សិក្សាអនុគមន៍សនិទាន

ជំពូកទី 6 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

120 min8 គោលដៅសិក្សា28 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

សិក្សាក្រាបអនុគមន៍ប្រភាគតាមលំដាប់៖ ដែនកំណត់ អាស៊ីមតូត ការកើនចុះ រួចភាពកោង។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍សនិទាន ដោយដោះស្រាយ $g (x) = 0$ រួចដកចំនួនទាំងនោះចេញពី $R$ ។
រកអាស៊ីមតូតឈរ $x = a$ ដោយពិនិត្យថាតើភាគបែងសូន្យ ហើយភាគយកមិនសូន្យ ។
រកអាស៊ីមតូតដេក $y = b$ ដោយគណនាលីមីតនៅ $x \to \pm \infty$ និងប្រៀបធៀបដឺក្រេនៃពហុធាទាំងពីរ ។
រកអាស៊ីមតូតទ្រេត $y = a x + b$ ដោយចែកពហុធា (ទម្រង់កាណូនិក) ឬដោយលីមីត $lim \frac{f ( x )}{x}$ និង $lim [f (x) - a x]$ ។
បង្ហាញថាចំណុចមួយជាចំណុចរបត់ ដោយប្រើសញ្ញានៃដេរីវេទី២ $f^{''} (x)$ ។
បង្ហាញថាចំណុច $I (a, b)$ ជាផ្នត់ឆ្លុះ ដោយផ្ទៀងផ្ទាត់ $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ។
សិក្សាអថិរភាពពេញលេញ៖ ដែនកំណត់ ដេរីវេ សញ្ញាដេរីវេ តម្លៃបមារ លីមីត អាស៊ីមតូត តារាងអថិរភាព ចំណុចប្រសព្វ រួចសង់ក្រាប ។
ដោះស្រាយចំណោទបែប«រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យសមីការមានឫសពីរ…» ដោយអានពីក្រាប ។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 02

Rational-function graph analysis

Work from domain and cancellations through asymptotes, derivative signs, and graph features.

ឧទាហរណ៍ 01Find the domain and classify x=2 for f(x)=(x²−4)/(x−2).

1The original denominator excludes x=2.
2Cancel to x+2 nearby; the limit is 4, so this is a hole, not an asymptote.

ចម្លើយDomain ℝ\{2}; hole at (2,4)

ឧទាហរណ៍ 02Find all asymptotes of f(x)=(2x²+3x+1)/(x−1).

1Divide: f=2x+5+6/(x−1).
2The denominator zero gives a vertical asymptote; the remainder tends to 0 at infinity.

ចម្លើយVertical x=1; oblique y=2x+5

ឧទាហរណ៍ 03Find the horizontal asymptote of (3x²−x+1)/(6x²+4).

1Degrees match, so take the ratio of leading coefficients.
23/6=1/2.

ចម្លើយy=1/2

ឧទាហរណ៍ 04Find the vertical asymptotes of (x+1)/((x−2)(x+3)).

1Set each denominator factor to zero.
2Neither factor cancels with the numerator.

ចម្លើយx=2 and x=−3

ឧទាហរណ៍ 05Find the oblique asymptote of (x³+2x²−1)/(x²+1).

1Polynomial division gives quotient x+2 and a remainder of degree below 2.
2The remainder divided by x²+1 tends to 0.

ចម្លើយy=x+2

ឧទាហរណ៍ 06For f(x)=x/(x²−1), find critical points and monotonicity.

1f′=−(x²+1)/(x²−1)², which is negative wherever defined.
2Split the domain at x=±1.

ចម្លើយDecreasing on (−∞,−1), (−1,1), and (1,∞); no critical points

ឧទាហរណ៍ 07Find the center suggested by asymptotes of f(x)=(x²+1)/(x−1).

1Divide to get f=x+1+2/(x−1).
2The vertical and oblique asymptotes intersect at (1,2).

ចម្លើយ(1,2)

ឧទាហរណ៍ 08Find the horizontal asymptote of (5x−2)/(x²+1) and its end behavior.

1The denominator degree is greater, so the quotient tends to zero.
2The asymptote is approached at both ends.

ចម្លើយy=0

ឧទាហរណ៍ 09For f(x)=1/(x²−4), determine the sign on each domain interval.

1Factor the denominator as (x−2)(x+2).
2Test signs on intervals split by −2 and 2.

ចម្លើយPositive on (−∞,−2) and (2,∞); negative on (−2,2)

ឧទាហរណ៍ 10Find where f(x)=(x²−1)/(x²−4) crosses its horizontal asymptote.

1Its horizontal asymptote is y=1.
2Solve (x²−1)/(x²−4)=1; this gives −1=−4, impossible.

ចម្លើយIt does not cross y=1

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

គំនិត១ — អនុគមន៍សនិទានជាប្រភាគ ។ អនុគមន៍សនិទានគឺជាប្រភាគដែលមានពហុធានៅខាងលើ និងពហុធានៅខាងក្រោម ។ គ្រោះថ្នាក់តែមួយគត់គឺភាគបែងសូន្យ ។ ដូច្នេះជំហានទីមួយតែងតែជា៖ ដោះស្រាយ «ភាគបែង $= 0$ » រួចដកឫសទាំងនោះចេញពីដែនកំណត់ ។

គំនិត២ — អាស៊ីមតូតជាបន្ទាត់ដែលក្រាបខិតចូល ។ អាស៊ីមតូតមិនមែនជាបន្ទាត់ដែលក្រាបកាត់ទេ (ក្រាបអាចកាត់បាន) ។ វាជាបន្ទាត់ដែលក្រាបខិតចូលជិតបំផុត នៅពេល $x$ ទៅឆ្ងាយ ឬនៅពេល $x$ ខិតជិតចំណុចហាមឃាត់ ។ ដូច្នេះអាស៊ីមតូតជារូបភាពនៃឥរិយាបថនៅចុងដែនកំណត់ ។

គំនិត៣ — បីប្រភេទ បីវិធីរក ។

ឈរ $x = a$ ៖ ភាគបែងសូន្យ តែភាគយកមិនសូន្យ ។ រកដោយដាក់ភាគបែងជាផលគុណ ។
ដេក $y = b$ ៖ គណនាលីមីតនៅ $x \to \pm \infty$ ។ បើដឺក្រេភាគយក = ដឺក្រេភាគបែង នោះ $b$ ជាផលចែកមេគុណនាំមុខ ។ បើដឺក្រេភាគយក < ដឺក្រេភាគបែង នោះ $b = 0$ ។
ទ្រេត $y = a x + b$ ៖ កើតឡើងនៅពេលដឺក្រេភាគយក = ដឺក្រេភាគបែង $+ 1$ ។ រកដោយចែកពហុធា ។

គំនិត៤ — ទម្រង់កាណូនិកជាកូនសោ ។ បើយើងចែកពហុធា ហើយសរសេរបាន $f (x) = a x + b + φ (x)$ ជាមួយ $x \to \pm \infty lim φ (x) = 0$ នោះយើងបានអាស៊ីមតូតទ្រេតភ្លាម ។ លើសពីនេះ $φ (x)$ ប្រាប់ផងដែរថាក្រាបនៅលើ ឬក្រោមអាស៊ីមតូត៖ បើ $φ (x) > 0$ ក្រាបនៅលើ ។

គំនិត៥ — ចំណុចរបត់ជាកន្លែងដែលភាពប៉ោងប្តូរ ។ ដេរីវេទី១ ប្រាប់ទិស (ឡើង/ចុះ) ។ ដេរីវេទី២ ប្រាប់រាង (ប៉ោង/ផត) ។ ចំណុចរបត់គឺជាកន្លែងដែល $f^{''}$ ប្តូរសញ្ញា ។ ដូច្នេះវិធីគឺ៖ រក $f^{''}$ ដោះ $f^{''} (x) = 0$ រួចពិនិត្យសញ្ញាសងខាង ។

គំនិត៦ — ផ្នត់ឆ្លុះជាចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរ ។ សម្រាប់អ៊ីពែបូល $y = a x + b + \frac{c}{x - x _{0}}$ ក្រាបមានរាងស៊ីមេទ្រីជុំវិញចំណុច $I (x_{0}, a x_{0} + b)$ ដែលជាចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតទ្រេត ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ គេផ្ទៀងផ្ទាត់ $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ។

គំនិត៧ — ការសិក្សាពេញលេញមានលំដាប់ថេរ ។ ដែនកំណត់ → ដេរីវេ → សញ្ញាដេរីវេ → តម្លៃបមារ → លីមីត និងអាស៊ីមតូត → តារាងអថិរភាព → ចំណុចប្រសព្វនឹងអ័ក្ស → ផ្នត់ឆ្លុះ → ក្រាប ។ បើយើងធ្វើតាមលំដាប់នេះ យើងមិនភ្លេចអ្វីទេ ។

ផ្នែក 02

4.1 ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍សនិទាន

អនុគមន៍សនិទាន គឺជាអនុគមន៍ដែលសរសេរបានជាប្រភាគនៃពហុធាពីរ ៖

$y = \frac{f ( x )}{g ( x )}$

ប្រភាគមួយមានន័យលុះត្រាតែភាគបែងមិនសូន្យ ។ ដូច្នេះអនុគមន៍សនិទានមានន័យកាលណា $g (x) \neq = 0$ ។ ដែនកំណត់គឺជាសំណុំនៃចំនួនទាំងអស់ដែលធ្វើឱ្យភាគបែងមិនសូន្យ ៖

$D_{f} = R - {g (x) = 0}$

អានថា៖ « $D_{f}$ ស្មើនឹង $R$ ដកសំណុំឫសនៃ $g (x) = 0$ » ។ សញ្ញា $R$ គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ ។ សញ្ញា « $-$ » នៅទីនេះមានន័យថា «ដកចេញ» មិនមែនដកលេខទេ ។

ឧទាហរណ៍បំភ្លឺ ៖ បើ $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ នោះ $g (x) = x + 1$ ហើយ $g (x) = 0$ នៅ $x = - 1$ ។ ដូច្នេះ $D_{f} = R - {- 1}$ ឬសរសេរ $D_{f} =] - \infty; - 1 [\cup] - 1; + \infty [$ ។

$y = \frac{f ( x )}{g ( x )}$

$D_{f} = R - {g (x) = 0}$

FORMULA $y = \frac{f ( x )}{g ( x )}, g (x) \neq = 0, D_{f} = R - {g (x) = 0}$

ផ្នែក 03

4.2 អាស៊ីមតូត

អាស៊ីមតូត គឺជាបន្ទាត់ដែលក្រាបតាងអនុគមន៍ខិតចូលជិតបំផុត ដោយមិនប៉ះ (ឬប៉ះតែនៅអានន្ត) ។ មានបីប្រភេទ ៖

១) អាស៊ីមតូតឈរ ។ បើ $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ នោះខ្សែបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $x = a$ ជាអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ ។

២) អាស៊ីមតូតដេក ។ បើ $x \to \pm \infty lim f (x) = b$ នោះខ្សែបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y = b$ ជាអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ ។

៣) អាស៊ីមតូតទ្រេត ។ បើមានអនុគមន៍ $f (x) = a x + b + φ (x)$ ជាទម្រង់កាណូនិក និង $x \to \pm \infty lim φ (x) = 0$ នោះខ្សែបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y = a x + b$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ ។

ឬម្យ៉ាងទៀត បើ $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a$ និង $x \to \pm \infty lim [f (x) - a x] = b$ នោះបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y = a x + b$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ ។

ចំណាំបំភ្លឺ ៖ ពាក្យ «ទ្រេត» មានន័យថា «ឱន» ។ អាស៊ីមតូតទ្រេតជាបន្ទាត់ទ្រេត (មិនឈរ មិនដេក) ដែលក្រាបខិតចូលនៅអានន្ត ។ វាកើតឡើងនៅពេលដឺក្រេភាគយកលើសដឺក្រេភាគបែងមួយកម្រិត ។ បើលើសពីមួយកម្រិត (ឧ. ដឺក្រេ ២ លើ ១) នោះក្រាបជាប៉ារ៉ាបូល ហើយគ្មានអាស៊ីមតូតទ្រេតទេ ។

FORMULA $x = a (vertical) y = b (horizontal) y = a x + b (oblique)$ $f (x) = a x + b + φ (x), x \to \pm \infty lim φ (x) = 0$ $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a, x \to \pm \infty lim [f (x) - a x] = b$

ផ្នែក 04

4.3 ចំណុចរបត់នៃខ្សែកោង

ចំណុចរបត់ ៖ ចំណុច $I (x_{0}, y_{0})$ ជាចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ $f$ កាលណាខ្សែកោងប៉ោង (ឬផត) នៅលើ $[a, x_{0}]$ ហើយផត (ឬប៉ោង) នៅលើ $[x_{0}, b]$ ។

ពាក្យ ប៉ោង និង ផត ពិពណ៌នារាងនៃខ្សែកោង ៖ ប៉ោងគឺជារាង «ខ្នងកើងឡើង» (ដូចគម្របចាន) ហើយផតគឺជារាង «ស្នាមរណ្តៅចុះ» (ដូចខាងក្នុងចាន) ។ ចំណុចរបត់គឺជាកន្លែងដែលរាងប្តូរពីប៉ោងទៅផត ឬពីផតទៅប៉ោង ។

របៀបកំណត់ចំណុចរបត់នៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ $f$ ៖

១. រក $f^{''} (x)$

២. ដោះស្រាយសមីការ $f^{''} (x) = 0$

៣. សិក្សាសញ្ញា $f^{''} (x)$ តាមករណី:

បើ $f^{''} (x)$ ប្តូរសញ្ញានៅសងខាង $x_{0}$ នោះខ្សែកោងមានចំណុចរបត់ $I$ ។
បើ $f^{''} (x)$ មិនប្តូរសញ្ញា នោះខ្សែកោងគ្មានចំណុចរបត់ទេ ។

ហេតុអ្វីត្រូវពិនិត្យសញ្ញា? ព្រោះការដោះស្រាយ $f^{''} (x_{0}) = 0$ តែម្នាក់ឯងមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ។ ឧទាហរណ៍ $f (x) = x^{4}$ មាន $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ ដូច្នេះ $f^{''} (0) = 0$ តែ $f^{''} (x) > 0$ ទាំងសងខាង ដូច្នេះ $(0, 0)$ មិនមែនចំណុចរបត់ទេ ។

FORMULA $f^{''} (x_{0}) = 0 and f^{''} (x) changes sign at x_{0}$

ផ្នែក 05

4.4 ផ្នត់ឆ្លុះនៃខ្សែកោង

ផ្នត់ឆ្លុះនៃខ្សែកោង ៖ ដើម្បីបង្ហាញថាចំណុច $I (a, b)$ ជាផ្នត់ឆ្លុះនៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ $f$ លុះត្រាតែចំណុច $I$ នេះផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម គឺ $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ។

អត្ថន័យនៃលក្ខខណ្ឌនេះ ៖ ចំណុច $M (x, f (x))$ និងចំណុច $M^{'} (2 a - x, f (2 a - x))$ គឺជាចំណុចពីរនៅលើក្រាប ដែលមានកូអរដោនេកណ្តាលស្មើនឹង $I (a, b)$ ។ ពិតហើយ កូអរដោនេកណ្តាលគឺ $(\frac{x + ( 2 a - x )}{2}, \frac{f ( x ) + f ( 2 a - x )}{2}) = (a, b)$ ។ ដូច្នេះក្រាបមានស៊ីមេទ្រីកណ្តាលជុំវិញ $I$ ។

ដើម្បីរកផ្នត់ឆ្លុះ នៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ $f$ មានន័យថារកចំណុចប្រសព្វរវាងអាស៊ីមតូតទ្រេត និងអាស៊ីមតូតមួយទៀត ។ គេត្រូវដោះស្រាយសមីការអាប់ស៊ីសនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរឃើញតម្លៃ $x$ រួចយកទៅជំនួសរកតម្លៃ $y$ ។

រូបមន្តប្តូរអ័ក្ស ៖

${x = X + x_{0} y = Y + y_{0}$

មានន័យថា យើងផ្លាស់គល់តម្រុយទៅចំណុច $(x_{0}, y_{0})$ រួចសរសេរសមីការក្នុងតម្រុយថ្មី $(X, Y)$ ។ បើក្នុងតម្រុយថ្មីសមីការក្លាយជាអនុគមន៍សេស នោះគល់ថ្មីជាផ្នត់ឆ្លុះ ។

✓ បើ $f (- X) = - f (X)$ ជាអនុគមន៍សេស មានចំណុច $(x_{0}, y_{0})$ ជាផ្នត់ឆ្លុះ ។ ✓ បើ $f (- X) = f (X)$ ជាអនុគមន៍គូ មានអ័ក្សអរដែនជាអ័ក្សឆ្លុះ ។

${x = X + x_{0} y = Y + y_{0}$

ចំណាំតូចមួយ សៀវភៅសរសេរពាក្យអង់គ្លេសថា «axis of symmetry» តែលក្ខខណ្ឌ $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ពិពណ៌នាការឆ្លុះតាមចំណុច (central symmetry) មិនមែនតាមអ័ក្សទេ ។ ដូច្នេះយើងហៅ $I (a, b)$ ថា ផ្នត់ឆ្លុះ (centre of symmetry) ។ ករណីអ័ក្សពិតប្រាកដគឺនៅពាក្យទីពីរ (អនុគមន៍គូ) ។

FORMULA $f (2 a - x) + f (x) = 2 b (boxed in the source)$ ${x = X + x_{0} y = Y + y_{0}$ $f (- X) = - f (X) f (- X) = f (X)$

ផ្នែក 06

4.5 អថិរភាព និងក្រាបនៃអនុគមន៍

អថិរភាព និងក្រាបនៃអនុគមន៍ ៖ ដើម្បីសិក្សាអថិរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ យើងត្រូវ ៖

១. ដែនកំណត់

២. ទិសដៅអថិរភាព ៖

• ដេរីវេ
• សិក្សាសញ្ញាដេរីវេ
• រកតម្លៃបមារ (អតិបមាន ឬ អប្បបមាន)

៣. លីមីតចុងដែនកំណត់ និងទាញរកអាស៊ីមតូត (បើមាន)

៤. សង់តារាងអថិរភាព

៥. សង់ក្រាប ៖ (បញ្ជីបន្តនៅទំព័របន្ទាប់ សូមមើល )

ហេតុអ្វីលំដាប់នេះសំខាន់? ព្រោះជំហានទី១ (ដែនកំណត់) កំណត់ថាតើលីមីតត្រូវគណនានៅត្រង់ណា; ជំហានទី២ (ដេរីវេ) កំណត់ទិស; ជំហានទី៣ (លីមីត) កំណត់ចុងនៃព្រួញក្នុងតារាង ។ បើយើងសង់តារាងមុនពេលគណនាលីមីត យើងនឹងមិនដឹងថាត្រូវសរសេរអ្វីនៅចុងព្រួញទេ ។

ផ្នែក 07

4.6 អ្វីដែលត្រូវដាក់នៅលើក្រាប

(បន្តពី ៥. សង់ក្រាប នៅទំព័រមុន)

• ចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែកោងនឹងអ័ក្ស ៖
- អ័ក្ស $x^{'} x$ ៖ បើ $y = 0$ នោះ $x = ........$ ?
- អ័ក្ស $y^{'} y$ ៖ បើ $x = 0$ នោះ $y = .......$ ?
• ផ្នត់ឆ្លុះ ឬអ័ក្សឆ្លុះនៃក្រាប
• តារាងតម្លៃលេខ (តារាងជំនួយ)

បំភ្លឺ ៖ ចំណុចប្រសព្វនឹងអ័ក្ស $x^{'} x$ រកដោយដាក់ $y = 0$ ពោលគឺដោះស្រាយ «ភាគយក $= 0$ » (ដោយភាគបែងមិនសូន្យ) ។ ចំណុចប្រសព្វនឹងអ័ក្ស $y^{'} y$ រកដោយដាក់ $x = 0$ ពោលគឺគណនា $f (0)$ ។ ចំណុចទាំងនេះជួយឱ្យការគូសក្រាបមានចំណុចយោងជាក់លាក់ ។ តារាងតម្លៃលេខជាតារាងជំនួយ ដែលយើងដាក់តម្លៃ $x$ មួយចំនួន រួចគណនា $y$ ដើម្បីគូសក្រាបឱ្យត្រូវ ។

• Intersection points of the curve with the axes:
- axis $x^{'} x$ : if $y = 0$ then $x = ........$ ?
- axis $y^{'} y$ : if $x = 0$ then $y = .......$ ?
• Centre (ផ្នត់ឆ្លុះ) or axis of symmetry of the graph
• Table of numerical values (auxiliary table)

ផ្នែក 08

ឧទាហរណ៍ទី ១

ចំណោទ រកអាស៊ីមតូតឈរនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$ក. \frac{3}{x - 3} ខ. \frac{x ^{2} + 2 x - 8}{x ^{2} - 4} គ. \frac{x}{x + 1} ឃ. \frac{x ^{2} + 1}{x}$

$ង. \frac{3 + 4 x}{2 x - 1} ច. x y^{2} - 2 y^{2} - 4 x = 0 ឆ. \frac{x ^{2} - 4}{x - 1} ជ. \frac{2 x ^{2} - 9 x + 4}{x ^{2} + x - 12}$

$ឈ. \frac{7 x ^{2} + 20 x}{x ^{2} + 2 x - 3} ញ. \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3 x - 10} ដ. \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} - 9} ឌ. \frac{2}{x ^{2} - 1}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានរួមទី១ ដាក់ភាគបែងជាផលគុណ រួចដោះស្រាយ «ភាគបែង $= 0$ » ដើម្បីរកចំណុចសង្ស័យ ។
ហេតុអ្វី អាស៊ីមតូតឈរអាចកើតបានតែនៅកន្លែងដែលភាគបែងសូន្យ ព្រោះមានតែនៅទីនោះទេដែល $f (x)$ អាចទៅដល់ $\pm \infty$ ។

ជំហានរួមទី២ នៅចំណុចសង្ស័យនីមួយៗ គណនាតម្លៃភាគយក ។ បើភាគយក $\neq = 0$ នោះជាអាស៊ីមតូតឈរពិតប្រាកដ ។
ហេតុអ្វី បើភាគយកជាចំនួនវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានជាក់លាក់ ហើយភាគបែង $\to 0$ នោះផលចែក $\to \pm \infty$ តាមនិយមន័យ ។

ជំហានរួមទី៣ បើភាគយកក៏សូន្យដែរ នោះត្រូវដាក់ជាផលគុណ រួចសម្រួល ។ បើកត្តារួមដកចេញបាន នោះចំណុចនោះជារន្ធ (hole) មិនមែនអាស៊ីមតូតទេ ។
ហេតុអ្វី បន្ទាប់ពីសម្រួល លីមីតនៅចំណុចនោះក្លាយជាចំនួនកំណត់ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌ $lim f (x) = \pm \infty$ មិនពេញលេញទេ ។

ក. $f (x) = \frac{3}{x - 3}$ ភាគបែងសូន្យនៅ $x = 3$ ; ភាគយក $= 3 \neq = 0$ ។ ដូច្នេះអាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 3$ ។
ហេតុអ្វី $x \to 3^{\pm} lim \frac{3}{x - 3} = \pm \infty$ ។

ខ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 8}{x ^{2} - 4}$ ដាក់ជាផលគុណ ៖ $x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2)$ និង $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ ។ សម្រួលបាន $f (x) = \frac{x + 4}{x + 2}$ ចំពោះ $x \neq = 2$ ។ នៅ $x = 2$ លីមីតគឺ $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ (ចំនួនកំណត់) ដូច្នេះ $x = 2$ ជារន្ធ ។ នៅ $x = - 2$ ភាគយក $= 2 \neq = 0$ ។ ដូច្នេះអាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = - 2$ ។
ហេតុអ្វី កត្តា $(x - 2)$ ជាកត្តារួម ដូច្នេះវាបង្កើតរន្ធ មិនបង្កើតអាស៊ីមតូត ។

គ. $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ភាគបែងសូន្យនៅ $x = - 1$ ; ភាគយក $= - 1 \neq = 0$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = - 1$ ។

ឃ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ ភាគបែងសូន្យនៅ $x = 0$ ; ភាគយក $= 0^{2} + 1 = 1 \neq = 0$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 0$ (អ័ក្ស $y^{'} y$ ) ។

ង. $f (x) = \frac{3 + 4 x}{2 x - 1}$ $2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ ; ភាគយក $= 3 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 5 \neq = 0$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = \frac{1}{2}$ ។

ច. $x y^{2} - 2 y^{2} - 4 x = 0$ នេះជាសមីការអញ្ញត្ត ។ ដាក់ $y^{2}$ ជាកត្តា ៖ $y^{2} (x - 2) = 4 x$ ដូច្នេះ $y^{2} = \frac{4 x}{x - 2}$ ។ ភាគបែងសូន្យនៅ $x = 2$ ហើយនៅពេល $x \to 2^{+}$ នោះ $y^{2} \to + \infty$ ដូច្នេះ $y \to \pm \infty$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 2$ ។
ហេតុអ្វី ខ្សែកោងមានពីរសាខា $y = \pm 2 \frac{x}{x - 2}$ ហើយទាំងពីរទៅអានន្តនៅ $x = 2$ ។ ចំណាំ ដែនកំណត់តម្រូវ $\frac{4 x}{x - 2} \geq 0$ គឺ $x \leq 0$ ឬ $x > 2$ ។

ឆ. $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 1}$ $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ; ភាគយក $= 1 - 4 = - 3 \neq = 0$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 1$ ។

ជ. $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 9 x + 4}{x ^{2} + x - 12}$ ភាគបែង ៖ $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ ។ ភាគយក ៖ $2 x^{2} - 9 x + 4 = (2 x - 1) (x - 4)$ ។ គ្មានកត្តារួមទេ ។ នៅ $x = - 4$ ភាគយក $= 32 + 36 + 4 = 72 \neq = 0$ ; នៅ $x = 3$ ភាគយក $= 18 - 27 + 4 = - 5 \neq = 0$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = - 4$ និង $x = 3$ ។

ឈ. $f (x) = \frac{7 x ^{2} + 20 x}{x ^{2} + 2 x - 3}$ ភាគបែង ៖ $(x + 3) (x - 1)$ ។ ភាគយក ៖ $x (7 x + 20)$ ។ នៅ $x = - 3$ ភាគយក $= (- 3) (- 21 + 20) = 3 \neq = 0$ ; នៅ $x = 1$ ភាគយក $= 27 \neq = 0$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = - 3$ និង $x = 1$ ។

ញ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3 x - 10}$ ភាគបែង ៖ $(x + 5) (x - 2)$ ។ ភាគយក $x^{2} + 1 > 0$ ជានិច្ច ដូច្នេះមិនសូន្យទេ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = - 5$ និង $x = 2$ ។

ដ. $f (x) = \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} - 9}$ $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ។ ភាគយក $= 36 \neq = 0$ នៅ $x = \pm 3$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 3$ និង $x = - 3$ ។

ឌ. $f (x) = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ ។ ភាគយក $= 2 \neq = 0$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 1$ និង $x = - 1$ ។

ផ្នែក 09

ឧទាហរណ៍ទី ២

ចំណោទ រកអាស៊ីមតូតដេកនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$ក. \frac{x}{x + 1} ខ. \frac{x}{x ^{2} + 1} គ. \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} ឃ. x y^{2} - 2 y^{2} - 4 x = 0$

$ង. \frac{2 x ^{2} - 9 x + 4}{x ^{2} + x - 12} ច. \frac{7 x ^{2} + 20 x}{x ^{2} + 2 x - 3} ឆ. \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} - 9} ជ. \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3 x - 10}$

$ឈ. \frac{3}{1 + 2 e ^{- 5 x}} [UNCLEAR: និទស្សន្ត — អាចជា 5 x] ញ. \frac{2}{x ^{2} - 1}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១
គណនាលីមីតនៅ $x \to + \infty$ និង $x \to - \infty$ ដោយចែកភាគយក និងភាគបែងនឹងពាក្យដែលមានដឺក្រេខ្ពស់បំផុត ។
ហេតុអ្វី និយមន័យ ទាមទារលីមីតនៅ $\pm \infty$ ទាំងពីរ ព្រោះអាស៊ីមតូតដេកជាបន្ទាត់ដេក ដែលក្រាបខិតចូលនៅចុងទាំងពីរ ។

ជំហានទី២
បើលីមីតទាំងពីរស្មើគ្នា នោះមានអាស៊ីមតូតដេកតែមួយ ។ បើខុសគ្នា នោះក្រាបមានអាស៊ីមតូតដេកពីរ (មួយនៅស្តាំ មួយនៅឆ្វេង) ។
ហេតុអ្វី និយមន័យអនុញ្ញាតឱ្យ $b$ ខុសគ្នាតាមទិស ។

ក. $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ចែកនឹង $x$ ៖ $f (x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \to \frac{1}{1 + 0} = 1$ ទាំងពីរទិស ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 1$ ។

ខ. $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ ចំពោះ $x > 0$ យើងមាន $x^{2} + 1 = x 1 + \frac{1}{x ^{2}}$ ដូច្នេះ $f (x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} \to 1$ ។ ចំពោះ $x < 0$ យើងមាន $x^{2} + 1 = ∣ x ∣ 1 + \frac{1}{x ^{2}} = - x 1 + \frac{1}{x ^{2}}$ ដូច្នេះ $f (x) = \frac{x}{- x 1 + \frac{1}{x ^{2}}} \to - 1$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 1$ (នៅ $+ \infty$ ) និង $y = - 1$ (នៅ $- \infty$ ) ។
ហេតុអ្វី ព្រោះ $x^{2} = ∣ x ∣$ មិនមែន $x$ ទេ; នេះជាចំណុចដែលសិស្សភ្លេចញឹកញាប់បំផុត ។

គ. $f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ ចែកនឹង $x^{2}$ ៖ $f (x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} \to 1$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 1$ ។

ឃ. $x y^{2} - 2 y^{2} - 4 x = 0$ ពីខាងលើ $y^{2} = \frac{4 x}{x - 2} = \frac{4}{1 - \frac{2}{x}} \to 4$ ពេល $x \to \pm \infty$ ។ ដូច្នេះ $y \to 2$ ឬ $y \to - 2$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 2$ និង $y = - 2$ ។
ហេតុអ្វី សមីការនេះផ្តល់ខ្សែកោងពីរសាខា ដូច្នេះអាស៊ីមតូតដេកមានពីរ ។

ង. $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 9 x + 4}{x ^{2} + x - 12}$ ដឺក្រេស្មើគ្នា ។ ផលចែកមេគុណនាំមុខ ៖ $\frac{2}{1} = 2$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 2$ ។

ច. $f (x) = \frac{7 x ^{2} + 20 x}{x ^{2} + 2 x - 3}$ ដឺក្រេស្មើគ្នា ។ $\frac{7}{1} = 7$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 7$ ។

ឆ. $f (x) = \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} - 9}$ ដឺក្រេស្មើគ្នា ។ $\frac{4}{1} = 4$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 4$ ។

ជ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3 x - 10}$ ដឺក្រេស្មើគ្នា ។ $\frac{1}{1} = 1$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 1$ ។

ឈ. $f (x) = \frac{3}{1 + 2 e ^{- 5 x}}$ នៅ $x \to + \infty$ យើងមាន $e^{- 5 x} \to 0$ ដូច្នេះ $f (x) \to \frac{3}{1 + 0} = 3$ ។ នៅ $x \to - \infty$ យើងមាន $e^{- 5 x} \to + \infty$ ដូច្នេះ $f (x) \to \frac{3}{+ \infty} = 0$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 3$ (នៅ $+ \infty$ ) និង $y = 0$ គឺអ័ក្ស $x^{'} x$ (នៅ $- \infty$ ) ។ ចំណាំ និទស្សន្តត្រូវបានអានថា $- 5 x$ តែក្នុងប្រភពវាស្រអាប់ សូមមើលបញ្ជីចន្លោះប្រហោង ។

ញ. $f (x) = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ នៅ $x \to \pm \infty$ ភាគបែង $\to + \infty$ ដូច្នេះ $f (x) \to 0$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ $y = 0$ (អ័ក្ស $x^{'} x$ ) ។

ផ្នែក 10

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ចំណោទ រកអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$ក. x + \frac{1}{x ^{2} + 1} ខ. \frac{x ^{2} - 3}{2 x - 4} គ. \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x + 1} ឃ. \frac{x ^{2} + 1}{x}$

$ង. \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 3} ច. \frac{x ^{2} - 4}{x - 1} ឆ. \frac{x ^{2} + 2 x - 2}{x - 1} ជ. \frac{x ^{2} + 3 x}{1 - 2 x}$

$ឈ. \frac{x ^{2} - 5 x + 7}{x - 2} ញ. 4 x^{2} + x + 5 ដ. x^{2} + x + 1 ឋ. \frac{x ^{2} - 2 x + 6}{2 x + 2}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានរួមទី១ ចែកពហុធាភាគយកនឹងពហុធាភាគបែង ដើម្បីសរសេរក្នុងទម្រង់កាណូនិក $f (x) = a x + b + \frac{r}{g ( x )}$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាវិធីផ្ទាល់នៃនិយមន័យ : បើ $f = a x + b + φ$ និង $φ \to 0$ នោះ $y = a x + b$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតភ្លាម ។

ជំហានរួមទី២ ពិនិត្យថាដឺក្រេភាគយកលើសដឺក្រេភាគបែងមួយកម្រិត ។ បើលើសពីមួយកម្រិត នោះគ្មានអាស៊ីមតូតទ្រេត ។
ហេតុអ្វី ក្នុងករណីនោះ $f (x) - a x$ មិនអាចទៅរកចំនួនកំណត់ $b$ បានទេ ព្រោះ $φ (x)$ មិនទាន់ $\to 0$ ។

ក. $f (x) = x + \frac{1}{x ^{2} + 1}$ ស្រាប់តែជាទម្រង់កាណូនិក $a = 1$ , $b = 0$ , $φ (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1} \to 0$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x$ ។

ខ. $f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{2 x - 4}$ ចែក ៖ $(2 x - 4) (\frac{x}{2} + 1) = x^{2} - 4$ ដូច្នេះ $x^{2} - 3 = (2 x - 4) (\frac{x}{2} + 1) + 1$ ។ ដូច្នេះ $f (x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2 x - 4}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = \frac{x}{2} + 1$ ។
ហេតុអ្វី $\frac{1}{2 x - 4} \to 0$ ពេល $x \to \pm \infty$ ។

គ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ $(x + 1) (x + 1) = x^{2} + 2 x + 1$ ដូច្នេះ $f (x) = x + 1 + \frac{2}{x + 1}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x + 1$ ។

ឃ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x$ ។

ង. $f (x) = \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 3}$ $(x + 3) (x - 2) = x^{2} + x - 6$ ដូច្នេះ $f (x) = x - 2 + \frac{7}{x + 3}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x - 2$ ។

ច. $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 1}$ $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ដូច្នេះ $f (x) = x + 1 - \frac{3}{x - 1}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x + 1$ ។

ឆ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$ $(x - 1) (x + 3) = x^{2} + 2 x - 3$ ដូច្នេះ $f (x) = x + 3 + \frac{1}{x - 1}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x + 3$ ។

ជ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x}{1 - 2 x}$ ចែក ៖ $(1 - 2 x) (- \frac{x}{2} - \frac{7}{4}) = - \frac{x}{2} + x^{2} - \frac{7}{4} + \frac{7 x}{2} = x^{2} + 3 x - \frac{7}{4}$ ។ ដូច្នេះ $f (x) = - \frac{x}{2} - \frac{7}{4} + \frac{\frac{7}{4}}{1 - 2 x}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = - \frac{x}{2} - \frac{7}{4}$ ។
ហេតុអ្វី ភាគបែងមានដឺក្រេ ១ តែមេគុណនាំមុខអវិជ្ជមាន ដូច្នេះអាស៊ីមតូតទ្រេតចុះទៅស្តាំ ។

ឈ. $f (x) = \frac{x ^{2} - 5 x + 7}{x - 2}$ $(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 5 x + 6$ ដូច្នេះ $f (x) = x - 3 + \frac{1}{x - 2}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x - 3$ ។

ញ. $f (x) = 4 x^{2} + x + 5$ នេះជាពហុធាដឺក្រេ ២ ពោលគឺប៉ារ៉ាបូល ។ យើងមាន $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to \pm \infty lim (4 x + 1 + \frac{5}{x}) = \pm \infty$ ដែលមិនមែនជាចំនួនកំណត់ $a$ ទេ ។ ដូច្នេះគ្មានអាស៊ីមតូតទ្រេតទេ ។
ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌទី១ នៃនិយមន័យ ( $lim \frac{f ( x )}{x} = a$ ជាចំនួនកំណត់) មិនពេញលេញ ។

ដ. $f (x) = x^{2} + x + 1$ ដូចគ្នានឹង ញ ៖ ជាប៉ារ៉ាបូល ហើយ $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = \pm \infty$ ។ គ្មានអាស៊ីមតូតទ្រេតទេ ។

ឋ. $f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x + 6}{2 x + 2}$ សរសេរ $f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x + 6}{2 ( x + 1 )}$ ។ ចែក ៖ $(2 x + 2) (\frac{x}{2} - \frac{3}{2}) = x^{2} - x - 3$ ដូច្នេះ $x^{2} - 2 x + 6 = (2 x + 2) (\frac{x}{2} - \frac{3}{2}) + 9$ ។ ដូច្នេះ $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{9}{2 x + 2}$ ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = \frac{x}{2} - \frac{3}{2}$ ។ ត្រួតពិនិត្យ នៅ $x = 10$ យើងបាន $f (10) = \frac{100 - 20 + 6}{22} = \frac{86}{22} \approx 3.909$ និង $\frac{10}{2} - \frac{3}{2} = 3.5$ ដែលខុសគ្នាតែ $\frac{9}{22} \approx 0.409$ ។

ផ្នែក 11

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ចំណោទ រកអាស៊ីមតូតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$ក. \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{x + 2} ខ. \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{2} - 1} គ. - x + 3 + \frac{3}{x - 1}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. $f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$

ដែនកំណត់ $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$ ដូច្នេះ $D_{f} = R - {- 2}$ ។ $D_{f} = R - {- 2}$ .
ហេតុអ្វី ភាគបែងត្រូវមិនសូន្យ ។
អាស៊ីមតូតឈរ ភាគយកនៅ $x = - 2$ គឺ $4 - 8 + 1 = - 3 \neq = 0$ ដូច្នេះ $x \to - 2 lim f (x) = \pm \infty$ ។ ដូច្នេះ $x = - 2$ ។
ហេតុអ្វី ភាគបែង $\to 0$ តែភាគយក $\to - 3$ ដូច្នេះផលចែកទៅអានន្ត ។
ចែកពហុធា $(x + 2) (x + 2) = x^{2} + 4 x + 4$ ដូច្នេះ $x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2) (x + 2) - 3$ ។ ដូច្នេះ ៖

$f (x) = x + 2 - \frac{3}{x + 2}$

អាស៊ីមតូតទ្រេត ដោយ $\frac{3}{x + 2} \to 0$ ពេល $x \to \pm \infty$ យើងបាន $y = x + 2$ ។
ហេតុអ្វី ទម្រង់កាណូនិក $f = a x + b + φ$ ជាមួយ $φ \to 0$ ។
អាស៊ីមតូតដេក? គ្មានទេ ព្រោះ $f (x) \to \pm \infty$ ពេល $x \to \pm \infty$ (ដឺក្រេភាគយកលើសមួយកម្រិត) ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន អាស៊ីមតូតឈរ $x = - 2$ និងអាស៊ីមតូតទ្រេត $y = x + 2$ ។

ខ. $f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{2} - 1}$

ដែនកំណត់ $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ ដូច្នេះ $D_{f} = R - {- 1; 1}$ ។ $D_{f} = R - {- 1; 1}$ .
អាស៊ីមតូតឈរ នៅ $x = 1$ ភាគយក $= 1 + 3 + 1 = 5 \neq = 0$ ; នៅ $x = - 1$ ភាគយក $= 1 - 3 + 1 = - 1 \neq = 0$ ។ គ្មានកត្តារួមទេ ។ ដូច្នេះ $x = - 1$ និង $x = 1$ ។
អាស៊ីមតូតដេក ដឺក្រេស្មើគ្នា (២ និង ២) ។ $x \to \pm \infty lim f (x) = \frac{1}{1} = 1$ ។ ដូច្នេះ $y = 1$ ។
ហេតុអ្វី នៅអានន្ត ពាក្យ $x^{2}$ គ្រប់គ្រងទាំងភាគយក ទាំងភាគបែង ដូច្នេះលីមីតជាផលចែកមេគុណនាំមុខ ។
អាស៊ីមតូតទ្រេត? គ្មានទេ ព្រោះដឺក្រេស្មើគ្នា ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន អាស៊ីមតូតឈរ $x = - 1$ , $x = 1$ និងអាស៊ីមតូតដេក $y = 1$ ។

គ. $f (x) = - x + 3 + \frac{3}{x - 1}$

ដែនកំណត់ $D_{f} = R - {1}$ ។ $D_{f} = R - {1}$ .
ទម្រង់កាណូនិក អនុគមន៍នេះស្រាប់តែជាទម្រង់ $f (x) = a x + b + φ (x)$ ជាមួយ $a = - 1$ , $b = 3$ , $φ (x) = \frac{3}{x - 1}$ ហើយ $x \to \pm \infty lim φ (x) = 0$ ។ ដូច្នេះ $y = - x + 3$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត ។
ហេតុអ្វី នេះជាករណីផ្ទាល់នៃនិយមន័យ ។
អាស៊ីមតូតឈរ $x \to 1^{\pm} lim \frac{3}{x - 1} = \pm \infty$ ដូច្នេះ $x = 1$ ។
ហេតុអ្វី ពាក្យ $- x + 3$ ជាចំនួនកំណត់ ដូច្នេះឥរិយាបថអានន្តមកពីប្រភាគតែម្តង ។
អាស៊ីមតូតដេក? គ្មានទេ ព្រោះ $f (x) \to \mp \infty$ ពេល $x \to \pm \infty$ (បន្ទាត់ $y = - x + 3$ ទ្រេត) ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន អាស៊ីមតូតឈរ $x = 1$ និងអាស៊ីមតូតទ្រេត $y = - x + 3$ ។ ចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរ ៖ $x = 1$ និង $y = - 1 + 3 = 2$ ដូច្នេះ $I (1; 2)$ ជាផ្នត់ឆ្លុះ ។

ផ្នែក 12

ឧទាហរណ៍ទី ៥

ចំណោទ សិក្សាអថិរភាព និងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$ក. y = \frac{x ^{2} - x + 9}{x - 1} ខ. y = \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 1} គ. y = \frac{- x ^{2} - 2 x + 3}{x ^{2} + 3 x + 2}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. $y = \frac{x ^{2} - x + 9}{x - 1}$

ជំហានទី១ — ដែនកំណត់
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ដូច្នេះ $D = R - {1}$ ។ $D = R - {1}$ .
ហេតុអ្វី ភាគបែងត្រូវមិនសូន្យ ។

ជំហានទី២ — ទម្រង់កាណូនិក
$(x - 1) x = x^{2} - x$ ដូច្នេះ $x^{2} - x + 9 = (x - 1) x + 9$ ។ ដូច្នេះ ៖

$y = x + \frac{9}{x - 1}$

ហេតុអ្វី ការចែកនេះផ្តល់អាស៊ីមតូតទ្រេតភ្លាម និងធ្វើឱ្យការគណនាដេរីវេងាយស្រួល ។

ជំហានទី៣ — ដេរីវេ

$y^{'} = 1 - \frac{9}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 9}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 - 3 ) ( x - 1 + 3 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 4 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $x$ គឺ $1$ ហើយដេរីវេនៃ $\frac{9}{x - 1} = 9 (x - 1)^{- 1}$ គឺ $- 9 (x - 1)^{- 2}$ ។ បន្ទាប់មកយើងប្រើ $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ ដើម្បីដាក់ជាផលគុណ ។

ជំហានទី៤ — សញ្ញាដេរីវេ
ភាគបែង $(x - 1)^{2} > 0$ ជានិច្ច (ចំពោះ $x \neq = 1$ ) ដូច្នេះសញ្ញានៃ $y^{'}$ គឺសញ្ញានៃ $(x - 4) (x + 2)$ ៖

$y^{'} > 0 នៅ x \in] - \infty; - 2 [\cup] 4; + \infty [, y^{'} < 0 នៅ x \in] - 2; 1 [\cup] 1; 4 [$

ហេតុអ្វី ត្រីភាគី $(x - 4) (x + 2)$ មានសញ្ញាបូកនៅខាងក្រៅឫសទាំងពីរ និងសញ្ញាដកនៅចន្លោះឫស ។

ជំហានទី៥ — តម្លៃបមារ
$y^{'} = 0$ នៅ $x = - 2$ និង $x = 4$ ។ នៅ $x = - 2$ សញ្ញាប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ ដូច្នេះជាអតិបមាន ៖

$y (- 2) = - 2 + \frac{9}{- 3} = - 2 - 3 = - 5$

នៅ $x = 4$ សញ្ញាប្តូរពី $-$ ទៅ $+$ ដូច្នេះជាអប្បបមាន ៖

$y (4) = 4 + \frac{9}{3} = 4 + 3 = 7$

ហេតុអ្វី បើ $y^{'}$ ប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ នោះអនុគមន៍ឡើងរួចចុះ ដូច្នេះមានកំពូល (អតិបមាន); បើប្តូរពី $-$ ទៅ $+$ នោះមានបាត (អប្បបមាន) ។

ជំហានទី៦ — លីមីត និងអាស៊ីមតូត

$x \to 1^{-} lim y = - \infty, x \to 1^{+} lim y = + \infty ⟹ x = 1 អាស៊ីមតូតឈរ$

$x \to \pm \infty lim [y - x] = x \to \pm \infty lim \frac{9}{x - 1} = 0 ⟹ y = x អាស៊ីមតូតទ្រេត$

ហេតុអ្វី នៅ $x \to 1^{-}$ ភាគបែង $\to 0^{-}$ ដូច្នេះ $\frac{9}{x - 1} \to - \infty$ ; នៅ $x \to 1^{+}$ ភាគបែង $\to 0^{+}$ ដូច្នេះ $\to + \infty$ ។ ចំណែក $y - x = \frac{9}{x - 1} \to 0$ ជាលក្ខខណ្ឌអាស៊ីមតូតទ្រេត ។

ជំហានទី៧ — តារាងអថិរភាព

$x$	$- \infty$		$- 2$		$1$		$4$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$∥$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	$↗$	$- 5$	$↘$	$-\infty\ \	\ +\infty$	$↘$	$7$	$↗$	$+ \infty$

ជំហានទី៨ — ចំណុចប្រសព្វ និងផ្នត់ឆ្លុះ
នឹងអ័ក្ស $x^{'} x$ ៖ $y = 0 \Rightarrow x^{2} - x + 9 = 0$ ; $Δ = 1 - 36 = - 35 < 0$ ដូច្នេះគ្មានចំណុចប្រសព្វទេ ។ នឹងអ័ក្ស $y^{'} y$ ៖ $x = 0 \Rightarrow y = - 9$ ដូច្នេះចំណុច $(0; - 9)$ ។ ផ្នត់ឆ្លុះគឺជាចំណុចប្រសព្វនៃ $x = 1$ និង $y = x$ គឺ $I (1; 1)$ ។
ហេតុអ្វី ប្រាប់ឱ្យរកចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរ ។

ជំហានទី៩ — ក្រាប
គូសអាស៊ីមតូតឈរ $x = 1$ និងអាស៊ីមតូតទ្រេត $y = x$ ជាមុន ។ សាខាខាងឆ្វេងឡើងដល់កំពូល $(- 2; - 5)$ រួចចុះទៅ $- \infty$ ជិត $x = 1$ ; សាខាខាងស្តាំមកពី $+ \infty$ ចុះដល់បាត $(4; 7)$ រួចឡើងទៅ $+ \infty$ ។ ក្រាបនៅក្រោមអាស៊ីមតូតពេល $x < 1$ និងនៅលើអាស៊ីមតូតពេល $x > 1$ ។
ហេតុអ្វី $y - x = \frac{9}{x - 1}$ មានសញ្ញាដកពេល $x < 1$ និងបូកពេល $x > 1$ ។

ខ. $y = \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 1}$

ជំហានទី១ — ដែនកំណត់
$D = R - {1}$ ។ $D = R - {1}$ .

ជំហានទី២ — ទម្រង់កាណូនិក
$(x - 1) x = x^{2} - x$ ដូច្នេះ $x^{2} - x - 2 = (x - 1) x - 2$ ។ ដូច្នេះ ៖

$y = x - \frac{2}{x - 1}$

ហេតុអ្វី ការចែកនេះផ្តល់អាស៊ីមតូតទ្រេត $y = x$ ភ្លាម ។

ជំហានទី៣ — ដេរីវេ និងសញ្ញា

$y^{'} = 1 + \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}} > 0 ចំពោះគ្រប់ x \neq = 1$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $- 2 (x - 1)^{- 1}$ គឺ $+ 2 (x - 1)^{- 2} > 0$ ហើយបូកជាមួយ $1$ កាន់តែវិជ្ជមាន ។ ដូច្នេះអនុគមន៍ឡើងជានិច្ចនៅលើចន្លោះនីមួយៗ ហើយគ្មានតម្លៃបមារ ។

ជំហានទី៤ — លីមីត និងអាស៊ីមតូត

$x \to 1^{-} lim y = + \infty, x \to 1^{+} lim y = - \infty ⟹ x = 1$

$x \to \pm \infty lim [y - x] = x \to \pm \infty lim \frac{- 2}{x - 1} = 0 ⟹ y = x$

ហេតុអ្វី នៅ $x \to 1^{-}$ ភាគបែង $\to 0^{-}$ ដូច្នេះ $- \frac{2}{x - 1} \to + \infty$ ; នៅ $x \to 1^{+}$ វាទៅ $- \infty$ ។

ជំហានទី៥ — តារាងអថិរភាព

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$∥$	$+$
$y$	$- \infty$	$↗$	$+\infty\ \	\ -\infty$	$↗$	$+ \infty$

ជំហានទី៦ — ចំណុចប្រសព្វ
នឹង $x^{'} x$ ៖ $y = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = - 1$ ឬ $x = 2$ ។ នឹង $y^{'} y$ ៖ $x = 0 \Rightarrow y = \frac{- 2}{- 1} = 2$ ។ ដូច្នេះចំណុច $(- 1; 0)$ , $(2; 0)$ និង $(0; 2)$ ។
ហេតុអ្វី $y = 0$ សមូហភាពនឹង «ភាគយក $= 0$ » ដោយភាគបែងមិនសូន្យ ។

ជំហានទី៧ — ក្រាប
អាស៊ីមតូតឈរ $x = 1$ និងអាស៊ីមតូតទ្រេត $y = x$ ; សាខាឆ្វេងឡើងពី $- \infty$ ទៅ $+ \infty$ ឆ្លងកាត់ $(- 1; 0)$ និង $(0; 2)$ ; សាខាស្តាំឡើងពី $- \infty$ ទៅ $+ \infty$ ឆ្លងកាត់ $(2; 0)$ ។ ក្រាបនៅលើអាស៊ីមតូតពេល $x < 1$ និងនៅក្រោមពេល $x > 1$ ។
ហេតុអ្វី $y - x = \frac{- 2}{x - 1}$ មានសញ្ញាបូកពេល $x < 1$ និងដកពេល $x > 1$ ។

គ. $y = \frac{- x ^{2} - 2 x + 3}{x ^{2} + 3 x + 2}$

ជំហានទី១ — ដែនកំណត់
$x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ ដូច្នេះ $D = R - {- 2; - 1}$ ។ $D = R - {- 2; - 1}$ .
ហេតុអ្វី ភាគបែងសូន្យនៅ $x = - 1$ និង $x = - 2$ ។

ជំហានទី២ — លីមីត និងអាស៊ីមតូត

$x \to \pm \infty lim y = \frac{- 1}{1} = - 1 ⟹ y = - 1 អាស៊ីមតូតដេក$

ភាគយកនៅ $x = - 1$ គឺ $- 1 + 2 + 3 = 4 \neq = 0$ ; នៅ $x = - 2$ គឺ $- 4 + 4 + 3 = 3 \neq = 0$ ។ ដូច្នេះ $x = - 1$ និង $x = - 2$ ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។
ហេតុអ្វី ដឺក្រេស្មើគ្នា ដូច្នេះលីមីតនៅអានន្តជាផលចែកមេគុណនាំមុខ $\frac{- 1}{1}$ ។

ជំហានទី៣ — ដេរីវេ
ដាក់ $N = - x^{2} - 2 x + 3$ , $D = x^{2} + 3 x + 2$ ដូច្នេះ $N^{'} = - 2 x - 2$ និង $D^{'} = 2 x + 3$ ។ តាមច្បាប់ផលចែក ៖

$y^{'} = \frac{( - 2 x - 2 ) ( x ^{2} + 3 x + 2 ) - ( - x ^{2} - 2 x + 3 ) ( 2 x + 3 )}{( x ^{2} + 3 x + 2 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} - 10 x - 13}{( x ^{2} + 3 x + 2 ) ^{2}}$

ហេតុអ្វី យើងប្រើ $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ រួចពង្រីក និងសម្រួល ៖ $(- 2 x - 2) (x^{2} + 3 x + 2) = - 2 x^{3} - 8 x^{2} - 10 x - 4$ និង $(- x^{2} - 2 x + 3) (2 x + 3) = - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 9$ ; ដកគ្នាបាន $- x^{2} - 10 x - 13$ ។

ជំហានទី៤ — សញ្ញាដេរីវេ
ដោះ $x^{2} + 10 x + 13 = 0$ ៖

$Δ = 100 - 4 \cdot 13 = 48, x = \frac{- 10 \pm 48}{2} = - 5 \pm 23$

ដូច្នេះ $x_{1} = - 5 - 23 \approx - 8.46$ និង $x_{2} = - 5 + 23 \approx - 1.54$ ។ ភាគបែង $(x^{2} + 3 x + 2)^{2} > 0$ ដូច្នេះសញ្ញានៃ $y^{'}$ គឺសញ្ញានៃ $- (x^{2} + 10 x + 13)$ គឺ $-$ នៅខាងក្រៅ $[x_{1}; x_{2}]$ និង $+$ នៅខាងក្នុង ។

ជំហានទី៥ — តម្លៃបមារ
នៅ $x_{1}$ សញ្ញាប្តូរពី $-$ ទៅ $+$ ៖ អប្បបមាន ៖

$y (x_{1}) = \frac{- 24 - 16 3}{24 + 14 3} = 43 - 8 \approx - 1.07$

នៅ $x_{2}$ សញ្ញាប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ ៖ អតិបមាន ៖

$y (x_{2}) = \frac{- 24 + 16 3}{24 - 14 3} = - 8 - 43 \approx - 14.93$

ហេតុអ្វី យើងជំនួស $x_{1}^{2} = 37 + 203$ និង $x_{2}^{2} = 37 - 203$ (ព្រោះ $x_{1, 2}$ ជាឫសនៃ $x^{2} + 10 x + 13 = 0$ ) រួចគុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់ ដើម្បីកម្ចាត់ឫសក្នុងភាគបែង ។

ជំហានទី៦ — លីមីតនៅអាស៊ីមតូតឈរ

$x \to - 2^{-} lim y = + \infty, x \to - 2^{+} lim y = - \infty, x \to - 1^{-} lim y = - \infty, x \to - 1^{+} lim y = + \infty$

ហេតុអ្វី ភាគបែង $= (x + 1) (x + 2)$ ; នៅ $x \to - 2$ ភាគយក $\to 3 > 0$ ហើយ $(x + 1) \to - 1 < 0$ ដូច្នេះសញ្ញាអាស្រ័យលើសញ្ញានៃ $(x + 2)$ ; នៅ $x \to - 1$ ភាគយក $\to 4 > 0$ ហើយ $(x + 2) \to 1 > 0$ ដូច្នេះសញ្ញាអាស្រ័យលើ $(x + 1)$ ។

ជំហានទី៧ — តារាងអថិរភាព

$x$	$- \infty$		$- 5 - 23$		$- 2$		$- 5 + 23$		$- 1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$∥$	$+$	$0$	$-$	$∥$	$-$
$y$	$- 1$	$↘$	$43 - 8$	$↗$	$+\infty\ \	\ -\infty$	$↗$	$- 8 - 43$	$↘$	$-\infty\ \	\ +\infty$	$↘$	$- 1$

ជំហានទី៨ — ចំណុចប្រសព្វ
នឹង $x^{'} x$ ៖ $- x^{2} - 2 x + 3 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1) = 0 \Rightarrow x = - 3$ ឬ $x = 1$ ។ នឹង $y^{'} y$ ៖ $x = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$ ។
ហេតុអ្វី ភាគយកសូន្យ តែភាគបែងមិនសូន្យនៅ $x = - 3$ និង $x = 1$ ។

ជំហានទី៩ — ក្រាប
គូសអាស៊ីមតូតបី ៖ $x = - 2$ , $x = - 1$ និង $y = - 1$ ។ មានសាខាបី ៖ សាខាឆ្វេងចុះពី $- 1$ ដល់បាត $(- 8.46; - 1.07)$ រួចឡើងទៅ $+ \infty$ ជិត $x = - 2$ ; សាខាកណ្តាលមកពី $- \infty$ ឡើងដល់កំពូល $(- 1.54; - 14.93)$ រួចចុះទៅ $- \infty$ ជិត $x = - 1$ ; សាខាស្តាំមកពី $+ \infty$ ចុះទៅ $- 1$ ។
ហេតុអ្វី សាខាកណ្តាលស្ថិតនៅចន្លោះអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរ ហើយធ្លាក់យ៉ាងជ្រៅដល់ $- 14.93$ ព្រោះភាគបែងតូចខ្លាំងនៅតំបន់នោះ ។

ផ្នែក 13

លំហាត់ទី ១

១. $h$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $h (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ , $x \in R$ និង $x \neq = 1$ ។

ក. កំណត់រក $a$ , $b$ និង $c$ ដើម្បីឱ្យ $h (x) = a x + b + \frac{c}{x - 1}$ ចំពោះ $x \neq = 1$ ។

ខ. ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃខ្សែកោង $C$ តំណាងអនុគមន៍ $h$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក.

គុណភាគីទាំងពីរនឹង $(x - 1)$ ៖ $x^{2} = (a x + b) (x - 1) + c$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាសមភាពពហុធា ដែលពិតចំពោះគ្រប់ $x \neq = 1$ ដូច្នេះវាពិតចំពោះគ្រប់ $x$ ។
ពង្រីកអង្គខាងស្តាំ ៖ $(a x + b) (x - 1) + c = a x^{2} - a x + b x - b + c = a x^{2} + (b - a) x + (c - b)$ ។
ប្រៀបធៀបមេគុណ ៖ $a = 1$ ; $b - a = 0 \Rightarrow b = 1$ ; $c - b = 0 \Rightarrow c = 1$ ។
ហេតុអ្វី ពហុធាពីរស្មើគ្នាលុះត្រាតែមេគុណនៃដឺក្រេដូចគ្នាស្មើគ្នា ។

ដូច្នេះ / Hence ៖ $h (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ។

ខ. ដោយ $x \to \pm \infty lim \frac{1}{x - 1} = 0$ យើងទាញបានអាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x + 1$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខខណ្ឌនៃនិយមន័យ ជាមួយ $a = 1$ , $b = 1$ , $φ (x) = \frac{1}{x - 1}$ ។

ចម្លើយ $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ ; អាស៊ីមតូតទ្រេត $y = x + 1$ ។

ផ្នែក 14

លំហាត់ទី ២

២. $g$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $g (x) = \frac{x ^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ មានក្រាប $C$ ។

ក. កំណត់ចំនួនពិត $a$ , $b$ , $c$ ដើម្បីឱ្យ $g (x) = a x + b + \frac{c}{x - 2}$ ចំពោះ $x \neq = 2$ ។

ខ. កំណត់សមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។

គ. បង្ហាញថាចំណុច $I (2; 1)$ ជាចំណុចរបត់នៃក្រាប $C$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក.

$x^{2} - 3 x - 4 = (a x + b) (x - 2) + c = a x^{2} + (b - 2 a) x + (c - 2 b)$ ។
ប្រៀបធៀបមេគុណ ៖ $a = 1$ ; $b - 2 a = - 3 \Rightarrow b - 2 = - 3 \Rightarrow b = - 1$ ; $c - 2 b = - 4 \Rightarrow c + 2 = - 4 \Rightarrow c = - 6$ ។
ដូច្នេះ / Hence ៖ $g (x) = x - 1 - \frac{6}{x - 2}$ ។ ត្រួតពិនិត្យ នៅ $x = 3$ , $g (3) = \frac{9 - 9 - 4}{1} = - 4$ និង $3 - 1 - \frac{6}{1} = - 4$ ✓ ។

ខ. អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 2$ (ភាគបែងសូន្យ; ភាគយក $= 4 - 6 - 4 = - 6 \neq = 0$ ) ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x - 1$ (ព្រោះ $\frac{- 6}{x - 2} \to 0$ ) ។
ហេតុអ្វី ភាគយកមិនសូន្យនៅ $x = 2$ ដូច្នេះមិនមានកត្តារួមទេ ។

គ.

គណនាដេរីវេទី១ ៖ $g^{'} (x) = 1 + 6 (x - 2)^{- 2} = 1 + \frac{6}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$ ។ $g^{'} (x) = 1 + \frac{6}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$ ។
ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $- 6 (x - 2)^{- 1}$ គឺ $+ 6 (x - 2)^{- 2}$ ។
គណនាដេរីវេទី២ ៖ $g^{''} (x) = - 12 (x - 2)^{- 3} = \frac{- 12}{( x - 2 ) ^{3}}$ ។
សិក្សាសញ្ញា ៖ បើ $x < 2$ នោះ $(x - 2)^{3} < 0$ ដូច្នេះ $g^{''} (x) > 0$ (ក្រាបផត); បើ $x > 2$ នោះ $(x - 2)^{3} > 0$ ដូច្នេះ $g^{''} (x) < 0$ (ក្រាបប៉ោង) ។ ដូច្នេះ $g^{''}$ ប្តូរសញ្ញានៅ $x = 2$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខខណ្ឌទី៣ នៃ ។
ចំណាំសំខាន់ $x = 2$ មិននៅក្នុងដែនកំណត់ទេ ដូច្នេះក្រាបមានសាខាពីរដាច់ពីគ្នា ។ ចំណុច $I (2; 1)$ ជាចំណុចប្រសព្វនៃអាស៊ីមតូតទាំងពីរ ( $x = 2$ និង $y = x - 1 \Rightarrow y = 1$ ) ដូច្នេះវាជាកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី ហើយក្នុងន័យនេះជាចំណុចរបត់នៃខ្សែកោង ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយរូបមន្ត ៖

$g (4 - x) + g (x) = [(4 - x) - 1 - \frac{6}{2 - x}] + [(x) - 1 - \frac{6}{x - 2}] = 2$

ព្រោះ $\frac{- 6}{2 - x} = \frac{6}{x - 2}$ ដូច្នេះពាក្យប្រភាគសម្រួលគ្នា ហើយនៅសល់ $(4 - x) + (x) - 2 = 2 = 2 b$ ជាមួយ $b = 1$ ។
ហេតុអ្វី $2 a = 4$ ព្រោះ $a = 2$ ជាអាប់ស៊ីសនៃ $I$ ។

ចម្លើយ $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = - 6$ ; អាស៊ីមតូតឈរ $x = 2$ , អាស៊ីមតូតទ្រេត $y = x - 1$ ; $g^{''}$ ប្តូរសញ្ញានៅ $x = 2$ ដូច្នេះ $I (2; 1)$ ជាចំណុចរបត់ (និងជាផ្នត់ឆ្លុះ) ។

ផ្នែក 15

លំហាត់ទី ៣

៣. គេឱ្យអនុគមន៍ $g$ កំណត់ដោយ $g (x) = \frac{4 x - 4}{x ^{2}}$ , $x \neq = 0$ ។ $C$ ជាក្រាបនៃអនុគមន៍ $g$ ។

១. គណនា $x \to + \infty lim g (x)$ , $x \to - \infty lim g (x)$ និង $x \to 0 lim g (x)$ រួចទាញរកអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $C$ ។

២. គូសតារាងអថិរភាពនៃ $g$ ។

៣. បង្ហាញថា $C$ មានចំណុចរបត់មួយ រួចរកកូអរដោនេនៃចំណុចរបត់នេះ ។

៤. គណនា $g (- 4)$ , $g (- 2)$ , $g (1)$ និង $g (4)$ ។

៥. សង់ខ្សែកោង $C$ នៅក្នុងតម្រុយអ័រតូណរម៉ាល់ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

១.

សរសេរ $g (x) = \frac{4}{x} - \frac{4}{x ^{2}}$ ។ នៅ $x \to + \infty$ យើងបាន $\frac{4}{x} \to 0^{+}$ និង $- \frac{4}{x ^{2}} \to 0$ ដូច្នេះ $g (x) \to 0^{+}$ ។
ហេតុអ្វី ក្នុងចន្លោះនេះ $\frac{4}{x}$ ឈ្នះ $\frac{4}{x ^{2}}$ ព្រោះវាធំជាង ។
នៅ $x \to - \infty$ យើងបាន $\frac{4}{x} \to 0^{-}$ និង $- \frac{4}{x ^{2}} \to 0^{-}$ ដូច្នេះ $g (x) \to 0^{-}$ ។
នៅ $x \to 0$ យើងបាន $x^{2} \to 0^{+}$ ហើយ $4 x - 4 \to - 4$ ដូច្នេះ $g (x) \to - \infty$ (ទាំងសងខាង) ។
ដូច្នេះ ៖ អាស៊ីមតូតដេក $y = 0$ (អ័ក្ស $x^{'} x$ ) និងអាស៊ីមតូតឈរ $x = 0$ (អ័ក្ស $y^{'} y$ ) ។
ហេតុអ្វី លីមីតនៅអានន្តជាចំនួនកំណត់ $0$ និងលីមីតនៅ $0$ ជាអានន្ត ។

២.

ដេរីវេ ៖ $g^{'} (x) = \frac{4 \cdot x ^{2} - ( 4 x - 4 ) \cdot 2 x}{x ^{4}} = \frac{4 x ^{2} - 8 x ^{2} + 8 x}{x ^{4}} = \frac{- 4 x ^{2} + 8 x}{x ^{4}} = \frac{- 4 ( x - 2 )}{x ^{3}}$ ។
សញ្ញា ៖ បើ $x < 0$ នោះ $x - 2 < 0$ និង $x^{3} < 0$ ដូច្នេះ $g^{'} (x) < 0$ ; បើ $0 < x < 2$ នោះ $g^{'} (x) > 0$ ; បើ $x > 2$ នោះ $g^{'} (x) < 0$ ។
ហេតុអ្វី $g^{'} = - 4 \frac{x - 2}{x ^{3}}$ ដូច្នេះសញ្ញាអាស្រ័យលើសញ្ញានៃ $\frac{x - 2}{x ^{3}}$ បញ្ច្រាស ។
តម្លៃបមារ ៖ នៅ $x = 2$ សញ្ញាប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ ដូច្នេះជាអតិបមាន ៖ $g (2) = \frac{8 - 4}{4} = 1$ ។

$x$	$- \infty$		$0$		$2$		$+ \infty$
$g^{'}$		$-$	$∥$	$+$	$0$	$-$
$g$	$0^{-}$	$↘$	$-\infty\ \	\ -\infty$	$↗$	$1$	$↘$	$0^{+}$

៣.

$g^{'} (x) = - 4 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$ ដូច្នេះ $g^{''} (x) = 8 x^{- 3} - 24 x^{- 4} = \frac{8 x - 24}{x ^{4}} = \frac{8 ( x - 3 )}{x ^{4}}$ ។
សញ្ញា ៖ $x^{4} > 0$ ជានិច្ច ដូច្នេះ $g^{''} (x) < 0$ ពេល $x < 3$ និង $g^{''} (x) > 0$ ពេល $x > 3$ ។ ដូច្នេះ $g^{''}$ ប្តូរសញ្ញានៅ $x = 3$ ។
ហេតុអ្វី ទាមទារការប្តូរសញ្ញា ។
គណនា $g (3) = \frac{12 - 4}{9} = \frac{8}{9}$ ។ ដូច្នេះចំណុចរបត់គឺ $I (3; \frac{8}{9})$ ។

៤. គណនាដោយជំនួសផ្ទាល់ ៖
ហេតុអ្វី តម្លៃទាំងនេះជាចំណុចយោងសម្រាប់ការគូសក្រាប តាម («តារាងតម្លៃលេខ») ។

៥. គូសអ័ក្សទាំងពីរជាអាស៊ីមតូត ។ សាខាឆ្វេង ( $x < 0$ ) ចុះពី $0^{-}$ ទៅ $- \infty$ ឆ្លងកាត់ $(- 4; - \frac{5}{4})$ និង $(- 2; - 3)$ ។ សាខាស្តាំ ( $x > 0$ ) មកពី $- \infty$ ឡើងដល់កំពូល $(2; 1)$ ឆ្លងកាត់ $(1; 0)$ រួចចុះទៅ $0^{+}$ ឆ្លងកាត់ $(4; \frac{3}{4})$ ។ ចំណុចរបត់ $(3; \frac{8}{9})$ ស្ថិតនៅលើសាខាស្តាំ ។

ចម្លើយ $+ \infty lim g = 0^{+}$ , $- \infty lim g = 0^{-}$ , $0 lim g = - \infty$ ; អាស៊ីមតូត $x = 0$ និង $y = 0$ ; អតិបមាន $1$ នៅ $x = 2$ ; ចំណុចរបត់ $I (3; \frac{8}{9})$ ; $g (- 4) = - \frac{5}{4}$ , $g (- 2) = - 3$ , $g (1) = 0$ , $g (4) = \frac{3}{4}$ ។

ផ្នែក 16

លំហាត់ទី ៤

៤. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $f (x) = \frac{x ^{2} + 6 x}{2 ( x ^{2} - 2 x + 2 )}$ មានក្រាប $C$ ក្នុងតម្រុយអ័រតូណរម៉ាល់ $(O, i, j)$ ។

១. បង្ហាញថា $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x \in R$ ។

២. គណនាលីមីតនៃ $f$ កាលណា $x$ ខិតទៅជិត $+ \infty$ , $- \infty$ រួចបង្ហាញថា $C$ មានអាស៊ីមតូតមួយ ដែលត្រូវបញ្ជាក់សមីការ ។

៣. គណនា $f^{'} (x)$ រួចសិក្សាសញ្ញា $f^{'} (x)$ ។ ទាញថា $f$ មានអតិបមានមួយ និងអប្បបមានមួយ រួចគណនាតម្លៃទាំងនេះ ។

៤. គូសតារាងអថិរភាពនៃ $f$ ។

៥. គណនាកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាង $C$ និងអ័ក្សទាំងពីរនៃតម្រុយ និងចំណុចប្រសព្វ $C$ និងអាស៊ីមតូតដេក ។

៦. គណនា $f (2)$ និង $f (3)$ ។ សង់ខ្សែកោង $C$ និងអាស៊ីមតូត ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

១. ភាគបែង $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in R$ ។ ដូច្នេះភាគបែងមិនដែលសូន្យ ហើយ $D_{f} = R$ ។
ហេតុអ្វី ការ៉េស្មើឬធំជាង $0$ ជានិច្ច ដូច្នេះ $(x - 1)^{2} + 1$ វិជ្ជមានជានិច្ច ។

២. ចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង $x^{2}$ ៖

$x \to \pm \infty lim f (x) = x \to \pm \infty lim \frac{1 + \frac{6}{x}}{2 ( 1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x ^{2}} )} = \frac{1}{2}$

ដូច្នេះ $C$ មានអាស៊ីមតូតដេកតែមួយ ៖ $y = \frac{1}{2}$ ។
ហេតុអ្វី ដឺក្រេស្មើគ្នា (២ និង ២) ដូច្នេះលីមីតជាផលចែកមេគុណនាំមុខ $\frac{1}{2}$ ។

៣.

សរសេរ $f = \frac{N}{2 Q}$ ជាមួយ $N = x^{2} + 6 x$ និង $Q = x^{2} - 2 x + 2$ ។ យើងមាន $N^{'} = 2 x + 6$ និង $Q^{'} = 2 x - 2$ ។
អនុវត្តច្បាប់ផលចែក ៖

$f^{'} (x) = \frac{N ^{'} Q - N Q ^{'}}{2 Q ^{2}} = \frac{- 8 x ^{2} + 4 x + 12}{2 ( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}} = \frac{- 4 ( 2 x ^{2} - x - 3 )}{2 ( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}} = \frac{- 2 ( 2 x - 3 ) ( x + 1 )}{( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}}$

ហេតុអ្វី $(2 x + 6) (x^{2} - 2 x + 2) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 8 x + 12$ និង $(x^{2} + 6 x) (2 x - 2) = 2 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x$ ; ដកគ្នាបាន $- 8 x^{2} + 4 x + 12$ រួចដាក់ជាផលគុណ $2 x^{2} - x - 3 = (2 x - 3) (x + 1)$ ។

សញ្ញា ៖ ភាគបែងវិជ្ជមានជានិច្ច ដូច្នេះសញ្ញានៃ $f^{'}$ គឺសញ្ញានៃ $- 2 (2 x - 3) (x + 1)$ គឺ $-$ ពេល $x < - 1$ , $+$ ពេល $- 1 < x < \frac{3}{2}$ និង $-$ ពេល $x > \frac{3}{2}$ ។
ដូច្នេះ ៖ អប្បបមាននៅ $x = - 1$ ៖

$f (- 1) = \frac{1 - 6}{2 ( 1 + 2 + 2 )} = \frac{- 5}{10} = - \frac{1}{2}$

អតិបមាននៅ $x = \frac{3}{2}$ ៖

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{4} + 9}{2 ( \frac{9}{4} - 3 + 2 )} = \frac{\frac{45}{4}}{2 \cdot \frac{5}{4}} = \frac{45}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{2}$

ហេតុអ្វី សញ្ញាប្តូរពី $-$ ទៅ $+$ នៅ $x = - 1$ (អប្បបមាន) និងពី $+$ ទៅ $-$ នៅ $x = \frac{3}{2}$ (អតិបមាន) ។

៤. តារាងអថិរភាព ៖

$x$	$- \infty$		$- 1$		$\frac{3}{2}$		$+ \infty$
$f^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f$	$\frac{1}{2}$	$↘$	$- \frac{1}{2}$	$↗$	$\frac{9}{2}$	$↘$	$\frac{1}{2}$

៥. នឹងអ័ក្ស $x^{'} x$ ៖ $y = 0 \Rightarrow x^{2} + 6 x = x (x + 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ ឬ $x = - 6$ ។ នឹងអ័ក្ស $y^{'} y$ ៖ $x = 0 \Rightarrow y = 0$ ។ ដូច្នេះចំណុច $O (0; 0)$ និង $(- 6; 0)$ ។ នឹងអាស៊ីមតូតដេក $y = \frac{1}{2}$ ៖

$\frac{x ^{2} + 6 x}{2 ( x ^{2} - 2 x + 2 )} = \frac{1}{2} \Rightarrow x^{2} + 6 x = x^{2} - 2 x + 2 \Rightarrow 8 x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$

ដូច្នេះចំណុច $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$ ។
ហេតុអ្វី ដើម្បីរកចំណុចប្រសព្វត្រូវដោះស្រាយសមីការពីរសមីការស្មើគ្នា ។

៦.

$f (2) = \frac{4 + 12}{2 ( 4 - 4 + 2 )} = \frac{16}{4} = 4, f (3) = \frac{9 + 18}{2 ( 9 - 6 + 2 )} = \frac{27}{10} = 2.7$

ការគូសក្រាប ៖ គូសអាស៊ីមតូត $y = \frac{1}{2}$ ជាមុន ។ សាខាខាងឆ្វេងចុះពី $\frac{1}{2}$ ដល់បាត $(- 1; - \frac{1}{2})$ រួចឡើងទៅ $\frac{1}{2}$ ឆ្លងកាត់ $(- 6; 0)$ ; សាខាខាងស្តាំឡើងដល់កំពូល $(\frac{3}{2}; \frac{9}{2})$ រួចចុះមក $\frac{1}{2}$ ឆ្លងកាត់ $(0; 0)$ , $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$ , $(2; 4)$ និង $(3; 2.7)$ ។

ចម្លើយ $D_{f} = R$ ; អាស៊ីមតូតដេក $y = \frac{1}{2}$ ; អប្បបមាន $- \frac{1}{2}$ នៅ $x = - 1$ ; អតិបមាន $\frac{9}{2}$ នៅ $x = \frac{3}{2}$ ; ចំណុចប្រសព្វ $O (0; 0)$ , $(- 6; 0)$ , $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$ ; $f (2) = 4$ , $f (3) = 2.7$ ។

ផ្នែក 17

លំហាត់ទី ៥

៥. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $y = f (x) = x + 2 + \frac{4}{x - 1}$ និងមានខ្សែកោង $C$ ។

១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនា និងសិក្សាសញ្ញាដេរីវេ $f^{'} (x)$ ។ បង្ហាញថា $f$ មានអតិបមានមួយ និងអប្បបមានមួយ ហើយគណនាតម្លៃនៃបមារទាំងនេះ ។

២. កំណត់សមីការនៃអាស៊ីមតូតឈរ និងទ្រេតនៃខ្សែកោង $C$ ។

៣. សិក្សាទីតាំងរវាងអាស៊ីមតូតទ្រេត និងខ្សែកោង $C$ ។

៤. សង់តារាងអថិរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់ខ្សែកោង $C$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

១.

ដែនកំណត់ ៖ $x - 1 \neq = 0 \Rightarrow D_{f} = R - {1}$ ។
ដេរីវេ ៖ $f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 4}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 3 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ ។
ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $4 (x - 1)^{- 1}$ គឺ $- 4 (x - 1)^{- 2}$ ; រួចប្រើ $A^{2} - 4 = (A - 2) (A + 2)$ ជាមួយ $A = x - 1$ ។
សញ្ញា ៖ $f^{'} > 0$ ពេល $x < - 1$ , $f^{'} < 0$ ពេល $- 1 < x < 3$ ( $x \neq = 1$ ) និង $f^{'} > 0$ ពេល $x > 3$ ។
តម្លៃបមារ ៖ នៅ $x = - 1$ (សញ្ញា $+ \to -$ ) អតិបមាន ៖ $f (- 1) = - 1 + 2 + \frac{4}{- 2} = 1 - 2 = - 1$ ។ នៅ $x = 3$ (សញ្ញា $- \to +$ ) អប្បបមាន ៖ $f (3) = 3 + 2 + \frac{4}{2} = 5 + 2 = 7$ ។

២. អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 1$ (ព្រោះ $\frac{4}{x - 1} \to \pm \infty$ ) ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = x + 2$ (ព្រោះ $\frac{4}{x - 1} \to 0$ ) ។

៣. គណនាផលដក ៖

$f (x) - (x + 2) = \frac{4}{x - 1}$

បើ $x > 1$ នោះ $\frac{4}{x - 1} > 0$ ដូច្នេះ $C$ នៅលើអាស៊ីមតូត ។ បើ $x < 1$ នោះ $\frac{4}{x - 1} < 0$ ដូច្នេះ $C$ នៅក្រោមអាស៊ីមតូត ។
ហេតុអ្វី សញ្ញានៃផលដកកំណត់ទីតាំង ។

៤. តារាងអថិរភាព ៖

$x$	$- \infty$		$- 1$		$1$		$3$		$+ \infty$
$f^{'}$		$+$	$0$	$-$	$∥$	$-$	$0$	$+$
$f$	$- \infty$	$↗$	$- 1$	$↘$	$-\infty\ \	\ +\infty$	$↘$	$7$	$↗$	$+ \infty$

ការគូសក្រាប ៖ គូសអាស៊ីមតូត $x = 1$ និង $y = x + 2$ ; សាខាឆ្វេងឡើងដល់កំពូល $(- 1; - 1)$ រួចចុះទៅ $- \infty$ ; សាខាស្តាំមកពី $+ \infty$ ចុះដល់បាត $(3; 7)$ រួចឡើងទៅ $+ \infty$ ។

ចម្លើយ $D_{f} = R - {1}$ ; អតិបមាន $- 1$ នៅ $x = - 1$ , អប្បបមាន $7$ នៅ $x = 3$ ; អាស៊ីមតូត $x = 1$ (ឈរ) និង $y = x + 2$ (ទ្រេត); $C$ នៅលើអាស៊ីមតូតពេល $x > 1$ និងនៅក្រោមពេល $x < 1$ ។

ផ្នែក 18

លំហាត់ទី ៦

៦. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $y = f (x) = \frac{- x ^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$ និងមានខ្សែកោង $C$ ។

១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនា និងសិក្សាសញ្ញានៃដេរីវេ $f^{'} (x)$ ។

២. រកសមីការនៃអាស៊ីមតូតឈរ និងទ្រេតនៃខ្សែកោង $C$ ។

៣. សង់តារាងអថិរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់ខ្សែកោង $C$ ។

៤. ដោះស្រាយវិសមីការ $\frac{- x ^{2} + 2 x + 1}{x - 1} > 1 - x$ ដោយប្រើខ្សែកោង $C$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

១.

ដែនកំណត់ ៖ $D_{f} = R - {1}$ ។
បំបែកភាគយក ៖ $(- x^{2} + 2 x + 1) = (x - 1) (- x + 1) + 2$ ព្រោះ $(x - 1) (- x + 1) = - x^{2} + 2 x - 1$ ។ ដូច្នេះ ៖

$f (x) = - x + 1 + \frac{2}{x - 1}$

ហេតុអ្វី ការចែកនេះធ្វើឱ្យការគណនាដេរីវេងាយ និងផ្តល់អាស៊ីមតូតទ្រេតភ្លាម ។

ដេរីវេ ៖ $f^{'} (x) = - 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}} = - \frac{( x - 1 ) ^{2} + 2}{( x - 1 ) ^{2}} < 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq = 1$ ។
ហេតុអ្វី $(x - 1)^{2} + 2 \geq 2 > 0$ ដូច្នេះប្រភាគវិជ្ជមាន ហើយនៅមានសញ្ញាដកនៅខាងមុខ ។
ដូច្នេះ $f$ ចុះជានិច្ចនៅលើ $] - \infty; 1 [$ និងនៅលើ $] 1; + \infty [$ ហើយគ្មានតម្លៃបមារ ។

២. អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 1$ (ព្រោះ $\frac{2}{x - 1} \to \pm \infty$ ) ។ អាស៊ីមតូតទ្រេត ៖ $y = - x + 1$ ។

៣. លីមីត ៖ $x \to - \infty lim f (x) = + \infty$ (ព្រោះ $- x \to + \infty$ ), $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ , $x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty$ , $x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$ ។

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$f^{'}$		$-$	$∥$	$-$
$f$	$+ \infty$	$↘$	$-\infty\ \	\ +\infty$	$↘$	$- \infty$

ការគូសក្រាប ៖ សាខាឆ្វេងចុះពី $+ \infty$ ទៅ $- \infty$ ; សាខាស្តាំចុះពី $+ \infty$ ទៅ $- \infty$ ; ទាំងពីរខិតចូលបន្ទាត់ $y = - x + 1$ ។

៤. សង្កេតថា $1 - x = - (x - 1) = - x + 1$ គឺសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេត ។ ដូច្នេះវិសមីការសមូហភាពនឹង « $C$ នៅលើអាស៊ីមតូត» ៖

$f (x) - (1 - x) = \frac{2}{x - 1} > 0 ⟺ x - 1 > 0 ⟺ x > 1$

ដូច្នេះសំណុំដំណោះស្រាយ ៖ $S =] 1; + \infty [$ ។
ហេតុអ្វី ភាគយក $2 > 0$ ដូច្នេះសញ្ញានៃប្រភាគគឺសញ្ញានៃ $x - 1$ ។

ចម្លើយ $D_{f} = R - {1}$ ; $f^{'} < 0$ ជានិច្ច; អាស៊ីមតូត $x = 1$ និង $y = - x + 1$ ; $S =] 1; + \infty [$ ។

ផ្នែក 19

លំហាត់ទី ៧

៧. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $y = f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{( x + 2 ) ^{2}}$ និងមានខ្សែកោង $C$ ។

១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងដេកនៃខ្សែកោង $C$ ។

២. គណនា និងសិក្សាសញ្ញាដេរីវេ $f^{'} (x)$ ។

៣. សង់តារាងអថិរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់ខ្សែកោង $C$ ។

៤. រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យសមីការ $(a - 1) x^{2} + 4 a x + 4 a + 1 = 0$ មានឫស $x_{1}; x_{2}$ ដែល $- 1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 1$ ដោយប្រើខ្សែកោង $C$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

១. $D_{f} = R - {- 2}$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ នៅ $x = - 2$ ភាគយក $= 4 - 1 = 3 \neq = 0$ ដូច្នេះ $x = - 2$ ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ ដឺក្រេស្មើគ្នា ដូច្នេះ $y = \frac{1}{1} = 1$ ។
ហេតុអ្វី ភាគបែង $(x + 2)^{2} \to 0^{+}$ ដូច្នេះ $f \to + \infty$ ទាំងសងខាង ។

២.

អនុវត្តច្បាប់ផលចែក ៖

$f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 2 ) ^{2} - ( x ^{2} - 1 ) \cdot 2 ( x + 2 )}{( x + 2 ) ^{4}} = \frac{2 [ x ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 1 ) ]}{( x + 2 ) ^{3}} = \frac{2 ( 2 x + 1 )}{( x + 2 ) ^{3}} = \frac{4 x + 2}{( x + 2 ) ^{3}}$

ហេតុអ្វី ដាក់ $2 (x + 2)$ ជាកត្តារួម រួចសម្រួល $x (x + 2) - (x^{2} - 1) = 2 x + 1$ ។

សញ្ញា ៖ $f^{'} (x) = 0$ នៅ $x = - \frac{1}{2}$ ។ បើ $x < - 2$ នោះ $4 x + 2 < 0$ និង $(x + 2)^{3} < 0$ ដូច្នេះ $f^{'} > 0$ ; បើ $- 2 < x < - \frac{1}{2}$ នោះ $f^{'} < 0$ ; បើ $x > - \frac{1}{2}$ នោះ $f^{'} > 0$ ។
ដូច្នេះ $f$ មានអប្បបមាននៅ $x = - \frac{1}{2}$ ៖

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 1}{( \frac{3}{2} ) ^{2}} = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{9}{4}} = - \frac{1}{3}$

៣. លីមីត ៖ $x \to - 2 lim f (x) = + \infty$ , $x \to \pm \infty lim f (x) = 1$ ។

$x$	$- \infty$		$- 2$		$- \frac{1}{2}$		$+ \infty$
$f^{'}$		$+$	$∥$	$-$	$0$	$+$
$f$	$1$	$↗$	$+\infty\ \	\ +\infty$	$↘$	$- \frac{1}{3}$	$↗$	$1$

ការគូសក្រាប ៖ អាស៊ីមតូត $x = - 2$ និង $y = 1$ ។ សាខាឆ្វេងឡើងពី $1$ ទៅ $+ \infty$ ។ សាខាស្តាំមកពី $+ \infty$ ចុះដល់បាត $(- \frac{1}{2}; - \frac{1}{3})$ រួចឡើងទៅ $1$ ។ ក្រាបកាត់អ័ក្ស $x^{'} x$ នៅ $x = - 1$ និង $x = 1$ (ព្រោះ $x^{2} - 1 = 0$ ) និងអ័ក្ស $y^{'} y$ នៅ $y = - \frac{1}{4}$ ។

៤.

សង្កេតថាសមីការសមូហភាពនឹង $f (x) = a$ ៖

$f (x) = a ⟺ x^{2} - 1 = a (x + 2)^{2} ⟺ (1 - a) x^{2} - 4 a x - (1 + 4 a) = 0 ⟺ (a - 1) x^{2} + 4 a x + 4 a + 1 = 0$

ហេតុអ្វី គុណភាគីទាំងពីរនឹង $(x + 2)^{2}$ រួចគុណនឹង $- 1$ ។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការគឺជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $C$ និងបន្ទាត់ដេក $y = a$ ។

សិក្សាខ្សែកោងនៅលើ $[- 1; 1]$ ៖ $f (- 1) = 0$ , $f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3}$ (អប្បបមាន) និង $f (1) = 0$ ។ ដូច្នេះនៅលើ $[- 1; 1]$ ក្រាបចុះពី $0$ ដល់ $- \frac{1}{3}$ រួចឡើងត្រឡប់មក $0$ ។
បន្ទាត់ $y = a$ កាត់ធ្នូនេះពីរដងកាលណា $- \frac{1}{3} < a \leq 0$ ។ នៅ $a = - \frac{1}{3}$ បន្ទាត់ប៉ះក្រាប (ឫសឌុប $x = - \frac{1}{2}$ ) ដូច្នេះឫសមិនផ្សេងគ្នាទេ ។ នៅ $a = 0$ ឫសគឺ $x = - 1$ និង $x = 1$ ដែលផ្សេងគ្នា និងស្ថិតក្នុង $[- 1; 1]$ ✓ ។

ចម្លើយ $a \in] - \frac{1}{3}; 0]$ ។

ផ្នែក 20

លំហាត់ទី ៨

៨. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $y = f (x) = \frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 ( x - 1 ) ^{2}}$ និងមានខ្សែកោង $C$ ។

១. រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងដេកនៃខ្សែកោង $C$ ។

២. គណនាដេរីវេ $f^{'} (x)$ ហើយសង់តារាងអថិរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។

៣. រកសមីការនៃបន្ទាត់ $L$ ដែលប៉ះខ្សែកោង $C$ ត្រង់គល់កូអរដោនេ $O$ ។ សង់បន្ទាត់ $L$ និងខ្សែកោង $C$ ។

៤. រកតម្លៃ $k$ ដោយប្រើខ្សែកោង $C$ ដើម្បីឱ្យសមីការ $3 x^{2} - 4 x - 2 k (x - 1)^{2} = 0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

១. $D_{f} = R - {1}$ ។ អាស៊ីមតូតឈរ ៖ $x = 1$ (ភាគយកនៅ $x = 1$ គឺ $3 - 4 = - 1 \neq = 0$ ) ។ អាស៊ីមតូតដេក ៖ ដឺក្រេស្មើគ្នា ដូច្នេះ $y = \frac{3}{2}$ ។

២.

ដេរីវេ ៖ សរសេរ $f = \frac{N}{2 ( x - 1 ) ^{2}}$ ជាមួយ $N = 3 x^{2} - 4 x$ និង $N^{'} = 6 x - 4$ ៖

$f^{'} (x) = \frac{N ^{'} ( x - 1 ) ^{2} - N \cdot 2 ( x - 1 )}{2 ( x - 1 ) ^{4}} = \frac{N ^{'} ( x - 1 ) - 2 N}{2 ( x - 1 ) ^{3}} = \frac{- 2 x + 4}{2 ( x - 1 ) ^{3}} = \frac{2 - x}{( x - 1 ) ^{3}}$

ហេតុអ្វី $(6 x - 4) (x - 1) = 6 x^{2} - 10 x + 4$ និង $2 N = 6 x^{2} - 8 x$ ; ដកគ្នាបាន $- 2 x + 4$ ។

សញ្ញា ៖ $f^{'} (x) = 0$ នៅ $x = 2$ ។ បើ $x < 1$ នោះ $2 - x > 0$ និង $(x - 1)^{3} < 0$ ដូច្នេះ $f^{'} < 0$ ; បើ $1 < x < 2$ នោះ $f^{'} > 0$ ; បើ $x > 2$ នោះ $f^{'} < 0$ ។
តម្លៃបមារ ៖ នៅ $x = 2$ អតិបមាន $f (2) = \frac{12 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ ។ លីមីត ៖ $f (x) \to - \infty$ ពេល $x \to 1$ (ទាំងសងខាង) និង $f (x) \to \frac{3}{2}$ ពេល $x \to \pm \infty$ ។
តារាងអថិរភាព ៖

$x$	$- \infty$		$1$		$2$		$+ \infty$
$f^{'}$		$-$	$∥$	$+$	$0$	$-$
$f$	$\frac{3}{2}$	$↘$	$-\infty\ \	\ -\infty$	$↗$	$2$	$↘$	$\frac{3}{2}$

៣. $f (0) = \frac{0}{2} = 0$ ដូច្នេះក្រាបកាត់តាម $O$ ។ មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ ៖

$f^{'} (0) = \frac{2 - 0}{( 0 - 1 ) ^{3}} = \frac{2}{- 1} = - 2$

ដូច្នេះ $L : y = - 2 x$ ។
ហេតុអ្វី ទម្រង់ចំណុច-មេគុណ $y - f (0) = f^{'} (0) (x - 0)$ ។

៤.

សមីការសមូហភាពនឹង $f (x) = k$ ៖

$3 x^{2} - 4 x - 2 k (x - 1)^{2} = 0 ⟺ \frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 ( x - 1 ) ^{2}} = k ⟺ f (x) = k$

ហេតុអ្វី ចែកនឹង $2 (x - 1)^{2} \neq = 0$ ព្រោះ $x = 1$ មិនមែនឫស ( $- 1 \neq = 0$ ) ។ ដូច្នេះចំនួនឫសស្មើនឹងចំនួនចំណុចប្រសព្វរវាង $C$ និងបន្ទាត់ $y = k$ ។

អានតារាង ៖ នៅលើ $] - \infty; 1 [$ អនុគមន៍ចុះពី $\frac{3}{2}$ ដល់ $- \infty$ ដូច្នេះវាឆ្លង់គ្រប់តម្លៃ $k < \frac{3}{2}$ ម្តង ។ នៅលើ $] 1; 2 [$ វាឡើងពី $- \infty$ ដល់ $2$ (ម្តងទៀតសម្រាប់ $k < 2$ ) ។ នៅលើ $] 2; + \infty [$ វាចុះពី $2$ ដល់ $\frac{3}{2}$ (ម្តងសម្រាប់ $\frac{3}{2} < k < 2$ ) ។
រាប់ចំនួនឫស ៖

បើ $k < \frac{3}{2}$ ៖ ឫស ២ (មួយនៅឆ្វេង $x < 1$ មួយនៅចន្លោះ $1 < x < 2$ ) ✓
បើ $k = \frac{3}{2}$ ៖ សមីការក្លាយជា $2 x - 3 = 0$ ដូច្នេះឫសតែមួយ $x = \frac{3}{2}$ ✗
បើ $\frac{3}{2} < k < 2$ ៖ ឫស ២ (នៅចន្លោះ $1 < x < 2$ និង $x > 2$ ) ✓
បើ $k = 2$ ៖ ឫសឌុប $x = 2$ ✗
បើ $k > 2$ ៖ គ្មានឫស ✗

ហេតុអ្វី ចំនួនចំណុចប្រសព្វស្មើនឹងចំនួនដងដែលបន្ទាត់ដេកកាត់សាខានីមួយៗ ។

ចម្លើយ $L : y = - 2 x$ ; សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នាកាលណា $k < \frac{3}{2}$ ឬ $\frac{3}{2} < k < 2$ ។

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

១. ប្រកាសថាឫសនៃភាគបែងជាអាស៊ីមតូតឈរ ដោយមិនពិនិត្យភាគយក ។ ខុស ៖ « $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ មានអាស៊ីមតូតឈរ $x = 2$ » ។ ត្រូវ ៖ សម្រួលបាន $f (x) = x + 2$ ចំពោះ $x \neq = 2$ ដូច្នេះ $x = 2$ ជារន្ធ មិនមែនអាស៊ីមតូតទេ ។ ត្រូវពិនិត្យភាគយកមុនជានិច្ច ។

1. Calling a zero of the denominator an asymptote without checking the numerator. Wrong: " $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ has the vertical asymptote $x = 2$ ." Right: it simplifies to $f (x) = x + 2$ for $x \neq = 2$ , so $x = 2$ is a hole, not an asymptote. Always check the numerator first.

២. ភ្លេចថា $x^{2} = ∣ x ∣$ មិនមែន $x$ ។ ខុស ៖ $\frac{x}{x ^{2} + 1} \to 1$ ទាំងពីរទិស ។ ត្រូវ ៖ ពេល $x \to - \infty$ ភាគបែងជា $∣ x ∣ = - x$ ដូច្នេះលីមីតគឺ $- 1$ ។ ដូច្នេះមានអាស៊ីមតូតដេកពីរ ៖ $y = 1$ និង $y = - 1$ ។

2. Forgetting that $x^{2} = ∣ x ∣$ , not $x$ . Wrong: $\frac{x}{x ^{2} + 1} \to 1$ in both directions. Right: as $x \to - \infty$ the denominator is $∣ x ∣ = - x$ , so the limit is $- 1$ . There are two horizontal asymptotes: $y = 1$ and $y = - 1$ .

៣. គិតថាគ្មានអាស៊ីមតូតដេក ព្រោះ « $x$ នៅក្រោមធំជាង» ។ ខុស ៖ $f (x) = \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} - 9}$ «គ្មានអាស៊ីមតូតដេក» ។ ត្រូវ ៖ ដឺក្រេស្មើគ្នា ដូច្នេះអាស៊ីមតូតដេកគឺ $y = \frac{4}{1} = 4$ ។ គ្មានអាស៊ីមតូតដេកតែនៅពេលដឺក្រេភាគយកធំជាង ។

3. Believing there is no horizontal asymptote because "the bottom is bigger". Wrong: $f (x) = \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} - 9}$ "has no horizontal asymptote". Right: the degrees are equal, so the asymptote is $y = \frac{4}{1} = 4$ . You lose the horizontal asymptote only when the numerator's degree is larger.

៤. គិតថាក្រាបមិនអាចកាត់អាស៊ីមតូត ។ ខុស ៖ «ក្រាបកាត់ $y = 1$ ដូច្នេះ $y = 1$ មិនមែនអាស៊ីមតូត» ។ ត្រូវ ៖ អាស៊ីមតូតជាបន្ទាត់ដែលក្រាបខិតចូលនៅអានន្ត ។ ការកាត់នៅចំណុចជាក់លាក់មួយមិនរំលាយអាស៊ីមតូតទេ ។ ឧទាហរណ៍ ៖ $y = \frac{x ^{2} + 6 x}{2 ( x ^{2} - 2 x + 2 )}$ មានអាស៊ីមតូតដេក $y = \frac{1}{2}$ តែក្រាបកាត់បន្ទាត់នោះនៅ $x = \frac{1}{4}$ ។

4. Believing the graph can never cross an asymptote. Wrong: "the graph crosses $y = 1$ , so $y = 1$ is not an asymptote." Right: an asymptote is a line the graph approaches at infinity. Crossing it at one specific point does not destroy it (for instance $y = \frac{x ^{2} + 6 x}{2 ( x ^{2} - 2 x + 2 )}$ crosses $y = \frac{1}{2}$ at $x = \frac{1}{4}$ ).

៥. រកឃើញ $f^{'} (x) = 0$ រួចសន្និដ្ឋានថាជាតម្លៃបមារ ដោយមិនពិនិត្យសញ្ញា ។ ខុស ៖ $f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1}$ មាន $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} ( x ^{2} - 3 )}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}$ ; ដោយ $f^{'} (0) = 0$ គេសន្និដ្ឋានថា $f (0) = 0$ ជាតម្លៃបមារ ។ ត្រូវ ៖ $x^{2} \geq 0$ ដូច្នេះ $f^{'}$ មិនប្តូរសញ្ញានៅ $0$ ទេ (អវិជ្ជមានទាំងសងខាង) ។ ដូច្នេះ $x = 0$ មិនមែនតម្លៃបមារ ។ ត្រូវពិនិត្យសញ្ញាជានិច្ច ។

5. Finding $f^{'} (x) = 0$ and concluding an extremum without checking the sign. Wrong: $f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1}$ has $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} ( x ^{2} - 3 )}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}$ ; since $f^{'} (0) = 0$ , students conclude that $f (0) = 0$ is an extremum. Right: $x^{2} \geq 0$ , so $f^{'}$ does not change sign at $0$ (it is negative on both sides). So $x = 0$ is not an extremum. Always check the sign.

៦. ច្រឡំចំណុចរបត់ នឹងតម្លៃបមារ ។ ខុស ៖ « $I (2; 1)$ ជាចំណុចរបត់ ដូច្នេះវាជាអតិបមាន» ។ ត្រូវ ៖ ចំណុចរបត់និយាយអំពីភាពប៉ោង/ផត (ដេរីវេទី២) ចំណែកតម្លៃបមារនិយាយអំពីទិស (ដេរីវេទី១) ។ ជាធម្មតាចំណុចរបត់មិនមែនជាតម្លៃបមារទេ ។

6. Confusing a point of inflection with an extremum. Wrong: " $I (2; 1)$ is a point of inflection, therefore it is a maximum." Right: a point of inflection is about bending (second derivative); an extremum is about direction (first derivative). Usually a point of inflection is not an extremum.

៧. សរសេរចន្លោះបិទនៅត្រង់អាស៊ីមតូតឈរ ឬបញ្ចូលតម្លៃហាមឃាត់ក្នុងសំណុំដំណោះស្រាយ ។ ខុស ៖ ដំណោះស្រាយ $[- 3; - 1]$ ពេល $- 1$ ជាអាស៊ីមតូតឈរ ។ ត្រូវ ៖ ត្រូវសរសេរ $[- 3; - 1 [$ ព្រោះ $- 1$ មិននៅក្នុងដែនកំណត់ ។ ក្នុងតារាងអថិរភាព ត្រូវដាក់សញ្ញា $∥$ នៅត្រង់តម្លៃហាមឃាត់ ។

7. Writing a closed interval at a vertical asymptote, or including a forbidden value in a solution set. Wrong: the solution set $[- 3; - 1]$ when $- 1$ is a vertical asymptote. Right: write $[- 3; - 1 [$ , because $- 1$ is not in the domain. In the variation table, mark the excluded value with $∥$ .

៨. ខុសសញ្ញាពេលភាគបែងមានមេគុណនាំមុខអវិជ្ជមាន ។ ខុស ៖ $\frac{x ^{2} + 3 x}{1 - 2 x}$ «មានអាស៊ីមតូតទ្រេត $y = \frac{x}{2} + \frac{7}{4}$ » ។ ត្រូវ ៖ ចែកបាន $f (x) = - \frac{x}{2} - \frac{7}{4} + \frac{\frac{7}{4}}{1 - 2 x}$ ដូច្នេះអាស៊ីមតូតគឺ $y = - \frac{x}{2} - \frac{7}{4}$ (ចុះទៅស្តាំ) ។

8. Getting the sign wrong when the denominator has a negative leading coefficient. Wrong: $\frac{x ^{2} + 3 x}{1 - 2 x}$ "has the oblique asymptote $y = \frac{x}{2} + \frac{7}{4}$ ". Right: division gives $f (x) = - \frac{x}{2} - \frac{7}{4} + \frac{\frac{7}{4}}{1 - 2 x}$ , so the asymptote is $y = - \frac{x}{2} - \frac{7}{4}$ (sloping downwards to the right).

៩. ប្រើរូបមន្ត $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ជាមួយ $a$ ខុស ។ ខុស ៖ ចំពោះ $I (1; 4)$ គេសរសេរ $f (1 - x) + f (x) = 8$ ។ ត្រូវ ៖ $a$ ជាអាប់ស៊ីសនៃ $I$ ដូច្នេះ $2 a = 2$ ហើយត្រូវសរសេរ $f (2 - x) + f (x) = 8$ ។

9. Using the formula $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ with the wrong $a$ . Wrong: for $I (1; 4)$ students write $f (1 - x) + f (x) = 8$ . Right: $a$ is the abscissa of $I$ , so $2 a = 2$ and the correct identity is $f (2 - x) + f (x) = 8$ .

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

សិក្សាអនុគមន៍សនិទាន

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

Rational-function graph analysis

គំនិតសំខាន់

4.1 ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍សនិទាន

4.2 អាស៊ីមតូត

4.3 ចំណុចរបត់នៃខ្សែកោង

4.4 ផ្នត់ឆ្លុះនៃខ្សែកោង

4.5 អថិរភាព និងក្រាបនៃអនុគមន៍

4.6 អ្វីដែលត្រូវដាក់នៅលើក្រាប

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ឧទាហរណ៍ទី ៥

ក. $y = \frac{x ^{2} - x + 9}{x - 1}$

ខ. $y = \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 1}$

គ. $y = \frac{- x ^{2} - 2 x + 3}{x ^{2} + 3 x + 2}$

លំហាត់ទី ១

លំហាត់ទី ២

លំហាត់ទី ៣

លំហាត់ទី ៤

លំហាត់ទី ៥

លំហាត់ទី ៦

លំហាត់ទី ៧

លំហាត់ទី ៨

Rational-function graph analysis

គំនិតសំខាន់

4.1 ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍សនិទាន

4.2 អាស៊ីមតូត

4.3 ចំណុចរបត់នៃខ្សែកោង

4.4 ផ្នត់ឆ្លុះនៃខ្សែកោង

4.5 អថិរភាព និងក្រាបនៃអនុគមន៍

4.6 អ្វីដែលត្រូវដាក់នៅលើក្រាប

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ឧទាហរណ៍ទី ៥

ក. y=x−1x2−x+9​

ខ. y=x−1x2−x−2​

គ. y=x2+3x+2−x2−2x+3​

លំហាត់ទី ១

លំហាត់ទី ២

លំហាត់ទី ៣

លំហាត់ទី ៤

លំហាត់ទី ៥

លំហាត់ទី ៦

លំហាត់ទី ៧

លំហាត់ទី ៨

ក. $y = \frac{x ^{2} - x + 9}{x - 1}$

ខ. $y = \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 1}$

គ. $y = \frac{- x ^{2} - 2 x + 3}{x ^{2} + 3 x + 2}$