ភាពជាប់នៃអនុគមន៍

នៅចំណុច $x=a$ ត្រូវឆ្លើយសំណួរបីតាមលំដាប់៖ (១) តើ $f(a)$ មានតម្លៃទេ? (២) តើលីមីតពេល $x\to a$ មានទេ? (៣) តើលីមីតនោះស្មើ $f(a)$ ទេ? បើចម្លើយទាំងបីជា «បាទ/ចាស» នោះ $f$ ជាប់ត្រង់ $a$ ។ បើចម្លើយណាមួយជា «ទេ» នោះ $f$ មិនជាប់ត្រង់ $a$ ហើយគេឈប់ភ្លាម ។

លក្ខខណ្ឌទីបីនិយាយអំពី $f(a)$ ដូច្នេះបើ $f(a)$ មិនមាន លក្ខខណ្ឌទីបីគ្មានន័យ ។ ដូចគ្នា បើលីមីតមិនមាន គេមិនអាចប្រៀបធៀបវានឹង $f(a)$ បានទេ ។ ដូច្នេះលំដាប់ (១) → (២) → (៣) មិនមែនជាការចងចាំទេ តែជាតក្កវិទ្យាចាំបាច់ ។

មានចំណុចដាច់ពីរប្រភេទដែលសិស្សជួបញឹកញាប់ ។ ប្រភេទទីមុន គឺ ចំណុចដាច់ប្រភេទលោត៖ លីមីតខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំមាន តែមិនស្មើគ្នា ដូច្នេះក្រាហ្វលោតពីកម្ពស់មួយទៅកម្ពស់មួយទៀត ។ ប្រភេទទីពីរ គឺ ចំណុចដាច់ដែលអាចបំពេញបាន៖ លីមីតមាន តែអនុគមន៍មិនកំណត់ ឬកំណត់តម្លៃខុសនៅចំណុចនោះ ។ ប្រភេទទីពីរនេះជាប្រភេទដែលគេអាច «បន្លាយតាមភាពជាប់» បាន ។

នៅលើចន្លោះបើក $(a,b)$ គ្មានចំណុចចុងទេ ដូច្នេះគ្រាន់តែត្រូវការភាពជាប់នៅគ្រប់ចំណុចខាងក្នុង ។ នៅលើចន្លោះបិទ $[a,b]$ មានចំណុចចុងបន្ថែមពីរ ដូច្នេះត្រូវបន្ថែមលក្ខខណ្ឌពីរទៀត៖ លីមីតពីស្តាំត្រង់ $a$ ស្មើ $f(a)$ និងលីមីតពីឆ្វេងត្រង់ $b$ ស្មើ $f(b)$ ។

បើអនុគមន៍ជាប់លើ $[a,b]$ ហើយតម្លៃ $f(a)$ និង $f(b)$ នៅសងខាងតម្លៃ $k$ នោះក្រាហ្វត្រូវឆ្លងកាត់កម្ពស់ $k$ យ៉ាងតិចម្តង ។ ដោយសារក្រាហ្វមិនដាច់ វាមិនអាចលោតឆ្លងកម្ពស់នោះដោយមិនប៉ះវាបានទេ ។ លទ្ធផលសំខាន់បំផុតគឺករណី $k=0$៖ បើ $f(a)$ និង $f(b)$ មានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា នោះសមីការ $f(x)=0$ មានឫសក្នុង $[a,b]$ ។

និយមន័យ៖ អនុគមន៍ $y=f(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់មួយចំណុច $x=a$ កាលណា $f$ បំពេញលក្ខខណ្ឌបីខាងក្រោម៖

1. $f$ កំណត់ចំពោះ $x=a$ ។
2. $f$ មានលីមីតកាលណា $x$ ខិតទៅ $a$ ។
3. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ ។

លក្ខខណ្ឌទីមួយធានាថាតម្លៃ $f(a)$ មានពិត ។ លក្ខខណ្ឌទីពីរធានាថាលីមីតមាន ពោលគឺលីមីតខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំស្មើគ្នា ។ លក្ខខណ្ឌទីបីភ្ជាប់លីមីតទៅនឹងតម្លៃពិតនៃអនុគមន៍ ។ បើលក្ខខណ្ឌទីបីខ្វះ នោះក្រាហ្វមានរន្ធតូចមួយ ឬចំណុចមួយដាក់ខុសកន្លែង ។

បើ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុច $x=a$ នោះគេបាន៖

1. $f(x)+g(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុច $x=a$ ។
2. $f(x)-g(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុច $x=a$ ។
3. $f(x)\cdot g(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុច $x=a$ ។
4. $kf(x)$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុច $x=a$ ដែល $k$ ជាចំនួនថេរ ។
5. $\frac{f(x)}{g(x)}$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ចំណុច $x=a$ ដែល $g(a)\ne 0$ ។

លក្ខណៈទាំងប្រាំនេះមកពីច្បាប់លីមីត ។ ឧទាហរណ៍ លក្ខខណ្ឌទីមួយមកពី $\lim (f+g)=\lim f+\lim g$ ។ ចំណុចសំខាន់គឺលក្ខខណ្ឌទីប្រាំ៖ ការចែករក្សាភាពជាប់ លុះត្រាតែភាគបែងមិនសូន្យត្រង់ចំណុចនោះ ។ ដូច្នេះពហុធាជាប់គ្រប់កន្លែង ហើយអនុគមន៍សនិទានជាប់គ្រប់កន្លែង លើកលែងតែនៅកន្លែងដែលភាគបែងសូន្យ ។

និយមន័យ៖

1. អនុគមន៍ $f$ ជាប់លើចន្លោះបើក $(a,b)$ លុះត្រាតែ $f$ ជាប់ចំពោះគ្រប់តម្លៃ $x$ នៅចន្លោះបើកនោះ ។
2. អនុគមន៍ $f$ ជាប់លើចន្លោះបិទ $[a,b]$ លុះត្រាតែ $f$ ជាប់លើ $(a,b)$ និងមានលីមីត $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ និង $\underset{x\to b}{\lim }f(x)=f(b)$ ។

និយមន័យនេះបង្ហាញថាចំណុចចុងត្រូវការលីមីតតែម្ខាងប៉ុណ្ណោះ ។ នៅ $x=a$ គេខិតមកពីខាងស្តាំ ដោយសារគ្មានចំណុចណានៅខាងឆ្វេង $a$ ក្នុងចន្លោះនោះ ។ បើអនុគមន៍មិនកំណត់ត្រង់ចំណុចចុង នោះវាមិនអាចជាប់លើចន្លោះបិទនោះបានទេ ។

បើអនុគមន៍ $g$ ជាប់ត្រង់ $c$ និងអនុគមន៍ $f$ ជាប់ត្រង់ $g(c)$ នោះអនុគមន៍បញ្ចំាក់ $(f\circ g)(x)=f\left[g(x)\right]$ ជាប់ត្រង់ $c$ ។

អនុគមន៍បញ្ចំាក់ (composite function) គឺអនុគមន៍ដែលដាក់អនុគមន៍មួយនៅខាងក្នុងអនុគមន៍មួយទៀត ។ លក្ខខណ្ឌសំខាន់គឺ $f$ ត្រូវជាប់ត្រង់ តម្លៃ $g(c)$ មិនមែនត្រង់ $c$ ទេ ។ ឧទាហរណ៍ បើ $g(c)=2$ នោះ $f$ ត្រូវជាប់ត្រង់ $2$ ។ លក្ខខណ្ឌនេះធានាថា $g(x)$ មិនឆ្លងកាត់ចំណុចដាច់របស់ $f$ ពេល $x$ ខិតទៅ $c$ ។

បើ $f$ ជាអនុគមន៍មិនកំណត់ត្រង់ $x=a$ និងមានលីមីត $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\lambda$ នោះអនុគមន៍បន្លាយនៃ $f$ តាមភាពជាប់ត្រង់ $x=a$ កំណត់ដោយ៖

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\ne a\\ \lambda ,& x=a\end{array}$$

ពាក្យ «បន្លាយ» មានន័យថាបំពេញរន្ធដោយតម្លៃ $\lambda$ ដែលជាលីមីត ។ អនុគមន៍បន្លាយ $g$ ខុសពី $f$ តែនៅចំណុច $a$ មួយប៉ុណ្ណោះ ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់គឺលីមីតត្រូវមានជាចំនួនកំណត់ (finite) ។ បើលីមីតជា $\pm \infty$ ឬមិនមាន នោះមិនអាចបន្លាយតាមភាពជាប់បានទេ ។

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\ne a\\ \lambda ,& x=a\end{array}$$

ទ្រឹស្តីបទ៖ បើអនុគមន៍ $f$ ជាប់លើចន្លោះបិទ $[a,b]$ និង $k$ ជាចំនួនមួយនៅចន្លោះ $f(a)$ និង $f(b)$ នោះមានចំនួនពិត $c$ មួយយ៉ាងតិចក្នុងចន្លោះបិទ $[a,b]$ ដែល $f(c)=k$ ។

ពាក្យ «យ៉ាងតិចមួយ» មានន័យថាអាចមានច្រើនជាងមួយ ។ ទ្រឹស្តីបទនេះធានាតែអត្ថិភាព មិនធានាភាពតែមួយ ហើយក៏មិនបង្ហាញរបៀបរក $c$ ដែរ ។ លក្ខខណ្ឌ «ជាប់លើចន្លោះបិទ» មិនអាចខ្វះបានទេ៖ អនុគមន៍មានចំណុចដាច់អាចលោតឆ្លង $k$ ដោយមិនប៉ះវា ។

វិបាក៖ បើអនុគមន៍ $f$ ជាប់ហើយក៏ជាដាច់ខាត ឬចុះដាច់ខាតលើចន្លោះបិទ $[a,b]$ នោះចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $k$ នៅចន្លោះ $f(a)$ និង $f(b)$ សមីការ $f(x)=k$ មានចម្លើយយ៉ាងតិចមួយក្នុងចន្លោះ $[a,b]$ ។

«ដាច់ខាត» (strictly monotone) មានន័យថាអនុគមន៍កើនតែម្តង ឬថយតែម្តង ដោយមិនឈប់ និងមិនត្រឡប់ ។ លក្ខខណ្ឌនេះបន្ថែមពីលើទ្រឹស្តីបទគម្លាតកណ្តាល ដើម្បីធានាថាចម្លើយនៅក្នុងចន្លោះពិតជាមាន ហើយក្នុងករណីនេះចម្លើយមានតែមួយ ។

សម្គាល់៖ ទ្រឹស្តីបទគម្លាតកណ្តាលអាចប្រើបានចំពោះ $k=0$ ។ ជាពិសេស បើអនុគមន៍ $f$ ជាប់លើចន្លោះបិទ $[a,b]$ និង $f(a)$ និង $f(b)$ មានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា នោះ $(f(a)\times f(b)<0)$ មានចំនួន $c$ មួយយ៉ាងតិចក្នុងចន្លោះបិទ $[a,b]$ ដែល $f(c)=0$ ។

នេះជាករណីដែលគេប្រើច្រើនបំផុតក្នុងការប្រឡង ។ ដើម្បីប្រើវា ត្រូវធ្វើបីជំហាន៖ គណនា $f(a)$ និង $f(b)$; បង្ហាញថាផលគុណអវិជ្ជមាន; បង្ហាញថា $f$ ជាប់លើ $[a,b]$ ។ បើខ្វះជំហានណាមួយ ការសន្និដ្ឋានមិនត្រឹមត្រូវទេ ។

ចំណោទ ចូរឲ្យ $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3& \text{បើ }x\le 1\\ 3-x& \text{បើ }1<x\end{array}$ ។ សិក្សាភាពជាប់នៃ $f$ នៅត្រង់ $x=1$ ។

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3,& x\le 1\\ 3-x,& 1<x\end{array}\text{at }x=1$$

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   គណនា $f(1)$ ។ ដោយ $1\le 1$ គេប្រើខ្នាតទីមួយ $f(x)=x+3$ ដូច្នេះ $f(1)=1+3=4$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌទីមួយនៃនិយមន័យទាមទារតម្លៃ $f(a)$ ហើយសញ្ញា $\le$ បញ្ជាក់ថាចំណុច $x=1$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ខ្នាតទីមួយ ។

2. ជំហានទី២
   គណនាលីមីតខាងឆ្វេង ។ ពេល $x\to 1^{-}$ គេមាន $x<1$ ដូច្នេះ $f(x)=x+3$ ហើយ $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=1+3=4$ ។
   ហេតុអ្វី ពហុធា $x+3$ ជាអនុគមន៍ជាប់ ដូច្នេះគេគ្រាន់តែជំនួស $x=1$ ។

3. ជំហានទី៣
   គណនាលីមីតខាងស្តាំ ។ ពេល $x\to 1^{+}$ គេមាន $x>1$ ដូច្នេះ $f(x)=3-x$ ហើយ $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=3-1=2$ ។
   ហេតុអ្វី នៅខាងស្តាំនៃ $1$ ខ្នាតដែលដំណើរការគឺ $3-x$ ហើយវាជាពហុធាដែរ ។

4. ជំហានទី៤
   ប្រៀបធៀបលីមីតទាំងពីរ៖ $4\ne 2$ ដូច្នេះ $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ មិនមាន ។
   ហេតុអ្វី លីមីតធម្មតាមានលុះត្រាតែលីមីតម្ខាងទាំងពីរស្មើគ្នា ។

5. ជំហានទី៥
   សន្និដ្ឋាន៖ $f$ មិនជាប់ត្រង់ $x=1$ ទេ ព្រោះលក្ខខណ្ឌទីពីរខ្វះ ។ នេះជាចំណុចដាច់ប្រភេទលោត ដោយក្រាហ្វលោតពី $4$ ចុះមក $2$ ។
   ហេតុអ្វី បើលក្ខខណ្ឌទីពីរខ្វះ នោះលក្ខខណ្ឌទីបីមិនអាចពិនិត្យបានទេ ហើយភាពជាប់ត្រូវបដិសេធភ្លាម ។

ចំណោទ ចូរឲ្យ $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& \text{បើ }x\ge 0\\ \frac{1}{2}{x}^2+x& \text{បើ }x<0\end{array}$ ។ តើ $f$ ជាប់នៅត្រង់ $x=0$ ឬទេ?

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& x\ge 0\\ \frac{1}{2}{x}^2+x,& x<0\end{array}$$

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   គណនា $f(0)$ ។ ដោយ $0\ge 0$ គេប្រើ $f(x)=\sin x$ ដូច្នេះ $f(0)=\sin 0=0$ ។
   ហេតុអ្វី ខ្នាតទីមួយមានសញ្ញា $\ge$ ដូច្នេះវាគ្របដណ្តប់ចំណុច $x=0$ ខ្លួនឯង ។

2. ជំហានទី២
   លីមីតខាងស្តាំ៖ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sin x=\sin 0=0$ ។
   ហេតុអ្វី អនុគមន៍ស៊ីនុសជាប់លើ $\mathbb{R}$ ដូច្នេះការជំនួសត្រង់បានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវ ។

3. ជំហានទី៣
   លីមីតខាងឆ្វេង៖ $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{2}{x}^2+x\right)=0+0=0$ ។
   ហេតុអ្វី ពហុធា $\frac{1}{2}{x}^2+x$ ជាប់ ហើយតម្លៃរបស់វាត្រង់ $0$ គឺ $0$ ។

4. ជំហានទី៤
   លីមីតម្ខាងទាំងពីរស្មើគ្នា ដូច្នេះ $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពលីមីត ។

5. ជំហានទី៥
   ប្រៀបធៀប៖ $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0=f(0)$ ដូច្នេះ $f$ ជាប់ត្រង់ $x=0$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌទាំងបីនៃនិយមន័យត្រូវបានបំពេញ ។

ចំណោទ កំណត់តម្លៃ $x$ ដែលនាំឱ្យអនុគមន៍ខាងក្រោម ជាអនុគមន៍ជាប់៖

ក. $f(x)=x^{14}+20x^4$

ខ. $g(x)=(7x^2+8)(3-x)$

គ. $h(x)=\frac{x+3}{x^2-3x-10}$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ក. ជំហានទី១ $f$ ជាពហុធា ។ ផលបូក និងផលគុណនៃអនុគមន៍ជាប់ ជាអនុគមន៍ជាប់ ។ ដូច្នេះ $f$ ជាប់ចំពោះគ្រប់ $x\in \mathbb{R}$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខណៈ ១ និង ៣ នៃ អនុវត្តលើ $x^{14}$ និង $20x^4$ ហើយចំនួនថេរក៏ជាអនុគមន៍ជាប់ដែរ ។

2. ក. ជំហានទី២ ដែនកំណត់របស់ $f$ គឺ $\mathbb{R}$ ហើយគ្មានចំណុចដែលត្រូវដកចេញទេ ។ ដូច្នេះចម្លើយគឺ $x\in \mathbb{R}$ ទាំងអស់ ។
   ហេតុអ្វី ភាពជាប់លើចន្លោះមួយ ត្រូវរាយការណ៍ជាចន្លោះ មិនមែនជាពាក្យ «ជាប់» សុទ្ធសាធទេ ។

3. ខ. ជំហានទី១ $g$ ជាផលគុណនៃពហុធាពីរ គឺ $7x^2+8$ និង $3-x$ ។ ពហុធាទាំងពីរជាប់លើ $\mathbb{R}$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខណៈ ៣ នៃ ផ្តល់ភាពជាប់ដល់ផលគុណ ។

4. ខ. ជំហានទី២ ដូច្នេះ $g$ ជាប់ចំពោះគ្រប់ $x\in \mathbb{R}$ ។ គ្មានភាគបែង ដូច្នេះគ្មានតម្លៃដែលត្រូវដកចេញ ។
   ហេតុអ្វី ហានិភ័យតែមួយគត់សម្រាប់ភាពជាប់គឺការចែកនឹងសូន្យ ហើយនៅទីនេះគ្មានការចែកទេ ។

5. គ. ជំហានទី១ ដាក់ភាគបែងជាផលគុណ៖ $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$ ព្រោះ $(-5)\times 2=-10$ និង $(-5)+2=-3$ ។
   ហេតុអ្វី ការដាក់ជាផលគុណបង្ហាញឫសរបស់ភាគបែងយ៉ាងច្បាស់ ។

6. គ. ជំហានទី២ ភាគបែងសូន្យត្រង់ $x=5$ និង $x=-2$ ។ ត្រង់ចំណុចទាំងនោះ $h$ មិនកំណត់ ដូច្នេះ $h$ មិនជាប់ទេ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌទីមួយ (ការកំណត់តម្លៃ) ខ្វះ ដូច្នេះគេមិនចាំបាច់គណនាលីមីតទេ ។

7. គ. ជំហានទី៣ នៅគ្រប់តម្លៃផ្សេងទៀត ភាគបែងមិនសូន្យ ហើយភាគយក និងភាគបែងជាពហុធា ។ ដូច្នេះ $h$ ជាប់លើ $\mathbb{R}\setminus \{-2,5\}$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខណៈ ៥ នៃ អនុវត្តបាន លុះត្រាតែភាគបែងមិនសូន្យ ។

ចំណោទ បង្ហាញថា $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}& \text{បើ }x\ne 0\\ 1& \text{បើ }x=0\end{array}$ ជាអនុគមន៍ជាប់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត ។

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$$

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   ចាប់ផ្តើមពីចំណុច $x\ne 0$ ។ នៅទីនោះ $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ ជាផលចែកនៃអនុគមន៍ជាប់ពីរ ដែលភាគបែងមិនសូន្យ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខណៈ ៥ នៃ ធានាភាពជាប់នៃផលចែក ។

2. ជំហានទី២
   ដូច្នេះ $f$ ជាប់ចំពោះគ្រប់ $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ ។ នៅសល់តែចំណុច $x=0$ ដែលត្រូវពិនិត្យដោយឡែក ។
   ហេតុអ្វី ភាគបែងសូន្យត្រង់ $0$ ដូច្នេះលក្ខណៈ ៥ មិនអនុវត្តនៅទីនោះទេ ។

3. ជំហានទី៣
   គណនាលីមីតត្រង់ $0$ ដោយប្រើលីមីតពិសេស $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាលីមីតមូលដ្ឋានដែលបានស្រាយក្នុងមេរៀនលីមីត ដោយប្រើវិសមភាព $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$ ។

4. ជំហានទី៤
   ប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃដែលបានកំណត់៖ $f(0)=1$ ហើយលីមីតក៏ $1$ ។ ដូច្នេះ $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខខណ្ឌទីបី ហើយវាជាលក្ខខណ្ឌដែលភ្ជាប់លីមីតទៅតម្លៃពិត ។

5. ជំហានទី៥
   សន្និដ្ឋាន៖ $f$ ជាប់ត្រង់ $0$ និងជាប់លើ $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ដូច្នេះ $f$ ជាប់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត ។
   ហេតុអ្វី ការរួមបញ្ចូលករណីទាំងអស់គ្របដណ្តប់ $\mathbb{R}$ ទាំងស្រុង ។

ចំណោទ រកតម្លៃ $a$ ដែលធ្វើឱ្យអនុគមន៍ $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-a& \text{បើ }x\le 1\\ \frac{x^2-3x+2}{x-1}& \text{បើ }x>1\end{array}$ ជាប់ត្រង់ $x=1$ ។

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-a,& x\le 1\\ \frac{x^2-3x+2}{x-1},& x>1\end{array}$$

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   គណនា $f(1)$ ពីខ្នាតទីមួយ៖ $f(1)=3(1)-a=3-a$ ។
   ហេតុអ្វី ខ្នាតទីមួយមានសញ្ញា $\le$ ដូច្នេះវាកំណត់តម្លៃត្រង់ $x=1$ ។

2. ជំហានទី២
   សម្រួលខ្នាតទីពីរសម្រាប់ $x>1$ ។ ដាក់ភាគយកជាផលគុណ៖ $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ ព្រោះ $(-2)+(-1)=-3$ និង $(-2)(-1)=2$ ។
   ហេតុអ្វី កត្តា $(x-1)$ ជាអ្នកបង្កើតទម្រង់ $\frac{0}{0}$ ពេល $x=1$ ។

3. ជំហានទី៣
   សម្រួលបាន $f(x)=x-2$ ពេល $x>1$ ព្រោះ $x-1\ne 0$ ។ ដូច្នេះ $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=1-2=-1$ ។
   ហេតុអ្វី ការកាត់កត្តាស្របច្បាប់ ព្រោះ $x\ne 1$ នៅក្នុងលីមីត ហើយ $x-1$ មិនសូន្យ ។

4. ជំហានទី៤
   លីមីតខាងឆ្វេង៖ $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(3x-a)=3-a$ ដែលជាតម្លៃ $f(1)$ ដែរ ។
   ហេតុអ្វី ពហុធា $3x-a$ ជាប់ ដូច្នេះលីមីតខាងឆ្វេងស្មើតម្លៃត្រង់ចំណុច ។

5. ជំហានទី៥
   ដាក់លក្ខខណ្ឌភាពជាប់៖ $3-a=-1$ ដូច្នេះ $a=3+1=4$ ។
   ហេតុអ្វី ភាពជាប់ត្រង់ចំណុចភ្ជាប់ទាមទារលីមីតម្ខាងទាំងពីរស្មើតម្លៃ $f(1)$ ។

6. ជំហានទី៦
   ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ ជាមួយ $a=4$ គេបាន $f(1)=3-4=-1$ និង $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=-1$ ។ ដូច្នេះ $f$ ជាប់ត្រង់ $1$ ។
   ហេតុអ្វី ការផ្ទៀងផ្ទាត់ការពារកំហុសសញ្ញាពេលដោះស្រាយសមីការ ។

ចំណោទ រកតម្លៃ $a$ ដែលធ្វើឱ្យអនុគមន៍ $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+a& \text{បើ }x<0\\ x^2-1& \text{បើ }x\ge 0\end{array}$ ជាប់ត្រង់ $x=0$ ។

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+a,& x<0\\ x^2-1,& x\ge 0\end{array}$$

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១
   គណនា $f(0)$ ពីខ្នាតទីពីរ៖ $f(0)=0^2-1=-1$ ។
   ហេតុអ្វី ខ្នាតទីពីរមានសញ្ញា $\ge$ ដូច្នេះវាគ្របដណ្តប់ $x=0$ ។

2. ជំហានទី២
   លីមីតខាងឆ្វេង៖ ពេល $x\to 0^{-}$ គេប្រើ $-x+a$ ដូច្នេះ $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=a$ ។
   ហេតុអ្វី នេះជាខ្នាតតែមួយគត់ដែលដំណើរការនៅខាងឆ្វេង $0$ ។

3. ជំហានទី៣
   លីមីតខាងស្តាំ៖ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x^2-1)=-1$ ដែលស្មើ $f(0)$ ។
   ហេតុអ្វី $x^2-1$ ជាពហុធាជាប់ ដូច្នេះជំនួសត្រង់បាន ។

4. ជំហានទី៤
   ដាក់ $a=-1$ ដើម្បីឱ្យលីមីតម្ខាងទាំងពីរស្មើគ្នា ។
   ហេតុអ្វី បើមិនស្មើគ្នា គេនឹងមានចំណុចដាច់ប្រភេទលោត ហើយគ្មានតម្លៃ $a$ ណាអាចជួសជុលបានទេ ។

5. ជំហានទី៥
   សន្និដ្ឋាន៖ $a=-1$ ។ ពេលនោះ $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-1=f(0)$ ដូច្នេះ $f$ ជាប់ត្រង់ $0$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌទាំងបីត្រូវបានបំពេញជាមួយតម្លៃនេះ ។

ចំណោទ ចូរបញ្ជាក់ភាពជាប់នៃអនុគមន៍ខាងក្រោមលើចន្លោះដែលឱ្យ៖

ក. $f(x)=\frac{1}{x}$ , $(0,1)$

ខ. $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ , $(0,2)$

គ. $f(x)=\sin x$ , $[0,2\pi ]$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ក. ជំហានទី១ ដែនកំណត់របស់ $\frac{1}{x}$ គឺ $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ។ ចន្លោះ $(0,1)$ មិនមាន $0$ ទេ ។
   ហេតុអ្វី ត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់ដែនកំណត់មុន ដើម្បីដឹងថាគ្មានចំណុចណាត្រូវដកចេញពីចន្លោះទេ ។

2. ក. ជំហានទី២ នៅគ្រប់ $x\in (0,1)$ ភាគបែងមិនសូន្យ ហើយ $1$ និង $x$ ជាអនុគមន៍ជាប់ ។ តាមលក្ខណៈ ៥ នៃ $f$ ជាប់លើ $(0,1)$ ។
   ហេតុអ្វី និយមន័យ ទាមទារភាពជាប់ត្រង់គ្រប់ចំណុចក្នុងចន្លោះបើក ។

3. ខ. ជំហានទី១ សម្រួល៖ $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ ពេល $x\ne 1$ ព្រោះ $x^2-1=(x-1)(x+1)$ ។
   ហេតុអ្វី ការកាត់កត្តាស្របច្បាប់តែពេលកត្តានោះមិនសូន្យ ។

4. ខ. ជំហានទី២ ចំណុច $x=1$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះ $(0,2)$ តែ $f(1)$ មិនកំណត់ (ទម្រង់ $\frac{0}{0}$) ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ $f$ មិនជាប់លើ $(0,2)$ ទេ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌទីមួយខ្វះត្រង់ចំណុចមួយក្នុងចន្លោះ ហើយនិយមន័យទាមទារគ្រប់ចំណុច ។

5. ខ. ជំហានទី៣ អ្វីដែលពិតគឺ $f$ ជាប់លើ $(0,1)$ និងលើ $(1,2)$ ។ បើបន្លាយ $f$ ដោយ $g(1)=2$ នោះ $g(x)=x+1$ ជាប់លើ $(0,2)$ ទាំងមូល ។
   ហេតុអ្វី នេះជាការប្រើនិយមន័យអនុគមន៍បន្លាយ ដោយលីមីត $\lambda =2$ ។

6. គ. ជំហានទី១ អនុគមន៍ $\sin x$ ជាប់លើ $\mathbb{R}$ ទាំងមូល ដូច្នេះវាជាប់លើ $(0,2\pi )$ ជាពិសេស ។
   ហេតុអ្វី អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាអនុគមន៍បឋមដែលជាប់លើដែនកំណត់របស់វា ។

7. គ. ជំហានទី២ ពិនិត្យចំណុចចុងទាំងពីរ៖ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sin x=0=\sin 0$ និង $\underset{x\to 2{\pi }^{-}}{\lim }\sin x=0=\sin 2\pi$ ។
   ហេតុអ្វី និយមន័យ ទាមទារលីមីតតែម្ខាងនៅចំណុចចុងនីមួយៗ ។

8. គ. ជំហានទី៣ ដូច្នេះ $\sin x$ ជាប់លើចន្លោះបិទ $[0,2\pi ]$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌខាងក្នុង និងលក្ខខណ្ឌចំណុចចុងត្រូវបានបំពេញទាំងអស់ ។