លីមីតនៃអនុគមន៍

ជំពូកទី 2 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

150 min8 គោលដៅសិក្សា86 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

ជ្រើសរើសវិធីរកលីមីតឱ្យបានច្បាស់លាស់៖ ដំបូងជំនួសតម្លៃ រួចសម្រួលតែក្នុងករណីចាំបាច់។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

និយាយអត្ថន័យនៃ $x \to a lim f (x) = b$ ដោយពាក្យខ្លួនឯង និងបកស្រាយថាហេតុអ្វីលីមីតមិនខ្វល់ពីតម្លៃ $f (a)$ ។
គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា អនុគមន៍សនិទាន និងអនុគមន៍អសនិទាន ដោយការជំនួសតម្លៃផ្ទាល់ ។
សម្គាល់ទម្រង់មិនកំណត់ទាំងប្រាំគឺ $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $+ \infty - \infty$ , $0 \times \infty$ និង $1^{\infty}$ ហើយជ្រើសវិធីត្រឹមត្រូវសម្រាប់តម្រង់នីមួយៗ ។
ដាក់ជាផលគុណកត្តា ឬគុណចែកដោយកន្សោមផ្សំស្រប់ ដើម្បីដោះទម្រង់ $\frac{0}{0}$ ។
ប្រើលីមីតស្តង់ដារ $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$ និង $x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ ។
គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងអនុគមន៍លោការីត នៅចុងទាំងពីរនៃតំបន់កំណត់ ។
ដោះលំហាត់ប្រភេទ "រកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ" ដែលលីមីតត្រូវជាចំនួនពិត ។
គណនាលីមីតខាងឆ្វេង និងខាងស្ដាំ ហើយសន្និដ្ឋានថាលីមីតមាន ឬគ្មាន ។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 07

One-sided limits

Approach the point from the specified side. A two-sided limit exists only when both one-sided answers agree.

ឧទាហរណ៍ 01Find lim_x→0⁻ x/|x|.

1For x<0, |x|=−x.
2So x/|x|=x/(−x)=−1.

ចម្លើយ−1

ឧទាហរណ៍ 02Find lim_x→0⁺ x/|x|.

1For x>0, |x|=x.
2So x/|x|=x/x=1.

ចម្លើយ1

ឧទាហរណ៍ 03Find lim_x→2⁻ |x−2|/(x−2).

1To the left of 2, x−2<0, so |x−2|=−(x−2).
2The quotient is −1 on that side.

ចម្លើយ−1

ឧទាហរណ៍ 04Find lim_x→2⁺ |x−2|/(x−2).

1To the right of 2, x−2>0, so |x−2|=x−2.
2The quotient is 1 on that side.

ចម្លើយ1

ឧទាហរណ៍ 05Find lim_x→1⁻ (x²−1)/|x−1|.

1Factor x²−1=(x−1)(x+1).
2For x<1, |x−1|=−(x−1), so the expression is −(x+1).

ចម្លើយ−2

ឧទាហរណ៍ 06Find lim_x→1⁺ (x²−1)/|x−1|.

1Factor x²−1=(x−1)(x+1).
2For x>1, |x−1|=x−1, so the expression is x+1.

ចម្លើយ2

ឧទាហរណ៍ 07Let f(x)=x+2 for x<1 and f(x)=5−x for x≥1. Find lim_x→1⁻f(x).

1Use the rule that applies to x<1.
2As x approaches 1 from below, x+2 approaches 3.

ចម្លើយ3

ឧទាហរណ៍ 08For the same piecewise function, find lim_x→1⁺f(x).

1Use the rule that applies to x≥1.
2As x approaches 1 from above, 5−x approaches 4.

ចម្លើយ4

ឧទាហរណ៍ 09Does lim_x→1 f(x) exist for f(x)=x+2 (x<1), 5−x (x≥1)?

1The left-hand limit is 3.
2The right-hand limit is 4.
3Because they differ, the two-sided limit does not exist.

ចម្លើយDoes not exist

ឧទាហរណ៍ 10Find lim_x→3⁻ 1/(x−3).

1As x approaches 3 from the left, x−3 is negative and approaches 0.
2Its reciprocal decreases without bound.

ចម្លើយ−∞

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

៣.១ លីមីតជាការមើល "ខិតជិត" មិនមែន "មកដល់" ។ ស្រមៃថាអ្នកដើរតាមផ្លូវមួយឆ្ពោះទៅរូបចម្លាក់មួយ ប៉ុន្តែអ្នកឈប់មួយជំហានមុនរូបចម្លាក់នោះ ។ លីមីតសួរថា "អ្នកកំពុងឆ្ពោះទៅរកកម្ពស់ប៉ុន្មាន?" មិនមែន "អ្នកឈរនៅកម្ពស់ប៉ុន្មាន?" ទេ ។ ដូច្នេះ $x \to a lim f (x)$ មិនមើល $f (a)$ ឡើយ ។ បើ $f (a)$ គ្មានអត្ថន័យ លីមីតនៅតែអាចមាន ។ ឧទាហរណ៍ $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ គ្មានអត្ថន័យនៅ $x = 1$ ប៉ុន្តែវាខិតជិត $2$ ។

៣.២ លីមីតជាការទាយតម្លៃដោយសុវត្ថិភាព ។ បើអនុគមន៍ជា "រលូន" នៅ $x = a$ គឺគ្មានប្រហោង គ្មានចន្លោះ គ្មានការលោត នោះតម្លៃលីមីតគឺគ្រាន់តែជាតម្លៃដែលគេទទួលបានពេលជំនួស $x = a$ ចូល ។ នេះហៅថា ការជំនួសតម្លៃផ្ទាល់ ។ វិធីនេះគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ពហុធា និងសម្រាប់ប្រភាគដែលភាគបែងមិនខុសពីសូន្យ ។

៣.៣ ពេលណាត្រូវធ្វើការបន្ថែម? ពេលជំនួសហើយចេញជាទម្រង់ចម្លែក ដូចជា $\frac{0}{0}$ ឬ $\frac{\infty}{\infty}$ នោះមានន័យថាព័ត៌មាននៅ "ខាងក្នុង" នៅតែមាន ប៉ុន្តែត្រូវបានបាំងដោយកត្តារួម ។ ការងាររបស់យើងគឺដកកត្តារួមនោះចេញ រួចជំនួសម្ដងទៀត ។

៣.៤ ប្រអប់ឧបករណ៍មានប្រាំមួយធាតុ ។

១) ជំនួសផ្ទាល់ ប្រើពេលគ្មានទម្រង់មិនកំណត់ ។

២) ដាក់ជាផលគុណកត្តា ប្រើពេល $\frac{0}{0}$ និងមានពហុធា ។

៣) គុណចែកដោយកន្សោមផ្សំស្រប់ ប្រើពេល $\frac{0}{0}$ និងមានឫសការេ ។

៤) ដកកត្តាដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេ ប្រើពេល $x \to \pm \infty$ ។

៥) លីមីតស្តង់ដារ ប្រើពេលមាន $sin$ , $tan$ , $e^{x} - 1$ , $ln (1 + x)$ , $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ ។

៦) តាង $u = x - a$ ប្រើពេលមានត្រីកោណមាត្រជាមួយចំណុច $a \neq = 0$ ។

៣.៥ លីមីតមិនមែនតែងតែមាន ។ បើខាងឆ្វេង និងខាងស្ដាំឆ្ពោះទៅរកតម្លៃខុសគ្នា នោះលីមីតមិនមាន ។ បើវាឆ្ពោះទៅ $+ \infty$ ឬ $- \infty$ នោះគេនិយាយថាលីមីតគ្មានកំណត់ ហើយមិនសរសេរថាស្មើនឹង $+ \infty$ ជាចំនួនពិតទេ ។

ផ្នែក 02

4.1 និយមន័យលីមីតនៅចំណុចមួយ

បើ $x$ ខិតជិត $a$ ហើយអនុគមន៍ $y = f (x)$ ខិតជិតមួយ $b$ នោះគេអាចសរសេរ $x \to a lim f (x) = b$ ។

ពាក្យ ខិតជិត មានន័យថា គេធ្វើឱ្យចម្ងាយរវាង $x$ និង $a$ តូចប៉ុន្មានក៏បាន តែ $x$ មិនចាំបាច់ស្មើ $a$ ឡើយ ។ ដូចគ្នា ចម្ងាយរវាង $f (x)$ និង $b$ ក៏តូចតាម ។ ដូច្នេះការសរសេរ $x \to a lim f (x) = b$ មានន័យថា "តម្លៃ $b$ ជាតម្លៃដែល $f (x)$ ឆ្ពោះទៅរក ពេល $x$ ឆ្ពោះទៅរក $a$ " ។

ចំណុចសំខាន់បីដែលត្រូវចងចាំ៖

១. លីមីតនិយាយអំពី អ្វីដែលកើតឡើងនៅជិត $a$ មិនមែន នៅ $a$ ។

២. តម្លៃ $f (a)$ អាចខុសពីលីមីត ឬអាចគ្មានអត្ថន័យទាំងអស់ ។

៣. លីមីតជាចំនួនពិតតែមួយគត់ បើវាមាន ។ បើខាងឆ្វេង និងខាងស្ដាំខុសគ្នា នោះលីមីតមិនមាន ។

FORMULA $x \to a lim f (x) = b$

ផ្នែក 03

4.2 ប្រមាណវិធីលើលីមីត

បើ $x \to a lim f (x) = L$ , $x \to a lim g (x) = M$ និង $x \to a lim h (x) = N$ ហើយ $L, M, N, k$ ជាចំនួនពិត នោះគេបានច្បាប់ខាងក្រោម ។

ច្បាប់ទាំងនេះមានន័យសាមញ្ញថា លីមីត "ចូលរួម" ក្នុងប្រមាណវិធីធម្មតា ។ ឧទាហរណ៍ លីមីតនៃផលបូក គឺជាផលបូកនៃលីមីត ។ តែត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ន៖ ច្បាប់ចែកទាមទារ $M \neq = 0$ ។ បើ $M = 0$ ច្បាប់នេះមិនអនុវត្តទេ ហើយចម្លើយអាចជាចំនួនគ្មានកំណត់ ឬគ្មានលីមីត ។

FORMULA $x \to a lim k = k$ $x \to a lim [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$ $x \to a lim [f (x) + g (x) - h (x)] = L + M - N$ $x \to a lim k f (x) = k x \to a lim f (x) = k \cdot L$ $x \to a lim [f (x) \cdot g (x) \cdot h (x)] = L \times M \times N$ $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M}, M \neq = 0, g (x) \neq = 0$

ផ្នែក 04

4.3 លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា

សម្រាប់អនុគមន៍ពហុធា លីមីតគឺគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ ។ មូលហេតុគឺថាពហុធាជាអនុគមន៍បន្ត គឺក្រាហ្វរបស់វាជាខ្សែរលូនគ្មានដាច់ ។ ដូច្នេះគ្មានប្រហោង គ្មានលោត ហើយការជំនួសផ្ទាល់គឺត្រឹមត្រូវ ។

FORMULA $x \to a lim k = k$ $x \to a lim (a x^{n}) = a x_{0}^{n}$ $x \to x_{0} lim P (x) = P (x_{0}), P (x) is a polynomial$

ផ្នែក 05

4.4 លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន

បើ $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ ដែល $g (x) \neq = 0$ ជាប្រកាសនិទាន នោះ $x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{f ( x _{0} )}{g ( x _{0} )}$ បើ $g (x_{0}) \neq = 0$ ។

លក្ខខណ្ឌ $g (x_{0}) \neq = 0$ ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ។ បើ $g (x_{0}) = 0$ នោះចំណុច $x_{0}$ មិនស្ថិតក្នុងតំបន់កំណត់ទេ ហើយគេត្រូវវិភាគបន្ថែម (មើលវិធីដាក់ជាផលគុណកត្តា និងវិធីគុណចែកដោយកន្សោមផ្សំស្រប់) ។

FORMULA $x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{f ( x _{0} )}{g ( x _{0} )}, g (x_{0}) \neq = 0$

ផ្នែក 06

4.5 លីមីតនៃអនុគមន៍អសនិទាន

ចំណាំ៖

១. $x \to a lim n x = n a$ ចំពោះ $a \geq 0$ និង $n \in N$ , $n \geq 2$ ។

២. $x \to a lim n x = n a$ ចំពោះ $a < 0$ និង $n$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិសេសធំជាង $2$ ។

៣. $x \to a lim n f (x) = n x \to a lim f (x) = n L = L^{\frac{1}{n}}$ បើ $L \geq 0$ និង $n \in N$ , $n \geq 2$ ។ បើ $L < 0$ និង $n$ ជាចំនួនគត់សេសធំជាង $2$ ក៏ដូចគ្នា ។

ចំណុចសំខាន់៖ ឫសការេ (និងឫសគូទាំងអស់) ត្រូវការចំនួនមិនអវិជ្ជមាននៅខាងក្នុង ។ ឫសសេស (ដូចជាឫសគូប) ទទួលចំនួនអវិជ្ជមានបាន ។ ដូច្នេះ $3 - 8 = - 2$ តែ $- 8$ គ្មានអត្ថន័យក្នុងចំនួនពិត ។

FORMULA $x \to a lim n x = n a, x \to a lim n f (x) = n x \to a lim f (x) = n L = L^{\frac{1}{n}}$

ផ្នែក 07

4.6 ទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{0}{0}$

លីមីតដែលមានទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{0}{0}$ ៖

ក) [UNCLEAR: និយស-គណនាលីមីតតាមការដាក់ជាផលគុណកត្តា ពាក្យដំបូងនៃចំណងជើងរងនេះព្រិល/អានមិនច្បាស់នៅក្នុងស្កេន; ផ្នែកដែលអានបានមានន័យថា "…ការគណនាលីមីតដោយដាក់ជាផលគុណកត្តា"]

ឧបមាថាគេមាន $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )}$ (1) ។ បើតម្លៃលេខ $f (a) = 0$ និង $g (a) = 0$ នោះលីមីត (1) មានរាងមិនកំណត់ $\frac{0}{0}$ ។ ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីគណនាលីមីត គេត្រូវដាក់ភាគយក និងភាគបែងជាផលគុណកត្តា ដែលមាន $(x - a)$ ជាកត្តារួម រួចសម្រួលកត្តារួមនោះចោល បន្ទាប់មករកលីមីតនៃប្រភាគថ្មី ។

ហេតុអ្វីវិធីនេះត្រឹមត្រូវ? ព្រោះលីមីតមិនខ្វល់ពីតម្លៃនៅ $x = a$ ។ ដូច្នេះយើងអាចសម្រួលប្រភាគនៅគ្រប់ $x \neq = a$ ដោយសេរី ហើយប្រភាគថ្មីមានតម្លៃដូចគ្នានៅគ្រប់ $x \neq = a$ ។

FORMULA $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} (1), \frac{0}{0}, (x - a)$

ផ្នែក 08

4.7 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

បញ្ហាលីមីតនៃអនុគមន៍អសនិទាន ៖

ករណីភាគប៉ះ $A - B$ ៖ គេមាន $(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ គេបាន $A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}$ ។

ពាក្យ កន្សោមផ្សំស្រប់ មានន័យថាកន្សោមដែលទទួលបានដោយប្ដូរសញ្ញានៅចំពោះមុខពាក្យទីពីរ ។ ដូច្នេះគូផ្សំស្រប់នៃ $A - B$ គឺ $A + B$ ។ គុណពួកវាចូលគ្នាបំបាត់ឫសការេ ដែលជាគោលបំណងទាំងអស់នៃវិធីនេះ ។

FORMULA $(A - B) (A + B) = A - B^{2} ⟹ A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}$

ផ្នែក 09

4.8 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

ករណីភាគប៉ះ $A - B$ ៖ គេមាន $(A - B) (A + B) = A^{2} - B$ គេបាន $A - B = \frac{A ^{2} - B}{A + B}$ ។

នេះជាករណីដូចគ្នា តែឫសស្ថិតនៅពាក្យទីពីរ ។ ចំណាំថាលទ្ធផលគឺ $A^{2} - B$ មិនមែន $A - B^{2}$ ទេ ។ ការភ័ណ្ឌញាណរវាងពីរករណីនេះជាកំហុសញឹកញាប់ ។

FORMULA $(A - B) (A + B) = A^{2} - B ⟹ A - B = \frac{A ^{2} - B}{A + B}$

ផ្នែក 10

4.9 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

ករណីភាគប៉ះ $A - B$ ៖ គេមាន $(A - B) (A + B) = A - B$ គេបាន $A - B = \frac{A - B}{A + B}$ ។

នេះជាករណីសាមញ្ញជាងគេ ហើយក៏ជាករណីដែលគេឃើញញឹកញាប់ជាងគេដែរ ។ លទ្ធផល $A - B$ គឺជាផលដកនៃកន្សោមក្រោមឫសទាំងពីរ ។

FORMULA $(A - B) (A + B) = A - B ⟹ A - B = \frac{A - B}{A + B}$

ផ្នែក 11

4.10 ទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{\infty}{\infty}$

វិធាន ៖ ដើម្បីគណនាលីមីតរាងមិនកំណត់ $\frac{\infty}{\infty}$ គេត្រូវដាក់កត្តាដែលមានដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេនៅភាគយក និងភាគបែងជាកត្តារួមសិន ហើយសម្រួលកត្តារួមចោល រួចគណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី ។

ក្នុងការអនុវត្ត គេច្រើនចែកភាគយក និងភាគបែងនឹង $x^{n}$ ដែល $n$ ជាដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេ ។ បន្ទាប់មកប្រើ $x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{k}} = 0$ សម្រាប់ $k > 0$ ។ លទ្ធផលអាស្រ័យលើការប្រៀបធៀបដឺក្រេ៖ បើដឺក្រេភាគបែងខ្ពស់ជាង លីមីតគឺ $0$ ; បើស្មើគ្នា លីមីតគឺសមាមាត្រមេគុណនាំមុខ; បើដឺក្រេភាគយកខ្ពស់ជាង លីមីតជាចំនួនគ្មានកំណត់ ។

FORMULA $\frac{\infty}{\infty}$

ផ្នែក 12

4.11 ទម្រង់មិនកំណត់ $+ \infty - \infty$

វិធាន ៖ ដើម្បីគណនាលីមីតមានមិនកំណត់ $+ \infty - \infty$ គេត្រូវ៖

❖ ចំពោះអនុគមន៍ពហុធា ៖ ដាក់កត្តាដែលមានដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេជាកត្តារួម ហើយគណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី ។ ❖ ចំពោះអនុគមន៍អសនិទាន ៖ គេត្រូវគុណ និងចែកកន្សោមនោះជាមួយកន្សោមផ្សំស្រប់វា ហើយគណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី ។

ចំណាំ៖ នៅពេល $x \to - \infty$ ត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នជាពិសេស ព្រោះ $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ មិនមែន $x$ ទេ ។ នេះជាកំហុសធំបំផុតនៅក្នុងជំពូកនេះ ។

FORMULA $+ \infty - \infty$

ផ្នែក 13

4.12 លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ៖

លីមីតនៃ $sin$ និង $cos$ គឺតម្លៃនៅចំណុចនោះផ្ទាល់ ព្រោះអនុគមន៍ទាំងពីរនេះបន្តលើ $R$ ទាំងមូល ។ ចំណែក $tan$ និង $cot$ មានចំណុចដាច់ ដែលគេត្រូវដកចេញ ៖ $tan$ ដាច់នៅ $x = \frac{π}{2} + kπ$ ហើយ $cot$ ដាច់នៅ $x = kπ$ ។

FORMULA $x \to a lim sin x = sin a$ $x \to a lim cos x = cos a$ $x \to a lim tan x = tan a (a \neq = \frac{π}{2} + 2 kπ, k \in Z)$ $x \to a lim cot x = cot a (a \neq = kπ, k \in Z)$

ផ្នែក 14

4.13 លីមីតមូលដ្ឋានពីរនៃត្រីកោណមាត្រ

បើ $x$ ជាចំនួនពិត [UNCLEAR: …ឬចំនួនគត់ផ្សំដែលនោះគេបាន ចុងបញ្ចប់នៃប្រយោគអានមិនច្បាស់នៅគុណភាពស្កេននេះ] ៖

ក. $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

ខ. $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x} = 0$

ហេតុអ្វី $\frac{sin x}{x} \to 1$ ? ព្រោះសម្រាប់ $x$ តូច (គិតជារ៉ាដ្យង់) ធ្នូ $x$ និងខ្សែ $sin x$ មានប្រវែងស្ទើរតែស្មើគ្នា ។ ហេតុអ្វី $\frac{1 - cos x}{x} \to 0$ ? ព្រោះ $1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2} \approx 2 (\frac{x}{2})^{2} = \frac{x ^{2}}{2}$ ដែលតូចជាង $x$ យ៉ាងខ្លាំង ។

FORMULA $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x} = 0$

ផ្នែក 15

4.14 លីមីតស្តង់ដារប្រភេទត្រីកោណមាត្រ

ចំណាំ ៖ លីមីតទាំងប្រាំបីខាងក្រោមសុទ្ធតែស្មើ $1$ ។ មូលហេតុគឺថា នៅពេល $x \to 0$ គេមាន $sin x \sim x$ និង $tan x \sim x$ ដែលមានន័យថាពួកវាស្មើគ្នាដល់លំដាប់ទីមួយ ។ ដូច្នេះសមាមាត្រនៃពួកវាជាមួយ $x$ ឆ្ពោះទៅ $1$ ។

ចំណាំថាលីមីតណាមួយក្នុងចំណោមនេះមិនអនុវត្តទេ បើអាគុយម៉ង់មិនឆ្ពោះទៅ $0$ ។ ឧទាហរណ៍ $x \to 0 lim \frac{sin x}{2 x} = \frac{1}{2}$ មិនមែន $1$ ទេ ។

FORMULA $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{sin x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{sin a x}{a x} = x \to 0 lim \frac{a x}{sin a x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{tan x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{tan a x}{a x} = x \to 0 lim \frac{a x}{tan a x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{sin ^{n} x}{x ^{n}} = x \to 0 lim \frac{x ^{n}}{sin ^{n} x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{sin ^{n} a x}{( a x ) ^{n}} = x \to 0 lim \frac{( a x ) ^{n}}{sin ^{n} a x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{tan ^{n} x}{x ^{n}} = x \to 0 lim \frac{x ^{n}}{tan ^{n} x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{tan ^{n} a x}{( a x ) ^{n}} = x \to 0 lim \frac{( a x ) ^{n}}{tan ^{n} a x} = 1$

ផ្នែក 16

4.15 វិធីតាង $u = x - a$ សម្រាប់ត្រីកោណមាត្រ

បើ $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )}$ មានរាងមិនកំណត់ $\frac{0}{0}$ (អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ) គេតាង $u = x - a$ នោះ $x = u + a$ ។ លើ $x \to a$ នោះ $u \to 0$ ។ រួចអនុវត្តលីមីត ដែល $u \to 0 lim \frac{sin u}{u} = 1$ និង $u \to 0 lim \frac{tan u}{u} = 1$ ។

ហេតុអ្វីត្រូវតាង? ព្រោះរូបមន្តស្តង់ដារទាមទារឱ្យអាគុយម៉ង់ឆ្ពោះទៅ $0$ ។ នៅពេល $x \to \frac{π}{2}$ អាគុយម៉ង់មិនឆ្ពោះទៅ $0$ ទេ ។ ការតាងប្ដូរចំណុចកណ្ដាលទៅ $0$ ហើយបន្ទាប់មកយើងប្រើរូបមន្តបំប្លែង $cos (u + \frac{π}{2}) = - sin u$ ជាដើម ដើម្បីទទួលបានរាងដែលត្រូវការ ។

FORMULA $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{0}{0}, u = x - a, x = u + a, x \to a \Rightarrow u \to 0$ $u \to 0 lim \frac{sin u}{u} = 1, u \to 0 lim \frac{tan u}{u} = 1$

ផ្នែក 17

4.16 ទម្រង់មិនកំណត់ $0 \times \infty$

លីមីតអនុគមន៍មិនកំណត់ $(0 \times \infty)$ ៖

នៅពេលឃើញផលគុណដែលកតាមួយឆ្ពោះទៅ $0$ និងកតាមួយទៀតឆ្ពោះទៅ $\infty$ នោះគេមិនអាចសន្និដ្ឋានភ្លាមបានទេ ។ វិធីគឺសរសេរផលគុណនោះជាប្រភាគ ដើម្បីបំប្លែងទៅជាទម្រង់ $\frac{0}{0}$ ឬ $\frac{\infty}{\infty}$ រួចប្រើវិធីដែលដឹងរួច ។ ឧទាហរណ៍ $x cot x = x \cdot \frac{cos x}{sin x} = cos x \cdot \frac{x}{sin x}$ ដែលឆ្ពោះទៅ $1$ ។

FORMULA $0 \times \infty$

ផ្នែក 18

4.17 អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ក. អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ៖

❖ $y = a^{x}$ , $(a > 0, a \neq = 1, x \in R)$ ហៅថាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគោល $a$ ។ ❖ បើ $a = e$ នោះ $y = e^{x}$ ហៅថាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគោល $e$ ឬអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលធម្មជាតិ ។

លក្ខខណ្ឌ $a > 0$ និង $a \neq = 1$ មានសារៈសំខាន់ ៖ បើ $a < 0$ នោះ $a^{x}$ មិនមានអត្ថន័យសម្រាប់ $x$ មិនគត់ ។ បើ $a = 1$ នោះ $1^{x} = 1$ ជាអនុគមន៍ថេរ មិនមែនអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលទេ ។ ចំនួន $e \approx 2.71828$ ជាចំនួនអសនិទាន ។

FORMULA $y = a^{x}, (a > 0, a \neq = 1, x \in R); y = e^{x}$

ផ្នែក 19

4.18 លីមីតនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ខ. លីមីតនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ៖

អត្ថន័យនៃរូបមន្តទាំងនេះ៖ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគ្របសង្កត់ពហុធាគ្រប់ដឺក្រេ ។ នៅពេល $x \to + \infty$ នោះ $e^{x}$ លឿនជាង $x^{n}$ យ៉ាងខ្លាំង ដូច្នេះ $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ និង $\frac{x ^{n}}{e ^{x}} \to 0$ ។ នៅពេល $x \to - \infty$ នោះ $e^{x} \to 0$ លឿនជាងពហុធាធំធាត់ ដូច្នេះ $x^{n} e^{x} \to 0$ ។

FORMULA $x \to - \infty lim e^{x} = 0 x \to + \infty lim e^{x} = + \infty x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ $x \to + \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0 x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$

ផ្នែក 20

4.19 លីមីត $\frac{a ^{x} - 1}{x}$ និង $\frac{e ^{x} - 1}{x}$

គ. គណនាលីមីតអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ៖

រូបមន្តទីមួយជាមូលដ្ឋានគ្រឹះ ៖ ការផ្លាស់ប្តូរតូចនៃ $x$ បង្កើតការផ្លាស់ប្តូរធំនៅ $a^{x}$ ដែលអត្រាគឺ $ln a$ ។ នេះជានិយមន័យនៃដេរីវេនៃ $a^{x}$ នៅ $x = 0$ ។ ពេល $a = e$ អត្រានោះគឺ $ln e = 1$ ដូច្នេះ $\frac{e ^{x} - 1}{x} \to 1$ ។

រូបមន្តទីពីរ និងទីបួនបង្ហាញថា ការជំនួស $k x$ ចូលក្នុងកន្លែង $x$ មិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃលីមីតទេ ព្រោះ $k x \to 0$ ពេល $x \to 0$ ។

FORMULA $x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a x \to 0 lim \frac{a ^{k x} - 1}{k x} = ln a$ $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1 x \to 0 lim \frac{e ^{k x} - 1}{k x} = 1$

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

កំហុសទី ១ — សរសេរលទ្ធផល $\frac{0}{0}$ ជាចម្លើយ ។ ខុស ៖ $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 3 x} = \frac{0}{0}$ ។ ត្រូវ ៖ $\frac{0}{0}$ គឺជាសញ្ញាថាត្រូវធ្វើការបន្ថែម មិនមែនជាចម្លើយទេ ។ ត្រូវដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖ $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x - 3 )} = \frac{x + 3}{x} \to 2$ ។

កំហុសទី ២ — សន្និដ្ឋានថាលីមីតមិនមាន ព្រោះ $f (a)$ គ្មានអត្ថន័យ ។ ខុស ៖ " $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ គ្មានលីមីតនៅ $x = 1$ ព្រោះភាគបែងជាសូន្យ" ។ ត្រូវ ៖ លីមីតមិនខ្វល់ពី $f (1)$ ទេ ។ ជំនួសឱ្យនោះ $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 \to 2$ ។

កំហុសទី ៣ — សរសេរ $x^{2} = x$ ពេល $x \to - \infty$ ។ ខុស ៖ $x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{x} = 1$ ។ ត្រូវ ៖ ពេល $x < 0$ នោះ $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ ដូច្នេះ $\frac{x ^{2} + 1}{x} \approx \frac{- x}{x} = - 1$ ។

កំហុសទី ៤ — ភ្លេចសញ្ញាដកពេលគុណនឹងកន្សោមផ្សំស្រប់ ។ ខុស ៖ $\frac{1 - x}{x - 1} = \frac{1 - x}{x - 1} = \frac{1}{1 + x}$ រួច $\to \frac{1}{2}$ ។ ត្រូវ ៖ $1 - x = - (x - 1)$ ដូច្នេះ $\frac{1 - x}{( x - 1 ) ( 1 + x )} = \frac{- 1}{1 + x} \to - \frac{1}{2}$ ។

កំហុសទី ៥ — ប្រើរូបមន្ត $\frac{sin x}{x} \to 1$ ពេលលីមីតមិននៅ $0$ ។ ខុស ៖ $x \to \frac{π}{2} lim \frac{cos x}{x - \frac{π}{2}} = 1$ ព្រោះ "ឃើញប្រភាគស្រដៀង" ។ ត្រូវ ៖ ត្រូវតាង $u = x - \frac{π}{2}$ ជាមុន ។ នោះ $cos x = - sin u$ ហើយលីមីតគឺ $- 1$ ។

កំហុសទី ៦ — ប្រើច្បាប់ចែកពេលភាគបែងឆ្ពោះទៅ $0$ ។ ខុស ៖ $x \to 2 lim \frac{x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{0}{0}$ រួចសន្និដ្ឋានថា $= 0$ ។ ត្រូវ ៖ សម្រួលជាមុន ៖ $\frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 2} \to \frac{1}{4}$ ។ បើភាគយកមិនឆ្ពោះទៅ $0$ ទេ នោះលីមីតគ្មាន ។

កំហុសទី ៧ — ប្រើ $\frac{a ^{x} - 1}{x} \to ln a$ ដោយមិនធ្វើឱ្យភាគបែងត្រូវគ្នា ។ ខុស ៖ $x \to 0 lim \frac{3 ^{2 x} - 1}{4 x} = \frac{ln 3}{4}$ ។ ត្រូវ ៖ $3^{2 x} = 9^{x}$ ដូច្នេះលីមីត $= \frac{ln 9}{4} = \frac{2 ln 3}{4} = \frac{ln 3}{2}$ ។

កំហុសទី ៨ — សរសេរ $1^{\infty}$ ថាស្មើ $1$ ។ ខុស ៖ $x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = 1$ ព្រោះមូលដ្ឋានឆ្ពោះទៅ $1$ ។ ត្រូវ ៖ $1^{\infty}$ ជាទម្រង់មិនកំណត់ ។ លីមីតគឺ $e \approx 2.718$ ។

កំហុសទី ៩ — ភ្លេចថាតំបន់កំណត់អាចទទេ ។ ខុស ៖ គណនា $x \to 0 lim x - 2$ ដោយជំនួសផ្ទាល់ ។ ត្រូវ ៖ $x - 2$ មានអត្ថន័យតែពេល $x \geq 2$ ដូច្នេះគ្មានលីមីតនៅ $x \to 0$ ទេ ។ ត្រូវពិនិត្យតំបន់កំណត់មុនគ្រប់ពេល ។

កំហុសទី ១០ — សន្និដ្ឋានលីមីតពីខាងតែមួយ ។ ខុស ៖ $x \to 0 lim \frac{x}{∣ x ∣} = 1$ ព្រោះខាងស្ដាំគឺ $1$ ។ ត្រូវ ៖ ខាងឆ្វេងគឺ $- 1$ ដូច្នេះលីមីត មិនមាន ។ ត្រូវគណនាទាំងសងខាង ។

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

លីមីតនៃអនុគមន៍

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

One-sided limits

គំនិតសំខាន់

4.1 និយមន័យលីមីតនៅចំណុចមួយ

4.2 ប្រមាណវិធីលើលីមីត

4.3 លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា

4.4 លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន

4.5 លីមីតនៃអនុគមន៍អសនិទាន

4.6 ទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{0}{0}$

4.7 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

4.8 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

4.9 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

4.10 ទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{\infty}{\infty}$

4.11 ទម្រង់មិនកំណត់ $+ \infty - \infty$

4.12 លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

4.13 លីមីតមូលដ្ឋានពីរនៃត្រីកោណមាត្រ

4.14 លីមីតស្តង់ដារប្រភេទត្រីកោណមាត្រ

4.15 វិធីតាង $u = x - a$ សម្រាប់ត្រីកោណមាត្រ

4.16 ទម្រង់មិនកំណត់ $0 \times \infty$

4.17 អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

4.18 លីមីតនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

4.19 លីមីត $\frac{a ^{x} - 1}{x}$ និង $\frac{e ^{x} - 1}{x}$

One-sided limits

គំនិតសំខាន់

4.1 និយមន័យលីមីតនៅចំណុចមួយ

4.2 ប្រមាណវិធីលើលីមីត

4.3 លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា

4.4 លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន

4.5 លីមីតនៃអនុគមន៍អសនិទាន

4.6 ទម្រង់មិនកំណត់ 00​

4.7 ករណីភាគប៉ះ A​−B

4.8 ករណីភាគប៉ះ A−B​

4.9 ករណីភាគប៉ះ A​−B​

4.10 ទម្រង់មិនកំណត់ ∞∞​

4.11 ទម្រង់មិនកំណត់ +∞−∞

4.12 លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

4.13 លីមីតមូលដ្ឋានពីរនៃត្រីកោណមាត្រ

4.14 លីមីតស្តង់ដារប្រភេទត្រីកោណមាត្រ

4.15 វិធីតាង u=x−a សម្រាប់ត្រីកោណមាត្រ

4.16 ទម្រង់មិនកំណត់ 0×∞

4.17 អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

4.18 លីមីតនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

4.19 លីមីត xax−1​ និង xex−1​

4.6 ទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{0}{0}$

4.7 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

4.8 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

4.9 ករណីភាគប៉ះ $A - B$

4.10 ទម្រង់មិនកំណត់ $\frac{\infty}{\infty}$

4.11 ទម្រង់មិនកំណត់ $+ \infty - \infty$

4.15 វិធីតាង $u = x - a$ សម្រាប់ត្រីកោណមាត្រ

4.16 ទម្រង់មិនកំណត់ $0 \times \infty$

4.19 លីមីត $\frac{a ^{x} - 1}{x}$ និង $\frac{e ^{x} - 1}{x}$