អេលីប

ជំពូកទី 15 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

90 min8 គោលដៅសិក្សា40 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

សម្គាល់អ័ក្សធំជាមុន បន្ទាប់មកប្រើ a² = b² + c² ដើម្បីកំណត់កំណុំ និងគណនាភាពផ្ចិត។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

និយាយនិយមន័យអេលីបឡើងវិញ ដោយប្រើពាក្យ «ផលបូកចម្ងាយទៅចំណុចនឹងពីរជាចំនួនថេរ»។
ស្គាល់ និងដាក់ឈ្មោះធាតុទាំងអស់នៃអេលីប៖ កំពូល កំណុំ ផ្ចិត អ័ក្សធំ អ័ក្សតូច និងអ័ក្សឆ្លុះ។
ប្រើ $V_{1} V_{2} = 2 a$ , $B_{1} B_{2} = 2 b$ , $a > b > 0$ និង $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ដើម្បីរកប្រវែងអ័ក្ស និងចម្ងាយផ្ចិតទៅកំណុំ។
សរសេរសមីការស្តង់ដារនៃអេលីប ពេលដឹងផ្ចិត កំពូល កំណុំ ឬប្រវែងអ័ក្ស។
អានពីសមីការស្តង់ដារ ត្រឡប់រកផ្ចិត កំពូល កំណុំ ប្រវែងអ័ក្សទាំងពីរ និងសង់អេលីបនោះ។
បំប្លែងសមីការទូទៅ $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0$ ទៅជាសមីការស្តង់ដារ ដោយបំពេញការ៉េ ហើយពន្យល់ថាហេតុអ្វីសមីការនោះជាអេលីប។
គណនាអ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ $e = \frac{c}{a}$ និងពន្យល់អត្ថន័យរបស់វា។
រកលក្ខខណ្ឌឲ្យបន្ទាត់មួយ កាត់ ប៉ះ ឬនៅក្រៅអេលីប ដោយប្រើឌីស្គ្រីមីណង់។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 02

Ellipse equations and focal properties

Identify axis orientation, compute foci and eccentricity, and recover standard form by completing squares.

ឧទាហរណ៍ 01For (x−2)²/36+(y+1)²/20=1, find vertices, co-vertices, and foci.

1Center (2,−1), a²=36, b²=20, so c²=16.
2The major axis is horizontal.

ចម្លើយVertices (−4,−1),(8,−1); co-vertices (2,−1±2√5); foci (−2,−1),(6,−1)

ឧទាហរណ៍ 02Find the eccentricity of an ellipse with semi-axes 13 and 5.

1c²=a²−b²=169−25=144, so c=12.
2Compute e=c/a.

ចម្លើយ12/13

ឧទាហរណ៍ 03Write the ellipse centered at (−2,3) with vertical semi-major axis 7 and semi-minor axis 4.

1Place a²=49 under the y-term and b²=16 under the x-term.
2Use center-shifted standard form.

ចម្លើយ(x+2)²/16+(y−3)²/49=1

ឧទាហរណ៍ 04Convert 9x²+4y²−36x+16y+16=0 to standard form.

1Group and complete squares: 9(x−2)²+4(y+2)²=36.
2Divide by 36.

ចម្លើយ(x−2)²/4+(y+2)²/9=1

ឧទាហរណ៍ 05For x²/25+y²/9=1, find the directrices.

1a=5,c=4,e=4/5; for a horizontal ellipse, x=h±a/e.
2Substitute the values.

ចម្លើយx=±25/4

ឧទាហរណ៍ 06An ellipse has foci (−3,0),(3,0) and major-axis length 10. Find its equation.

1Center is (0,0), a=5,c=3; b²=a²−c²=16.
2The major axis is horizontal.

ចម្លើយx²/25+y²/16=1

ឧទាហរណ៍ 07Find the ellipse's area when semi-axes are 6 and 2√5.

1Area is πab.
2Multiply the semi-axis lengths.

ចម្លើយ12√5π

ឧទាហរណ៍ 08For 4x²+9y²=36, find orientation, foci, and eccentricity.

1Divide by 36: x²/9+y²/4=1; a=3,b=2,c=√5.
2The major axis is horizontal.

ចម្លើយFoci (±√5,0); e=√5/3

ឧទាហរណ៍ 09Find the equation of an ellipse centered at (1,−2), passing through (5,−2) and (1,1), with axes parallel to coordinate axes.

1The horizontal and vertical semi-axis lengths are 4 and 3.
2Write the translated equation.

ចម្លើយ(x−1)²/16+(y+2)²/9=1

ឧទាហរណ៍ 10An ellipse has e=3/5 and semi-major axis a=10. Find c and b.

1c=ea=6.
2Use b²=a²−c².

ចម្លើយc=6, b=8

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

៣.១ រូបភាពខ្សែ និងម្ជុលពីរ ចាប់យកក្រដាសមួយ ចាក់ម្ជុលពីរចំណុច ហើយចងខ្សែមួយឲ្យវែងជាងចម្ងាយរវាងម្ជុលទាំងពីរ។ ដាក់ខ្មៅដៃក្នុងខ្សែ ហើយទាញខ្សែឲ្យតឹង រួចគូសជុំវិញ។ ចំណុចម្ជុលទាំងពីរគឺ កំណុំ $F_{1}, F_{2}$ ។ គ្រប់ចំណុច $P$ នៅលើខ្សែកោង មាន $P F_{1} + P F_{2}$ ស្មើនឹងប្រវែងខ្សែ (ដកចំណែកដែលរុំម្ជុល) ដូច្នេះផលបូកនេះជា ចំនួនថេរ។ ខ្សែកោងដែលចេញមកគឺអេលីប។ បើខ្សែវែងដូចចម្ងាយរវាងម្ជុល នោះយើងបានតែអង្កត់ត្រង់មួយ មិនមែនអេលីបទេ។

៣.២ ហេតុអ្វី $2 a$ , $2 b$ និង $c$ ដាក់ចំណុច $P$ នៅលើកំពូល $V_{1}$ ។ នោះ $P F_{1} + P F_{2} = V_{1} F_{1} + V_{1} F_{2}$ ។ ដោយស៊ីមេទ្រី ចម្ងាយពី $V_{1}$ ទៅកំណុំទាំងពីរស្មើគ្នា ដូច្នេះផលបូកនេះស្មើ $2 \times V_{1} F_{1}$ ។ ដូច្នេះប្រវែងខ្សែគឺ $2 a$ ដែល $a = O V_{1}$ ជាកន្លះអ័ក្សធំ។ ដូចគ្នា បើដាក់ $P$ នៅចុងអ័ក្សតូច $B_{1}$ នោះ $B_{1} F_{1} = B_{1} F_{2}$ (ស៊ីមេទ្រី) ដូច្នេះ $B_{1} F_{1} = a$ ។ ត្រីកោណ $O B_{1} F_{1}$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $O$ មានជ្រុង $O B_{1} = b$ , $O F_{1} = c$ និងអ័ក្សទ្រេត $B_{1} F_{1} = a$ ។ ដូច្នេះតាមពីតាហ្គោ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ។

៣.៣ $a$ ជាចំនួនធំបំផុត ក្នុង $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ គេឃើញភ្លាមថា $a^{2} > b^{2}$ និង $a^{2} > c^{2}$ ដូច្នេះ $a > b$ និង $a > c$ (ព្រោះប្រវែងជាចំនួនវិជ្ជមាន)។ នេះជាហេតុដែលគេសរសេរ $a > b > 0$ ជានិច្ច។ បើអ្នកគណនាបាន $c > a$ នោះមានន័យថាទិន្នន័យខុស ឬសមីការមិនមែនអេលីប។

៣.៤ ភាគបែងធំជាង ប្រាប់ទិសអ័ក្សធំ ក្នុងសមីការ $\frac{x ^{2}}{p} + \frac{y ^{2}}{q} = 1$ បើ $p > q > 0$ នោះ $a^{2} = p$ (នៅក្រោម $x$ ) ហើយអ័ក្សធំដេកតាមអ័ក្សអប់ស៊ីស៖ អេលីបដេក។ បើ $q > p > 0$ នោះ $a^{2} = q$ (នៅក្រោម $y$ ) ហើយអ័ក្សធំឈរ៖ អេលីបឈរ។ ដូច្នេះគ្មានចាំបាច់ទន្ទេញទេ គ្រាន់តែប្រៀបធៀបភាគបែងទាំងពីរ។

៣.៥ អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ វាស់កម្រិត«រុញ» $e = \frac{c}{a}$ ជាចំណោទរវាងចម្ងាយផ្ចិតទៅកំណុំ និងចម្ងាយផ្ចិតទៅកំពូល។ បើ $c$ តូច (កំណុំទាំងពីរជិតផ្ចិត) នោះ $e$ ជិត $0$ ហើយអេលីបមើលទៅជិតរង្វង់។ បើ $c$ ជិត $a$ នោះ $e$ ជិត $1$ ហើយអេលីបរុញវែងខ្លាំង។ ដោយ $0 < c < a$ យើងបាន $0 < e < 1$ ជានិច្ច។ ឧទាហរណ៍ ផែនដីមាន $e \approx 0.017$ (ស្ទើរជារង្វង់) ហើយភពផ្លាតូមាន $e \approx 0.25$ ។

៣.៦ សមីការទូទៅ គ្រាន់តែជាសមីការស្តង់ដារដែលលាក់ខ្លួន $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0$ មើលទៅខុសពី $\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ តែវាជាសមីការដូចគ្នា ដែលគ្រាន់តែបានពន្លាតការ៉េចេញ និងគុណនឹងភាគបែងរួម។ ដូច្នេះការងារតែមួយគត់គឺ បំពេញការ៉េ ដើម្បីត្រឡប់ទៅរូបរាងស្តង់ដារវិញ។ បើ $A \cdot B > 0$ និង $A \neq = B$ នោះវាជាអេលីប; បើ $A = B$ នោះវាជារង្វង់។

៣.៧ ជំហានប្រាំសម្រាប់គ្រប់លំហាត់

១) មើលសមីការ៖ តើវាស្ថិតក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ ឬទម្រង់ទូទៅ?

២) បើទម្រង់ទូទៅ បំពេញការ៉េ រួចចែកនឹងចំនួនថេរ ដើម្បីឲ្យខាងស្តាំស្មើ $1$ ។

៣) អាន $(h, k)$ ពីតួ $(x - h)^{2}$ និង $(y - k)^{2}$ (ចំណាំសញ្ញា!)។

៤) ប្រៀបធៀបភាគបែង រក $a^{2}$ និង $b^{2}$ រួចគណនា $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ។

៥) សរសេរកំពូល កំណុំ អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ រួចសង់ដោយចតុកោណកែងជំនួយ។

ផ្នែក 02

4.1 និយមន័យអេលីប

អេលីប ជាសំណុំចំណុចនៅក្នុងប្លង់ដែលមានផលបូកចម្ងាយពីចំណុចនោះ ទៅចំណុចនឹងពីរ ជាចំនួនថេរ ។

ពន្យល់បន្ថែម សៀវភៅមិនបានសរសេររូបមន្តជាបន្ទាត់ដាច់ដោយឡែកក្នុងនិយមន័យទេ។ តែចំនួនថេរនោះមានតម្លៃជាក់លាក់មួយ ហើយនៅផ្នែកបន្ទាប់យើងនឹងឃើញថាវាស្មើ $2 a$ ដែល $a$ ជាកន្លះអ័ក្សធំ។ ចំណុចនឹងពីរនោះហៅថា កំណុំ ហើយគេតាងដោយ $F_{1}$ និង $F_{2}$ ។

ចំណាំ ពាក្យ «ចំនួនថេរ» សំខាន់ខ្លាំង៖ បើផលបូកនោះប្រែប្រួលតាម $P$ នោះខ្សែកោងមិនមែនអេលីបទេ។ ដូចគ្នា បើផលបូកនោះតូចជាងចម្ងាយ $F_{1} F_{2}$ នោះគ្មានចំណុចណាមួយអាចបំពេញបានទេ (ព្រោះ $P F_{1} + P F_{2} \geq F_{1} F_{2}$ តាមវិសមភាពត្រីកោណ)។

FORMULA $P F_{1} + P F_{2} = constant$

ផ្នែក 03

4.2 លក្ខណៈនៃអេលីប

លក្ខណៈនៃអេលីប៖

ចំណុច $V_{1}$ និង $V_{2}$ ហៅថា កំពូល
ចំណុច $F_{1}$ និង $F_{2}$ ហៅថា កំណុំ
អង្កត់ $V_{1} V_{2}$ ហៅថា អ័ក្សធំនៃអេលីប
អង្កត់ $B_{1} B_{2}$ ហៅថា អ័ក្សតូចនៃអេលីប
ចំណុច $O$ ហៅថា ផ្ចិតនៃអេលីប
អ័ក្សតូចនិងអ័ក្សធំ ហៅថា អ័ក្សឆ្លុះ

រូប / Figure (តាមសៀវភៅ). ក្នុងរូបរបស់សៀវភៅ អេលីបត្រូវបានគូសឲ្យខ្ពស់ (អ័ក្សធំឈរ)។ $V_{1}$ ជាកំពូលខាងលើ ឯ $V_{2}$ ជាកំពូលខាងក្រោម នៅលើបន្ទាត់ឈរដែលកាត់ផ្ចិត $O$ ; $B_{1}$ ជាចុងខាងឆ្វេង និង $B_{2}$ ជាចុងខាងស្តាំនៃអ័ក្សតូចដេក ដែលស៊ីមេទ្រីធៀបនឹង $O$ ។ កំណុំទាំងពីរស្ថិតនៅលើ $V_{1} V_{2}$ ៖ $F_{1}$ នៅពីលើ $O$ ឯ $F_{2}$ នៅក្រោម $O$ ។ គេដាក់រង្វង់វង់មួយរវាង $O$ និង $F_{1}$ ដែលមានស្លាក $c$ ។ នៅខាងស្តាំ គេដាក់វង់ដាច់ៗឈរមួយ ពីកម្រិត $V_{1}$ ដល់កម្រិត $V_{2}$ ដែលមានស្លាក $2 a$ ; នៅខាងក្រោម គេដាក់វង់ដាច់ៗដេកមួយ ពីកម្រិត $B_{1}$ ដល់ $B_{2}$ ដែលមានស្លាក $2 b$ ។

ពន្យល់បន្ថែម កំពូលទាំងពីរស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំ ហើយកំណុំទាំងពីរក៏ស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំដែរ តែនៅខាងក្នុងអង្កត់ $V_{1} V_{2}$ ។ ចំណុច $B_{1}, B_{2}$ ជាចុងនៃអ័ក្សតូច ដែលកាត់កែងនឹងអ័ក្សធំត្រង់ផ្ចិត។ ដោយសារអ័ក្សទាំងពីរជាអ័ក្សឆ្លុះ អេលីបមានស៊ីមេទ្រីទាំងធៀបនឹងអ័ក្សធំ ធៀបនឹងអ័ក្សតូច និងធៀបនឹងផ្ចិត។

FORMULA $V_{1}, V_{2} (កំពូល / vertices), F_{1}, F_{2} (កំណុំ / foci), B_{1}, B_{2} (ចុងអ័ក្សតូច / ends of the minor axis)$ $O (ផ្ចិត / centre), V_{1} V_{2} អ័ក្សធំ / major axis, B_{1} B_{2} អ័ក្សតូច / minor axis$

ផ្នែក 04

4.3 អ័ក្សធំ អ័ក្សតូច និងទំនាក់ទំនង $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

តាង $V_{1} V_{2} = 2 a$ , $B_{1} B_{2} = 2 b$ ដែល $a > b > 0$ ហើយតាង ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំដោយ $c$ តាមនិយមន័យរបស់ អេលីបគេបកស្រាយបានថា $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ។

ពន្យល់បន្ថែម $2 a$ ជាប្រវែងពេញនៃអ័ក្សធំ ដូច្នេះ $a$ ជាកន្លះអ័ក្សធំ (ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំពូល)។ ដូចគ្នា $2 b$ ជាប្រវែងពេញនៃអ័ក្សតូច ដូច្នេះ $b$ ជាកន្លះអ័ក្សតូច (ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅចុងអ័ក្សតូច)។ $c$ ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំមួយ។ ទំនាក់ទំនង $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ មានន័យថា $a$ ជាអ័ក្សទ្រេតនៃត្រីកោណកែង $O B_{1} F_{1}$ ។

សំដែង យើងដាក់ផ្ចិតនៅ $O (0, 0)$ និងអ័ក្សធំតាមអ័ក្សអប់ស៊ីស ដូច្នេះ $F_{1} (- c, 0)$ និង $F_{2} (c, 0)$ ។ ឲ្យ $P (x, y)$ នៅលើអេលីប។ តាមនិយមន័យ $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ ។ ដាក់ $P$ នៅកំពូល $V_{2} (a, 0)$ ៖ នោះ $P F_{1} = a + c$ និង $P F_{2} = a - c$ ដូច្នេះផលបូកគឺ $2 a$ ត្រូវគ្នា។ ឥឡូវដាក់ $P$ នៅ $B_{1} (0, b)$ ចុងអ័ក្សតូច៖ នោះ $B_{1} F_{1} = B_{1} F_{2} = c^{2} + b^{2}$ ដូច្នេះ $2 c^{2} + b^{2} = 2 a$ ហេតុនេះ $c^{2} + b^{2} = a^{2}$ ។ នេះជាការបកស្រាយដែលសៀវភៅលើកឡើង។

FORMULA $V_{1} V_{2} = 2 a, B_{1} B_{2} = 2 b, a > b > 0, a^{2} = b^{2} + c^{2}$

ផ្នែក 05

4.4 សមីការអេលីបដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់អ័ក្សកូអរដោនេ

សមីការអេលីបដែលមានផ្ចិតត្រង់អ័ក្សកូអរដោនេ៖

ផ្ចិត	អ័ក្សធំ	កំពូល	កំណុំ	សមីការស្តង់ដារ	រូបរាងអេលីប
$O (0, 0)$	ជាអ័ក្សអប់ស៊ីស	$V (\pm a, 0)$	$F (\pm c, 0)$	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ដែល $a > b > 0$	អេលីបដេក (រាងពងក្រពើដេក)
$O (0, 0)$	នៅលើអ័ក្សអរដោនេ	$V (0, \pm a)$	$F (0, \pm c)$	$\frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ ដែល $a > b > 0$	អេលីបឈរ (រាងពងក្រពើឈរ)

Centre	Major axis	Vertices	Foci	Standard equation	Shape of the ellipse
$O (0, 0)$	on the abscissa axis (x-axis)	$V (\pm a, 0)$	$F (\pm c, 0)$	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ with $a > b > 0$	ellipse lying horizontally (wide oval)
$O (0, 0)$	on the ordinate axis (y-axis)	$V (0, \pm a)$	$F (0, \pm c)$	$\frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ with $a > b > 0$	ellipse standing vertically (tall oval)

រូប ក្នុងជួរឈរចុងក្រោយ គេគូសអេលីបតូចៗពីរ៖ ជួរខាងលើបង្ហាញអេលីបដែលធំទូលាយជាងកម្ពស់ (ដេក) ឯជួរខាងក្រោមបង្ហាញអេលីបដែលខ្ពស់ជាងទទឹង (ឈរ)។

ពន្យល់បន្ថែម ក្នុងជួរទី១ ភាគបែងធំជាងគឺ $a^{2}$ ដែលនៅក្រោម $x^{2}$ ដូច្នេះអ័ក្សធំដេក ហើយកំពូលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអប់ស៊ីស។ ក្នុងជួរទី២ ភាគបែងធំជាងគឺ $a^{2}$ ដែលនៅក្រោម $y^{2}$ ដូច្នេះអ័ក្សធំឈរ ហើយកំពូលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេ។ ក្នុងករណីទាំងពីរ កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំ នៅចម្ងាយ $c$ ពីផ្ចិត។

FORMULA $ជួរទី១ / row 1: \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, ជួរទី២ / row 2: \frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1, a > b > 0$

ផ្នែក 06

4.5 សមីការស្តង់ដារនៃអេលីបដែលមានផ្ចិតខុសពីគល់នៃអ័ក្សកូអរដោនេ

សមីការស្តង់ដារនៃអេលីបដែលមានផ្ចិតខុសពីគល់នៃអ័ក្សកូអរដោនេ៖

ផ្ចិត	អ័ក្សធំ	កំពូល	កំណុំ	សមីការស្តង់ដារ	រូបរាងអេលីប
$I (h, k)$	ជាអ័ក្សដេក	$V (h \pm a, k)$	$F (h \pm c, k)$	$\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$	អេលីបដេក
$I (h, k)$	ជាអ័ក្សឈរ	$V (h, k \pm a)$	$F (h, k \pm c)$	$\frac{( x - h ) ^{2}}{b ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{a ^{2}} = 1$	អេលីបឈរ

Centre	Major axis	Vertices	Foci	Standard equation	Shape of the ellipse
$I (h, k)$	horizontal	$V (h \pm a, k)$	$F (h \pm c, k)$	$\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$	horizontal ellipse
$I (h, k)$	vertical	$V (h, k \pm a)$	$F (h, k \pm c)$	$\frac{( x - h ) ^{2}}{b ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{a ^{2}} = 1$	vertical ellipse

រូប ជួរឈរចុងក្រោយ៖ អេលីបតូចដេកមួយក្នុងជួរទី១ និងអេលីបតូចឈរមួយក្នុងជួរទី២។

ពន្យល់បន្ថែម សមីការទាំងនេះគឺជាសមីការដូចគ្នានឹងជំពូកមុន តែគ្រាន់តែផ្លាស់ $x$ ទៅ $x - h$ និង $y$ ទៅ $y - k$ ។ ន័យវិញ្ញាណគឺ៖ អេលីបដូចគ្នា តែផ្ចិតរបស់វាផ្លាស់ពី $(0, 0)$ ទៅ $(h, k)$ ។ ដូច្នេះត្រូវចាំថា សញ្ញាក្នុងតួ $(x - h)^{2}$ និង $(y - k)^{2}$ គឺផ្ទុយនឹងសញ្ញានៃកូអរដោនេផ្ចិត៖ $(x - 3)^{2}$ មានន័យថា $h = 3$ តែ $(x + 3)^{2}$ មានន័យថា $h = - 3$ ។

FORMULA $ជួរទី១ / row 1: \frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1, ជួរទី២ / row 2: \frac{( x - h ) ^{2}}{b ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{a ^{2}} = 1$

ផ្នែក 07

4.6 ចំណាំអំពីការគណនា $c$

សម្គាល់ ៖ បើរក $c$ យើងគណនាតាម $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ។ [UNCLEAR: ពាក្យទីបីនៃចំណាំនេះ (រវាង « បើ » និង « $c$ ») បោះពុម្ពជា « បើរក » គឺ «បើរក $c$ »; ប្រអប់រូបមន្តច្បាស់លាស់។]

ពន្យល់បន្ថែម នេះជាទម្រង់ត្រឡប់នៃ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ។ យើងប្រើវានៅពេលដឹង $a$ និង $b$ ពីសមីការស្តង់ដារ ហើយត្រូវការកំណុំ។ ចំណាំ៖ ត្រូវដក $b^{2}$ ចេញពី $a^{2}$ មិនមែនដក $a^{2}$ ចេញពី $b^{2}$ ទេ ព្រោះ $c^{2}$ ត្រូវតែវិជ្ជមាន។

FORMULAc^{2}=a^{2}-b^{2}

ផ្នែក 08

4.7 សមីការទូទៅនៃអេលីប

សមីការដែលមានតួ $x$ និង $y$ ហៅថា សមីការទូទៅនៃអេលីប ( [UNCLEAR: ឃ្លាក្នុងវង់ក្រចក អានថា « បានកី ការពន្យល់សមីការស្តង់ដារ » ដែលហាក់ដូចជាចង់និយាយថាសមីការស្តង់ដារជាករណីពិសេស ] ) ។ សមីការដែលមានរាង $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0$ ដែល $A \cdot B > 0$ និង $A \neq = B$ ជាសមីការទូទៅនៃអេលីប ។ ( ប្រសិនបើ $A = B$ នោះអេលីប នឹងក្លាយទៅជារង្វង់ មានន័យថាកំណុំទាំងពីរត្រូវស្មើគ្នា ) ។

ពន្យល់បន្ថែម លក្ខខណ្ឌ $A \cdot B > 0$ ធានាថាតួការ៉េទាំងពីរមានសញ្ញាដូចគ្នា ដូច្នេះខ្សែកោងជាប់គ្នាជារង្វង់មូល (មិនមែនជាសាខាពីរដូចអ៊ីពែបូល)។ លក្ខខណ្ឌ $A \neq = B$ ធានាថាវាមិនមែនរង្វង់។ ដើម្បីដឹងថាវាជាអេលីបពិត (មានចំណុចពិត) ត្រូវបំពេញការ៉េ ហើយពិនិត្យថាចំនួនថេរនៅខាងស្ដាំវិជ្ជមាន។

FORMULA $A x^{2} + B y^{2} + C x + Dy + E = 0, A \cdot B > 0, A \neq = B$

ផ្នែក 09

4.8 អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ

អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ $e$ នៃអេលីបគឺជាចំណោទរវាង $c$ ( ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំណុំ ) និង $a$ ( ជាចម្ងាយពីផ្ចិតទៅកំពូល ) នោះអេលីបនេះ៖ $e = \frac{c}{a}$ នោះ $0 < e < 1$ ។

ពន្យល់បន្ថែម ពាក្យ «ចំណោទ» មានន័យថាផលចែក។ ដោយ $c < a$ ជានិច្ច នោះ $e < 1$ ; ដោយ $c > 0$ នោះ $e > 0$ ។ បើ $e$ ជិត $0$ អេលីបមើលទៅជិតរង្វង់; បើ $e$ ជិត $1$ អេលីបរុញវែង។ បើ $e = 0$ នោះ $c = 0$ ហើយកំណុំទាំងពីររួមគ្នានៅផ្ចិត នោះគឺរង្វង់។

FORMULA $e = \frac{c}{a}, 0 < e < 1$

ផ្នែក 10

ឧទាហរណ៍គំរូទី ១

ចំណោទ ឲ្យចំណុច $F_{1} (- c, 0)$ និង $F_{2} (c, 0)$ ដែល $c > 0$ និងចំនួនថេរ $2 a$ ដែល $a > c$ ។ រកសមីការនៃសំណុំចំណុច $P (x, y)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ ។ បង្ហាញថាវាអាចសរសេរជាទម្រង់ $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2} - c ^{2}} = 1$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១
សរសេរចម្ងាយទាំងពីរដោយរូបមន្តចម្ងាយ៖ $P F_{1} = (x + c)^{2} + y^{2}$ និង $P F_{2} = (x - c)^{2} + y^{2}$ ។
ហេតុអ្វី និយមន័យអេលីបនិយាយអំពីចម្ងាយ ដូច្នេះជំហានដំបូងគឺសរសេរចម្ងាយទាំងនោះជាពិជគណិត។

ជំហានទី២
ជំនួសចូលក្នុងលក្ខខណ្ឌ៖

$(x + c)^{2} + y^{2} + (x - c)^{2} + y^{2} = 2 a$

ហេតុអ្វី នេះគឺជានិយមន័យដែលសរសេរជាសមីការត្រង់ៗ។

ជំហានទី៣
ផ្លាស់ឬសមួយទៅខាងស្តាំ រួចលើកការ៉េទាំងសងខាង៖

$(x + c)^{2} + y^{2} = 2 a - (x - c)^{2} + y^{2}$

$(x + c)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a (x - c)^{2} + y^{2} + (x - c)^{2} + y^{2}$

ហេតុអ្វី បើលើកការ៉េភ្លាមៗទាំងផលបូក យើងនឹងបានតួឫសឆ្លងកាត់ច្រើនជាង។ ការញែកឬសមួយចេញមុន ធ្វើឲ្យការលើកការ៉េលើកទីមួយ លុបបំបាត់ឬសមួយបានស្អាត។

ជំហានទី៤
បង្រួមតួដូចគ្នា៖ $x^{2}$ និង $c^{2}$ លុបគ្នា ហើយនៅសល់

$4 c x = 4 a^{2} - 4 a (x - c)^{2} + y^{2} ⟺ a (x - c)^{2} + y^{2} = a^{2} - c x$

ហេតុអ្វី យើងចែកពីរខាងដោយ $4$ រួចញែកឬសទៅម្ខាងម្តងទៀត ដើម្បីលើកការ៉េលើកទីពីរ។

ជំហានទី៥
លើកការ៉េទាំងសងខាងម្តងទៀត៖

$a^{2} [(x - c)^{2} + y^{2}] = (a^{2} - c x)^{2}$

$a^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2}$

ហេតុអ្វី តួ $- 2 a^{2} c x$ លេចឡើងស្មើគ្នាទាំងសងខាង ដូច្នេះវានឹងលុបគ្នា នេះជាហេតុដែលយើងញែកឬសមុន។

ជំហានទី៦
បង្រួម ហើយដាក់តួ $x$ និង $y$ មួយខាង៖

$(a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - a^{2} c^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2})$

ហេតុអ្វី យើងដក $c^{2} x^{2}$ និងបូកតួដទៃ ដោយប្រើ $a^{2} c^{2}$ ជាកត្តារួម; សមីការនេះជាទម្រង់ $A x^{2} + B y^{2} = K$ ដែល $A \cdot B > 0$ ។

ជំហានទី៧
ចែកពីរខាងដោយ $a^{2} (a^{2} - c^{2})$ ដែលវិជ្ជមាន (ព្រោះ $a > c$ )៖

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2} - c ^{2}} = 1$

ហើយដោយដាក់ $b^{2} = a^{2} - c^{2} > 0$ យើងបាន $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ជាមួយ $a > b > 0$ ។
ហេតុអ្វី ការចែកដោយចំនួនវិជ្ជមានរក្សាសញ្ញាសមីការ; ហើយខាងស្តាំក្លាយជា $1$ ដែលជាលក្ខណៈនៃទម្រង់ស្តង់ដារ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ដូច្នេះសំណុំចំណុចដែលមានផលបូកចម្ងាយថេរ $2 a$ គឺពិតជាអេលីប ដែលមានអ័ក្សធំដេក កន្លះអ័ក្សធំ $a$ និងកន្លះអ័ក្សតូច $b = a^{2} - c^{2}$ ។ នេះជាហេតុផលពិតប្រាកដនៅខាងក្រោយរូបមន្ត $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ នៅផ្នែក ៤.៣។

ផ្នែក 11

ឧទាហរណ៍គំរូទី ២

ចំណោទ រកផ្ចិត កំពូល កំណុំ ប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច និងអ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេនៃអេលីប $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{16} = 1$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១
អានផ្ចិតពីសញ្ញា៖ $x - 2$ ឲ្យ $h = 2$ និង $y + 1 = y - (- 1)$ ឲ្យ $k = - 1$ ។ ដូច្នេះ $I (2, - 1)$ ។
ហេតុអ្វី តាមទម្រង់ស្តង់ដារ $\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ សញ្ញាក្នុងវង់ក្រចកគឺផ្ទុយនឹងសញ្ញាកូអរដោនេផ្ចិត។

ជំហានទី២
ប្រៀបធៀបភាគបែង៖ $16 > 9$ ហើយ $16$ នៅក្រោម $(y + 1)^{2}$ ដូច្នេះ $a^{2} = 16$ , $b^{2} = 9$ ។ ដូច្នេះ $a = 4$ , $b = 3$ ហើយអ័ក្សធំឈរ។
ហេតុអ្វី $a$ តែងតែជាចំនួនធំបំផុត ហើយភាគបែងធំជាងប្រាប់ទិសអ័ក្សធំ។

ជំហានទី៣
គណនា $c^{2} = a^{2} - b^{2} = 16 - 9 = 7$ ដូច្នេះ $c = 7$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាចំណាំ ដែលថាបើរក $c$ គឺគណនាតាម $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ។

ជំហានទី៤
កំពូលស្ថិតនៅលើអ័ក្សឈរ ចម្ងាយ $a = 4$ ពីផ្ចិត៖ $V (2, - 1 + 4) = (2, 3)$ និង $V^{'} (2, - 1 - 4) = (2, - 5)$ ។
ហេតុអ្វី តាមតារាង ពេលអ័ក្សធំឈរ កំពូលគឺ $V (h, k \pm a)$ ។

ជំហានទី៥
កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឈរ ចម្ងាយ $c = 7 \approx 2.65$ ពីផ្ចិត៖ $F (2, - 1 + 7)$ និង $F^{'} (2, - 1 - 7)$ ។
ហេតុអ្វី កំណុំតែងតែនៅលើអ័ក្សធំ ដោយស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងផ្ចិត។

ជំហានទី៦
ប្រវែងអ័ក្ស៖ $V_{1} V_{2} = 2 a = 8$ និង $B_{1} B_{2} = 2 b = 6$ ។ អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ $e = \frac{c}{a} = \frac{7}{4} \approx 0.66$ ។
ហេតុអ្វី $2 a$ និង $2 b$ ជាប្រវែងពេញ ឯ $e$ គឺចំណោទ $c / a$ តាម ។

ជំហានទី៧
សង់៖ គូសចតុកោណកែងជំនួយដែលមានជ្រុងឈរនៅ $x = 2 \pm 3$ (គឺ $x = - 1$ និង $x = 5$ ) និងជ្រុងដេកនៅ $y = - 1 \pm 4$ (គឺ $y = 3$ និង $y = - 5$ ) រួចគូសអេលីបឲ្យប៉ះជ្រុងទាំងបួន។
ហេតុអ្វី ជ្រុងឈរស្ថិតនៅចម្ងាយ $b$ ពីអ័ក្សឈរ ហើយជ្រុងដេកនៅចម្ងាយ $a$ ពីអ័ក្សដេក ដូច្នេះចតុកោណកែងនេះជាប្រអប់ព័ទ្ធជិតបំផុត។

ផ្នែក 12

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៣

ចំណោទ បង្ហាញថា $3 x^{2} + 2 y^{2} + 12 x - 8 y + 14 = 0$ ជាសមីការនៃអេលីប រួចរកផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១
ពិនិត្យមេគុណ៖ $A = 3$ , $B = 2$ ដូច្នេះ $A \cdot B = 6 > 0$ និង $A \neq = B$ ។ តាម សមីការនេះជាប់ជាអេលីប (មិនមែនអ៊ីពែបូល មិនមែនរង្វង់)។
ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌនេះធានាថាតួការ៉េទាំងពីរមានសញ្ញាដូចគ្នា។

ជំហានទី២
ដាក់កត្តារួមតាមអថេរ៖ $3 x^{2} + 12 x = 3 (x^{2} + 4 x)$ និង $2 y^{2} - 8 y = 2 (y^{2} - 4 y)$ ។
ហេតុអ្វី ត្រូវដក $A$ និង $B$ ជាកត្តាចេញមុន បើមិនដូច្នេះការបំពេញការ៉េនឹងខុសមេគុណ។

ជំហានទី៣
បំពេញការ៉េ៖ $3 (x^{2} + 4 x) = 3 [(x + 2)^{2} - 4] = 3 (x + 2)^{2} - 12$ និង $2 (y^{2} - 4 y) = 2 [(y - 2)^{2} - 4] = 2 (y - 2)^{2} - 8$ ។
ហេតុអ្វី $(x + \frac{4}{2})^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ ដូច្នេះត្រូវដក $4$ វិញ ដើម្បីរក្សាតម្លៃដើម។

ជំហានទី៤
ជំនួសចូលសមីការដើម៖

$3 (x + 2)^{2} - 12 + 2 (y - 2)^{2} - 8 + 14 = 0 ⟹ 3 (x + 2)^{2} + 2 (y - 2)^{2} = 6$

ហេតុអ្វី $- 12 - 8 + 14 = - 6$ ដូច្នេះចំនួនថេរផ្លាស់ទៅខាងស្តាំជា $+ 6$ ។

ជំហានទី៥
ចែកដោយ $6$ ៖

$\frac{( x + 2 ) ^{2}}{2} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{3} = 1$

ហេតុអ្វី $6/3 = 2$ និង $6/2 = 3$ ; ការចែកដោយ $6$ ធ្វើឲ្យខាងស្ដាំស្មើ $1$ ។

ជំហានទី៦
អានធាតុ៖ ផ្ចិត $I (- 2, 2)$ ; $3 > 2$ ហើយ $3$ នៅក្រោម $y$ ដូច្នេះ $a^{2} = 3$ , $b^{2} = 2$ , អ័ក្សធំឈរ; $c^{2} = 3 - 2 = 1$ ដូច្នេះ $c = 1$ ។ កំពូល $V (- 2, 2 \pm 3)$ ; កំណុំ $F (- 2, 2 \pm 1)$ គឺ $F (- 2, 3)$ និង $F^{'} (- 2, 1)$ ។
ហេតុអ្វី នេះគឺជាជំហានអានសមីការស្តង់ដារដូចនៅឧទាហរណ៍ទី២ តែឥឡូវសមីការស្ថិតក្នុងទម្រង់ផ្ចិត $(h, k)$ ។

ជំហានទី៧
អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0.58$ ។
ហេតុអ្វី យើងគណនាតាមនិយមន័យ $e = c / a$ ដោយប្រើ $c = 1$ និង $a = 3$ ។

ផ្នែក 13

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៤

ចំណោទ គេឲ្យអេលីប $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ និងបន្ទាត់ $D : y = x + m$ ។ រកលក្ខខណ្ឌតម្លៃនៃ $m$ ដើម្បីឲ្យ $D$ កាត់អេលីប ប៉ះអេលីប ឬនៅក្រៅអេលីប។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១
ជំនួស $y = x + m$ ចូលក្នុងសមីការអេលីប៖

$\frac{x ^{2}}{8} + \frac{( x + m ) ^{2}}{4} = 1$

ហេតុអ្វី ចំណុចប្រសព្វមានកូអរដោនេដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទាំងសមីការបន្ទាត់ ទាំងសមីការអេលីប។

ជំហានទី២
គុណនឹង $8$ ដើម្បីលុបភាគបែង៖

$x^{2} + 2 (x + m)^{2} = 8 ⟹ 3 x^{2} + 4 m x + 2 m^{2} - 8 = 0$

ហេតុអ្វី ភាគបែង $8$ និង $4$ លុបបាន ហើយនៅសល់សមីការដឺក្រេទីពីរក្នុង $x$ ដែលយើងដឹងវិភាគដោយ $Δ$ ។

ជំហានទី៣
គណនាឌីស្គ្រីមីណង់៖

$Δ = (4 m)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 m^{2} - 8) = 16 m^{2} - 24 m^{2} + 96 = 96 - 8 m^{2} = 8 (12 - m^{2})$

ហេតុអ្វី ចំនួនឫសពិតនៃសមីការគឺចំនួនចំណុចប្រសព្វ ដូច្នេះសញ្ញានៃ $Δ$ ឆ្លើយសំណួរដោយផ្ទាល់។

ជំហានទី៤
ករណីកាត់៖ $Δ > 0 ⟺ 12 - m^{2} > 0 ⟺ m^{2} < 12 ⟺ - 23 < m < 23$ ។
ហេតុអ្វី $Δ > 0$ មានន័យថាមានឫសពីរខុសគ្នា គឺចំណុចប្រសព្វពីរ។

ជំហានទី៥
ករណីប៉ះ៖ $Δ = 0 ⟺ m^{2} = 12 ⟺ m = \pm 23$ ។
ហេតុអ្វី ឫសឌុបមួយ មានន័យថាបន្ទាត់ជួបអេលីបត្រង់ចំណុចតែមួយ។

ជំហានទី៦
ករណីនៅក្រៅ៖ $Δ < 0 ⟺ m^{2} > 12 ⟺ m < - 23$ ឬ $m > 23$ ។
ហេតុអ្វី គ្មានឫសពិត មានន័យថាគ្មានចំណុចប្រសព្វ។

ចម្លើយ កាត់ cuts: $- 23 < m < 23$ ; ប៉ះ tangent: $m = \pm 23$ ; នៅក្រៅ

ផ្នែក 14

លំហាត់ទី ១

រកសមីការស្តង់ដារនៃអេលីបដែលមានកំណុំមួយនៅត្រង់ចំណុច $(0, 2)$ និងកំពូលពីរនៅត្រង់ចំណុច $(0, - 3)$ និង $(0, 3)$ រួចសង់អេលីបនេះ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១
កំពូលទាំងពីរ $(0, - 3)$ និង $(0, 3)$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេ ហើយស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងគល់អ័ក្ស ដូច្នេះផ្ចិត $O (0, 0)$ ហើយអ័ក្សធំឈរ។
ហេតុអ្វី ផ្ចិតគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $V_{1} V_{2}$ ហើយកំពូលទាំងពីរស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំ។
ជំហានទី២
$a = O V = 3$ ព្រោះ $V_{1} V_{2} = 6 = 2 a$ ។
ហេតុអ្វី $2 a$ ជាប្រវែងពេញ ដូច្នេះ $a$ ជាកន្លះ។
ជំហានទី៣
កំណុំ $(0, 2)$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សឈរ ដូច្នេះ $c = 2$ ។
ហេតុអ្វី កំណុំតែងតែនៅលើអ័ក្សធំ ហើយនៅទីនេះអ័ក្សធំឈរ។
ជំហានទី៤
$b^{2} = a^{2} - c^{2} = 9 - 4 = 5$ ។
ហេតុអ្វី តាម $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ដូច្នេះ $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ ។
ជំហានទី៥
សរសេរសមីការ (អ័ក្សធំឈរ ផ្ចិតគល់អ័ក្ស)៖

$\frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$

ហេតុអ្វី តាមតារាង ពេលអ័ក្សធំឈរ $a^{2} = 9$ ត្រូវនៅក្រោម $y^{2}$ ហើយ $b^{2} = 5$ នៅក្រោម $x^{2}$ ។

ជំហានទី៦
សង់៖ គូសចតុកោណកែងជំនួយ $x = \pm 5 \approx \pm 2.24$ និង $y = \pm 3$ រួចគូសអេលីបឲ្យប៉ះជ្រុងទាំងបួន ហើយសម្គាល់កំណុំ $(0, \pm 2)$ នៅខាងក្នុង។

ចម្លើយ $\frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ដែល $a = 3$ , $b = 5$ , $c = 2$ ។

ផ្នែក 15

លំហាត់ទី ២

គេឲ្យសមីការ $4 x^{2} + 25 y^{2} = 100$ ។

ក. បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការនៃអេលីប ។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកូអរដោនេកំណុំទាំងពីរនៃអេលីប ។

ខ. សង់អេលីបនេះ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក.

ជំហានទី១
ចែកពីរខាងដោយ $100$ ៖

$\frac{4 x ^{2}}{100} + \frac{25 y ^{2}}{100} = 1 ⟹ \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$

ហេតុអ្វី ទម្រង់ស្តង់ដារត្រូវការខាងស្ដាំស្មើ $1$ ហើយភាគបែងត្រូវនៅក្រោមតួការ៉េ។

ជំហានទី២
ក្នុងទម្រង់ទូទៅ $A = 4$ , $B = 25$ ដូច្នេះ $A \cdot B = 100 > 0$ និង $A \neq = B$ ; តាម សមីការនេះជាសមីការនៃអេលីប (មិនមែនអ៊ីពែបូល មិនមែនរង្វង់)។
ហេតុអ្វី លក្ខខណ្ឌនៃសញ្ញាធានាថាខ្សែកោងបិទជិត។
ជំហានទី៣
$25 > 4$ ហើយ $25$ នៅក្រោម $x^{2}$ ដូច្នេះ $a^{2} = 25$ , $a = 5$ (អ័ក្សធំដេក) និង $b^{2} = 4$ , $b = 2$ ។
ហេតុអ្វី ភាគបែងធំជាងគឺ $a^{2}$ ហើយទីតាំងរបស់វាប្រាប់ទិសអ័ក្សធំ។
ជំហានទី៤
ប្រវែងអ័ក្ស៖ $2 a = 10$ និង $2 b = 4$ ។
ហេតុអ្វី $V_{1} V_{2} = 2 a$ និង $B_{1} B_{2} = 2 b$ តាម ។
ជំហានទី៥
$c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 4 = 21$ ដូច្នេះ $c = 21 \approx 4.58$ ។
ហេតុអ្វី តាម ។
ជំហានទី៦
កំពូល (អ័ក្សធំដេក) $V (\pm 5, 0)$ និងកំណុំ $F (\pm 21, 0) \approx (\pm 4.58, 0)$ ។
ហេតុអ្វី តាមតារាង ជួរទី១៖ $V (\pm a, 0)$ និង $F (\pm c, 0)$ ។

ខ. សង់ចតុកោណកែងជំនួយ $x = \pm 5$ , $y = \pm 2$ រួចគូសអេលីបបិទជិតដែលប៉ះជ្រុងទាំងបួន៖ ចំណុចកាត់អ័ក្សគឺ $(\pm 5, 0)$ និង $(0, \pm 2)$ ។

ចម្លើយ $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ ; អ័ក្សធំ $10$ , អ័ក្សតូច $4$ ; $V (\pm 5, 0)$ ; $F (\pm 21, 0)$ ។

ផ្នែក 16

លំហាត់ទី ៣

រកសមីការស្តង់ដារនៃអេលីបតាមករណីនីមួយៗដូចខាងក្រោម ៖

ក. អ័ក្សធំមានប្រវែង 10 ឯកតា កំណុំទាំងពីរមានកូអរដោនេ $(4, 0)$ និង $(- 4, 0)$ ។

ខ. អ័ក្សតូចមានប្រវែង 6 ឯកតា កំណុំទាំងពីរមានកូអរដោនេ $(0, 4)$ និង $(0, - 4)$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក.

ជំហានទី១
កំណុំ $(4, 0)$ និង $(- 4, 0)$ ស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងគល់អ័ក្ស ដូច្នេះផ្ចិត $O (0, 0)$ និងអ័ក្សធំដេក; $c = 4$ ។
ហេតុអ្វី ផ្ចិតជាចំណុចកណ្តាលនៃ $F_{1} F_{2}$ ហើយកំណុំនៅលើអ័ក្សធំ។
ជំហានទី២
$2 a = 10$ ដូច្នេះ $a = 5$ និង $a^{2} = 25$ ។
ហេតុអ្វី ត្រូវចែកពីរជាមុន មិនមែនដាក់ $10$ ជា $a$ ទេ (សូមមើលកំហុសទី ៧)។
ជំហានទី៣
$b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 16 = 9$ ។
ហេតុអ្វី តាម ។
ជំហានទី៤
សមីការ៖

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$

ហេតុអ្វី អ័ក្សធំដេក ដូច្នេះ $a^{2} = 25$ នៅក្រោម $x^{2}$ ។

ខ.

ជំហានទី១
កំណុំ $(0, 4)$ និង $(0, - 4)$ ស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងគល់អ័ក្ស ដូច្នេះផ្ចិត $O (0, 0)$ និងអ័ក្សធំឈរ; $c = 4$ ។
ហេតុអ្វី ដូចករណី ក. តែលើកនេះកំណុំនៅលើអ័ក្សអរដោនេ។
ជំហានទី២
$2 b = 6$ ដូច្នេះ $b = 3$ និង $b^{2} = 9$ ។
ហេតុអ្វី $2 b$ ជាប្រវែងពេញនៃអ័ក្សតូច។
ជំហានទី៣
$a^{2} = b^{2} + c^{2} = 9 + 16 = 25$ ដូច្នេះ $a = 5$ ។
ហេតុអ្វី នៅទីនេះយើងដឹង $b$ និង $c$ តែមិនដឹង $a$ ដូច្នេះត្រូវប្រើ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ដោយផ្ទាល់តាម ។
ជំហានទី៤
សមីការ (អ័ក្សធំឈរ)៖

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$

ហេតុអ្វី $a^{2} = 25$ ត្រូវនៅក្រោម $y^{2}$ ព្រោះអ័ក្សធំឈរ។

ចម្លើយ

ក. $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ;

ខ. $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ ។

ផ្នែក 17

លំហាត់ទី ៤

រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេផ្ចិត កំណុំ និងកំពូលនៃអេលីប រួចសង់អេលីបតាមករណីនីមួយៗដូចខាងក្រោម ៖

ក. $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

ខ. $25 x^{2} + 16 y^{2} = 400$

គ. $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ .

ភាគបែង $25 > 16$ ហើយ $25$ នៅក្រោម $x^{2}$ ដូច្នេះ $a = 5$ (ដេក), $b = 4$ ; ផ្ចិត $O (0, 0)$ ។
$c^{2} = 25 - 16 = 9$ ដូច្នេះ $c = 3$ ។
អ័ក្សធំ $2 a = 10$ , អ័ក្សតូច $2 b = 8$ ; កំពូល $V (\pm 5, 0)$ ; កំណុំ $F (\pm 3, 0)$ ។
សង់៖ ចតុកោណកែង $x = \pm 5$ , $y = \pm 4$ ។

ខ. $25 x^{2} + 16 y^{2} = 400$ .

ចែកដោយ $400$ ៖ $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ ។
ឥឡូវ $25 > 16$ ហើយ $25$ នៅក្រោម $y^{2}$ ដូច្នេះ $a = 5$ (ឈរ), $b = 4$ ; ផ្ចិត $O (0, 0)$ ។
$c^{2} = 25 - 16 = 9$ , $c = 3$ ។ អ័ក្សធំ $10$ , អ័ក្សតូច $8$ ; កំពូល $V (0, \pm 5)$ ; កំណុំ $F (0, \pm 3)$ ។
សង់៖ ចតុកោណកែង $x = \pm 4$ , $y = \pm 5$ ។

គ. $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ .

ដាក់កត្តា និងបំពេញការ៉េ៖ $4 x^{2} - 8 x = 4 (x - 1)^{2} - 4$ និង $y^{2} + 4 y = (y + 2)^{2} - 4$ ។
ជំនួសវិញ៖ $4 (x - 1)^{2} - 4 + (y + 2)^{2} - 4 + 4 = 0$ ដូច្នេះ $4 (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ ។
ចែកដោយ $4$ ៖

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{1} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 1$

អានធាតុ៖ ផ្ចិត $I (1, - 2)$ ; $4 > 1$ ហើយ $4$ នៅក្រោម $y$ ដូច្នេះ $a = 2$ (ឈរ), $b = 1$ ; $c^{2} = 4 - 1 = 3$ , $c = 3$ ។
អ័ក្សធំ $2 a = 4$ , អ័ក្សតូច $2 b = 2$ ; កំពូល $V (1, - 2 \pm 2)$ គឺ $(1, 0)$ និង $(1, - 4)$ ; កំណុំ $F (1, - 2 \pm 3)$ ។
សង់៖ ចតុកោណកែង $x = 1 \pm 1$ (គឺ $0$ និង $2$ ), $y = - 2 \pm 2$ (គឺ $0$ និង $- 4$ )។

ចម្លើយ

ក. ផ្ចិត $(0, 0)$ , $a = 5$ , $b = 4$ , $c = 3$ , អ័ក្ស $10$ និង $8$ , $V (\pm 5, 0)$ , $F (\pm 3, 0)$ ;

ខ. ផ្ចិត $(0, 0)$ , $a = 5$ (ឈរ), $b = 4$ , $c = 3$ , អ័ក្ស $10$ និង $8$ , $V (0, \pm 5)$ , $F (0, \pm 3)$ ;

គ. ផ្ចិត $(1, - 2)$ , $a = 2$ (ឈរ), $b = 1$ , $c = 3$ , អ័ក្ស $4$ និង $2$ , $V (1, 0)$ និង $(1, - 4)$ , $F (1, - 2 \pm 3)$ ។

ផ្នែក 18

លំហាត់ទី ៥

រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេនៃអេលីបដែលមានសមីការដូចខាងក្រោម រួចសង់ក្រាបអេលីប៖

ក. $x^{2} + 4 y^{2} = 4$

ខ. $(x + 5)^{2} + 4 (y - 4)^{2} = 16$

គ. $9 (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$

ឃ. $(x + 2)^{2} + \frac{( y + 4 ) ^{2}}{1/4} = 1$

ង. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{16} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{4} = 1$

ច. $\frac{( x + 2 ) ^{2}}{4} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{25} = 1$

ឆ. $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} + (y - 1)^{2} = 1$

ជ. $(x - 1)^{2} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$

ឈ. $\frac{( x + 5 ) ^{2}}{16} + \frac{( y - 4 ) ^{2}}{4} = 1$

ញ. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{3} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{2} = 1$

ដ. $\frac{( x + 4 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 1$

ឋ. $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y - 5 ) ^{2}}{25} = 1$

ដ

ដោះស្រាយបន្ថែម

វិធីដោះស្រាយដូចគ្នាទាំង ១២៖ (១) ចែកឲ្យខាងស្ដាំស្មើ $1$ បើចាំបាច់ (២) អានផ្ចិតពីសញ្ញាក្នុងវង់ក្រចក (៣) យកភាគបែងធំជាងជា $a^{2}$ (៤) $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ (៥) កំពូល និងកំណុំតាមទិសអ័ក្សធំ (៦) $e = c / a$ ។

លំហាត់	ផ្ចិត / centre	អ័ក្សធំ / major	$a$	$b$	$c$	កំពូល / vertices	កំណុំ / foci	$e$
ក	$(0, 0)$	ដេក / horizontal	$2$	$1$	$3$	$(\pm 2, 0)$	$(\pm 3, 0)$	$\frac{3}{2}$
ខ	$(- 5, 4)$	ដេក / horizontal	$4$	$2$	$23$	$(- 1, 4)$ , $(- 9, 4)$	$(- 5 \pm 23, 4)$	$\frac{3}{2}$
គ	$(3, - 2)$	ឈរ / vertical	$32$	$2$	$4$	$(3, - 2 \pm 32)$	$(3, 2)$ , $(3, - 6)$	$\frac{2 2}{3}$
ឃ	$(- 2, - 4)$	ដេក / horizontal	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$(- 1, - 4)$ , $(- 3, - 4)$	$(- 2 \pm \frac{3}{2}, - 4)$	$\frac{3}{2}$
ង	$(2, - 1)$	ដេក / horizontal	$4$	$2$	$23$	$(6, - 1)$ , $(- 2, - 1)$	$(2 \pm 23, - 1)$	$\frac{3}{2}$
ច	$(- 2, - 2)$	ឈរ / vertical	$5$	$2$	$21$	$(- 2, 3)$ , $(- 2, - 7)$	$(- 2, - 2 \pm 21)$	$\frac{21}{5}$
ឆ	$(- 1, 1)$	ដេក / horizontal	$2$	$1$	$3$	$(1, 1)$ , $(- 3, 1)$	$(- 1 \pm 3, 1)$	$\frac{3}{2}$
ជ	$(1, 0)$	ឈរ / vertical	$2$	$1$	$3$	$(1, \pm 2)$	$(1, \pm 3)$	$\frac{3}{2}$
ឈ	$(- 5, 4)$	ដេក / horizontal	$4$	$2$	$23$	$(- 1, 4)$ , $(- 9, 4)$	$(- 5 \pm 23, 4)$	$\frac{3}{2}$
ញ	$(2, - 1)$	ដេក / horizontal	$3$	$2$	$1$	$(2 \pm 3, - 1)$	$(3, - 1)$ , $(1, - 1)$	$\frac{3}{3}$
ដ	$(- 4, - 2)$	ដេក / horizontal	$3$	$2$	$5$	$(- 1, - 2)$ , $(- 7, - 2)$	$(- 4 \pm 5, - 2)$	$\frac{5}{3}$
ឋ	$(1, 5)$	ឈរ / vertical	$5$	$3$	$4$	$(1, 10)$ , $(1, 0)$	$(1, 9)$ , $(1, 1)$	$\frac{4}{5}$

ការគណនាលម្អិតសម្រាប់ករណីដែលត្រូវបំប្លែង

ក. $x^{2} + 4 y^{2} = 4 \Rightarrow \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{1} = 1$ ; $a^{2} = 4$ , $b^{2} = 1$ , $c^{2} = 3$ ។
ខ. $(x + 5)^{2} + 4 (y - 4)^{2} = 16 \Rightarrow \frac{( x + 5 ) ^{2}}{16} + \frac{( y - 4 ) ^{2}}{4} = 1$ ; $a^{2} = 16$ , $b^{2} = 4$ , $c^{2} = 12$ , $c = 23$ ។
គ. $9 (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 18 \Rightarrow \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{18} = 1$ ; $a^{2} = 18$ , $b^{2} = 2$ , $c^{2} = 16$ , $c = 4$ ; $e = \frac{4}{3 2} = \frac{2 2}{3}$ ។
ឃ. $(x + 2)^{2} + \frac{( y + 4 ) ^{2}}{1/4} = 1$ ស្រាប់៖ ភាគបែង $1$ នៅក្រោម $(x + 2)^{2}$ និង $\frac{1}{4}$ នៅក្រោម $(y + 4)^{2}$ ; $a^{2} = 1$ , $b^{2} = \frac{1}{4}$ , $c^{2} = \frac{3}{4}$ ។
ញ. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{3} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{2} = 1$ ; $a^{2} = 3$ , $b^{2} = 2$ , $c^{2} = 1$ , $c = 1$ , $e = \frac{1}{3}$ ។

ការសង់ សម្រាប់ករណីនីមួយៗ គូសចតុកោណកែងជំនួយដែលជ្រុងឈរនៅ $x = h \pm$ (អ័ក្សដេក/កន្លះ) និងជ្រុងដេកនៅ $y = k \pm$ (អ័ក្សឈរ/កន្លះ) រួចគូសខ្សែកោងបិទជិតឲ្យប៉ះជ្រុងទាំងបួន។ ឧទាហរណ៍ ករណី ង៖ ចតុកោណកែង $x = 2 \pm 2$ (គឺ $0$ និង $4$ ) និង $y = - 1 \pm 2$ (គឺ $1$ និង $- 3$ )។

ចម្លើយ ដូចក្នុងតារាងខាងលើ។

ផ្នែក 19

លំហាត់ទី ៦

រកទម្រង់ស្តង់ដារនៃសមីការអេលីប ដែលមាន ៖

ក. ផ្ចិត $(- 3, 1)$ កំពូល $(- 3, 3)$ និងកំណុំ $(- 3, 0)$ ។

ខ. កំណុំ $(1, 2)$ និង $(- 3, 2)$ កំពូល $(- 4, 2)$ ។

គ. កំពូល $(1, 2)$ និង $(- 3, 2)$ , $c = 2$ ។

ឃ. ផ្ចិត $(1, 2)$ កំណុំ $(4, 2)$ និងក្រាបរបស់អេលីបកាត់តាមចំណុច $(1, 3)$ ។

ង. ផ្ចិត $(1, 2)$ កំពូល $(4, 2)$ និងក្រាបរបស់អេលីបកាត់តាមចំណុច $(1, 3)$ ។

ច. ផ្ចិត $(1, 2)$ កំពូល $(1, 4)$ និងក្រាបរបស់អេលីបកាត់តាមចំណុច $(2, 2)$ ។

ឆ. ផ្ចិត $(1, 2)$ អ័ក្សធំជាអ័ក្សឈរ ហើយចំណុច $(1, 6)$ និង $(3, 2)$ នៅលើក្រាបរបស់អេលីប ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. កំពូល $(- 3, 3)$ និងផ្ចិត $(- 3, 1)$ នៅលើបន្ទាត់ឈរ $x = - 3$ ដូច្នេះអ័ក្សធំឈរ ហើយ $a = ∣3 - 1∣ = 2$ ។ កំណុំ $(- 3, 0)$ ក៏នៅលើបន្ទាត់ឈរ ដូច្នេះ $c = ∣0 - 1∣ = 1$ ។ នោះ $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 4 - 1 = 3$ ។

$\frac{( x + 3 ) ^{2}}{3} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} = 1$

ខ. ផ្ចិតជាចំណុចកណ្តាលនៃកំណុំទាំងពីរ៖ $(\frac{1 + ( - 3 )}{2}, \frac{2 + 2}{2}) = (- 1, 2)$ ។ កំណុំទាំងពីរមាន $y$ ដូចគ្នា ដូច្នេះអ័ក្សធំដេក ហើយ $c = 2$ (កន្លះចម្ងាយ $4$ )។ កំពូល $(- 4, 2)$ ឲ្យ $a = ∣ - 4 - (- 1) ∣ = 3$ ។ នោះ $b^{2} = 9 - 4 = 5$ ។

$\frac{( x + 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{5} = 1$

គ. កំពូល $(1, 2)$ និង $(- 3, 2)$ ឲ្យផ្ចិត $(- 1, 2)$ និង $a = ∣1 - (- 1) ∣ = 2$ (អ័ក្សធំដេក)។ តែ $c = 2$ តាមចំណោទ ដូច្នេះ $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 4 - 4 = 0$ ។

ចំណាំសំខាន់ តាមលេខដែលសៀវភៅបោះពុម្ព $c = a = 2$ ដូច្នេះ $b = 0$ ហើយអេលីបរលាយទៅជាអង្កត់ត្រង់ដែលមានចុង $(- 3, 2)$ និង $(1, 2)$ (គឺអង្កត់ $V_{1} V_{2}$ ខ្លួនវា)។ មានន័យថាគ្មានអេលីបពិតដែលមានទិន្នន័យនេះទេ ព្រោះសមីការត្រូវការភាគបែង $b^{2} = 0$ ដែលមិនកំណត់។ បើគេឲ្យ $c < 2$ នោះយើងនឹងបាន $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{4 - c ^{2}} = 1$ ។

ឃ. កំណុំ $(4, 2)$ និងផ្ចិត $(1, 2)$ ឲ្យ $c = 3$ ហើយអ័ក្សធំដេក។ ដាក់ $(x, y) = (1, 3)$ ក្នុង $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ៖ $\frac{0}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 1$ ដូច្នេះ $b^{2} = 1$ ។ នោះ $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 1 + 9 = 10$ ។

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{10} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} = 1$

ង. កំពូល $(4, 2)$ និងផ្ចិត $(1, 2)$ ឲ្យ $a = 3$ ហើយអ័ក្សធំដេក។ ចំណុច $(1, 3)$ ឲ្យ $\frac{1}{b ^{2}} = 1$ ដូច្នេះ $b^{2} = 1$ ។ នោះ $c^{2} = a^{2} - b^{2} = 9 - 1 = 8$ ។

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} = 1$

ច. កំពូល $(1, 4)$ និងផ្ចិត $(1, 2)$ ឲ្យ $a = 2$ ហើយអ័ក្សធំឈរ។ ចំណុច $(2, 2)$ ឲ្យ $\frac{1}{b ^{2}} + 0 = 1$ ដូច្នេះ $b^{2} = 1$ ។ នោះ $c^{2} = 4 - 1 = 3$ ។

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{1} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{4} = 1$

ឆ. អ័ក្សធំឈរ ដូច្នេះសមីការមានទម្រង់ $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{b ^{2}} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{a ^{2}} = 1$ ។ ចំណុច $(1, 6)$ ឲ្យ $\frac{16}{a ^{2}} = 1$ ដូច្នេះ $a^{2} = 16$ និង $a = 4$ ។ ចំណុច $(3, 2)$ ឲ្យ $\frac{4}{b ^{2}} = 1$ ដូច្នេះ $b^{2} = 4$ និង $b = 2$ ។

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{16} = 1$

ចម្លើយ

ក. $\frac{( x + 3 ) ^{2}}{3} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} = 1$ ;

ខ. $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{5} = 1$ ;

គ. គ្មានអេលីបពិត ( $b = 0$ , រលាយជាអង្កត់)

ផ្នែក 20

លំហាត់ទី ៧

បង្ហាញថាសមីការខាងក្រោម ជាសមីការនៃអេលីប ។ រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល និងកំណុំរបស់អេលីប ៖

ក. $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

ខ. $x^{2} + 3 y^{2} - 12 y + 9 = 0$

គ. $2 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 5 = 0$

ឃ. $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 5$

ង. $x^{2} + 9 y^{2} + 6 x - 18 y + 9 = 0$

ច. $9 x^{2} + y^{2} - 18 x = 0$

ឆ. $9 x^{2} + 4 y^{2} + 50 y - 32 x + 31 = 0$

ជ. $9 x^{2} + 4 y^{2} + 8 y - 36 x + 31 = 0$

ឈ. $16 x^{2} + 25 y^{2} - 32 x + 50 y + 31 = 0$

ញ. $9 x^{2} + 25 y^{2} - 36 x - 50 y + 61 = 225$

ដោះស្រាយបន្ថែម

វិធីសាស្ត្រ គ្រប់សមីការមាន $A > 0$ និង $B > 0$ ជាមួយ $A \neq = B$ ដូច្នេះ $A \cdot B > 0$ ហើយតាម វាជាប្រភេទអេលីប។ បន្ទាប់មកបំពេញការ៉េ ចែកឲ្យខាងស្ដាំស្មើ $1$ រួចអានធាតុ។

ក. $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0 \Rightarrow (x + 2)^{2} + 4 (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow \frac{( x + 2 ) ^{2}}{4} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{1} = 1$ ។ ផ្ចិត $(- 2, 1)$ ; $a = 2$ (ដេក), $b = 1$ , $c = 3$ ; $V (0, 1)$ និង $(- 4, 1)$ ; $F (- 2 \pm 3, 1)$ ។

ខ. $x^{2} + 3 y^{2} - 12 y + 9 = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 (y - 2)^{2} = 3 \Rightarrow \frac{x ^{2}}{3} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{1} = 1$ ។ ផ្ចិត $(0, 2)$ ; $a = 3$ (ដេក), $b = 1$ , $c = 2$ ; $V (\pm 3, 2)$ ; $F (\pm 2, 2)$ ។

គ. $2 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 5 = 0 \Rightarrow 2 (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 12 \Rightarrow \frac{( x - 2 ) ^{2}}{6} + \frac{( y + 3 ) ^{2}}{12} = 1$ ។ ផ្ចិត $(2, - 3)$ ; $a = 23$ (ឈរ), $b = 6$ , $c = 6$ ; $V (2, - 3 \pm 23)$ ; $F (2, - 3 \pm 6)$ ។

ឃ. $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 5 \Rightarrow 4 (x + 1)^{2} + 3 (y - 1)^{2} = 12 \Rightarrow \frac{( x + 1 ) ^{2}}{3} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} = 1$ ។ ផ្ចិត $(- 1, 1)$ ; $a = 2$ (ឈរ), $b = 3$ , $c = 1$ ; $V (- 1, 3)$ និង $(- 1, - 1)$ ; $F (- 1, 2)$ និង $(- 1, 0)$ ។

ង. $x^{2} + 9 y^{2} + 6 x - 18 y + 9 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} + 9 (y - 1)^{2} = 9 \Rightarrow \frac{( x + 3 ) ^{2}}{9} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{1} = 1$ ។ ផ្ចិត $(- 3, 1)$ ; $a = 3$ (ដេក), $b = 1$ , $c = 22$ ; $V (0, 1)$ និង $(- 6, 1)$ ; $F (- 3 \pm 22, 1)$ ។

ច. $9 x^{2} + y^{2} - 18 x = 0 \Rightarrow 9 (x - 1)^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow \frac{( x - 1 ) ^{2}}{1} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ។ ផ្ចិត $(1, 0)$ ; $a = 3$ (ឈរ), $b = 1$ , $c = 22$ ; $V (1, \pm 3)$ ; $F (1, \pm 22)$ ។

ឆ. បំពេញការ៉េ៖ $9 x^{2} - 32 x = 9 (x - \frac{16}{9})^{2} - \frac{256}{9}$ និង $4 y^{2} + 50 y = 4 (y + \frac{25}{4})^{2} - \frac{625}{4}$ ។ ដូច្នេះ

$9 (x - \frac{16}{9})^{2} + 4 (y + \frac{25}{4})^{2} = \frac{5533}{36}$

រួចចែកដោយ $\frac{5533}{36}$ ៖ $\frac{( x - \frac{16}{9} ) ^{2}}{5533/324} + \frac{( y + \frac{25}{4} ) ^{2}}{5533/144} = 1$ ។ ផ្ចិត $(\frac{16}{9}, - \frac{25}{4})$ ; អ័ក្សធំឈរ; $a = \frac{5533}{12}$ និង $b = \frac{5533}{18}$ ; $c^{2} = \frac{27665}{1296}$ គឺ $c = \frac{27665}{36}$ ; កំពូល $V (\frac{16}{9}, - \frac{25}{4} \pm \frac{5533}{12})$ ; កំណុំ $F (\frac{16}{9}, - \frac{25}{4} \pm \frac{27665}{36})$ ។

លេខមិនស្អាត

ជ. $9 x^{2} + 4 y^{2} + 8 y - 36 x + 31 = 0 \Rightarrow 9 (x - 2)^{2} + 4 (y + 1)^{2} = 9 \Rightarrow \frac{( x - 2 ) ^{2}}{1} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{9/4} = 1$ ។ ផ្ចិត $(2, - 1)$ ; $a = \frac{3}{2}$ (ឈរ), $b = 1$ , $c = \frac{5}{2}$ ; $V (2, - 1 \pm \frac{3}{2})$ គឺ $(2, \frac{1}{2})$ និង $(2, - \frac{5}{2})$ ; $F (2, - 1 \pm \frac{5}{2})$ ។

ឈ. $16 x^{2} + 25 y^{2} - 32 x + 50 y + 31 = 0 \Rightarrow 16 (x - 1)^{2} + 25 (y + 1)^{2} = 10 \Rightarrow \frac{( x - 1 ) ^{2}}{5/8} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{2/5} = 1$ ។ ផ្ចិត $(1, - 1)$ ; $a = \frac{10}{4}$ (ដេក), $b = \frac{10}{5}$ , $c^{2} = \frac{9}{40}$ គឺ $c = \frac{3 10}{20}$ ; $V (1 \pm \frac{10}{4}, - 1)$ ; $F (1 \pm \frac{3 10}{20}, - 1)$ ។

ដូចករណី ឆ លេខខាងលើតូច និងមិនស្អាត; សមីការត្រូវបានរក្សាតាមសៀវភៅ។

ញ. $9 x^{2} + 25 y^{2} - 36 x - 50 y + 61 = 225 \Rightarrow 9 (x - 2)^{2} + 25 (y - 1)^{2} = 225 \Rightarrow \frac{( x - 2 ) ^{2}}{25} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{9} = 1$ ។ ផ្ចិត $(2, 1)$ ; $a = 5$ (ដេក), $b = 3$ , $c = 4$ ; $V (7, 1)$ និង $(- 3, 1)$ ; $F (6, 1)$ និង $(- 2, 1)$ ។

ការសង់ក្រាប សម្រាប់ករណីនីមួយៗ សម្គាល់ផ្ចិត រួចរាយចម្ងាយ $a$ តាមទិសអ័ក្សធំ និង $b$ តាមទិសអ័ក្សតូច ដើម្បីបានកំពូលទាំងបួន រួចគូសចតុកោណកែងជំនួយ និងខ្សែកោងបិទជិត។

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

កំហុសទី ១ — ប្រើ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ជំនួស $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ខុស Wrong: សិស្សឃើញ $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ រួចសរសេរ $c^{2} = 25 + 16 = 41$ ដូច្នេះ $c = 41$ ។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ មានន័យថា $a$ ជាអ័ក្សទ្រេត ដូច្នេះ $a^{2}$ ជាចំនួនធំបំផុត ហើយ $c^{2}$ ត្រូវតែតូចជាង $a^{2}$ ។ ការបូក $a^{2} + b^{2}$ ធ្វើឲ្យ $c > a$ ដែលមិនអាចកើតឡើងបានសម្រាប់អេលីប។ ត្រូវ Correct: $c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 16 = 9$ ដូច្នេះ $c = 3$ និង $F (\pm 3, 0)$ ។

កំហុសទី ២ — សន្មតថាអេលីបដេក ដោយមិនប្រៀបធៀបភាគបែង ខុស Wrong: សិស្សឃើញ $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ រួចសរសេរ $a = 3$ , $b = 5$ និងកំពូល $(\pm 3, 0)$ ព្រោះ $x$ នៅមុន។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: នៅក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ $a^{2}$ គឺជាភាគបែងធំជាង មិនមែនភាគបែងដែលនៅក្រោម $x$ ទេ។ នៅទីនេះ $25 > 9$ ដូច្នេះ $a^{2} = 25$ ។ ត្រូវ vertical), $b = 3$ , $c^{2} = 25 - 9 = 16$ , $c = 4$ ; កំពូល $V (0, \pm 5)$ និងកំណុំ $F (0, \pm 4)$ ។

កំហុសទី ៣ — ច្រឡំសញ្ញានៅពេលអានផ្ចិត ខុស Wrong: ពី $\frac{( x + 3 ) ^{2}}{9} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{4} = 1$ សិស្សសរសេរផ្ចិត $(3, 1)$ ។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: តួ $(x + 3)^{2}$ គឺ $(x - (- 3))^{2}$ ដូច្នេះ $h = - 3$ ។ សញ្ញាក្នុងវង់ក្រចកគឺផ្ទុយនឹងសញ្ញាកូអរដោនេ។ ត្រូវ Correct: ផ្ចិត $(- 3, 1)$ ។ សិស្សអាចពិនិត្យខ្លួនឯងបាន៖ ដាក់ $x = - 3$ និង $y = 1$ នោះតួទាំងពីរស្មើ $0$ ដែលជាផ្ចិតពិត។

កំហុសទី ៤ — បំពេញការ៉េដោយមិនដកមេគុណជាកត្តាចេញមុន ខុស Wrong: ពី $4 x^{2} - 8 x$ សិស្សសរសេរ $(2 x - 2)^{2} - 4$ ។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: $(2 x - 2)^{2} = 4 x^{2} - 8 x + 4$ ដូច្នេះ $(2 x - 2)^{2} - 4 = 4 x^{2} - 8 x$ ត្រូវហើយ តែវាមិនមែនជាទម្រង់ $A (x - h)^{2}$ ដែលត្រូវការ ព្រោះគេត្រូវការតួ $(x - h)^{2}$ មួយ ដើម្បីអាន $h$ និងចែកភាគបែង។ បើសិស្សសរសេរ $4 (x - 1)^{2} - 4$ វិញ នោះត្រូវ។ ត្រូវ

កំហុសទី ៥ — ភ្លេចចែកឲ្យខាងស្ដាំស្មើ $1$ ខុស Wrong: ពី $9 (x - 1)^{2} + 4 (y + 2)^{2} = 36$ សិស្សសរសេរ $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 36$ ។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: ការដាក់ $9$ និង $4$ ជាភាគបែង គឺជាការចែកតួនីមួយៗដោយមេគុណរបស់វា តែខាងស្ដាំមិនបានចែកតាមទេ។ ដើម្បីឲ្យខាងស្ដាំក្លាយជា $1$ ត្រូវចែកសមីការទាំងមូលដោយ $36$ ដែលជាចំនួនថេរនៅខាងស្ដាំ។ ត្រូវ Correct: $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{9} = 1$ (ចែក $36$ : $36/9 = 4$ និង $36/4 = 9$ )។

កំហុសទី ៦ — ដាក់កំណុំនៅលើអ័ក្សតូច ខុស Wrong: ក្នុងអេលីបឈរ សិស្សដាក់កំណុំនៅ $(h \pm c, k)$ ។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: តាម កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំ (អង្កត់ $V_{1} V_{2}$ )។ បើអ័ក្សធំឈរ នោះកំណុំត្រូវមាន $x$ ដូចផ្ចិត ហើយ $y$ ខុសគ្នា។ ត្រូវ Correct: សម្រាប់អេលីបឈរ កំណុំគឺ $F (h, k \pm c)$ ; សម្រាប់អេលីបដេក គឺ $F (h \pm c, k)$ ។

កំហុសទី ៧ — ច្រឡំ $a$ នឹង $2 a$ ខុស Wrong: ចំណោទថា «អ័ក្សធំមានប្រវែង 10» ហើយសិស្សសរសេរ $a = 10$ រួចដាក់ $\frac{x ^{2}}{100} + \dots$ ។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: តាម $V_{1} V_{2} = 2 a$ ដូច្នេះប្រវែង 10 ឲ្យ $2 a = 10$ គឺ $a = 5$ ហើយ $a^{2} = 25$ ។ ត្រូវ Correct: $2 a = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow a^{2} = 25$ ។ ដូចគ្នា «អ័ក្សតូច 6» ឲ្យ $2 b = 6$ , $b = 3$ , $b^{2} = 9$ ។

កំហុសទី ៨ — សរសេរ $e = \frac{a}{c}$ ឬថា $e > 1$ ខុស Wrong: សិស្សគណនា $e = \frac{5}{3}$ សម្រាប់អេលីបដែល $a = 5$ , $c = 3$ ។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: តាម $e = \frac{c}{a}$ ហើយ $0 < e < 1$ ជានិច្ចសម្រាប់អេលីប។ លទ្ធផល $\frac{5}{3} > 1$ គឺជាសញ្ញាភ្លាមៗថាបានដាក់តួខុសទីតាំង។ ត្រូវ Correct: $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6$ ។ បើលទ្ធផលលើស $1$ នោះអ្នកបានចែកខុស ឬទិន្នន័យមិនមែនអេលីប។

កំហុសទី ៩ — គូសអេលីបឆ្លងកាត់កំណុំ ឬគូសជាប៉ារ៉ាបូល ខុស Wrong: សិស្សគូសខ្សែកោងឲ្យកាត់តាម $F_{1}$ និង $F_{2}$ ឬគូសវាដូចជាប៉ារ៉ាបូលដែលបើកចុះក្រោម។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: កំណុំស្ថិតនៅខាងក្នុងអេលីប ហើយអេលីបជាខ្សែកោងបិទជិត (មានពីរសាខាស៊ីមេទ្រី តួយ៉ាងដូចរង្វង់ដែលរុញវែង)។ ត្រូវ Correct: គូសចតុកោណកែងជំនួយតាមកំពូលទាំងបួន រួចគូសខ្សែកោងបិទជិតដែលប៉ះជ្រុងទាំងបួននោះ; កំពូល $(\pm a, 0)$ និង $(0, \pm b)$ ជាចំណុចខ្ពស់/ទាប/ឆ្ងាយបំផុត។

កំហុសទី ១០ — សន្មតថាចំណុចដែលឲ្យគឺជាកំពូល ហើយដាក់ចូលសមីការខុសតួ ខុស Wrong: 「ក្រាបកាត់តាម $(1, 3)$ 」 ហើយសិស្សសន្មត $b = 3$ ដោយមិនបានពិនិត្យថាចំណុចនោះស្ថិតនៅលើអ័ក្សឈរកាត់ផ្ចិតឬអត់។ ហេតុអ្វីខុស Why it is wrong: ចំណុច $P$ នៅលើអេលីបត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការពេញលេញ $\frac{( x - h ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - k ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ; វាជាកំពូលតែពេលវាស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំ។ ឧទាហរណ៍ បើផ្ចិត $(1, 2)$ នោះ $(1, 3)$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ឈរ $x = 1$ ដូច្នេះវាឲ្យ $b = 1$ (មិនមែន $a$ ) ពេលអ័ក្សធំដេក។ ត្រូវ Correct: ជំនួសកូអរដោនេចូលសមីការ រួចដោះស្រាយរកភាគបែងដែលនៅសល់; បើចំណុចមាន $x = h$ នោះវាឲ្យ $b^{2}$ (ករណីអ័ក្សធំដេក) តែបើមាន $y = k$ នោះវាឲ្យ $a^{2}$ ។

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

អេលីប

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

Ellipse equations and focal properties

គំនិតសំខាន់

4.1 និយមន័យអេលីប

4.2 លក្ខណៈនៃអេលីប

4.3 អ័ក្សធំ អ័ក្សតូច និងទំនាក់ទំនង $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

4.4 សមីការអេលីបដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់អ័ក្សកូអរដោនេ

4.5 សមីការស្តង់ដារនៃអេលីបដែលមានផ្ចិតខុសពីគល់នៃអ័ក្សកូអរដោនេ

4.6 ចំណាំអំពីការគណនា $c$

4.7 សមីការទូទៅនៃអេលីប

4.8 អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ

ឧទាហរណ៍គំរូទី ១

ឧទាហរណ៍គំរូទី ២

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៣

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៤

លំហាត់ទី ១

លំហាត់ទី ២

លំហាត់ទី ៣

លំហាត់ទី ៤

លំហាត់ទី ៥

លំហាត់ទី ៦

លំហាត់ទី ៧

Ellipse equations and focal properties

គំនិតសំខាន់

4.1 និយមន័យអេលីប

4.2 លក្ខណៈនៃអេលីប

4.3 អ័ក្សធំ អ័ក្សតូច និងទំនាក់ទំនង a2=b2+c2

4.4 សមីការអេលីបដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់អ័ក្សកូអរដោនេ

4.5 សមីការស្តង់ដារនៃអេលីបដែលមានផ្ចិតខុសពីគល់នៃអ័ក្សកូអរដោនេ

4.6 ចំណាំអំពីការគណនា c

4.7 សមីការទូទៅនៃអេលីប

4.8 អ៊ីចសង់ត្រីស៊ីតេ

ឧទាហរណ៍គំរូទី ១

ឧទាហរណ៍គំរូទី ២

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៣

ឧទាហរណ៍គំរូទី ៤

លំហាត់ទី ១

លំហាត់ទី ២

លំហាត់ទី ៣

លំហាត់ទី ៤

លំហាត់ទី ៥

លំហាត់ទី ៦

លំហាត់ទី ៧

4.3 អ័ក្សធំ អ័ក្សតូច និងទំនាក់ទំនង $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

4.6 ចំណាំអំពីការគណនា $c$