ចំនួនកុំផ្លិច

ជំពូកទី 1 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

120 min9 គោលដៅសិក្សា138 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

ហាត់ប្រើទម្រង់ a + bi ឱ្យស្ទាត់ មុនបន្តទៅប្រមាណវិធីចំនួនកុំផ្លិច។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

គណនាឫសការេនៃចំនួនអវិជ្ជមាន ដោយប្រើឯកតានិម្មិត $i$ ដែល $i = - 1$ ។
សរសេរចំនួនកុំផ្លិចជាទម្រង់ស្តង់ដា $a + ib$ ហើយកំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិម្មិតរបស់វា ។
បូក ដក គុណ ចែកចំនួនកុំផ្លិច និងសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ $a + ib$ ។
រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ ចំនួនកុំផ្លិចផ្ទុក ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ ។
តាងចំនួនកុំផ្លិចក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ដោយចំណុច ឬដោយវិច្ឆេទ័រ ។
បំលែងចំនួនកុំផ្លិចពីទម្រង់ពីជគណិត ទៅទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងច្រាសមកវិញ ។
ប្រើរូបមន្តដឺម័រ ដើម្បីគណនាស្វ័យគុណតួទី $n$ ។
រកឫសទី $n$ នៃចំនួនកុំផ្លិច និងដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំ $C$ ។
ដោះស្រាយលំហាត់ប្រឡងបាក់ឌុប ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងចំនួនកុំផ្លិច ។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 02

ការដោះស្រាយលំហាត់ចំនួនកុំផ្លិច

អនុវត្តជាមួយកុំផ្លិចឆ្លាស់ ការចែក ស្វ័យគុណ និងសមីការទម្រង់ស្តង់ដារ។ ដំណោះស្រាយនីមួយៗបង្ហាញផ្នែកពិត និងផ្នែកនិម្មិតឱ្យច្បាស់។

ឧទាហរណ៍ 01សម្រួល (3−2i)(4+5i)។

1ពន្លាត៖ 12+15i−8i−10i²។
2ជំនួស i² ដោយ −1 ហើយប្រមូលតួពិត និងតួកុំផ្លិច។

ចម្លើយ22+7i

ឧទាហរណ៍ 02សម្រួល (2+3i)²−(1−i)(1+i)។

1ការេគឺ 4+12i+9i²=−5+12i។
2ផលគុណកុំផ្លិចឆ្លាស់គឺ 1−i²=2 រួចដកវាចេញ។

ចម្លើយ−7+12i

ឧទាហរណ៍ 03សរសេរ (5−2i)/(1+3i) ជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

1គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង 1−3i។
2ភាគយកក្លាយជា −1−17i ហើយភាគបែងស្មើ 10។

ចម្លើយ−1/10−17i/10

ឧទាហរណ៍ 04ដោះស្រាយ (2+i)z=5−7i រក z។

1ចែកនឹង 2+i ហើយគុណនឹងកុំផ្លិចឆ្លាស់របស់វា 2−i។
2(5−7i)(2−i)=3−19i ហើយ |2+i|²=5។

ចម្លើយz=3/5−19i/5

ឧទាហរណ៍ 05រកចំនួនពិត k ប្រសិនបើ (k+2i)(3−i)=7+5i។

1ពន្លាតផ្នែកខាងឆ្វេង៖ 3k+2+(6−k)i។
2ផ្គូផ្គងផ្នែកពិតបាន k=5/3 ខណៈផ្គូផ្គងផ្នែកនិម្មិតបាន k=1។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរមិនស្របគ្នា។

ចម្លើយNo real k satisfies both

ឧទាហរណ៍ 06រកឫសការេនៃ −7+24i។

1ដាក់ (a+bi)²=−7+24i ដូច្នេះ a²−b²=−7 និង 2ab=24។
2a²+b²=√(49+576)=25 ដូច្នេះ a²=9 និង b²=16 រួចជ្រើសសញ្ញាដែលត្រូវគ្នា។

ចម្លើយ±(3+4i)

ឧទាហរណ៍ 07គណនា i¹⁰³+i⁵⁸។

1សម្រួលនិទស្សន្តតាមសំណល់ចែកនឹង 4៖ 103≡3 និង 58≡2។
2ប្រើ i³=−i និង i²=−1។

ចម្លើយ−1−i

ឧទាហរណ៍ 08ដោះស្រាយ z²−6z+13=0។

1រើសខុសគឺ 36−52=−16។
2ប្រើរូបមន្តសមីការដឺក្រេទីពីរ ហើយសម្រួល √(−16)=4i។

ចម្លើយz=3±2i

ឧទាហរណ៍ 09សម្រួល (1+i)⁶។

1ដំបូង (1+i)²=2i ដូច្នេះ (1+i)⁶=(2i)³។
2គណនា 8i³។

ចម្លើយ−8i

ឧទាហរណ៍ 10ប្រសិនបើ z=−1+√3i ចូររក |z| និងអាគុយម៉ង់ θ ក្នុង [0,2π)។

1|z|=√(1+3)=2.
2ចំណុចនេះស្ថិតនៅចតុភាគទី២ ហើយមានមុំយោង π/3។

ចម្លើយ|z|=2, θ=2π/3

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

១. ហេតុអ្វីត្រូវការចំនួនថ្មី? សមីការ $x^{2} = - 9$ គ្មានចម្លើយក្នុង $R$ ទេ ព្រោះការេនៃចំនួនពិតមិនដែលអវិជ្ជមាន ។ គេដោះស្រាយដោយបង្កើតចំនួន $i$ ដែល $i^{2} = - 1$ ។ ដូច្នេះ $x^{2} = - 9$ មានចម្លើយ $x = 3 i$ ឬ $x = - 3 i$ ។

២. ចំនួនកុំផ្លិចជាគូនៃចំនួនពិតពីរ ។ ចំនួនកុំផ្លិច $z = a + ib$ គឺគ្រាន់តែជាគូ $(a, b)$ នៃចំនួនពិតពីរ ។ $a$ ជាផ្នែកពិត $b$ ជាផ្នែកនិម្មិត ។ ដូច្នេះ $3 + 2 i$ គឺ "ផ្នែកពិត ៣ និងផ្នែកនិម្មិត ២" ។

៣. គុណ និងចែក ដូចពហុធាធម្មតា ។ គេគុណចំនួនកុំផ្លិចដូចគុណពហុធា រួចជំនួស $i^{2}$ ដោយ $- 1$ ។ ដើម្បីចែក គេគុណទាំងភាគយក និងភាគបែង នឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ។

៤. ម៉ូឌុល គឺជាចម្ងាយ ។ $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ គឺជាចម្ងាយពីចំណុចដើម $O$ ទៅចំណុច $M (a, b)$ ។ ដូច្នេះម៉ូឌុលមិនអាចអវិជ្ជមានទេ ។

៥. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ គឺជាការពិពណ៌នាដោយចម្ងាយ និងមុំ ។ ជំនួសឱ្យផ្តល់កូអរដោនេ $(a, b)$ គេផ្តល់ចម្ងាយ $r = ∣ z ∣$ និងមុំ $α = ar g (z)$ ។ នេះធ្វើឱ្យការគុណ ការចែក និងស្វ័យគុណ កាន់តែងាយ ។

៦. ឫសទី $n$ មាន $n$ ចំនួន ។ ក្នុង $R$ សមីការ $x^{2} = 4$ មានចម្លើយពីរ ។ ក្នុង $C$ សមីការ $z^{n} = w$ មានឫស $n$ ចំនួនជានិច្ច ។ ឫសទាំងនោះស្ថិតនៅលើរង្វង់តែមួយ ហើយចែករង្វង់ជា $n$ ចំណែកស្មើគ្នា ។

ផ្នែក 02

4.1 ចំនួននិម្មិត

ផលគុណរវាងចំនួនពិតខុសពីសូន្យនឹង $i$ ហៅថា ចំនួននិម្មិត ។ $i$ ហៅថា « ឯកតានិម្មិត » ដែល $i = - 1$ ឬ $i^{2} = - 1$ ។

ពាក្យ « និម្មិត » មានន័យត្រង់ថា « មិនមែនពិត » ។ វាមិនមែនជាចំនួនដែលគេអាចរាប់វត្ថុបានទេ ប៉ុន្តែវាជាចំនួនដែលគេគណនាបានដូចចំនួនធម្មតា ។

FORMULA $i = - 1, i^{2} = - 1$

ផ្នែក 03

4.2 មូលការណ៍នៃចំនួនអវិជ្ជមាន

លក្ខណៈទី ១ ។ បើ $c > 0$ នោះ៖

$- c = c (- 1) = c \cdot - 1 = i c$

មានន័យថា គេទាញយក $i$ ចេញពីក្រោមឫសបាន ដោយសរសេរ $- c = i c$ ។ ឧទាហរណ៍ $- 25 = i 25 = 5 i$ ។

$- c = c (- 1) = c \cdot - 1 = i c$

FORMULA $- c = c (- 1) = c \cdot - 1 = i c (c > 0)$

ផ្នែក 04

4.3 សមីការ $x^{2} = - a$

លក្ខណៈទី ២ ។ បើ $x^{2} = - a$ $(a > 0)$ នោះ $x = i a$ ឬ $x = - i a$ ។

សមីការនេះមានចម្លើយពីរ ដែលផ្ទុកគ្នាទៅវិញទៅមក ។ គេសរសេរជួនកាលថា $x = \pm i a$ ។

FORMULA $x^{2} = - a (a > 0) \Rightarrow x = i a or x = - i a$

ផ្នែក 05

4.4 ចំណាំអំពីរូបមន្ត $a \times b$

សម្គាល់ ។ រូបមន្ត $a \times b = ab$ មិនពិតចំពោះ $a < 0$ , $b < 0$ ទេ ។

ហេតុអ្វី? ព្រោះ $- 4 \times - 9 = (2 i) (3 i) = 6 i^{2} = - 6$ តែ $(- 4) (- 9) = 36 = 6$ ។ លទ្ធផលខុសគ្នាស្រឡះ ។ ដូច្នេះ រូបមន្តនេះប្រើបានតែពេល $a \geq 0$ និង $b \geq 0$ ប៉ុណ្ណោះ ។

FORMULA $a \times b = ab is false when a < 0, b < 0$

ផ្នែក 06

4.5 និយមន័យចំនួនកុំផ្លិច

និយមន័យ ។ ចំនួនកុំផ្លិច ជាចំនួនដែលមានរាង $z = a + ib$ ដែល $a$ និង $b$ ជាចំនួនពិត ។ គេតាងសំណុំចំនួនកុំផ្លិចដោយ $C$ ។

ទម្រង់ $a + ib$ ហៅថា « ទម្រង់ស្តង់ដា » ឬ « ទម្រង់ពីជគណិត » នៃចំនួនកុំផ្លិច ។
$a$ ហៅថា ផ្នែកពិត និង $b$ ហៅថា ផ្នែកនិម្មិត ។ គេកំណត់សរសេរ $a = Re (z)$ និង $b = Im (z)$ ។

ចំណាំសំខាន់៖ ផ្នែកនិម្មិត $b$ គឺជាចំនួនពិត ។ ដូច្នេះចំពោះ $z = 2 + 3 i$ គេបាន $Im (z) = 3$ មិនមែន $3 i$ ទេ ។

FORMULA $z = a + ib, a, b \in R, z \in C$ $a = Re (z), b = Im (z)$

ផ្នែក 07

4.6 ករណីពិសេស

ករណី $b = 0$ នោះ $a + ib = a + 0 i = a$ ជាចំនួនពិត ។
ករណី $a = 0$ នោះ $a + ib = 0 + ib = ib$ ជាចំនួននិម្មិត ។
ចំនួនកុំផ្លិច $a + ib = 0$ កាលណា $a = b = 0$ ។

មានន័យថា សំណុំ $R$ ស្ថិតនៅក្នុង $C$ ជាសំណុំរង ។ ចំនួនពិតគ្រប់ចំនួនក៏ជាចំនួនកុំផ្លិចដែរ ។

FORMULA $b = 0 : a + ib = a \in R; a = 0 : a + ib = ib; a + ib = 0 ⟺ a = b = 0$

ផ្នែក 08

4.7 ចំនួនកុំផ្លិចស្មើគ្នា

និយមន័យ ។ ចំនួនកុំផ្លិចពីរ $z = a + ib$ និង $w = c + i d$ ស្មើគ្នាលុះត្រាតែ $a = c$ និង $b = d$ ។

ដូច្នេះ សមភាពមួយរវាងចំនួនកុំផ្លិច ផ្តល់សមីការពិតពីរ ៖ មួយសម្រាប់ផ្នែកពិត មួយសម្រាប់ផ្នែកនិម្មិត ។ នេះជាមូលហេតុដែលគេអាចរកចំនួនមិនស្គាល់ពីរ $a$ និង $b$ ពីសមភាពតែមួយ ។

FORMULA $a + ib = c + i d ⟺ a = c and b = d$

ផ្នែក 09

4.8 ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ និងចំនួនកុំផ្លិចផ្ទុក

និយមន័យ ។

ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ នៃ $z = a + ib$ តាងដោយ $\overset{z}{ˉ}$ ដែល $\overset{z}{ˉ} = a - ib$ ។ គេគ្រាន់តែប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិម្មិត ។
ចំនួនកុំផ្លិចផ្ទុក នៃ $z = a + ib$ តាងដោយ $- z$ ដែល $- z = - a - ib$ ។ គេប្តូរសញ្ញាទាំងពីរផ្នែក ។

FORMULA $z = a + ib \Rightarrow \overset{z}{ˉ} = a - ib, - z = - a - ib$

ផ្នែក 10

4.9 ស្វ័យគុណនៃ $i$

រូបមន្ត ។ ត្រូវ $n \in N$ គេបាន៖

១. $i^{1} = i$

២. $i^{2} = - 1$

៣. $i^{3} = - i$

៤. $i^{4} = 1$

៥. $i^{4 k} = 1$

៦. $i^{4 k + 1} = i$

៧. $i^{4 k + 2} = - 1$

៨. $i^{4 k + 3} = - i$

ស្វ័យគុណនៃ $i$ ត្រឡប់មកវិញរៀងរាល់ ៤ ជំហាន ។ ដូច្នេះដើម្បីគណនា $i^{n}$ គេចែក $n$ នឹង $4$ រួចមើលសំណល់ ។

រូបមន្ត

$i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1$

$i^{4 k} = 1, i^{4 k + 1} = i, i^{4 k + 2} = - 1, i^{4 k + 3} = - i (k \in N)$

ផ្នែក 11

4.10 វិធីបូក និងវិធីដក

ផលបូក នៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $(a + ib) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)$ ។

ផលដក នៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $(a + ib) - (c + i d) = (a - c) + i (b - d)$ ។

គេបូក (ឬដក) ផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត ហើយផ្នែកនិម្មិតនឹងផ្នែកនិម្មិត ។

FORMULA(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)

ផ្នែក 12

4.11 វិធីគុណ

ផលគុណ នៃចំនួនកុំផ្លិច ៖

$(a + ib) (c + i d) = (a c - b d) + (a d + b c) i$

ហើយករណីពិសេស ពេលគុណចំនួនមួយនឹងចំនួនឆ្លាស់របស់វា ៖

$(a + ib) (a - ib) = a^{2} + b^{2}$

លទ្ធផលចុងក្រោយនេះជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ហើយវាស្មើនឹង $∣ z ∣^{2}$ ។ នេះជាគន្លឹះសំខាន់បំផុតសម្រាប់ការចែក ។

$(a + ib) (c + i d) = (a c - b d) + (a d + b c) i$

$(a + ib) (a - ib) = a^{2} + b^{2}$

FORMULA(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+(ad+bc)\,i(a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2}

ផ្នែក 13

4.12 វិធីចែក

ចែក ៖ ចំពោះ $c + d i \neq = 0$ ,

$\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i$

គេគុណទាំងភាគយក និងភាគបែង នឹង ចំនួនឆ្លាស់ នៃភាគបែង ។ ពេលនោះភាគបែងក្លាយជាចំនួនពិត $c^{2} + d^{2}$ ហើយលទ្ធផលសរសេរបានជាទម្រង់ $a + ib$ ។

$\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i$

FORMULA $\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i (c + d i \neq = 0)$

ផ្នែក 14

4.13 ចំនួនកុំផ្លិចក្នុងប្លង់

ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល $(x oy)$ គេអាចតាងចំនួនកុំផ្លិច $z = a + ib$ ដែល $a, b \in R$ ដោយចំណុច $M$ មួយមានកូអរដោនេ $(a, b)$ ។ គេហៅ $M$ ជា រូបភាព នៃចំនួនកុំផ្លិច $z = a + ib$ ហើយ $z$ ហៅថា អាភិស នៃចំណុច $M (a, b)$ ដែលគេកំណត់សរសេរ $M (z)$ ។

ដូច្នេះ គេក៏អាចតាងចំនួនកុំផ្លិច $z = a + ib$ ដែល $a, b \in R$ ដោយវិច្ឆេទ័រ $u = OM = (a, b)$ ។ គេហៅ $u$ ជាវិច្ឆេទ័ររូបភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច $z = a + ib$ ហើយ $z$ ហៅថាអាភិសនៃវិច្ឆេទ័រ $u$ ដែលគេកំណត់សរសេរ $u (z)$ ។

ពាក្យ អាភិស (affix) មានន័យថា « ចំនួនកុំផ្លិចដែលភ្ជាប់នឹងចំណុចមួយ » ។ ដូច្នេះ ចំណុច និងចំនួនកុំផ្លិច ជាវត្ថុពីរដែលគេចាត់ទុកថាស្មើគ្នា ។

FORMULA $z = a + ib (a, b \in R) ⟷ M (a, b), M (z)$ $u = OM = (a, b), u (z)$

ផ្នែក 15

4.14 ម៉ូឌុល

និយមន័យ ។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច $z = a + bi$ តាងដោយ $∣ z ∣$ ដែល $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ ។

ម៉ូឌុលគឺជាចម្ងាយ $OM$ ។ ដោយសារវាជាចម្ងាយ វាតែងតែ $\geq 0$ ។

FORMULA $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

ផ្នែក 16

4.15 លក្ខណៈនៃម៉ូឌុល

លក្ខណៈ ។ បើ $z$ និង $w$ ជាចំនួនកុំផ្លិច នោះគេបាន ៖

១. $∣ z ∣ = ∣ - z ∣$

២. $z \cdot \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$

៣. $∣ w \cdot z ∣ = ∣ w ∣ \cdot ∣ z ∣$

៤. $\frac{w}{z} = \frac{∣ w ∣}{∣ z ∣}$ , $(z \neq = 0)$

៥. $∣ w + z ∣ \leq ∣ w ∣ + ∣ z ∣$

លក្ខណៈទី ៥ ហៅថា វិសមភាពត្រីកោណ ។ វាមានន័យថា ផ្លូវត្រង់ខ្លីជាងផ្លូវវាង ។

FORMULA $∣ z ∣ = ∣ - z ∣, z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}, ∣ w z ∣ = ∣ w ∣∣ z ∣, \frac{w}{z} = \frac{∣ w ∣}{∣ z ∣} (z \neq = 0), ∣ w + z ∣ \leq ∣ w ∣ + ∣ z ∣$

ផ្នែក 17

4.16 អាគុយម៉ង់

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z = a + bi$ ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ។ គេតាងវិច្ឆេទ័រ $OM$ ជារូបភាពនៃ $z$ ។ មុំដែលកំណត់ដោយ $(O x, OM)$ ហៅថា អាគុយម៉ង់ នៃចំនួនកុំផ្លិច $z$ ។ យើងតាង $α$ ឬ $ar g (z)$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ នេះ ។

ក្នុងត្រីកោណកែង $OMP$ គេមាន ៖

$r^{2} = O M^{2} = a^{2} + b^{2} ឬ r = a^{2} + b^{2} (ទ្រឹស្តីបទពីតាករ)$

$cos α = \frac{OP}{OM} = \frac{a}{r} និង sin α = \frac{MP}{OM} = \frac{b}{r}$

ដើម្បីរកអាគុយម៉ង់នៃ $z = a + ib$ គេដោះស្រាយសមីការ $cos α = \frac{a}{r}$ និង $sin α = \frac{b}{r}$ គេបាន $ar g (z) = α + 2 kπ$ , $k \in Z$ ។

ចំណាំ៖ ត្រូវប្រើទាំង $cos$ និង $sin$ ។ ប្រើតែ $cos$ មួយ មិនគ្រប់ទេ ព្រោះ $cos$ មិនប្រាប់សញ្ញានៃផ្នែកនិម្មិត ។

$r^{2} = O M^{2} = a^{2} + b^{2} or r = a^{2} + b^{2} (Pythagorean theorem)$

$cos α = \frac{OP}{OM} = \frac{a}{r} and sin α = \frac{MP}{OM} = \frac{b}{r}$

FORMULA $r^{2} = O M^{2} = a^{2} + b^{2}, r = a^{2} + b^{2}$ $cos α = \frac{OP}{OM} = \frac{a}{r}, sin α = \frac{MP}{OM} = \frac{b}{r}$ $ar g (z) = α + 2 kπ, k \in Z$

ផ្នែក 18

4.17 ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

ជាតុ ។ ចំនួនកុំផ្លិច $z = a + bi$ អាចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ (ទម្រង់ប៉ូលែ) គឺ ៖

$z = r (cos α + i sin α)$

ដែល $r = ∣ z ∣$ និង $α = ar g (z)$ ។ ពាក្យ « ប៉ូលែ » មានន័យថា គេពិពណ៌នាចំណុចដោយចម្ងាយ និងមុំ ជាជាងកូអរដោនេផ្តេក-ឈរ ។

$z = r (cos α + i sin α)$

FORMULA $z = r (cos α + i sin α) where r = ∣ z ∣, α = ar g (z)$

ផ្នែក 19

4.18 ផលគុណ និងផលចែកក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

បើចំនួនកុំផ្លិច $z_{1} = r_{1} (cos α_{1} + i sin α_{1})$ និង $z_{2} = r_{2} (cos α_{2} + i sin α_{2})$ នោះ ៖

$z_{1} \times z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (α_{1} + α_{2}) + i sin (α_{1} + α_{2})]$

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} [cos (α_{1} - α_{2}) + i sin (α_{1} - α_{2})], z_{2} \neq = 0$

គុណ ៖ ម៉ូឌុលគុណគ្នា អាគុយម៉ង់បូកគ្នា ។ ចែក ៖ ម៉ូឌុលចែកគ្នា អាគុយម៉ង់ដកគ្នា ។

$z_{1} \times z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (α_{1} + α_{2}) + i sin (α_{1} + α_{2})]$

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} [cos (α_{1} - α_{2}) + i sin (α_{1} - α_{2})], z_{2} \neq = 0$

FORMULA $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (α_{1} + α_{2}) + i sin (α_{1} + α_{2})]$ $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} [cos (α_{1} - α_{2}) + i sin (α_{1} - α_{2})], z_{2} \neq = 0$

ផ្នែក 20

4.19 រូបមន្តដឺម័រ និងស្វ័យគុណតួទី $n$

រូបមន្តដឺម័រ ។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ គេបាន ៖

$(cos α + i sin α)^{n} = cos n α + i sin n α$

ស្វ័យគុណតួទី $n$ នៃចំនួនកុំផ្លិច ។ បើ $z = r (cos α + i sin α)$ នោះ ៖

$z^{n} = r^{n} (cos n α + i sin n α)$

ដូច្នេះ ដើម្បីគណនាស្វ័យគុណ គេលើកម៉ូឌុលជាស្វ័យគុណ $r^{n}$ ហើយគុណអាគុយម៉ង់នឹង $n$ ។

$(cos α + i sin α)^{n} = cos n α + i sin n α$

$z^{n} = r^{n} (cos n α + i sin n α)$

FORMULA $(cos α + i sin α)^{n} = cos n α + i sin n α$ $z^{n} = r^{n} (cos n α + i sin n α), z = r (cos α + i sin α)$

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

ខាងក្រោមនេះជាកំហុសដែលសិស្សធ្វើញឹកញាប់បំផុតលើជំពូកនេះ ។ កំហុសនីមួយៗមាន៖ អ្វីដែលសិស្សសរសេរខុស ហេតុអ្វីវាខុស និងរបៀបកែ ។

6.1 យកផ្នែកនិម្មិតជាចំនួននិម្មិត

កំហុស សរសេរថា ចំពោះ $z = 2 + 3 i$ គេបាន $Im (z) = 3 i$ ។

កែ $Im (z) = 3$ ជាចំនួនពិត ។ មានតែ $3 i$ ទេដែលជាចំនួននិម្មិត ។ និយមន័យ ចែងថា $a$ និង $b$ ជាចំនួនពិត ។

6.2 ប្រើ $a b = ab$ ពេល $a, b < 0$

កំហុស សរសេរ $- 4 \times - 9 = 36 = 6$ ។

កែ ត្រូវគណនាដោយឡែក ៖ $(2 i) (3 i) = 6 i^{2} = - 6$ ។ រូបមន្តនេះពិតតែពេល $a \geq 0$ និង $b \geq 0$ ប៉ុណ្ណោះ ។

6.3 បំភ្លេច $i^{2} = - 1$ ពេលគុណ

កំហុស សរសេរ $(2 i) (3 i) = 6 i$ ឬ $(1 + i)^{2} = 1 + i^{2} = 1 - 1 = 0$ ។

កែ $(2 i) (3 i) = 6 i^{2} = - 6$ និង $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ ។ ត្រូវរាប់តួកណ្តាល $2 ab$ ផងដែរ ។

6.4 ចែកដោយគុណនឹង $z$ ជំនួស $\overset{z}{ˉ}$

កំហុស គណនា $\frac{1}{2 + i} = \frac{2 + i}{( 2 + i ) ( 2 + i )} = \frac{2 + i}{3 + 4 i}$ ហើយភាគបែងនៅតែមាន $i$ ។

កែ ត្រូវគុណនឹង ចំនួនឆ្លាស់ $2 - i$ ៖ $\frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{( 2 + i ) ( 2 - i )} = \frac{2 - i}{5}$ ។

6.5 រកអាគុយម៉ង់ដោយប្រើតែ $cos$

កំហុស ចំពោះ $z = - 1 + i 3$ គណនា $cos α = - \frac{1}{2}$ រួចសរសេរ $ar g (z) = \frac{π}{3}$ ។

កែ ត្រូវមើលសញ្ញានៃ $sin$ ដែរ ៖ $sin α = \frac{3}{2} > 0$ ដូច្នេះមុំនៅកាដ្រង់ទីពីរ គឺ $\frac{2 π}{3}$ ។

6.6 យកម៉ូឌុលជា $a^{2} + b^{2}$

កំហុស សរសេរ $∣3 + 4 i ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25$ ។

កែ $∣3 + 4 i ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ ។ ម៉ូឌុលជាចម្ងាយ ដូច្នេះត្រូវមានឫសការេ ។

6.7 លើកអាគុយម៉ង់តែមិនលើកម៉ូឌុល

កំហុស សរសេរ $z^{n} = r (cos n α + i sin n α)$ ដោយទុកម៉ូឌុល $r$ ដដែល ។

កែ ត្រូវលើកម៉ូឌុលផងដែរ ៖ $z^{n} = r^{n} (cos n α + i sin n α)$ ។ ឧទាហរណ៍ $(2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}))^{3} = 2^{3} (cos π + i sin π) = - 8$ មិនមែន $- 2$ ទេ ។

6.8 រកឫសតែមួយនៃសមីការ $z^{n} = w$

កំហុស ចំពោះ $z^{6} = - 64$ សរសេរ $z = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ តែមួយ ហើយឈប់ ។

កែ ត្រូវបញ្ចូល $+ 2 kπ$ ក្នុងមុំ ៖ $z_{k} = 2 (cos (\frac{π}{6} + \frac{kπ}{3}) + i sin (\frac{π}{6} + \frac{kπ}{3}))$ ចំពោះ $k = 0, 1, \dots, 5$ គឺមានឫស ៦ ។

6.9 ដោះស្រាយ $(z - a)^{n} = b$ ដោយបំភ្លេចបូក $a$ វិញ

កំហុស ចំពោះ $(z - 2)^{3} = 1$ សរសេរ $z = 1$ , $z = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ , $z = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ ។

កែ ឫសដែលរកឃើញជារបស់ $z - 2$ ដូច្នេះត្រូវបូក $2$ វិញ ៖ $z = 3$ , $z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ , $z = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$ ។

6.10 ច្រឡំរវាងចំនួនឆ្លាស់ និងចំនួនផ្ទុក

កំហុស សរសេរថា ចំនួនឆ្លាស់នៃ $z = 3 - 4 i$ គឺ $- 3 + 4 i$ ។

កែ ចំនួនឆ្លាស់គឺ $3 + 4 i$ (ប្តូរតែសញ្ញាផ្នែកនិម្មិត) ហើយចំនួនផ្ទុកគឺ $- 3 + 4 i$ ។

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

ចំនួនកុំផ្លិច

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

ការដោះស្រាយលំហាត់ចំនួនកុំផ្លិច

គំនិតសំខាន់

4.1 ចំនួននិម្មិត

4.2 មូលការណ៍នៃចំនួនអវិជ្ជមាន

4.3 សមីការ $x^{2} = - a$

4.4 ចំណាំអំពីរូបមន្ត $a \times b$

4.5 និយមន័យចំនួនកុំផ្លិច

4.6 ករណីពិសេស

4.7 ចំនួនកុំផ្លិចស្មើគ្នា

4.8 ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ និងចំនួនកុំផ្លិចផ្ទុក

4.9 ស្វ័យគុណនៃ $i$

4.10 វិធីបូក និងវិធីដក

4.11 វិធីគុណ

4.12 វិធីចែក

4.13 ចំនួនកុំផ្លិចក្នុងប្លង់

4.14 ម៉ូឌុល

4.15 លក្ខណៈនៃម៉ូឌុល

4.16 អាគុយម៉ង់

4.17 ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

4.18 ផលគុណ និងផលចែកក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

4.19 រូបមន្តដឺម័រ និងស្វ័យគុណតួទី $n$

ការដោះស្រាយលំហាត់ចំនួនកុំផ្លិច

គំនិតសំខាន់

4.1 ចំនួននិម្មិត

4.2 មូលការណ៍នៃចំនួនអវិជ្ជមាន

4.3 សមីការ x2=−a

4.4 ចំណាំអំពីរូបមន្ត a​×b​

4.5 និយមន័យចំនួនកុំផ្លិច

4.6 ករណីពិសេស

4.7 ចំនួនកុំផ្លិចស្មើគ្នា

4.8 ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ និងចំនួនកុំផ្លិចផ្ទុក

4.9 ស្វ័យគុណនៃ i

4.10 វិធីបូក និងវិធីដក

4.11 វិធីគុណ

4.12 វិធីចែក

4.13 ចំនួនកុំផ្លិចក្នុងប្លង់

4.14 ម៉ូឌុល

4.15 លក្ខណៈនៃម៉ូឌុល

4.16 អាគុយម៉ង់

4.17 ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

4.18 ផលគុណ និងផលចែកក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

4.19 រូបមន្តដឺម័រ និងស្វ័យគុណតួទី n

4.3 សមីការ $x^{2} = - a$

4.4 ចំណាំអំពីរូបមន្ត $a \times b$

4.9 ស្វ័យគុណនៃ $i$

4.19 រូបមន្តដឺម័រ និងស្វ័យគុណតួទី $n$