9. ជំហានទី៩ — ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអប់ស៊ីស
   សមីការ $f(x)=0$ គ្មានឫស ព្រោះ $e^{1-x}>0$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ។ ដូច្នេះ $C$ មិនកាត់អ័ក្សអប់ស៊ីសឡើយ។
   ហេតុអ្វី នេះជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃចំណុច ២ ក្នុងផ្នែក ៣ នៃមេរៀន៖ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលវិជ្ជមានជានិច្ច។

10. ជំហានទី១០ — បន្ទាត់ប៉ះ
    ត្រង់ $x=1$ គេបាន $f(1)=e^0=1$ និង $f^{\prime }(1)=-e^0=-1$ ។ សមីការបន្ទាត់ប៉ះគឺ

$$D:y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=-1(x-1)+1=-x+2.$$

ហេតុអ្វី រូបមន្តបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $x=a$ គឺ $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ ព្រោះវាជាបន្ទាត់កាត់ $(a;f(a))$ ហើយមានមេគុណប្រាណ $f^{\prime }(a)$ ។ កុំសរសេរ $y=f^{\prime }(a)x+f(a)$ ព្រោះវាខុសទីតាំង។

11. ជំហានទី១១ — ការគូសក្រាប
    យើងគូសអ័ក្ស, គូសអាស៊ីមតូត $y=0$, ដាក់ចំណុច $(0;2.7)$ និង $(1;1)$, គូសខ្សែកាងចុះពីឆ្វេងខ្ពស់ទៅស្តាំទាបជិតអ័ក្សអប់ស៊ីស, រួចគូសបន្ទាត់ $D:y=-x+2$ ដែលប៉ះក្រាបត្រង់ $(1;1)$ ។
    ហេតុអ្វី ក្រាបត្រូវគូសតាមលទ្ធផលនៃតារាងអថេរភាព និងតាមចំណុចយោងដែលគណនារួច។ បន្ទាត់ប៉ះជួយឱ្យយើងមើលឃើញភាពចុះនៃក្រាប។

ចំណោទ

២.

១. គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x)=(1-x)e^x-1$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ។ គណនា $f^{\prime }(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពព្រមទាំងរកសញ្ញានៃ $f(x)$ ។

២. $g$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x)=(2-x)e^x+2-x$ ។

ក. គណនា ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)$ និង ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$ ។ គណនា $g^{\prime }(x)$ ។ ដោយប្រើលទ្ធផលសំណួរ

១. ចូរសិក្សាសញ្ញានៃ $g^{\prime }(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។

ខ. បង្ហាញថាខ្សែកាង $C$ តាងអនុគមន៍ $g$ មានបន្ទាត់ $D:y=2-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត កាលណា $x\to -\infty$ ។ បញ្ជាក់ទីតាំងរវាងក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $D$ ។

គ. កំណត់សមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ $D$ ។

ឃ. រកកូអរដោនេចំណុចរបត់របស់ខ្សែកាង $C$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

១. អនុគមន៍ $f$

1. ជំហានទី១ — ដេរីវេ
   $f$ ជាផលគុណនៃ $u(x)=1-x$ និង $v(x)=e^x$ ដក $1$ ។ ដោយ $u^{\prime }(x)=-1$ និង $v^{\prime }(x)=e^x$៖

$$f^{\prime }(x)=(-1)e^x+(1-x)e^x-0=\left(-1+1-x\right)e^x=-x{e}^x.$$

ហេតុអ្វី ច្បាប់ផលគុណ $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ ហើយដេរីវេនៃចំនួនថេរ $-1$ គឺ $0$។ បន្ទាប់មកយើងដាក់ $e^x$ ជាកត្តារួម។

2. ជំហានទី២ — សញ្ញានៃ $f^{\prime }$
   ដោយ $e^x>0$ សញ្ញានៃ $f^{\prime }(x)=-x{e}^x$ គឺជាសញ្ញាផ្ទុយនឹង $x$៖ $f^{\prime }(x)>0$ ពេល $x<0$ និង $f^{\prime }(x)<0$ ពេល $x>0$ ។
   ហេតុអ្វី កត្តាវិជ្ជមាន $e^x$ មិនប៉ះពាល់សញ្ញា ដូច្នេះសញ្ញាកំណត់ដោយ $-x$ តែម្នាក់ឯង។

3. ជំហានទី៣ — តារាង និងបរមា
   $f^{\prime }(0)=0$ ហើយ $f^{\prime }$ ប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ ដូច្នេះ $f$ មានអតិបរមាត្រង់ $x=0$ ដែល $f(0)=(1-0)e^0-1=1-1=0$ ។

ហេតុអ្វី នៅខាង $-\infty$ គេបាន $(1-x)e^x\to 0$ ដូច្នេះ $f(x)\to -1$; នៅខាង $+\infty$ គេបាន $(1-x)e^x\to -\infty$ ដូច្នេះ $f(x)\to -\infty$។ តម្លៃទាំងពីរនេះជាលីមីត មិនមែនជាតម្លៃដែលអនុគមន៍ដល់ទេ។

4. ជំហានទី៤ — សញ្ញានៃ $f(x)$
   តាមតារាង $f(x)\le f(0)=0$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ហើយ $f(x)=0$ តែពេល $x=0$ ។ ដូច្នេះ $f(x)<0$ ចំពោះគ្រប់ $x\ne 0$ និង $f(0)=0$ ។
   ហេតុអ្វី តម្លៃអតិបរមាគឺ $0$ ដូច្នេះ $0$ ជាដែនកំណត់ខាងលើនៃតម្លៃទាំងអស់នៃ $f$។

២. អនុគមន៍ $g$

5. ជំហានទី៥ — លីមីត
   ពេល $x\to -\infty$៖ $(2-x)\to +\infty$ តែ $e^x\to 0$ ដូច្នេះ $(2-x)e^x\to 0$ (អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលឈ្នះពហុធា) ហើយ $2-x\to +\infty$ ។ ដូច្នេះ ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=+\infty$ ។ ពេល $x\to +\infty$៖ $(2-x)e^x\to -\infty$ ហើយ $2-x\to -\infty$ ដូច្នេះ ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=-\infty$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាការប្រើការប្រៀបធៀបកំណើន $x{e}^x\to 0$ ពេល $x\to -\infty$ (ចំណុច ៤ នៃផ្នែក ២)។

6. ជំហានទី៦ — ដេរីវេ
   ដោយប្រើច្បាប់ផលគុណលើ $(2-x)e^x$៖

$$g^{\prime }(x)=-e^x+(2-x)e^x-1=(1-x)e^x-1.$$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $2-x$ គឺ $-1$ ហើយដេរីវេនៃ $2-x$ ជាពាក្យទីពីរគឺ $-1$ ដែរ។ ដូច្នេះ $g^{\prime }(x)=f(x)$ ដែល $f$ ជាអនុគមន៍ក្នុងសំណួរ ១។

7. ជំហានទី៧ — សញ្ញានៃ $g^{\prime }$
   ដោយ $g^{\prime }(x)=f(x)$ និងតាមជំហានទី ៤ គេបាន $g^{\prime }(x)\le 0$ ចំពោះគ្រប់ $x$, ហើយ $g^{\prime }(x)=0$ តែពេល $x=0$ ។ ដូច្នេះ $g$ ជាអនុគមន៍ចុះយ៉ាងតឹងលើ $\mathbb{R}$ ហើយក្រាបមានបន្ទាត់ប៉ះដេកត្រង់ $x=0$ ។

ហេតុអ្វី នេះជាការប្រើលទ្ធផលសំណួរ ១ ដូចដែលសំណួរបានណែនាំ៖ យើងមិនចាំបាច់សិក្សាសញ្ញានៃ $(1-x)e^x-1$ ម្តងទៀតទេ។

8. ជំហានទី៨ — អាស៊ីមតូតទ្រេត
   គណនាផលដក

$$g(x)-(2-x)=(2-x)e^x.$$

ពេល $x\to -\infty$ គេបាន $(2-x)e^x\to 0$ ដូច្នេះបន្ទាត់ $D:y=2-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $C$ នៅខាង $-\infty$ ។
ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យអាស៊ីមតូតទ្រេត៖ ផលដករវាងអនុគមន៍ និងបន្ទាត់ត្រូវខិតជិត $0$។

9. ជំហានទី៩ — ទីតាំង
   សញ្ញានៃ $g(x)-(2-x)=(2-x)e^x$ គឺជាសញ្ញានៃ $2-x$ ។ ដូច្នេះ $C$ ស្ថិតនៅលើ $D$ ពេល $x<2$ ហើយនៅក្រោម $D$ ពេល $x>2$; ក្រាបកាត់ $D$ ត្រង់ $x=2$ ។
   ហេតុអ្វី ដោយ $e^x>0$ កត្តា $e^x$ មិនផ្លាស់សញ្ញា ដូច្នេះគ្រាន់តែពិនិត្យសញ្ញានៃ $2-x$។

10. ជំហានទី១០ — បន្ទាត់ប៉ះស្របនឹង $D$
    បន្ទាត់ $D$ មានមេគុណប្រាណ $-1$ ។ ដូច្នេះត្រូវដោះស្រាយ $g^{\prime }(x)=-1$៖

$$(1-x)e^x-1=-1⟺(1-x)e^x=0⟺1-x=0⟺x=1.$$

នៅ $x=1$៖ $g(1)=(2-1)e^1+2-1=e+1$ ។ ដូច្នេះបន្ទាត់ប៉ះគឺ

$$T:y=-1(x-1)+e+1=-x+e+2.$$

ហេតុអ្វី បន្ទាត់ពីរស្របគ្នាលុះត្រាតែមានមេគុណប្រាណស្មើគ្នា។ ដោយ $e^x\ne 0$ ផលគុណ $(1-x)e^x$ ស្មើ $0$ លុះត្រាតែ $1-x=0$។

11. ជំហានទី១១ — ចំណុចរបត់
    គណនាដេរីវេទីពីរ៖

$$g^{\prime \prime }(x)=-e^x+(1-x)e^x=-x{e}^x.$$

$g^{\prime \prime }(x)=0⟺x=0$, ហើយ $g^{\prime \prime }(x)>0$ ពេល $x<0$, $g^{\prime \prime }(x)<0$ ពេល $x>0$ ។ ដូច្នេះ $g^{\prime \prime }$ ប្តូរសញ្ញាត្រង់ $x=0$ ហើយចំណុច $I(0;4)$ ជាចំណុចរបត់នៃ $C$ ។
ហេតុអ្វី ចំណុចរបត់ត្រូវការការប្តូរសញ្ញានៃ $f^{\prime \prime }$ មិនមែនត្រឹមតែ $f^{\prime \prime }=0$ ទេ។ នៅទីនេះ $g^{\prime }(0)=0$ ដែរ ដូច្នេះបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចរបត់គឺដេក។

ចំណោទ ៦. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x\in \mathbb{R}$ ដោយ $y=f(x)=-x-2+\frac{4e^x}{e^x+1}$ ។ ហើយមាន $C$ ជាក្រាប ។

១. គណនា ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$ និង ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ ។ រកអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃខ្សែកាង $C$ កាលណា $x\to -\infty$ ។

២. គណនា $f^{\prime }(x)$ ហើយបង្ហាញថា $f^{\prime }(x)\le 0$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ។ គណនា $f^{\prime }(0)$, $f(0)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។

៣. បង្ហាញថាចំណុចកូអរដោនេ $O$ ជាចំណុចរបត់ និងជាផ្ចិតឆ្លុះនៃខ្សែកាង $C$ ។

៤. គណនា $f(3)$ រួចសង់ខ្សែកាង $C$ (គេឱ្យ $e^3=20$) ។ ដោះស្រាយវិសមីការ $\frac{4e^x}{e^x+1}\ge x+2$ ដោយផ្អែកទៅលើខ្សែកាង $C$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — លីមីតនៅ $-\infty$
   ពេល $x\to -\infty$ គេបាន $e^x\to 0$ ដូច្នេះ $\frac{4e^x}{e^x+1}\to \frac{0}{0+1}=0$ ហើយ $-x-2\to +\infty$ ។ ដូច្នេះ

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

ហេតុអ្វី លីមីតនៃផលចែកគឺផលចែកនៃលីមីត ព្រោះភាគបែងខិតជិត $1\ne 0$។

2. ជំហានទី២ — លីមីតនៅ $+\infty$
   ពេល $x\to +\infty$ ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង $e^x$៖ $\frac{4e^x}{e^x+1}=\frac{4}{1+e^{-x}}\to 4$ ។ ដោយ $-x-2\to -\infty$ គេបាន

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty .$$

ហេតុអ្វី ការចែកនឹង $e^x$ បំបាត់ទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{\infty }{\infty }$ ដោយប្រើ $e^{-x}\to 0$។

3. ជំហានទី៣ — អាស៊ីមតូតទ្រេត
   គណនាផលដក

$$f(x)-(-x-2)=\frac{4e^x}{e^x+1}.$$

ពេល $x\to -\infty$ ផលដកនេះខិតជិត $0$ ដូច្នេះបន្ទាត់ $\Delta :y=-x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $C$ នៅខាង $-\infty$ ។
ហេតុអ្វី យើងធ្វើតាមនិយមន័យ៖ ត្រូវបង្ហាញថាផលដករវាង $f(x)$ និង $mx+p$ ខិតជិត $0$។ នៅទីនេះ $m=-1$ និង $p=-2$ ត្រូវបានអានដោយផ្ទាល់ពីកន្សោម។

4. ជំហានទី៤ — ដេរីវេ
   ដេរីវេនៃ $\frac{4e^x}{e^x+1}$ តាមច្បាប់ផលចែក ជាមួយ $u=4e^x$, $u^{\prime }=4e^x$, $v=e^x+1$, $v^{\prime }=e^x$៖

$${\left(\frac{4e^x}{e^x+1}\right)}^{\prime }=\frac{4e^x(e^x+1)-4e^x\cdot e^x}{(e^x+1{)}^2}=\frac{4e^x}{(e^x+1{)}^2}.$$

ដូច្នេះ

$$f^{\prime }(x)=-1+\frac{4e^x}{(e^x+1{)}^2}=\frac{-(e^x+1{)}^2+4e^x}{(e^x+1{)}^2}=\frac{-{\left(e^x-1\right)}^2}{{\left(e^x+1\right)}^2}\le 0.$$

ហេតុអ្វី ភាគយកក្លាយជា $-(e^x-1{)}^2$ ដែលជាការេផ្ទុយ ដូច្នេះវាអវិជ្ជមាន ឬស្មើ $0$ ជានិច្ច ហើយភាគបែងវិជ្ជមានជានិច្ច។

5. ជំហានទី៥ — $f^{\prime }(0)$ និង $f(0)$
   ដាក់ $x=0$៖ $e^0=1$ ដូច្នេះ $f^{\prime }(0)=-\frac{(1-1{)}^2}{(1+1{)}^2}=0$ និង $f(0)=-0-2+\frac{4\cdot 1}{1+1}=-2+2=0$ ។
   ហេតុអ្វី $f^{\prime }(0)=0$ មានន័យថាបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $O$ គឺដេក។ តម្លៃ $f(0)=0$ បង្ហាញថាក្រាបកាត់ចំណុចកំណើត។

6. ជំហានទី៦ — តារាងអថេរភាព
   ដោយ $f^{\prime }(x)=0⟺e^x=1⟺x=0$ ហើយ $f^{\prime }\le 0$ គ្រប់កន្លែង៖

ហេតុអ្វី ចំណុចដែល $f^{\prime }=0$ មិនបង្កើតបរមាទេ ព្រោះ $f^{\prime }$ មិនប្តូរសញ្ញា។ វាបង្កើតតែចំណុចរបត់ដែលមានបន្ទាត់ប៉ះដេក។

7. ជំហានទី៧ — ផ្ចិតឆ្លុះ
   គណនា $f(-x)$ ដោយប្រើ $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$៖

$$f(-x)=x-2+\frac{4e^{-x}}{e^{-x}+1}=x-2+\frac{4}{e^x+1}.$$

ផលបូក

$$f(x)+f(-x)=\left(-x-2+\frac{4e^x}{e^x+1}\right)+\left(x-2+\frac{4}{e^x+1}\right)=-4+\frac{4\left(e^x+1\right)}{e^x+1}=0.$$

ដូច្នេះ $f(-x)=-f(x)$៖ $f$ ជាអនុគមន៍សេស ហើយ $O$ ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃ $C$ ។
ហេតុអ្វី ការឆ្លុះកណ្តាលត្រង់ $O$ ប្តូរ $(x;y)$ ទៅ $(-x;-y)$; ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌគឺ $f(-x)=-f(x)$។

8. ជំហានទី៨ — ចំណុចរបត់
   គណនាដេរីវេទីពីរ៖

$$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{4e^x\left(e^x-1\right)}{{\left(e^x+1\right)}^3}.$$

ភាគបែងវិជ្ជមាន ហើយ $4e^x>0$ ដូច្នេះសញ្ញានៃ $f^{\prime \prime }$ គឺសញ្ញានៃ $-(e^x-1)$៖ $f^{\prime \prime }(x)>0$ ពេល $x<0$ និង $f^{\prime \prime }(x)<0$ ពេល $x>0$ ។ ដូច្នេះ $f^{\prime \prime }$ ប្តូរសញ្ញាត្រង់ $x=0$ ហើយ $O(0;0)$ ជាចំណុចរបត់។
ហេតុអ្វី ការប្តូរសញ្ញានៃ $f^{\prime \prime }$ គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ចំណុចរបត់។ រួមជាមួយភាពសេស វាបង្ហាញថាក្រាបមានរាងស៊ីមេទ្រីយ៉ាងល្អ។

9. ជំហានទី៩ — $f(3)$ និងការគូសក្រាប
   ដោយ $e^3=20$៖

$$f(3)=-3-2+\frac{4\cdot 20}{20+1}=-5+\frac{80}{21}\approx -5+3.81=-\mathrm{1.19.}$$

យើងគូសអាស៊ីមតូត $\Delta :y=-x-2$, ចំណុច $O(0;0)$, ចំណុច $(3;-1.19)$, រួចគូសខ្សែកាងចុះពីឆ្វេងខ្ពស់ទៅស្តាំទាប ដោយកាត់ $O$ និងមានបន្ទាត់ប៉ះដេកនៅទីនោះ។
ហេតុអ្វី ចំណុច $x=3$ ជួយឱ្យយើងដឹងថាក្រាបស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្សអប់ស៊ីស នៅពេល $x>0$ ហើយខិតទៅរកអាស៊ីមតូតយ៉ាងយឺត។

10. ជំហានទី១០ — វិសមីការ
    យើងមាន

$$\frac{4e^x}{e^x+1}\ge x+2⟺-x-2+\frac{4e^x}{e^x+1}\ge 0⟺f(x)\ge 0.$$

តាមតារាងអថេរភាព $f$ ចុះយ៉ាងតឹង ហើយ $f(0)=0$។ ដូច្នេះ $f(x)\ge 0⟺x\le 0$ ហើយសំណុំចម្លើយគឺ $S=(-\infty ;0]$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាគោលការណ៍នៃការដោះស្រាយតាមក្រាប៖ ការប្រៀបធៀប $f(x)\ge 0$ អានបានពីផ្នែកក្រាបដែលនៅលើអ័ក្សអប់ស៊ីស។ ដោយ $f$ ចុះ ចំនុចកាត់ $x=0$ បែងចែកអ័ក្សជាពីរផ្នែកច្បាស់លាស់។

លំហាត់អនុវត្ត ៖ ១. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=e^{1-x}$ និង $C$ ជាខ្សែកាងតាង $f$ ។

១. បញ្ជាក់ដែនកំណត់នៃ $f$ រួចស្រាយបំភ្លឺថា $f$ ជាអនុគមន៍ចុះ ។

២. គណនា ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$ រួច ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ ។ ទាញរកអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។

៣. ចូរគូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។

៤. កំណត់កូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $C$ និងអ័ក្សអដ្ឋកញ្ញា ។ (ដោយ $e=2.7$)

៥. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $D$ ដែលប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ $x=1$ ។

៦. ចូរគូសក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $D$ នៅក្នុងតម្រូវអរតូណរមែលតែមួយ ។

ចម្លើយសង្ខេប $D=\mathbb{R}$; $f^{\prime }(x)=-e^{1-x}<0$; ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ ដូច្នេះអាស៊ីមតូតដេក $y=0$; $C\cap (Oy)=(0;e)\approx (0;2.7)$; $D:y=-x+2$ ។ ដំណោះស្រាយលម្អិតមាននៅឧទាហរណ៍គំរូទី ១ ផ្នែក ៥។

២.

១. គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x)=(1-x)e^x-1$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ។ គណនា $f^{\prime }(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពព្រមទាំងរកសញ្ញានៃ $f(x)$ ។

២. $g$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x)=(2-x)e^x+2-x$ ។

ក. គណនា ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)$ និង ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$ ។ គណនា $g^{\prime }(x)$ ។ ដោយប្រើលទ្ធផលសំណួរ

១. ចូរសិក្សាសញ្ញានៃ $g^{\prime }(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។

ខ. បង្ហាញថាខ្សែកាង $C$ តាងអនុគមន៍ $g$ មានបន្ទាត់ $D:y=2-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត កាលណា $x\to -\infty$ ។ បញ្ជាក់ទីតាំងរវាងក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $D$ ។

គ. កំណត់សមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ $D$ ។

ឃ. រកកូអរដោនេចំណុចរបត់របស់ខ្សែកាង $C$ ។

ចម្លើយសង្ខេប $f^{\prime }(x)=-x{e}^x$; $f$ កើនលើ $(-\infty ;0)$ និងចុះលើ $(0;+\infty )$, អតិបរមា $f(0)=0$, ហើយ $f(x)<0$ ចំពោះ $x\ne 0$; $g^{\prime }(x)=(1-x)e^x-1=f(x)\le 0$; $g^{\prime \prime }(x)=-x{e}^x$; បន្ទាត់ប៉ះស្របនឹង $D$ គឺ $T:y=-x+e+2$ ត្រង់ $x=1$; ចំណុចរបត់ $I(0;4)$ ។

៦. គូសក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ប៉ះនៅក្នុងតម្រូវអរតូណរមែល $(O,\vec{i},\vec{j})$ មានឯកតា $1$ cm ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — គណនាចំណុចយោង
   យើងគណនា $g$ នៅតម្លៃមួយចំនួន៖ $g(0)=4$, $g(1)=e+1\approx 3.7$, $g(2)=2$, $g(3)=(2-3)e^3+2-3\approx -20-1=-21$, $g(-1)=3e^{-1}+3\approx 4.1$ ។
   ហេតុអ្វី តារាងអថេរភាពឱ្យតែទិសដៅ មិនឱ្យទីតាំងជាក់លាក់ទេ។ ចំណុចយោងធ្វើឱ្យក្រាបមានរាងត្រឹមត្រូវ។

2. ជំហានទី២ — គូសអាស៊ីមតូត និងបន្ទាត់ប៉ះ
   គូសបន្ទាត់ $D:y=2-x$ និងបន្ទាត់ $T:y=-x+e+2\approx -x+3.7$ ដែលប៉ះក្រាបត្រង់ $(1;3.7)$ ។
   ហេតុអ្វី បន្ទាត់ទាំងពីរមានមេគុណប្រាណ $-1$ ដូចគ្នា ដូច្នេះវាស្របគ្នា។ ការមានវានៅលើគំនូរជួយឱ្យយើងឃើញភាពខុសគ្នារវាងអាស៊ីមតូត និងបន្ទាត់ប៉ះ។

3. ជំហានទី៣ — គូសក្រាប
   គូសខ្សែកាងចុះពីឆ្វេងខ្ពស់ (ជិត $D$) កាត់ $(0;4)$ និង $(2;2)$ រួចចុះយ៉ាងលឿនទៅ $-21$ នៅ $x=3$ ។ នៅ $x=0$ ក្រាបមានចំណុចរបត់ដែលបន្ទាត់ប៉ះដេក។
   ហេតុអ្វី ក្រាបត្រូវគោរពលទ្ធផលទាំងអស់៖ ចុះជានិច្ច, កាត់ $D$ ត្រង់ $x=2$, និងមានចំណុចរបត់ត្រង់ $x=0$។

4. ជំហានទី៤ — ឯកតា
   យើងយក $1$ cm សម្រាប់ឯកតា ហើយគូសព្រួញអ័ក្សឱ្យបានវែងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញតម្លៃ $-21$ នៅ $x=3$ ។
   ហេតុអ្វី បើអ័ក្សខ្លីពេក ក្រាបនឹងចេញក្រៅស៊ុម ហើយយើងមិនអាចអានរាងរបស់វាបានទេ។

៣.

១. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ក្នុងសំណុំចំនួនពិតដោយ $f(x)=ax+b-e^x$ ។

ក. បង្ហាញថាគ្រប់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដែល $a\ne 0$ ខ្សែកាងតំណាង $f$ មានអាស៊ីមតូតទ្រេតមួយ ។

ខ. កំណត់ $a$ និង $b$ ដើម្បីឱ្យ $f$ មានអតិបរមាស្មើនឹង $-1$ ចំពោះ $x=0$ ។

២. $g$ ជាអនុគមន៍ដែលកំណត់ក្នុងសំណុំចំនួនពិតដោយ $g(x)=x-e^x$ ។

ក. រកលីមីត ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$, ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)$ ។

ខ. គណនាដេរីវេ $g^{\prime }(x)$ ។ សិក្សាសញ្ញានៃ $g^{\prime }(x)$ ។ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។

គ. គណនា $g(-1)$ និង $g(1)$ ។ សង់ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រូវអរតូណរមែលមានឯកតាស្មើនឹង $2$ cm ។ (ដោយ $e^{-1}=0.36$)

ឃ. រកចំណុចប្រសព្វនៃខ្សែកាង $C$ និងអ័ក្សអប់ស៊ីស ដែលត្រូវនឹង $-1\le x\le 1$ ។

ង. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $\Delta :y=-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ កាលណា $x\to -\infty$ ។ បង្ហាញទីតាំងរវាងក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $\Delta$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — អាស៊ីមតូតទ្រេត
   គណនាផលដក

ពេល $x\to -\infty$ គេបាន $e^x\to 0$ ដូច្នេះ $f(x)-(ax+b)\to 0$ ។ ដោយ $a\ne 0$ បន្ទាត់ $y=ax+b$ មិនដេកទេ ដូច្នេះវាជាអាស៊ីមតូតទ្រេតតែមួយគត់នៃក្រាប នៅខាង $-\infty$ ។
ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យអាស៊ីមតូតទ្រេត។ លក្ខខណ្ឌ $a\ne 0$ ធានាថាបន្ទាត់មិនដេក ដូច្នេះមិនច្រឡំជាអាស៊ីមតូតដេកឡើយ។

2. ជំហានទី២ — ដេរីវេ
   $f^{\prime }(x)=a-e^x$ ព្រោះដេរីវេនៃ $ax+b$ គឺ $a$ និងដេរីវេនៃ $-e^x$ គឺ $-e^x$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាការប្រើ $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ បូកនឹងលីនេអារីតេនៃដេរីវេ។

3. ជំហានទី៣ — លក្ខខណ្ឌអតិបរមា
   បើ $f$ មានអតិបរមាត្រង់ $x=0$ នោះ $f^{\prime }(0)=0$ (ចំណុចខាងក្នុងនៃដែនកំណត់) គឺ $a-e^0=0$ ដូច្នេះ $a=1$ ។ ពេលនោះ $f^{\prime }(x)=1-e^x$ ដែលវិជ្ជមានពេល $x<0$ និងអវិជ្ជមានពេល $x>0$៖ ដូច្នេះ $f$ មានអតិបរមាពិតប្រាកដត្រង់ $x=0$ ។
   ហេតុអ្វី នៅចំណុចបរមាខាងក្នុង ដេរីវេត្រូវស្មើ $0$។ បន្ទាប់មកយើងផ្ទៀងផ្ទាត់ការប្តូរសញ្ញា ដើម្បីធានាថាវាជាអតិបរមាពិត មិនមែនអប្បបរមា។

4. ជំហានទី៤ — រក $b$
   ដោយ $f(0)=b-1$ ហើយអតិបរមាស្មើ $-1$៖ $b-1=-1$ ដូច្នេះ $b=0$ ។ ដូច្នេះ $a=1$ និង $b=0$, គឺ $f(x)=x-e^x$ ។
   ហេតុអ្វី តម្លៃអតិបរមាគឺ $f(0)$ ព្រោះយើងទើបបង្ហាញថាអតិបរមាកើតត្រង់ $x=0$។

5. ជំហានទី៥ — លីមីតនៃ $g$
   ពេល $x\to +\infty$ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលឈ្នះពហុធា ដូច្នេះ $g(x)=x-e^x\to -\infty$ ។ ពេល $x\to -\infty$ គេបាន $x\to -\infty$ និង $e^x\to 0$ ដូច្នេះ $g(x)\to -\infty$ ។
   ហេតុអ្វី នៅ $+\infty$ យើងប្រើ ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x}=+\infty$ (ចំណុច ៤ ផ្នែក ២); នៅ $-\infty$ គ្រាន់តែបូកលីមីតពីរដែលជាក់លាក់។

6. ជំហានទី៦ — សញ្ញានៃ $g^{\prime }$ និងតារាង
   $g^{\prime }(x)=1-e^x$ ។ ដូច្នេះ $g^{\prime }(x)>0⟺e^x<1⟺x<0$, $g^{\prime }(0)=0$, និង $g^{\prime }(x)<0$ ពេល $x>0$ ។

ហេតុអ្វី ដោយ $e^x$ កើនយ៉ាងតឹង, $e^x<1$ គឺសមមូលនឹង $x<0$ ។ ដូច្នេះសញ្ញានៃ $1-e^x$ គឺ $+$ ពេល $x<0$ និង $-$ ពេល $x>0$។

7. ជំហានទី៧ — តម្លៃពីរ
   $g(-1)=-1-e^{-1}\approx -1-0.36=-1.36$ និង $g(1)=1-e\approx 1-2.72=-1.72$ ។
   ហេតុអ្វី យើងប្រើតម្លៃដែលសៀវភៅឱ្យ $e^{-1}=0.36$ និង $e\approx 2.72$ ដើម្បីទទួលបានលេខជាក់ស្តែងសម្រាប់ការគូសក្រាប។

8. ជំហានទី៨ — ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអប់ស៊ីស
   ត្រូវដោះស្រាយ $g(x)=0$ គឺ $x=e^x$ ។ តែតាមតារាង $g(x)\le g(0)=-1<0$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ។ ដូច្នេះសមីការគ្មានឫស ហើយ $C$ មិនកាត់អ័ក្សអប់ស៊ីសទេ ទោះក្នុងចន្លោះ $-1\le x\le 1$ ក៏ដោយ។
   ហេតុអ្វី អតិបរមាគឺ $-1$ ដែលអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះក្រាបទាំងមូលស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្សអប់ស៊ីស។ សំណួរនេះជាការត្រួតពិនិត្យថាតើយើងអានតារាងបានត្រឹមត្រូវ។

9. ជំហានទី៩ — អាស៊ីមតូត $\Delta$
   សៀវភៅសួរឱ្យបង្ហាញថា $\Delta :y=-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៅខាង $-\infty$ ។ គណនាផលដក៖

ដែលមិនខិតជិត $0$ ទេ។ ដូច្នេះតាមការគណនា បន្ទាត់ $y=-x$ មិនមែនជាអាស៊ីមតូតទេ។ ផ្ទុយទៅវិញ ដូច្នេះអាស៊ីមតូតទ្រេតនៅខាង $-\infty$ គឺ ${\Delta }^{\prime }:y=x$ ។
ហេតុអ្វី យើងរក្សាសំណួរដើមដូចដែលបានបោះពុម្ព ហើយបង្ហាញការគណនាពេញលេញ។ លទ្ធផលត្រឹមត្រូវគឺ $y=x$ ដែលស្របនឹងចម្លើយសំណួរ ១.ក ជាមួយ $a=1$, $b=0$ (សូមមើលកំណត់សម្គាល់ផ្នែក ៨)។

៤. អនុគមន៍ $g$ កំណត់ដោយ $g(x)=x{e}^{-x}-a{e}^{-x}$ ហើយមានក្រាប $C$ និង $a$ ជាចំនួនពិត ។

១. គណនា ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$ ។ កំណត់សមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ កាលណា $x\to +\infty$ ។

២. គណនា $g^{\prime }(x)$ និង $g^{\prime \prime }(x)$ ។ កំណត់ចំនួនពិត $a$ ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ $g$ មានអតិបរមាត្រង់ $x=1$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — បំប្លែងកន្សោម
   យើងដាក់ $e^{-x}$ ជាកត្តារួម៖ $g(x)=(x-a)e^{-x}$ ។
   ហេតុអ្វី ទម្រង់ផលគុណងាយគណនាដេរីវេជាង ហើយបង្ហាញច្បាស់ថាឫសតែមួយគត់គឺ $x=a$ ។

2. ជំហានទី២ — លីមីត
   ពេល $x\to +\infty$ គេបាន $(x-a)\to +\infty$ និង $e^{-x}\to 0$ ។ តាមការប្រៀបធៀបកំណើន $x{e}^{-x}\to 0$, ដូច្នេះ

ហេតុអ្វី នេះជាទម្រង់មិនកំណត់ $(+\infty )\cdot 0$ ។ យើងត្រូវសរសេរ $x{e}^{-x}=\frac{x}{e^x}$ ដើម្បីប្រើការប្រៀបធៀប។

3. ជំហានទី៣ — អាស៊ីមតូត
   ដោយ $g(x)\to 0$ បន្ទាត់ $y=0$ ជាអាស៊ីមតូតនៃ $C$ នៅខាង $+\infty$ ។ វាជាអាស៊ីមតូតដេក (មេគុណប្រាណ $0$) ដូច្នេះគ្មានអាស៊ីមតូតទ្រេតពិតប្រាកដទេ។
   ហេតុអ្វី សៀវភៅហៅវាថា «អាស៊ីមតូតទ្រេត» តែតាមនិយមន័យ អាស៊ីមតូតទ្រេតត្រូវមាន $m\ne 0$។ ចម្លើយដែលត្រូវសរសេរគឺ $y=0$។

4. ជំហានទី៤ — ដេរីវេទីមួយ
   ដោយប្រើច្បាប់ផលគុណលើ $(x-a)e^{-x}$៖

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $e^{-x}$ គឺ $-e^{-x}$ (ច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ជាមួយ $u=-x$)។ នេះជាកន្លែងដែលគេភ្លេចសញ្ញាដកញឹកញាប់បំផុត។

5. ជំហានទី៥ — ដេរីវេទីពីរ
   យកដេរីវេម្តងទៀត ដោយប្រើច្បាប់ផលគុណលើ $(1-x+a)e^{-x}$៖

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $1-x+a$ គឺ $-1$; បន្ទាប់មកដាក់ $e^{-x}$ ជាកត្តារួម ហើយបូកលេខថេរ។

6. ជំហានទី៦ — លក្ខខណ្ឌអតិបរមាត្រង់ $x=1$
   ត្រូវការ $g^{\prime }(1)=0$៖

ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ ជាមួយ $a=0$ គេបាន $g^{\prime \prime }(1)=(1-0-2)e^{-1}=-e^{-1}<0$ ដូច្នេះ $x=1$ ជាអតិបរមាពិតប្រាកដ ហើយ $g(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}$ ។
ហេតុអ្វី $g^{\prime }(1)=0$ ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់។ ការត្រួតពិនិត្យ $g^{\prime \prime }(1)<0$ ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ ដើម្បីធានាថាវាជាអតិបរមា។

៥. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើសំណុំចំនួនពិតដោយ $f(x)=x{e}^{-x}+1$ ។ $C$ ជាក្រាបនៃអនុគមន៍ $f$ នៅក្នុងតម្រូវអរតូណរមែល $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។

១. គណនាលីមីតនៃ $f$ កាលណា $x$ ខិតជិត $+\infty$, $-\infty$ ។ ទាញរកអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $C$ ។

២. បង្ហាញថា $f$ មានអតិបរមាមួយ ។ គណនាតម្លៃអតិបរមានោះ ។ គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ (ដោយ $e^{-1}=0.36$)