ដេរីវេនៃអនុគមន៍

១. ដេរីវេ គឺជាអត្រាប្រែប្រួលភ្លាមៗ ។ បើគេប្តូរ $x$ បន្តិច តើ $y$ ប្តូរប៉ុន្មាន? ផលធៀប $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ជាអត្រាប្រែប្រួលមធ្យម ។ ពេល $\Delta x$ តូចណាស់ ផលធៀបនេះខិតទៅរកចំនួនមួយ ហើយចំនួននោះហើយជាដេរីវេ ។

២. ដេរីវេ គឺជាជម្រាលបន្ទាត់ប៉ះ ។ បើគូសក្រាបនៃ $f$ នោះ $f^{\prime }(x_0)$ ជាជម្រាល (slope) នៃបន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ចំណុច $x=x_0$ ។ ដូច្នេះដេរីវេវិជ្ជមាន = ក្រាបឡើង, ដេរីវេអវិជ្ជមាន = ក្រាបចុះ, ដេរីវេសូន្យ = បន្ទាត់ប៉ះដេក ។

៣. ដេរីវេត្រង់ចំណុច និងដេរីវេជាអនុគមន៍ ។ $f^{\prime }(x_0)$ ជាចំនួនមួយ ។ ប៉ុន្តែបើគេគណនាវាចំពោះគ្រប់ $x$ នោះគេទទួលបានអនុគមន៍ថ្មី $f^{\prime }$ ។ ឧទាហរណ៍ ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$ គឺជាអនុគមន៍ ហើយ $f^{\prime }(3)=6$ គឺជាចំនួន ។

៤. ច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ គឺការចេះបកស្រទាប់ ។ អនុគមន៍បណ្តាក់ $y=f\left[u(x)\right]$ មានស្រទាប់ពីរ ៖ ស្រទាប់ក្នុង $u(x)$ និងស្រទាប់ក្រៅ $f$ ។ គេធ្វើដេរីវេស្រទាប់ក្រៅសិន (ទុកស្រទាប់ក្នុងដដែល) រួចគុណនឹងដេរីវេស្រទាប់ក្នុង ។ ឧទាហរណ៍ ${\left(\sin 2x\right)}^{\prime }=\cos 2x\times 2$ ។

៥. ដេរីវេទីពីរ គឺជាដេរីវេនៃដេរីវេ ។ គេយក $f^{\prime }$ មកធ្វើដេរីវេម្តងទៀត បាន $f^{\prime \prime }$ ។ វាវាស់អត្រាប្រែប្រួលនៃជម្រាល ដូច្នេះវាបង្ហាញពីភាពកោងនៃក្រាប ។

៦. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ វិលជាវដ្ត ។ ដេរីវេនៃ $\sin$ គឺ $\cos$ , ដេរីវេនៃ $\cos$ គឺ $-\sin$ , ហើយបើបន្តទៅទៀត គេត្រឡប់មករក $\sin$ វិញ ។ ដូច្នេះដេរីវេលំដាប់ខ្ពស់មានលំនាំច្បាស់លាស់ ។

៧. $e^x$ និង $\ln x$ ជាគូឆ្លាស់គ្នា ។ ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ គឺជាករណីកម្រ ដែលអនុគមន៍ស្មើនឹងដេរីវេរបស់វាខ្លួនឯង ។ ចំណែក ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ គឺជារូបមន្តដែលគេប្រើញឹកញាប់បំផុតក្នុងលំហាត់ ។

៨. ដេរីវេបង្កប់ ៖ $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ទោះបីគេមិនបានសរសេរច្បាស់ ។ ក្នុងសមីការ $x^2+y^2=4$ គេចាត់ $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។ ដូច្នេះពេលធ្វើដេរីវេតួដែលមាន $y$ ត្រូវគុណនឹង $y^{\prime }$ ជានិច្ច ។

៩. ដេរីវេ និងភាពបន្ត ៖ មានដេរីវេ គឺពិតជាបន្ត តែបន្ត មិនធានាថាមានដេរីវេទេ ។ ឧទាហរណ៍ $y=|x|$ ជាប់ត្រង់ $0$ ប៉ុន្តែគ្មានដេរីវេត្រង់ $0$ ព្រោះជម្រាលខាងឆ្វេង $-1$ ខុសពីជម្រាលខាងស្តាំ $+1$ ។

និយមន័យ ។ ដេរីវេត្រង់ចំណុច $x_0$ នៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ ( បើមាន ) ជាលីមីតនៃផលធៀបកំណើន $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ កាលណា $\Delta x$ ខិតទៅជិត $0$ ។

និយាយឱ្យសាមញ្ញ ៖ គេបង្កើន $x$ បន្តិចពី $x_0$ ទៅ $x_0+\Delta x$ ។ នោះ $y$ បង្កើនពី $f(x_0)$ ទៅ $f(x_0+\Delta x)$ ដែល $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ។ ផលធៀប $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ជាអត្រាប្រែប្រួលមធ្យម ។ ពេល $\Delta x\to 0$ ផលធៀបនេះខិតទៅរកដេរីវេ ។

គេកំណត់សេចក្ដី ៖

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

ទម្រង់ទាំងបីនេះសមមូលគ្នា ព្រោះវាគ្រាន់តែសរសេរការប្រែប្រួលដូចគ្នាក្នុងអថេរផ្សេងគ្នា ៖

• ទម្រង់ទី ១ ប្រើ $\Delta x$ និង $\Delta y$ ។ វាងាយយល់បំផុត តែជួនកាលគណនាយូរ ។
• ទម្រង់ទី ២ ប្រើ $x\to x_0$ ។ វាល្អពេល $f(x)-f(x_0)$ បំផាយបាន ។
• ទម្រង់ទី ៣ ប្រើ $h\to 0$ ។ វាល្អពេលគេចង់គណនាដេរីវេជាអនុគមន៍ ព្រោះ $x_0$ នៅដដែល ។

ចំណាំ៖ លីមីតនេះត្រូវមាន ទើបគេហៅថាដេរីវេ ។ បើលីមីតខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំខុសគ្នា នោះអនុគមន៍គ្មានដេរីវេត្រង់ចំណុចនោះទេ ។

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

លក្ខណៈ ។ អនុគមន៍ $f$ មានដេរីវេត្រង់ចំណុច $x=x_0$ លុះត្រាតែ ៖

• អនុគមន៍ $f$ ជាប់ត្រង់ចំណុច $x=x_0$
• ដេរីវេខាងឆ្វេង និងដេរីវេខាងស្តាំស្មើគ្នា $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

ដែល

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

ហេតុអ្វីត្រូវការលក្ខខណ្ឌពីរ? ព្រោះលីមីតនៃផលធៀបកំណើន គឺជាលីមីតពីរចំហៀង ។ បើ $f$ មិនជាប់ នោះ $\Delta y$ មិនខិតទៅ $0$ ហើយផលធៀបផ្ទុះទៅអនន្ត ។ បើ $f$ ជាប់ តែជម្រាលពីរចំហៀងខុសគ្នា នោះលីមីតទាំងមូលមិនមាន (ក្រាបមានចុងស្រួច) ។

សេចក្តីសម្រេច ៖ បើ $f$ មានដេរីវេត្រង់ $x_0$ នោះ $f$ ជាប់ត្រង់ $x_0$ ។ តែច្រាសមកវិញមិនពិតទេ ។

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

ទ្រឹស្តីបទ ។ បើ $y=f(u)$ និង $u=g(x)$ នោះ

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\text{ឬ}\frac{d}{dx}f\left[u(x)\right]=f^{\prime }(u)\times u^{\prime }(x)$$

សម្រាយបញ្ជាក់ (តាមសៀវភៅ) ។ គេឱ្យ $F(x)=f\left[g(x)\right]$ ដែលបរិវត្តន៍ត្រង់ $x=c$ គេទទួលបាន $F^{\prime }(c)=f^{\prime }\left[g(c)\right]\times g^{\prime }(c)$ ។

តាមនិយមន័យ

$$F^{\prime }(c)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left[g(x)\right]-f\left[g(c)\right]}{x-c}$$

គុណ និងចែកនឹង $g(x)-g(c)$ (ដោយសន្មត $g(x)\ne g(c)$) ៖

$$=\underset{x\to c}{\lim }\left[\frac{f\left[g(x)\right]-f\left[g(c)\right]}{g(x)-g(c)}\times \frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right]$$

ប្រើលក្ខណៈលីមីតនៃផលគុណ ៖

$$=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left[g(x)\right]-f\left[g(c)\right]}{g(x)-g(c)}\times \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)-g(c)}{x-c}=f^{\prime }\left[g(c)\right]\times g^{\prime }(c)$$

ហេតុអ្វីការគុណនឹងចែកនឹង $g(x)-g(c)$ ជាការត្រឹមត្រូវ? ព្រោះវាគ្រាន់តែជាការសរសេរ $1$ ក្នុងទម្រង់ផ្សេង ។ វាបំលែងផលធៀបក្នុង $x$ ទៅជាផលគុណនៃផលធៀបក្នុង $u$ និងផលធៀបក្នុង $x$ ដែលជាចំណុចសំខាន់នៃបញ្ជាក់ ។

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\text{or}\frac{d}{dx}f[u(x)]=f^{\prime }(u)\times u^{\prime }(x)$$

$$F^{\prime }(c)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left[g(x)\right]-f\left[g(c)\right]}{x-c}$$

$$=\underset{x\to c}{\lim }\left[\frac{f\left[g(x)\right]-f\left[g(c)\right]}{g(x)-g(c)}\times \frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right]$$

$$=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left[g(x)\right]-f\left[g(c)\right]}{g(x)-g(c)}\times \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)-g(c)}{x-c}=f^{\prime }\left[g(c)\right]\times g^{\prime }(c)$$

បើ $y=u^n$ ដែល $u$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ នោះ ៖

$$\frac{dy}{dx}=n{u}^{n-1}\times \frac{du}{dx}=n{u}^{n-1}\times u^{\prime }$$

សម្រាយបញ្ជាក់ ។ គេមាន $y=u^n$ គេបាន

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{d}{du}\left(u^n\right)\times \frac{du}{dx}=n{u}^{n-1}\times \frac{du}{dx}$$

ដោយករណី $n=\frac{1}{2}$ គេបាន

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{u}^{\frac{1}{2}-1}\times u^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$$

ករណី $n=\frac{1}{2}$ ជាករណីសំខាន់ ព្រោះវាឱ្យរូបមន្តឫសការេ ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ ដែលគេប្រើញឹកញាប់ ។ ដូចគ្នា ករណី $n=-1$ ឱ្យ ${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$ ។

$$\frac{dy}{dx}=n{u}^{n-1}\times \frac{du}{dx}=n{u}^{n-1}\times u^{\prime }$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{d}{du}(u^n)\times \frac{du}{dx}=n{u}^{n-1}\times \frac{du}{dx}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{u}^{\frac{1}{2}-1}\times u^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ៖

• បើ $y=\sin x$ នោះ $y^{\prime }=\cos x$
• បើ $y=\cos x$ នោះ $y^{\prime }=-\sin x$

ចំណាំសញ្ញា ៖ ដេរីវេនៃ $\cos$ មានសញ្ញាដក ។ នេះជាកន្លែងដែលសិស្សភ្លេចញឹកញាប់បំផុត ។

បើ $u$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ៖

• បើ $y=\sin u$ នោះ $y^{\prime }=u^{\prime }\cos u$
• បើ $y=\cos u$ នោះ $y^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$

ទាំងពីរនេះជាការអនុវត្តផ្ទាល់នៃច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ៖ ដេរីវេនៃស្រទាប់ក្រៅ គុណនឹងដេរីវេនៃស្រទាប់ក្នុង $u^{\prime }$ ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់ និងកូតង់សង់ ៖

• បើ $y=\tan x$ នោះ $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$
• បើ $y=\cot x$ នោះ $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-\left(1+{\cot }^{2}x\right)$
• បើ $y=\tan u$ នោះ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}=u^{\prime }\left(1+{\tan }^{2}u\right)$
• បើ $y=\cot u$ នោះ $y^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}=-u^{\prime }\left(1+{\cot }^{2}u\right)$

ទម្រង់ពីរនៃចម្លើយសមមូលគ្នា ព្រោះ $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ និង $1+{\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ ។ គេជ្រើសយកទម្រង់ណាដែលស្រួលសម្រាប់លំហាត់ ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ គឺជាអនុគមន៍ដែលឆ្លើយតបសំណួរ « មុំណាដែលមាន $\sin$ ស្មើនឹង $x$ ? » ។ គេតាងដោយ $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ។

• បើ $y=\arctan x$ នោះ $y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
• បើ $y=\arctan (u)$ នោះ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$
• បើ $y=\arcsin x$ នោះ $y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• បើ $y=\arcsin (u)$ នោះ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}}$
• បើ $y=\arccos x$ នោះ $y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• បើ $y=\arccos (u)$ នោះ $y^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}}$

ចំណាំ ៖ $\arctan$ គ្មានសញ្ញាដក តែ $\arccos$ មានសញ្ញាដក ។ ហេតុអ្វី? ព្រោះ $\arccos$ ជាអនុគមន៍ចុះ ចំណែក $\arctan$ ជាអនុគមន៍ឡើង ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ៖

• បើ $y=e^x$ នោះ $y^{\prime }=e^x$
• បើ $y=e^u$ នោះ $y^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$
• បើ $y=a^x$ នោះ $y^{\prime }=a^x\ln a$ , $a>0$ , $a\ne 1$
• បើ $y=a^u$ នោះ $y^{\prime }=u^{\prime }{a}^u\ln a$

ចំណាំ៖ មូលដ្ឋាន $e$ ជាករណីពិសេស ព្រោះ $\ln e=1$ ។ ដូច្នេះរូបមន្ត $y^{\prime }=a^x\ln a$ ក្លាយជា $y^{\prime }=e^x$ ពេល $a=e$ ។ លក្ខខណ្ឌ $a>0$ , $a\ne 1$ ចាំបាច់ ដើម្បីឱ្យ $a^x$ និយមន័យបានចំពោះគ្រប់ $x$ ពិត ។

លោការីតនេពែ $\ln$ គឺជាលោការីតគោល $e$ ។ ដេរីវេរបស់វា ៖

• បើ $y=\ln x$ នោះ $y^{\prime }=\frac{1}{x}$
• បើ $y=\ln (ax+b)$ នោះ $y^{\prime }=\frac{a}{ax+b}$
• បើ $y=\ln u$ នោះ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$

ករណី $\ln (ax+b)$ គឺជាការអនុវត្តផ្ទាល់នៃ $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ ជាមួយ $u=ax+b$ និង $u^{\prime }=a$ ។ ដូច្នេះមិនចាំបាច់ទន្ទេញដោយឡែកទេ ។

និយមន័យ ។ ដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ កំណត់តាងដោយ $y^{\prime \prime }$ ឬ $f^{\prime \prime }(x)=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ ។

មានន័យថា គេយកដេរីវេ $f^{\prime }$ មកធ្វើដេរីវេម្តងទៀត ។ ដូច្នេះ $f^{\prime \prime }$ កើតឡើងតែពេល $f^{\prime }$ មានដេរីវេប៉ុណ្ណោះ ។ ក្នុងរូបវិទ្យា បើ $y$ ជាទីតាំង នោះ $y^{\prime }$ ជាល្បឿន ហើយ $y^{\prime \prime }$ ជាសំទុះ ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=f(x)$ អាចមានដេរីវេច្រើនដងទៀត ។ គេតាងដេរីវេនោះ រៀងគ្នា ទី ១ , ទី ២ , ... ទី $n$ គេតាងដោយ $f^{\prime }$ , $f^{\prime \prime }$ , $f^{\prime \prime \prime }$ , ... , $f^{(n)}$ ។

ឧទាហរណ៍ បើ $f(x)=x^5$ នោះ $f^{\prime }(x)=5x^4$ , $f^{\prime \prime }(x)=20x^3$ , $f^{\prime \prime \prime }(x)=60x^2$ , $f^{(4)}(x)=120x$ , $f^{(5)}(x)=120$ , ហើយចាប់ពី $f^{(6)}$ ទៅស្មើ $0$ ។

ចំណាំ ។ គេប្រើទម្រង់ $f^{(n)}$ ចាប់ពី $n=4$ ដើងទៅ ។

ហេតុអ្វី? ព្រោះបើសរសេរសញ្ញាបឋមច្រើនដង ($f^{\prime \prime \prime \prime }$) នោះវាពិបាកអាន ហើយងាយរាប់ខុស ។ ដូច្នេះគេដាក់លេខក្នុងវង់ក្រចក ៖ $f^{(4)}$ , $f^{(5)}$ , ... , $f^{(100)}$ ។

សេចក្ដីបញ្ជីមូលដ្ឋានដេរីវេនៃអនុគមន៍ ។ តារាងនេះមាន ២៦ ជួរ ។ សិស្សគួរចងចាំជួរទី ១ ដល់ ទី ១០ ឱ្យបានច្បាស់ រួចទើបចងចាំជួរទី ១១ ដល់ ទី ២៦ ដែលសុទ្ធតែជាទម្រង់ « សម្រាប់អនុគមន៍ $u$ » ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖

១. គណនាដេរីវេត្រង់ $x_0=2$ នៃអនុគមន៍ $y=x^3$ ។

២. គណនាដេរីវេត្រង់ $x_0=2$ នៃអនុគមន៍ $y=x^2-1$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   ក. គណនា $f(2)$ សិន ៖ $f(2)=2^3=8$ ។
   ហេតុអ្វី ទម្រង់ $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ត្រូវការ $f(x_0)$ ជាមុន ។

2. ជំហានទី២
   សរសេរផលធៀប ៖ $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^3-8}{x-2}$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាទម្រង់ទី ២ នៃនិយមន័យ ។

3. ជំហានទី៣
   បំផាយ $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)\left(x^2+2x+4\right)$ ។
   ហេតុអ្វី ប្រើ $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ ដើម្បីលុបទម្រង់ $0/0$ ។

4. ជំហានទី៤
   បំបែកកត្តា $(x-2)$ ចេញ ៖ $\frac{(x-2)\left(x^2+2x+4\right)}{x-2}=x^2+2x+4$ ចំពោះ $x\ne 2$ ។
   ហេតុអ្វី ក្នុងលីមីត $x\ne 2$ ដូច្នេះការចែកនឹង $x-2$ ត្រឹមត្រូវ ។

5. ជំហានទី៥
   ដាក់លីមីត ៖ $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+2x+4\right)=4+4+4=12$ ។
   ហេតុអ្វី ពហុធាជាអនុគមន៍បន្ត ដូច្នេះគេគ្រាន់តែជំនួស $x=2$ ។

6. ជំហានទី៦
   ខ. $f(2)=2^2-1=3$ និង $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^2-1-3}{x-2}=\frac{x^2-4}{x-2}$ ។
   ហេតុអ្វី ដូចជំហានទី១ និងទី២ គ្រាន់តែប្តូរអនុគមន៍ ។

7. ជំហានទី៧
   បំផាយ $x^2-4=(x-2)(x+2)$ រួចបំបែក ៖ $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ ។
   ហេតុអ្វី ប្រើ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ។

8. ជំហានទី៨
   $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$ ។ $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$.
   ហេតុអ្វី លីមីតនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ គឺជាតម្លៃត្រង់ចំណុច ។

ចម្លើយ

ក. $f^{\prime }(2)=12$ ។

ខ. $f^{\prime }(2)=4$ ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍ ៖ គេមានអនុគមន៍

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+px+q& \text{បើ }x\le 1\\ 3x+4& \text{បើ }x>1\end{array}$$

កំណត់ចំនួនពិត $p$ និង $q$ ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍ $f$ មានដេរីវេត្រង់ $x=1$ ។ ( $p=1,q=5$ )

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+px+q& \text{if }x\le 1\\ 3x+4& \text{if }x>1\end{array}$$

ដំណោះស្រាយតាមសៀវភៅ

1. ជំហានទី១
   លក្ខខណ្ឌទីមួយ ៖ បើ $f$ មានដេរីវេត្រង់ $x=1$ នោះ $f$ ជាប់ត្រង់ $x=1$ ។
   ហេតុអ្វី ភាពបន្តជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់មុនគេ ។

2. ជំហានទី២
   គណនាតម្លៃពីរចំហៀង ៖ $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=1+p+q$ និង $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=3\cdot 1+4=7$ ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវយកកន្សោមត្រឹមត្រូវតាមលក្ខខណ្ឌ $x\le 1$ និង $x>1$ ។

3. ជំហានទី៣
   សមភាពភាពបន្ត ៖ $1+p+q=7$ គឺ $p+q=6$ ។
   ហេតុអ្វី តម្លៃពីរចំហៀងត្រូវស្មើគ្នា ។

4. ជំហានទី៤
   ដេរីវេខាងឆ្វេង ៖ ចំពោះ $x<1$ គេបាន $f^{\prime }(x)=2x+p$ ដូច្នេះ $f_{-}^{\prime }(1)=2+p$ ។
   ហេតុអ្វី ធ្វើដេរីវេលើកន្សោម $x^2+px+q$ តាមរូបមន្ត $y^{\prime }=n{x}^{n-1}$ ។

5. ជំហានទី៥
   ដេរីវេខាងស្តាំ ៖ ចំពោះ $x>1$ គេបាន $f^{\prime }(x)=3$ ដូច្នេះ $f_{+}^{\prime }(1)=3$ ។
   ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ $3x+4$ គឺជម្រាល $3$ ។

6. ជំហានទី៦
   សមភាពដេរីវេពីរចំហៀង ៖ $2+p=3$ ដូច្នេះ $p=1$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌទីពីរ $f_{-}^{\prime }(1)=f_{+}^{\prime }(1)$ ។

7. ជំហានទី៧
   ជំនួស $p=1$ ក្នុង $p+q=6$ ៖ $1+q=6$ ដូច្នេះ $q=5$ ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវប្រើលក្ខខណ្ឌទាំងពីររួមគ្នា ។

8. ជំហានទី៨
   ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ $f(x)=x^2+x+5$ ពេល $x\le 1$ និង $f(1)=7$ ដែលស្មើនឹង $3\cdot 1+4$ ។ ដេរីវេខាងឆ្វេង $2+1=3$ ស្មើនឹងដេរីវេខាងស្តាំ ។
   ហេតុអ្វី ការផ្ទៀងផ្ទាត់ធានាថាមិនមានកំហុសគណនា ។

ចម្លើយ $p=1$ និង $q=5$ ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍១ ៖ គេឱ្យអនុគមន៍ $y=(5x+1{)}^3$ ។ គណនា $\frac{dy}{dx}$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   កំណត់ស្រទាប់ ៖ ស្រទាប់ក្នុង $u=5x+1$ និងស្រទាប់ក្រៅ $y=u^3$ ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវឃើញអនុគមន៍ជាអនុគមន៍បណ្តាក់ ទើបអនុវត្តច្បាប់ខ្សែសង្វាក់បាន ។

2. ជំហានទី២
   គណនា $\frac{du}{dx}=5$ ។
   ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $5x+1$ គឺមេគុណ $5$ ។

3. ជំហានទី៣
   អនុវត្តរូបមន្ត $y=u^n$ ៖ $\frac{dy}{dx}=3u^2\times 5$ ។
   ហេតុអ្វី $n=3$ ដូច្នេះ $n{u}^{n-1}=3u^2$ ។

4. ជំហានទី៤
   ជំនួស $u$ វិញ ៖ $\frac{dy}{dx}=3(5x+1{)}^2\times 5=15(5x+1{)}^2$ ។
   ហេតុអ្វី ចម្លើយត្រូវសរសេរក្នុងអថេរដើម $x$ ។

5. ជំហានទី៥
   ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយបំផាយ ៖ $(5x+1{)}^3=125x^3+75x^2+15x+1$ ដូច្នេះដេរីវេគឺ $375x^2+150x+15=15\left(25x^2+10x+1\right)=15(5x+1{)}^2$ ។
   ហេតុអ្វី វិធីពីរផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា ដូច្នេះចម្លើយត្រឹមត្រូវ ។

ចម្លើយ $\frac{dy}{dx}=15(5x+1{)}^2$ ។

ចំណោទ ឧទាហរណ៍២ ៖ គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=\sqrt{x^2-1}$ , $y={\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^3$ និង $y=\frac{1}{{\left(x^2+3x+1\right)}^2}$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   ក. សរសេរ $\sqrt{x^2-1}={\left(x^2-1\right)}^{\frac{1}{2}}$ ។
   ហេតុអ្វី ឫសការេជាស្វ័យគុណ $\frac{1}{2}$ ដូច្នេះប្រើរូបមន្ត $u^n$ បាន ។

2. ជំហានទី២
   អនុវត្ត $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ ជាមួយ $u=x^2-1$ និង $u^{\prime }=2x$ ៖ $y^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាករណី $n=\frac{1}{2}$ នៃរូបមន្ត ។

3. ជំហានទី៣
   បំពេញចម្លើយ ៖ $y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ ចំពោះ $x>1$ ឬ $x<-1$ ។
   ហេតុអ្វី បំបែកកត្តា $2$ ចេញ ហើយត្រូវបញ្ជាក់ដែនកំណត់ ដែល $x^2-1>0$ ។

4. ជំហានទី៤
   ខ. កំណត់ $u=\frac{x-1}{x+1}$ ដូច្នេះ $y=u^3$ ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវញែកស្រទាប់ក្នុង និងស្រទាប់ក្រៅ ។

5. ជំហានទី៥
   គណនា $u^{\prime }$ ដោយច្បាប់ផលធៀប ៖ $u^{\prime }=\frac{1\cdot (x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ ។
   ហេតុអ្វី ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}$ [B4-FRM-010 ជួរ ១៤] ។

6. ជំហានទី៦
   អនុវត្ត $y^{\prime }=3u^2{u}^{\prime }$ ៖ $y^{\prime }=3{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^2\cdot \frac{2}{(x+1{)}^2}=\frac{6(x-1{)}^2}{(x+1{)}^4}$ ។
   ហេតុអ្វី ${\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^2=\frac{(x-1{)}^2}{(x+1{)}^2}$ ហើយគុណនឹង $\frac{2}{(x+1{)}^2}$ បានភាគបែង $(x+1{)}^4$ ។