អនុវត្តន៍នៃដេរីវេ

ជំពូកទី 5 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

150 min8 គោលដៅសិក្សា132 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

ប្រើដេរីវេជាឧបករណ៍៖ រកចំណុចសំខាន់ៗជាមុន បន្ទាប់មកបកស្រាយសញ្ញា និងបរិបទរបស់វា។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាហ្វនៅចំណុចមួយ និងប្រើលក្ខខណ្ឌស្រប/កែង ។
រកចំណុចប៉ះនៅពេលគេឱ្យតែមេគុណប្រាប់ទិស (ឬឱ្យបន្ទាត់ប៉ះស្របនឹងបន្ទាត់មួយទៀត) ។
កំណត់ចំនួនពិតដែលនៅក្នុងអនុគមន៍ ដើម្បីឱ្យក្រាហ្វប៉ះនឹងបន្ទាត់ណាមួយ ឬកាត់តាមចំណុចណាមួយ ។
ប្រើដេរីវេទី១ និងដេរីវេទី២ ដើម្បីរកអតិបរមា និងអប្បបរមា និងធ្វើតារាងសញ្ញា ។
ដោះស្រាយចំណោទបរមា (optimisation)៖ ជ្រើសអថេរ សរសេរអនុគមន៍តែមួយអថេរ រកដេរីវេ រកចំណុច រួចសន្និដ្ឋាន ។
គណនាតម្លៃប្រហែលដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល ។
បង្ហាញវិសមភាពដោយទ្រឹស្តីបទវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ ។
ប្រើទ្រឹស្តីបទរូល និងទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម ដើម្បីរកចំនុច $c$ ដែល $f^{'} (c) = 0$ ឬ $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ ។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 02

Tangent lines, variation, and extrema

Use derivative signs and point-slope form to solve multi-step curve questions and justify extrema.

ឧទាហរណ៍ 01Find the tangent to y=x³−3x at x=2.

1f(2)=2 and f′(x)=3x²−3, so the slope is 9.
2Use y−2=9(x−2).

ចម្លើយy=9x−16

ឧទាហរណ៍ 02Find where y=x²−4x+1 has a horizontal tangent.

1Set f′(x)=2x−4=0, giving x=2.
2Evaluate f(2)=−3.

ចម្លើយAt (2,−3); tangent y=−3

ឧទាហរណ៍ 03Find the normal line to y=x² at x=−1.

1The point is (−1,1) and the tangent slope is −2.
2The normal slope is 1/2.

ចម្លើយy−1=(1/2)(x+1)

ឧទាហរណ៍ 04Find critical points of f(x)=x³−6x²+9x and classify them.

1f′=3(x−1)(x−3); test signs on the three intervals.
2The sign changes +→− at 1 and −→+ at 3.

ចម្លើយLocal maximum (1,4); local minimum (3,0)

ឧទាហរណ៍ 05Find the absolute extrema of f(x)=x²−4x+1 on [0,5].

1The only interior critical point is x=2.
2Compare f(0)=1, f(2)=−3, and f(5)=6.

ចម្លើយAbsolute minimum −3 at x=2; maximum 6 at x=5

ឧទាហរណ៍ 06Find the intervals of increase and decrease for f(x)=x⁴−4x².

1Differentiate: f′(x)=4x(x²−2)=4x(x−√2)(x+√2). The critical values are −√2, 0, and √2.
2Check the sign of f′ on each interval: it is negative on (−∞,−√2), positive on (−√2,0), negative on (0,√2), and positive on (√2,∞).

ចម្លើយIncreasing on (−√2,0) and (√2,∞); decreasing on (−∞,−√2) and (0,√2).

ឧទាហរណ៍ 07Find tangent lines to y=x² that are parallel to y=6x+1.

1Set derivative 2x equal to 6, so x=3.
2The point is (3,9); form its tangent.

ចម្លើយy=6x−9

ឧទាហរណ៍ 08A rectangle has perimeter 40. Find the dimensions with greatest area.

1Let sides be x and 20−x; A=x(20−x).
2A′=20−2x=0 gives x=10; the quadratic opens downward.

ចម្លើយ10 by 10; maximum area 100

ឧទាហរណ៍ 09For f(x)=x³−3x, where is the graph concave up?

1f″=6x.
2Concavity is up where f″>0.

ចម្លើយ(0,∞); inflection at (0,0)

ឧទាហរណ៍ 10A tangent to y=x² at x=a passes through (0,−1). Find a.

1The tangent is y=2ax−a².
2Set x=0,y=−1: −a²=−1.

ចម្លើយa=±1; tangent lines y=2x−1 and y=−2x−1

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

គំនិត១ — ដេរីវេជាជម្រាល ។ នៅចំណុចមួយ ដេរីវេ $f^{'} (x_{o})$ គឺជាលេខមួយ ។ លេខនោះប្រាប់ថា បើយើងឈរនៅចំណុចនោះ ហើយដើរទៅមុខបន្តិច តើក្រាហ្វឡើងឬចុះ ។ បើ $f^{'} (x_{o}) > 0$ ក្រាហ្វឡើង ។ បើ $f^{'} (x_{o}) < 0$ ក្រាហ្វចុះ ។ បើ $f^{'} (x_{o}) = 0$ ក្រាហ្វរាបស្មើ (បន្ទាត់ប៉ះដេក) ។

គំនិត២ — បន្ទាត់ប៉ះជាការប៉ាន់ស្មានល្អបំផុត ។ ជិតចំណុចប៉ះ បន្ទាត់ប៉ះនៅជិតក្រាហ្វជាងបន្ទាត់ណាផ្សេង ។ ដូច្នេះសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $y = f^{'} (x_{o}) (x - x_{o}) + f (x_{o})$ គឺជាការប៉ាន់ស្មានលីនេអ៊ែរនៃ $f$ ជិត $x_{o}$ ។

គំនិត៣ — បរមាកើតនៅពេលសញ្ញាប្តូរ ។ ដើម្បីរកកំពូលភ្នំ ឬបាតជ្រលង យើងរកកន្លែងដែល $f^{'}$ ប្តូរសញ្ញា ។ បើ $f^{'}$ ប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ នោះជាអតិបរមា (កំពូល) ។ បើប្តូរពី $-$ ទៅ $+$ នោះជាអប្បបរមា (បាត) ។ បើ $f^{'}$ មិនប្តូរសញ្ញា (ដូច $x^{3}$ នៅ $0$ ) នោះមិនមែនបរមាទេ ។

គំនិត៤ — ចំណោទបរមាជាការបកប្រែភាសា ។ ចំណោទបរមាតែងតែមានបីជំហានដូចគ្នា៖ (ក) សរសេរបរិមាណត្រូវរកជាអនុគមន៍នៃអថេរមួយ (ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌដែលឱ្យ) (ខ) រកដេរីវេ រួចដោះស្រាយ $= 0$ (គ) ពិនិត្យថាជាអតិបរមាឬអប្បបរមា ។ ជំហាន (ក) ជាជំហានសំខាន់បំផុត ។

គំនិត៥ — ឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាការប៉ាន់ស្មានតូច ។ បើ $x$ កើនបន្តិច $Δ x$ នោះ $f$ កើនប្រហែល $f^{'} (x) Δ x$ ។ នេះជាមូលដ្ឋាននៃការគណនា $3.02$ ឬ $tan 4 6^{\circ}$ ដោយដៃ ។

គំនិត៦ — ទ្រឹស្តីបទទាំងបីជាការធានាអត្ថិភាព ។ ទ្រឹស្តីបទរូលធានាថាមានចំនុចមួយដែលបន្ទាត់ប៉ះដេក ។ ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមធានាថាមានចំនុចមួយដែលបន្ទាត់ប៉ះស្របនឹងខ្សែកាត់ ។ ទាំងពីរនិយាយអំពីការមាន មិនមែនអំពីការគណនា ។

ផ្នែក 02

4.1 មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ

ពាក្យ មេគុណប្រាប់ទិស (ហៅថា ជម្រាល) នៃបន្ទាត់មួយ គឺជាលេខដែលប្រាប់ថាបន្ទាត់នោះឱនឡើងប៉ុន្មាន ។ បើបន្ទាត់ឡើងទៅស្តាំ មេគុណជាចំនួនបូក ។ បើចុះទៅស្តាំ មេគុណជាចំនួនដក ។ បើដេក មេគុណស្មើ $0$ ។

បន្ទាត់ប៉ះ នឹងក្រាហ្វតាងអនុគមន៍ $f$ នៅត្រង់ $x_{o}$ គឺជាបន្ទាត់ដែលប៉ះក្រាហ្វនៅចំណុច $(x_{o}, f (x_{o}))$ ហើយមានទិសដូចជម្រាលក្រាហ្វនៅចំណុចនោះ ។ ដូច្នេះ មេគុណប្រាប់ទិសរបស់បន្ទាត់ប៉ះ គឺជាដេរីវេ នៃ $f$ នៅត្រង់ $x_{o}$ ។

មានន័យថា យើងមិនចាំបាច់គូសក្រាហ្វដើម្បីដឹងជម្រាលបន្ទាត់ប៉ះទេ ។ គ្រាន់តែគណនាដេរីវេ រួចដាក់តម្លៃ $x_{o}$ ចូល ។ លីមីតនៅក្នុងរូបមន្តគឺជានិយមន័យដើមនៃដេរីវេ ។

FORMULA $m = x \to x_{o} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{o} )}{x - x _{o}} = f^{'} (x_{o})$

ផ្នែក 03

4.2 សមីការបន្ទាត់ប៉ះ

ដោយសារយើងដឹងមេគុណ $m = f^{'} (x_{o})$ និងដឹងថាបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច $(x_{o}, f (x_{o}))$ យើងប្រើទម្រង់ចំណុច-មេគុណ ៖ $y - f (x_{o}) = m (x - x_{o})$ ។ បន្ទាប់មកដោះ $y$ ។

ចំណុចសំខាន់៖ ត្រូវប្រើ $x - x_{o}$ មិនមែន $x$ ទេ ។ បើ $x_{o} \neq = 0$ ការសរសេរ $y = f^{'} (x_{o}) x + f (x_{o})$ គឺខុស ។

FORMULAy=f'(x_o)(x-x_o)+f(x_o)

ផ្នែក 04

4.3 មេគុណបន្ទាត់ពីរ៖ ស្រប និងកែង

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ $d_{1} : y = a x + b$ និង $d_{2} : y = a^{'} x + b^{'}$ ។

បើ $d_{1}$ ស្របនឹង $d_{2}$ នោះពួកវាមានទិសដូចគ្នា ៖ $a = a^{'}$ ។
បើ $d_{1}$ កែងនឹង $d_{2}$ (ហៅថា ខ្នង) នោះផលគុណមេគុណស្មើ $- 1$ ៖ $a \times a^{'} = - 1$ ។

ពាក្យ ស្រប មានន័យថាបន្ទាត់ទាំងពីរមិនដែលជួបគ្នា ។ ពាក្យ កែង មានន័យថាជួបគ្នាបង្កើតបានមុំ $9 0^{\circ}$ ។

ចំណាំ៖ បន្ទាត់ឈរ (ស្របនឹងអ័ក្ស $y$ ) គ្មានមេគុណទេ ដូច្នេះវាមិនចូលក្នុងច្បាប់នេះឡើយ ។

FORMULA $d_{1} : y = a x + b; d_{2} : y = a^{'} x + b^{'}$ $d_{1} ∥ d_{2} ⟺ a = a^{'}; d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ a \times a^{'} = - 1$

ផ្នែក 05

4.4 ដេរីវេទី១ និងបរមា

អនុគមន៍ $f$ មាន អតិបរមា ត្រង់ $x_{o}$ កាលណាដេរីវេទី១ ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក ៖

$f^{'} (x) > 0$ ចំពោះ $x < x_{o}$ (ក្រាហ្វឡើងមកដល់កំពូល)
$f^{'} (x) = 0$ ចំពោះ $x = x_{o}$ (រាបស្មើ)
$f^{'} (x) < 0$ ចំពោះ $x > x_{o}$ (ក្រាហ្វចុះពីកំពូល)

អនុគមន៍ $f$ មាន អប្បបរមា ត្រង់ $x_{o}$ កាលណាដេរីវេទី១ ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ៖

$f^{'} (x) < 0$ ចំពោះ $x < x_{o}$ (ក្រាហ្វចុះមកដល់បាត)
$f^{'} (x) = 0$ ចំពោះ $x = x_{o}$ (រាបស្មើ)
$f^{'} (x) > 0$ ចំពោះ $x > x_{o}$ (ក្រាហ្វឡើងពីបាត)

ពាក្យ អតិបរមា មានន័យថាតម្លៃធំបំផុតក្នុងស្រុក (នៅជិតៗនោះ) ។ ពាក្យ អប្បបរមា មានន័យថាតម្លៃតូចបំផុតក្នុងស្រុក ។ ទាំងពីរហៅថា បរមា ។

តារាងសញ្ញា ជាតារាងខ្លីៗដែលសរសេរសញ្ញានៃ $f^{'}$ នៅសងខាង $x_{o}$ ។ គេគូសបន្ទាត់ឈរនៅ $x_{o}$ ហើយសរសេរ $\emptyset$ (សូន្យឆូត) ដើម្បីចងចាំថា $f^{'} (x_{o}) = 0$ ។

FORMULA $⎩ ⎨ ⎧ f^{'} (x) > 0 f^{'} (x) = 0 f^{'} (x) < 0 x < x_{o} x = x_{o} x > x_{o} x f^{'} (x) + x_{o} \emptyset -$ $⎩ ⎨ ⎧ f^{'} (x) < 0 f^{'} (x) = 0 f^{'} (x) > 0 x < x_{o} x = x_{o} x > x_{o} x f^{'} (x) - x_{o} \emptyset +$

ផ្នែក 06

4.5 ដេរីវេទី២ និងបរមា

សន្មតថាអនុគមន៍ $f$ មានដេរីវេពីរដងលើចន្លោះមួយដែលមាន $x_{o}$ ។

$f$ មានអតិបរមាត្រង់ $x_{o}$ កាលណា $f^{'} (x_{o}) = 0$ និង $f^{''} (x_{o}) < 0$ ។
$f$ មានអប្បបរមាត្រង់ $x_{o}$ កាលណា $f^{'} (x_{o}) = 0$ និង $f^{''} (x_{o}) > 0$ ។

មូលហេតុ៖ $f^{''}$ វាស់ការប៉ោងនៃក្រាហ្វ ។ បើ $f^{''} (x_{o}) < 0$ ក្រាហ្វប៉ោងឡើងលើ (ដូចដំបូលផ្ទះ) ដូច្នេះចំណុចរាបស្មើនោះជាកំពូល ។ បើ $f^{''} (x_{o}) > 0$ ក្រាហ្វប៉ោងចុះក្រោម (ដូចជ្រលង) ដូច្នេះចំណុចរាបស្មើនោះជាបាត ។

FORMULA ${f^{'} (x_{o}) = 0 f^{''} (x_{o}) < 0 ⟹ maximum at x_{o}$ ${f^{'} (x_{o}) = 0 f^{''} (x_{o}) > 0 ⟹ minimum at x_{o}$

ផ្នែក 07

4.6 ករណី $f^{''} (x_{o}) = 0$

សម្គាល់ៈ បើ $f^{''} (x_{o}) = 0$ នោះគេត្រូវត្រឡប់ទៅសិក្សាសញ្ញានៃដេរីវេទី១ វិញ ដើម្បីរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមា ។

មានន័យថា ពេល $f^{''} (x_{o}) = 0$ ដេរីវេទី២ មិនអាចសន្និដ្ឋានបានទេ ។ ឧទាហរណ៍ $f (x) = x^{4}$ នៅ $x_{o} = 0$ ៖ $f^{'} (0) = 0$ និង $f^{''} (0) = 0$ តែ $0$ ជាអប្បបរមា ។ រីឯ $g (x) = x^{3}$ នៅ $0$ ៖ $g^{'} (0) = 0$ និង $g^{''} (0) = 0$ តែ $0$ មិនមែនបរមាទេ ។ ដូច្នេះត្រូវមើលសញ្ញានៃ $f^{'}$ ជាកាតព្វកិច្ច ។

FORMULA $f^{''} (x_{o}) = 0 ⟹ no conclusion; study the sign of f^{'}$

ផ្នែក 08

4.7 ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍

និយមន័យ៖ បើអនុគមន៍ $y = f (x)$ មានដេរីវេ នោះ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល កំណត់ដោយ $d y = f^{'} (x) d x$ ។

តើ $d x$ ជាអ្វី? $d x$ គឺជាការកើនតូចមួយនៃ $x$ (ហៅថា ការកើននៃអថេរឯករាជ្យ) ។ រីឯ $d y$ គឺជាការកើនប្រហែលនៃ $y$ ដែលគណនាតាមបន្ទាត់ប៉ះ ។ ដូច្នេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាការកើនតាមបន្ទាត់ប៉ះ មិនមែនការកើនពិតប្រាកដនៃអនុគមន៍ទេ ។

FORMULAdy=f'(x)\,dx

ផ្នែក 09

4.8 តម្លៃប្រហែលដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល

កាលណាតម្លៃ $Δ x$ កាន់តែតូចនោះ $d y$ អាចជាតម្លៃប្រហែលនៃ $Δ y$ ។ គេបាន ៖ $f (x + Δ x) = f (x) + Δ y \approx f (x) + d y \approx f (x) + f^{'} (x) \cdot Δ x$ ។

រូបមន្តនេះមានបីផ្នែក ៖

១. $f (x + Δ x) = f (x) + Δ y$ ជាសមភាពពិត (និយមន័យនៃ $Δ y$ ) ។

២. $Δ y \approx d y$ ជាការប៉ាន់ស្មាន (ល្អតែពេល $Δ x$ តូច) ។

៣. $d y = f^{'} (x) Δ x$ ជាការគណនាតាមបន្ទាត់ប៉ះ ។

ដូច្នេះ ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហែល ត្រូវជ្រើស $x$ ជាចំនួនងាយគណនា និង $Δ x$ តូច ។

FORMULA $f (x + Δ x) = f (x) + Δ y \approx f (x) + d y \approx f (x) + f^{'} (x) \cdot Δ x$

ផ្នែក 10

4.9 ទ្រឹស្តីបទទី១៖ វិសមភាពកំណើនមានកំណត់

វិសមភាពកំណើនមានកំណត់ គឺជាឈ្មោះរបស់ទ្រឹស្តីបទនេះ ។ ពាក្យ កំណើន មានន័យថា $f (b) - f (a)$ ។ ពាក្យ មានកំណត់ មានន័យថាដេរីវេត្រូវបានហ៊ុមព័ទ្ធដោយចំនួនពីរ $m$ និង $M$ ។

គេឱ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ និងមានដេរីវេលើចន្លោះ $I$ ។ បើមានចំនួនពិត $m$ និង $M$ ដែលចំពោះគ្រប់ $x \in I$ , $m \leq f^{'} (x) \leq M$ នោះចំពោះគ្រប់ចំនុច $a$ , $b \in I$ ដែល $a < b$ គេបាន $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ ។

អានជាភាសាសាមញ្ញ៖ បើដេរីវេមិនដែលលើស $M$ នោះកំណើនសរុបមិនអាចលើស $M$ គុណនឹងចម្ងាយដែលបានដើរនោះទេ ។ ដូចជាការធ្វើដំណើរ៖ បើល្បឿនមិនលើស $60$ km/h នោះក្នុង $2$ ម៉ោង គេធ្វើដំណើរមិនលើស $120$ km ។

FORMULA $m \leq f^{'} (x) \leq M \forall x \in I ⟹ m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a) (a < b, a, b \in I)$

ផ្នែក 11

4.10 ទ្រឹស្តីបទទី២៖ តម្លៃដាច់ខាត

គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ មានដេរីវេលើចន្លោះ $[a, b]$ ។ បើមានចំនួនពិត $M$ ដែល $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ ចំពោះ $x \in [a, b]$ នោះគេបានវិសមភាព $∣ f (b) - f (a) ∣ \leq M ∣ b - a ∣$ ។

ទ្រឹស្តីបទនេះជាកំណែស៊ីមេទ្រី នៃទ្រឹស្តីបទទី១ ។ នៅទីនេះយើងហ៊ុមព័ទ្ធតែតម្លៃដាច់ខាត $∣ f^{'} ∣$ ដូច្នេះវាដំណើរការទាំងពេល $a < b$ និងពេល $b < a$ ។ គេប្រើវាញឹកញាប់ដើម្បីបង្ហាញថាអនុគមន៍ផ្លាស់ប្តូរតិចតួច ។

FORMULA $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M (x \in [a, b]) ⟹ ∣ f (b) - f (a) ∣ \leq M ∣ b - a ∣$

ផ្នែក 12

4.11 ទ្រឹស្តីបទរូល

បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a, b]$ មានដេរីវេលើចន្លោះ $(a, b)$ និង $f (a) = f (b)$ នោះមានចំនុច $c \in (a, b)$ យ៉ាងតិចមួយ ដែល $f^{'} (c) = 0$ ។

សម្គាល់ការណ៍ $f (a) = f (b) = d$ ៖ ចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់ស្ថិតនៅកម្ពស់ដូចគ្នា $d$ ។ ដូច្នេះក្រាហ្វត្រូវឡើង ឬចុះ ហើយប្រាកដជាមានកន្លែងមួយដែលវារាបស្មើ ដើម្បីត្រឡប់មកកម្ពស់ដើមវិញ ។

លក្ខខណ្ឌទាំងបីចាំបាច់ ៖ ជាប់ (គ្មានចន្លោះបាត់) មានដេរីវេ (គ្មានចុងមុត) និងកម្ពស់ស្មើគ្នា ។ បើខ្វះមួយ ទ្រឹស្តីបទអាចខុស ។

FORMULA $f continuous on [a, b], f^{'} (x) \forall x \in (a, b), f (a) = f (b) ⟹ \exists c \in (a, b) : f^{'} (c) = 0$

ផ្នែក 13

4.12 លក្ខណៈ១៖ អនុគមន៍ថេរ

លក្ខណៈ១៖ បើ $f (x) = d$ គ្រប់ $x \in [a, b]$ នោះ $f$ ជាចំនួនថេរនៅ $[a, b]$ ហើយ $f^{'} (x) = 0$ គ្រប់ $x \in (a, b)$ ។

នេះជាករណីសាមញ្ញបំផុត ៖ ក្រាហ្វជាបន្ទាត់ដេក ។ បន្ទាត់ដេកមានមេគុណ $0$ ដូច្នេះ $f^{'} = 0$ គ្រប់កន្លែង ។ លក្ខណៈនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការបង្ហាញទ្រឹស្តីបទរូល ។

FORMULA $f (x) = d \forall x \in [a, b] ⟹ f^{'} (x) = 0 \forall x \in (a, b)$

ផ្នែក 14

4.13 លក្ខណៈ២៖ អតិបរមាលើកម្រិត $d$

លក្ខណៈ២៖ បើ $f (x) > d$ គ្រប់ $x \in (a, b)$ នោះ $f (x)$ មានអតិបរមាយ៉ាងតិចមួយនៅ $x = c$ ។ ដោយ $f$ មានដេរីវេនៅ $x = c$ គេបាន $f^{'} (c) = 0$ ។

អានជាភាសាសាមញ្ញ៖ បើក្រាហ្វឡើងខ្ពស់ជាងកម្រិត $d$ គ្រប់កន្លែង នោះវាត្រូវមានកំពូលមួយ ហើយនៅកំពូលនោះបន្ទាត់ប៉ះដេក ។

FORMULA $f (x) > d (x \in (a, b)) ⟹ \exists c : max f = f (c), f^{'} (c) = 0$

ផ្នែក 15

4.14 លក្ខណៈ៣៖ អប្បបរមាក្រោមកម្រិត $d$

លក្ខណៈ៣៖ បើ $f (x) < d$ គ្រប់ $x \in (a, b)$ នោះ $f (x)$ មានអប្បបរមាយ៉ាងតិចមួយនៅ $x = c$ ។ ដោយ $f$ មានដេរីវេនៅ $x = c$ គេបាន $f^{'} (c) = 0$ ។

លក្ខណៈនេះជាកញ្ចក់ឆ្លុះនៃលក្ខណៈ២ ៖ បើក្រាហ្វចុះទាបជាងកម្រិត $d$ គ្រប់កន្លែង នោះវាត្រូវមានបាតជ្រលងមួយ ហើយនៅបាតនោះបន្ទាត់ប៉ះដេក ។

FORMULA $f (x) < d (x \in (a, b)) ⟹ \exists c : min f = f (c), f^{'} (c) = 0$

ផ្នែក 16

4.15 ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម

បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a, b]$ មានដេរីវេលើចន្លោះ $(a, b)$ នោះមាន $c \in (a, b)$ យ៉ាងតិចមួយ ដែល $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រ (សម្គាល់ការណ៍)៖ ខ្សែកាត់តាមពីរចំនុច $(a, f (a))$ និង $(b, f (b))$ មានសមីការ $y = [\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}] (x - a) + f (a)$ ។ ដូច្នេះ $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ គឺជាមេគុណនៃខ្សែកាត់ ។ ទ្រឹស្តីបទនិយាយថា មានចំនុចមួយដែលបន្ទាត់ប៉ះស្របនឹងខ្សែកាត់នោះ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ (តាមសៀវភៅ)៖

១. តាង $g (x) = f (x) - y$ គេបាន $g (x) = f (x) - [\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}] (x - a) - f (a)$ ។

២. គណនាដេរីវេ៖ $g^{'} (x) = f^{'} (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ ។

៣. ចំណាំ៖ នៅ $x = a$ គេបាន $g (a) = 0$ ។

៤. ចំណាំ៖ នៅ $x = b$ គេបាន $g (b) = 0$ ។

៥. $g$ ជាអនុគមន៍ដែលមានលក្ខណៈលើ $[a, b]$ ហើយ $g (a) = g (b) = 0$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទរូល មានចំនុច $c \in (a, b)$ យ៉ាងតិចមួយ ដែល $g^{'} (c) = 0$ ។

៦. ហើយ $g^{'} (c) = f^{'} (c) - [\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}] = 0$ នោះ $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ ។

៧. ដូចនេះ មានចំនុច $c \in (a, b)$ យ៉ាងតិចមួយ ដែល $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ ។

ហេតុអ្វីជំហានទី១ដំណើរការ? ដោយសារ $g$ វាស់ចម្ងាយឈរ រវាងក្រាហ្វ និងខ្សែកាត់ ។ នៅចុងទាំងពីរ ចម្ងាយនោះស្មើ $0$ ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទរូលអនុវត្តបាន ។

FORMULA $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ $y = [\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}] (x - a) + f (a)$ $g (x) = f (x) - [\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}] (x - a) - f (a), g^{'} (x) = f^{'} (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ $g (a) = 0, g (b) = 0 ⟹ \exists c \in (a, b) : g^{'} (c) = 0 ⟹ f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$

ផ្នែក 17

ឧទាហរណ៍ទី ១

ចំណោទ ប្រអប់ប្រលែព័រត្រង់មួយមានបាតជាការេ ដែលមានជ្រុងបាតមានរង្វាស់ $x$ ហើយមានផ្ទៃក្រឡាសរុបស្មើ $100 cm^{2}$ ។ គណនា $x$ ដើម្បីឱ្យប្រអប់ប្រលែព័រត្រង់មានមាឌអតិបរមា ។ ចម្លើយ: $x = \frac{5 6}{3} cm$ ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ សៀវភៅផ្តល់ចម្លើយ $x = \frac{5 6}{3} cm$ ។ ជំហានទាំងអស់ខាងក្រោមបង្ហាញពីរបៀបទៅដល់ចម្លើយនោះ ។

ជំហានទី១ — តាងអថេរ ។
តាង $x$ ជាជ្រុងបាត (ការេ) និង $h$ ជាកម្ពស់ប្រអប់ គិតជា cm ។
ហេតុអ្វី មានបរិមាណមិនស្គាល់ពីរ ( $x$ និង $h$ ) ដូច្នេះត្រូវឱ្យឈ្មោះទាំងពីរមុន ។

ជំហានទី២ — សរសេរលក្ខខណ្ឌផ្ទៃក្រឡា ។

$2 x^{2} + 4 x h = 100$

ហេតុអ្វី ប្រអប់មានមុខការេពីរ (បាត និងគម្រប) មុខនីមួយៗមានផ្ទៃ $x^{2}$ និងមុខចតុកោណកែងបួន មុខនីមួយៗមានផ្ទៃ $x h$ ។

ជំហានទី៣ — ដោះ $h$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។

$h = \frac{100 - 2 x ^{2}}{4 x} = \frac{50 - x ^{2}}{2 x}$

ហេតុអ្វី ចំណោទបរមាត្រូវការអនុគមន៍តែមួយអថេរ ។

ជំហានទី៤ — កំណត់ដែនកំណត់ ។
ដោយ $h > 0$ គេបាន $50 - x^{2} > 0$ នោះ $0 < x < 52$ ។
ហេតុអ្វី ប្រវែងមិនអាចអវិជ្ជមានទេ ។

ជំហានទី៥ — សរសេរមាឌជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។

$V (x) = x^{2} h = x^{2} \cdot \frac{50 - x ^{2}}{2 x} = \frac{50 x - x ^{3}}{2}$

ហេតុអ្វី មាឌប្រលេពីប៉េតកែង $=$ ផ្ទៃបាត $\times$ កម្ពស់ ។

ជំហានទី៦ — គណនាដេរីវេ ។

$V^{'} (x) = \frac{50 - 3 x ^{2}}{2}$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $50 x$ គឺ $50$ និងដេរីវេនៃ $x^{3}$ គឺ $3 x^{2}$ ; ចែកនឹង $2$ ជាចំនួនថេរ ។

ជំហានទី៧ — ដោះស្រាយ $V^{'} (x) = 0$ ។

$50 - 3 x^{2} = 0 ⟹ x^{2} = \frac{50}{3} ⟹ x = \frac{50}{3} = \frac{5 6}{3} \approx 4.08 cm$

ហេតុអ្វី យកតែឫសបូក ព្រោះ $x$ ជាប្រវែង; $50/3 = \frac{5 2}{3} = \frac{5 6}{3}$ ។

ជំហានទី៨ — ពិនិត្យថាជាអតិបរមា ។
$V^{'} > 0$ ពេល $x < \frac{5 6}{3}$ និង $V^{'} < 0$ ពេល $x > \frac{5 6}{3}$ ដូច្នេះ $V$ មានអតិបរមាត្រង់ $x = \frac{5 6}{3}$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាការប្រើទ្រឹស្តីបទដេរីវេទី១ ។

ជំហានទី៩ — គណនាតម្លៃដែលពាក់ព័ន្ធ ។

$h = \frac{50 - \frac{50}{3}}{2 \cdot \frac{5 6}{3}} = \frac{5 6}{3} cm, V_{m a x} = (\frac{5 6}{3})^{3} = \frac{250 6}{9} cm^{3}$

ហេតុអ្វី ជំនួស $x$ ចូល $h$ និង $V$ ។ គួរកត់សម្គាល់ $h = x$ ដូច្នេះប្រអប់ល្អបំផុតជាគូប ។

ចម្លើយ $x = \frac{5 6}{3} cm \approx 4.08 cm$ ; $h = \frac{5 6}{3} cm$ ; $V_{m a x} = \frac{250 6}{9} cm^{3}$ ។

ផ្នែក 18

ឧទាហរណ៍ទី ២

ចំណោទ គេសង់ត្រីកោណកែងមួយដោយប្រើអ័ក្ស $o x$ , $oy$ និងបន្ទាត់មួយដែលកាត់តាមចំណុច $(2, 3)$ នៅក្នុងខណ្ឌទី១ ។ ចូររកកំណត់នៃត្រីកោណនេះ ដើម្បីឱ្យផ្ទៃក្រឡារបស់វាមានតម្លៃអប្បបរមា ។ ចម្លើយ: $(0, 0)$ , $(4, 0)$ និង $(0, 6)$ ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ សៀវភៅផ្តល់កំណត់ទាំងបី ៖ $(0, 0)$ , $(4, 0)$ និង $(0, 6)$ ។

ជំហានទី១ — តាងចំណុចប្រសព្វ ។
តាង $A (a, 0)$ ជាចំណុចប្រសព្វនឹងអ័ក្ស $o x$ និង $B (0, b)$ នឹងអ័ក្ស $oy$ ដោយ $a > 0$ , $b > 0$ ។
ហេតុអ្វី ត្រីកោណកែងកើតពីអ័ក្សពីរ និងបន្ទាត់មួយ; កំណត់ទាំងបីគឺ $O (0, 0)$ , $A$ , $B$ ។

ជំហានទី២ — សរសេរសមីការបន្ទាត់ ។

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

ហេតុអ្វី បន្ទាត់កាត់ $o x$ នៅ $x = a$ និង $oy$ នៅ $y = b$ ។

ជំហានទី៣ — ប្រើលក្ខខណ្ឌកាត់តាម $(2, 3)$ ។

$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$

ហេតុអ្វី ចំណុចនៅលើបន្ទាត់ ដូច្នេះកូអរដោនេផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ ។

ជំហានទី៤ — ដោះ $b$ ។

$\frac{3}{b} = 1 - \frac{2}{a} = \frac{a - 2}{a} ⟹ b = \frac{3 a}{a - 2} (a > 2)$

ហេតុអ្វី ត្រូវការអថេរតែមួយ; $b > 0$ តម្រូវ $a > 2$ ។

ជំហានទី៥ — សរសេរផ្ទៃក្រឡា ។

$S (a) = \frac{ab}{2} = \frac{3 a ^{2}}{2 ( a - 2 )}$

ហេតុអ្វី ត្រីកោណកែងមានជើង $a$ និង $b$ ដូច្នេះផ្ទៃ $= \frac{ab}{2}$ ។

ជំហានទី៦ — គណនាដេរីវេ ។

$S^{'} (a) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 a ( a - 2 ) - a ^{2}}{( a - 2 ) ^{2}} = \frac{3 a ( a - 4 )}{2 ( a - 2 ) ^{2}}$

ហេតុអ្វី ច្បាប់ផលចែក $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ជាមួយ $u = a^{2}$ , $v = a - 2$ ។

ជំហានទី៧ — ដោះស្រាយ $S^{'} (a) = 0$ ។
ដោយ $a > 2$ ភាគបែងវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $a (a - 4) = 0 \Rightarrow a = 4$ ។
ហេតុអ្វី ប្រភាគសូន្យកាលណាភាគយកសូន្យ; ឫស $a = 0$ ក្រៅដែន ។

ជំហានទី៨ — ពិនិត្យសញ្ញា ។
$2 < a < 4$ ៖ $S^{'} < 0$ ; $a > 4$ ៖ $S^{'} > 0$ ដូច្នេះ $a = 4$ ជាអប្បបរមា ។
ហេតុអ្វី សញ្ញាប្តូរពី $-$ ទៅ $+$ ។

ជំហានទី៩ — គណនា $b$ និងផ្ទៃ ។

$b = \frac{3 \times 4}{4 - 2} = 6, S = \frac{4 \times 6}{2} = 12$

ហេតុអ្វី ជំនួស $a = 4$ ចូល $b$ រួចចូល $S$ ។

ចម្លើយ កំណត់ទាំងបីគឺ $(0, 0)$ , $(4, 0)$ និង $(0, 6)$ ; ផ្ទៃអប្បបរមា $= 12$ ឯកតាការេ ។

ផ្នែក 19

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ចំណោទ កោណមួយមានកម្ពស់ $15 cm$ និងមានកាំបាត $6 cm$ ។ រកកម្ពស់ $h$ និងកាំ $r$ នៃស៊ីឡាំងមួយចារឹកក្នុងកោណនេះ ដើម្បីឱ្យស៊ីឡាំងមានមាឌអតិបរមា រួចគណនាតម្លៃអតិបរមានោះ ។ (ចម្លើយ: $h = 5 cm$ , $r = 4 cm$ និង $V_{m a x} = 80 π cm^{3}$ ) ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ សៀវភៅផ្តល់ $h = 5$ , $r = 4$ , $V_{m a x} = 80 π$ ។

ជំហានទី១ — តាងបរិមាណ ។
$H = 15$ និង $R = 6$ ជាកោណ; $h$ និង $r$ ជាស៊ីឡាំង ។
ហេតុអ្វី ត្រូវបែងចែកបរិមាណថេរ និងអថេរ ។

ជំហានទី២ — ប្រើត្រីកោណដូចគ្នា ។
ក្នុងផ្នែកកាត់តាមអ័ក្ស ៖

$\frac{H - h}{H} = \frac{r}{R}$

ហេតុអ្វី កម្ពស់ពីកំពូលកោណដល់មុខកំពូលស៊ីឡាំងគឺ $H - h$ ហើយនៅកម្រិតនោះកាំកោណគឺ $r$ ។

ជំហានទី៣ — ដោះ $r$ ។

$r = R \cdot \frac{H - h}{H} = 6 \cdot \frac{15 - h}{15} = \frac{2 ( 15 - h )}{5}$

ហេតុអ្វី ត្រូវការអថេរតែមួយ; រក្សា $h$ ជាអថេរ ។

ជំហានទី៤ — កំណត់ដែន ។
$0 < h < 15$ ។
ហេតុអ្វី នៅ $h = 0$ ឬ $h = 15$ មានមាឌ $0$ ។

ជំហានទី៥ — សរសេរមាឌ ។

$V (h) = π r^{2} h = π (\frac{2 ( 15 - h )}{5})^{2} h = \frac{4 π}{25} h (15 - h)^{2}$

ហេតុអ្វី មាឌស៊ីឡាំង $= π r^{2} h$ និង $(\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ ជាចំនួនថេរ ។

ជំហានទី៦ — គណនាដេរីវេ ។

$V^{'} (h) = \frac{4 π}{25} [(15 - h)^{2} + h \cdot 2 (15 - h) (- 1)] = \frac{4 π}{25} (15 - h) (15 - 3 h)$

ហេតុអ្វី ច្បាប់ផលគុណ និងច្បាប់សមាសសម្រាប់ $(15 - h)^{2}$ ; បន្ទាប់មកដាក់ $(15 - h)$ ជាកត្តារួម ។

ជំហានទី៧ — ដោះ $V^{'} (h) = 0$ ។
$15 - h = 0$ (ក្រៅដែន) ឬ $15 - 3 h = 0$ នោះ $h = 5$ ។
ហេតុអ្វី ផលគុណសូន្យកាលណាកត្តាមួយសូន្យ ។

ជំហានទី៨ — ពិនិត្យសញ្ញា ។
$0 < h < 5$ ៖ $V^{'} > 0$ ; $5 < h < 15$ ៖ $V^{'} < 0$ ដូច្នេះ $h = 5$ ជាអតិបរមា ។
ហេតុអ្វី សញ្ញាប្តូរពី $+$ ទៅ $-$ ។

ជំហានទី៩ — គណនា $r$ និង $V_{m a x}$ ។

$r = \frac{2 ( 15 - 5 )}{5} = 4 cm, V_{m a x} = π (4)^{2} (5) = 80 π cm^{3}$

ហេតុអ្វី ជំនួស $h = 5$ ចូល $r$ រួចចូល $π r^{2} h$ ។

ចម្លើយ $h = 5 cm$ , $r = 4 cm$ , $V_{m a x} = 80 π cm^{3}$ ។

ផ្នែក 20

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ចំណោទ ចូរគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ $tan 4 6^{\circ}$ ។ តាងអនុគមន៍ $f (x) = tan x$ ។

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ សៀវភៅផ្តល់ដំណោះស្រាយពេញលេញ; ជំហានខាងក្រោមពង្រីកវា ។

ជំហានទី១ — ជ្រើស $x$ និង $Δ x$ ។
យក $x = 4 5^{\circ}$ និង $Δ x = 1^{\circ}$ ។
ហេតុអ្វី $x$ ត្រូវជាមុំដែលដឹងតម្លៃជាក់លាក់ ( $tan 4 5^{\circ} = 1$ ) និង $Δ x$ តូច ។

ជំហានទី២ — សរសេររូបមន្តប៉ាន់ស្មាន ។

$f (4 6^{\circ}) = f (4 5^{\circ}) + f^{'} (4 5^{\circ}) Δ x$

ហេតុអ្វី នេះជារូបមន្តពី ដែលមកពីឌីផេរ៉ង់ស្យែល ។

ជំហានទី៣ — គណនាដេរីវេ ។

$f^{'} (x) = \frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $tan x$ គឺ $\frac{1}{cos ^{2} x}$ ; ហើយ $1 + tan^{2} x = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ គឺដូចគ្នា ។

ជំហានទី៤ — គណនា $f^{'} (4 5^{\circ})$ ។

$f^{'} (4 5^{\circ}) = 1 + tan^{2} 4 5^{\circ} = 1 + 1 = 2$

ហេតុអ្វី $tan 4 5^{\circ} = 1$ ដូច្នេះទម្រង់ $1 + tan^{2} x$ ងាយជាង ។

ជំហានទី៥ — បំប្លែង $Δ x$ ជារ៉ាដ្យង់ ។
$Δ x = 1^{\circ} = \frac{π}{180} \approx \frac{3.14}{180}$ ។
ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគណនាជារ៉ាដ្យង់; បើដាក់ $1$ ផ្ទាល់ ចម្លើយខុសធំជាង $57$ ដង ។

ជំហានទី៦ — គណនាតម្លៃប្រហែល ។

$f (4 6^{\circ}) \approx 1 + 2 \times \frac{3.14}{180} = 1 + 0.0349 = 1.035$

ហេតុអ្វី ជំនួសតម្លៃទាំងអស់ចូលរូបមន្តជំហានទី២ ។

ចម្លើយ $tan 4 6^{\circ} = 1.035$ ។ (តម្លៃពិត $\approx 1.0355$ ដូច្នេះការប៉ាន់ស្មានល្អណាស់ ។

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

កំហុសទី១ — សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះខ្វះ $(x - x_{o})$ ។ ខុស ៖ $y = f^{'} (x_{o}) x + f (x_{o})$ ។ ត្រូវ ៖ $y = f^{'} (x_{o}) (x - x_{o}) + f (x_{o})$ ។

ការកែ បន្ទាត់ប៉ះកាត់ចំណុច $(x_{o}, f (x_{o}))$ ដូច្នេះត្រូវប្រើទម្រង់ចំណុច-មេគុណ ។ ពិនិត្យជានិច្ច ៖ ដាក់ $x = x_{o}$ ត្រូវតែបាន $y = f (x_{o})$ ។

កំហុសទី២ — សន្និដ្ឋានថាបរមាភ្លាម ពេលឃើញ $f^{'} (x_{o}) = 0$ ។ ខុស ៖ " $f^{'} (0) = 0$ ដូច្នេះ $0$ ជាអប្បបរមា" សម្រាប់ $f (x) = x^{3}$ ។ ត្រូវ ៖ $x = 0$ មិនមែនបរមាទេ ព្រោះ $f^{'}$ មិនប្តូរសញ្ញា ។

ការកែ $f^{'} (x_{o}) = 0$ ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ តែមិនគ្រប់គ្រាន់ ។ ត្រូវធ្វើតារាងសញ្ញា ឬគណនា $f^{''} (x_{o})$ ។

កំហុសទី៣ — មិនពិនិត្យដែនកំណត់ ។ ខុស ៖ រកឃើញ $x = - 2$ ជាបរមាសម្រាប់អនុគមន៍ដែលមាន $ln x$ ឬភាគបែងសូន្យនៅ $x = - 2$ ។ ត្រូវ ៖ បដិសេធចម្លើយនោះ ។

ការកែ សរសេរដែនកំណត់មុនគណនាដេរីវេ; បើឫសក្រៅដែន ឬជាបង្គោល ត្រូវចោល ។

កំហុសទី៤ — ច្រឡំបន្ទាត់ប៉ះ និងបន្ទាត់កែង (ខ្នង) ។ ខុស ៖ រកបន្ទាត់កែងដោយប្រើមេគុណដូចគ្នា $a = a^{'}$ ។ ត្រូវ ៖ បន្ទាត់កែងមានមេគុណ $- \frac{1}{a}$ ។

ការកែ ស្រប $\Rightarrow$ មេគុណស្មើ; កែង $\Rightarrow$ ផលគុណមេគុណ $= - 1$ ។

កំហុសទី៥ — ច្រឡំ "បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច $A$ " និង "កាត់តាម $A$ " ។ ខុស ៖ យកកូអរដោនេ $A$ ដាក់ចូល $f$ ទោះបី $A$ មិននៅលើក្រាហ្វ ។ ត្រូវ ៖ បើ $A$ នៅក្រៅក្រាហ្វ ត្រូវតាងចំណុចប៉ះ $(t, f (t))$ ។

ការកែ ពិនិត្យមុនគេ ៖ តើ $f (x_{A}) = y_{A}$ ?

កំហុសទី៦ — ភ្លេចបំប្លែងដឺក្រេជារ៉ាដ្យង់ ។ ខុស ៖ $sin 4 6^{\circ} \approx sin 4 5^{\circ} + cos 4 5^{\circ} \times 1$ ។ ត្រូវ ៖ $Δ x = 1^{\circ} = \frac{π}{180} \approx 0.01745$ ។

ការកែ ដេរីវេនៃ $sin, cos, tan$ គណនាជារ៉ាដ្យង់; បើដាក់ដឺក្រេ ចម្លើយធំជាងពិតប្រហែល $57$ ដង ។

កំហុសទី៧ — ប្រើទ្រឹស្តីបទរូលដោយមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ $f (a) = f (b)$ ។ ខុស ៖ អនុវត្តរូលលើ $[a, b]$ ទោះបី $f (a) \neq = f (b)$ ។ ត្រូវ ៖ គណនា $f (a)$ និង $f (b)$ ជាមុន ។

ការកែ លក្ខខណ្ឌបីត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់ទាំងអស់ ៖ ជាប់ មានដេរីវេ និង $f (a) = f (b)$ ។

កំហុសទី៨ — បោះបង់ឫសមួយក្នុងសមីការការេ ។ ខុស ៖ ពី $b^{2} = 4$ សរសេរតែ $b = 2$ ។ ត្រូវ ៖ $b = 2$ ឬ $b = - 2$ រួចពិនិត្យបន្ថែម ។

ការកែ សរសេរ $\pm$ ជានិច្ច រួចពិនិត្យលក្ខខណ្ឌបន្ថែម (ឧ. អតិបរមា $\Rightarrow f^{''} < 0$ ) ។

កំហុសទី៩ — មិនបញ្ចប់ចំណោទបរមាដោយការឆ្លើយសំណួរ ។ ខុស ៖ រកឃើញ $x = 3$ រួចឈប់ ទោះសំណួរសួររក "វិមាត្រ" ឬ "មាឌធំបំផុត" ។ ត្រូវ ៖ ជំនួសត្រឡប់ រួចសរសេរឯកតា ។

ការកែ អានសំណួរម្តងទៀត ៖ តើគេសួររកអថេរ ឬរកបរិមាណ?

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

អនុវត្តន៍នៃដេរីវេ

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

Tangent lines, variation, and extrema

គំនិតសំខាន់

4.1 មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ

4.2 សមីការបន្ទាត់ប៉ះ

4.3 មេគុណបន្ទាត់ពីរ៖ ស្រប និងកែង

4.4 ដេរីវេទី១ និងបរមា

4.5 ដេរីវេទី២ និងបរមា

4.6 ករណី $f^{''} (x_{o}) = 0$

4.7 ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍

4.8 តម្លៃប្រហែលដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល

4.9 ទ្រឹស្តីបទទី១៖ វិសមភាពកំណើនមានកំណត់

4.10 ទ្រឹស្តីបទទី២៖ តម្លៃដាច់ខាត

4.11 ទ្រឹស្តីបទរូល

4.12 លក្ខណៈ១៖ អនុគមន៍ថេរ

4.13 លក្ខណៈ២៖ អតិបរមាលើកម្រិត $d$

4.14 លក្ខណៈ៣៖ អប្បបរមាក្រោមកម្រិត $d$

4.15 ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

Tangent lines, variation, and extrema

គំនិតសំខាន់

4.1 មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ

4.2 សមីការបន្ទាត់ប៉ះ

4.3 មេគុណបន្ទាត់ពីរ៖ ស្រប និងកែង

4.4 ដេរីវេទី១ និងបរមា

4.5 ដេរីវេទី២ និងបរមា

4.6 ករណី f′′(xo​)=0

4.7 ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍

4.8 តម្លៃប្រហែលដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល

4.9 ទ្រឹស្តីបទទី១៖ វិសមភាពកំណើនមានកំណត់

4.10 ទ្រឹស្តីបទទី២៖ តម្លៃដាច់ខាត

4.11 ទ្រឹស្តីបទរូល

4.12 លក្ខណៈ១៖ អនុគមន៍ថេរ

4.13 លក្ខណៈ២៖ អតិបរមាលើកម្រិត d

4.14 លក្ខណៈ៣៖ អប្បបរមាក្រោមកម្រិត d

4.15 ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

4.6 ករណី $f^{''} (x_{o}) = 0$

4.13 លក្ខណៈ២៖ អតិបរមាលើកម្រិត $d$

4.14 លក្ខណៈ៣៖ អប្បបរមាក្រោមកម្រិត $d$