ប៉ារ៉ាបូល

១. ប៉ារ៉ាបូលគឺ «សំណុំចំណុចដែលចម្ងាយស្មើគ្នា» យកចំណុចមួយ $F$ និងបន្ទាត់មួយ $\Delta$ ។ បើចំណុច $M$ មួយមានចម្ងាយទៅ $F$ ស្មើនឹងចម្ងាយទៅ $\Delta$ នោះ $M$ ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូល។ បើចម្ងាយទាំងពីរមិនស្មើគ្នា នោះ $M$ មិនស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូលទេ។ ដូច្នេះ ប៉ារ៉ាបូលមិនមែនជា «ខ្សែកាងរាងអក្សរ U» ទេ តែជាសំណុំដែលកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌចម្ងាយមួយ។

២. ចម្ងាយទៅបន្ទាត់វាស់តាមកែង ចម្ងាយពី $M$ ទៅ $\Delta$ គឺប្រវែងអង្កត់កែងដែលទម្លាក់ពី $M$ មក $\Delta$។ បើ $\Delta$ ជាបន្ទាត់ឈរ $x=a$ នោះចម្ងាយគឺ $|x_M-a|$; បើ $\Delta$ ជាបន្ទាត់ដេក $y=b$ នោះចម្ងាយគឺ $|y_M-b|$។ នេះជាហេតុដែលយើងប្រើតម្លៃដាច់ខាត ហើយហេតុនេះហើយបានជាសមីការប៉ារ៉ាបូលមានការ៉េ។

៣. $p$ គឺចម្ងាយពីកំពូលទៅកំណុំ ក្នុងសមីការ $y^2=4px$ ចំនួន $p$ មិនមែនជាលេខចៃដន្យទេ៖ $|p|$ គឺចម្ងាយពីកំពូល $V$ ទៅកំណុំ $F$ ហើយក៏ជាចម្ងាយពី $V$ ទៅបន្ទាត់ប្រប់ទិសដែរ។ ដោយ $V$ ជាចំណុចកណ្តាលរវាង $F$ និង $\Delta$ ចម្ងាយទាំងពីរនេះស្មើគ្នាជានិច្ច។

៤. សញ្ញានៃ $p$ ប្រាប់ទិសបើក បើ $p>0$ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅខាងកំណុំ គឺទៅស្តាំ (សម្រាប់ $y^2=4px$) ឬទៅលើ (សម្រាប់ $x^2=4py$)។ បើ $p<0$ វាបើកផ្ទុយទិស។ ដូច្នេះ មិនចាំបាច់គូសក្រាបដើម្បីដឹងទិសបើកទេ គ្រាន់តែមើលសញ្ញានៃ $p$។

៥. បួនទម្រង់ស្តង់ដារ គឺបួន «ទីតាំង» នៃកំពូល មានតែពីររឿងប៉ុណ្ណោះដែលផ្លាស់ប្តូរ៖ តើអ័ក្សឆ្លុះដេក ឬឈរ? តើកំពូលនៅគល់តម្រុយ $(0,0)$ ឬនៅ $(h;k)$? ការភ្ជាប់ពីរសំណួរនេះ ផ្តល់បួនទម្រង់៖ $y^2=4px$, $x^2=4py$, $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ និង $(x-h{)}^2=4p(y-k)$។

៦. សមីការទូទៅលាក់កំពូលទុក ក្នុង $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$ យើងមើលឃើញតែមេគុណ មិនឃើញកំពូលទេ។ ដើម្បីឃើញវា យើងត្រូវបំពេញជាចតុកោណកែងបរិបូណ៌លើអថេរដែលមានការ៉េ៖ បើ $x$ មានការ៉េ យើងបំពេញលើ $x$; បើ $y$ មានការ៉េ យើងបំពេញលើ $y$។ បន្ទាប់មក កំពូលលេចឡើងភ្លាម។

៧. បន្ទាត់ប៉ះ គឺជាបន្ទាត់ដែលកាត់តែមួយចំណុច នៅក្នុងជំពូកនេះ យើងមិនប្រើនិយមន័យដេរីវេជាចម្បងទេ តែប្រើលក្ខខណ្ឌពិជគណិត៖ ជំនួសសមីការបន្ទាត់ចូល រួចទាមទារឱ្យសមីការដឺក្រេទី២ដែលទទួលបានមានឫសឌុប។ វិធីនេះដំណើរការគ្រប់ករណី ទោះបន្ទាត់ឈរ ឬដេកក៏ដោយ ហើយវាជាវិធីដែលសៀវភៅប្រើក្នុងលំហាត់ទី ១៨។

និយមន័យ ៖ ប៉ារ៉ាបូល ជាសំណុំចំណុចក្នុងប្លង់ដែលមានចម្ងាយស្មើៗគ្នាពីចំណុច $F$ មួយ និងបន្ទាត់ $\Delta$ មួយនៅក្នុងប្លង់នោះ ។ ចំណុច $F$ ហៅថាកំណុំ និងបន្ទាត់ $\Delta$ ហៅថាបន្ទាត់ប្រប់ទិស ។

រូបមន្ត ចំពោះគ្រប់ចំណុច $M$ នៃប៉ារ៉ាបូល៖

$$MF=d(M,\Delta )$$

ការពន្យល់ និយមន័យនេះជានិយមន័យធរណីមាត្រសុទ្ធ៖ វាមិននិយាយពីសមីការទេ តែនិយាយពីចម្ងាយពីរ។ ដើម្បីឱ្យយើងអាចគណនាបាន យើងត្រូវសរសេរចម្ងាយទាំងពីរនោះជាកន្សោមពិជគណិត៖ $MF=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}$ (បើ $F(p;0)$) និង $d(M,\Delta )=|x+p|$ (បើ $\Delta$ ជាបន្ទាត់ $x=-p$)។ ការធ្វើការ៉េលើអង្គទាំងពីរ រួចសម្រួល នាំឱ្យបាន $y^2=4px$ ដែលជាសមីការស្តង់ដារដំបូងក្នុងតារាង ៤.៤។ ដូច្នេះ តារាងសមីការខាងក្រោមមិនមែនជារូបមន្តត្រូវទន្ទេរទេ តែជាលទ្ធផលនៃនិយមន័យនេះ។

ចំណាំ ពាក្យ «កំណុំ» ក្នុងសៀវភៅនេះ គឺ focus; ពាក្យ «បន្ទាត់ប្រប់ទិស» គឺ directrix ។ អ្នកប្រើពាក្យខ្លះហៅបន្ទាត់ប្រប់ទិសថា «បន្ទាត់បង្គោល» ។ យើងប្រើពាក្យរបស់សៀវភៅជានិច្ច។

លក្ខណៈ៖នៃប៉ារ៉ាបូល ៖ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំ $F$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $\Delta$ ហៅថា អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ។

ការពន្យល់ អ័ក្សគឺជាបន្ទាត់ឆ្លុះ (axis of symmetry) នៃប៉ារ៉ាបូល។ បើ $\Delta$ ជាបន្ទាត់ឈរ នោះអ័ក្សជាបន្ទាត់ដេក; បើ $\Delta$ ជាបន្ទាត់ដេក នោះអ័ក្សជាបន្ទាត់ឈរ។ ក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ អ័ក្សគឺ $y=k$; ក្នុង $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ អ័ក្សគឺ $x=h$។ ដោយសារភាពឆ្លុះនេះ បើចំណុច $M(x;y)$ នៅលើប៉ារ៉ាបូល នោះចំណុច $(2h-x;y)$ ក៏នៅលើប៉ារ៉ាបូលដែរ (ចំពោះអ័ក្សឈរ $x=h$)។ លក្ខណៈនេះជួយឱ្យយើងសង់ក្រាបបានលឿន៖ គូសតែពាក់កណ្តាល រួចឆ្លុះ។

ចំណុច $V$ ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សនៃ និងជាចំណុចកណ្តាលដែលគូសពីកំណុំ $F$ ទៅបន្ទាត់ប្រប់ទិស $\Delta$ ហៅថា កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូល ។

រូបមន្ត បើ $H$ ជាចំណុចកែងនៃ $F$ លើ $\Delta$ នោះ

$$V=\text{ចំណុចកណ្តាលនៃ}FH,VF=VH=|p|$$

ការពន្យល់ «ចំណុចកណ្តាលដែលគូសពីកំណុំទៅបន្ទាត់ប្រប់ទិស» មានន័យថា យើងទម្លាក់អង្កត់កែងពី $F$ មក $\Delta$ រួចយកចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់នោះ។ ដោយ $V$ ជាចំណុចកណ្តាល ចម្ងាយ $VF$ ស្មើនឹងចម្ងាយពី $V$ ទៅ $\Delta$ ដែលស្មើនឹង $|p|$។ នេះជាហេតុផលដែលក្នុងតារាង កំណុំស្ថិតនៅចម្ងាយ $p$ ពីកំពូល ហើយបន្ទាត់ប្រប់ទិសក៏នៅចម្ងាយ $p$ ពីកំពូលដែរ តែនៅខាងផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះ បើដឹងកំពូល និងកំណុំ យើងដឹង $p$ ភ្លាម; បើដឹងកំពូល និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស ក៏ដូចគ្នា។

តារាងសម្ដែងទម្រង់នៃប៉ារ៉ាបូលមានកំពូលជាគល់តម្រុយ ៖

ការពន្យល់ ជួរទីមួយនៃតារាងប្រាប់ថា អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សអាប់ស៊ីស (ដេក) ឬអ័ក្សអរដោនេ (ឈរ)។ សម្គាល់ចំណុចសំខាន់មួយ៖ នៅក្នុង $y^2=4px$ អថេរ $x$ មានដឺក្រេមួយ ដូច្នេះប៉ារ៉ាបូលបើកតាមទិសដេក; នៅក្នុង $x^2=4py$ អថេរ $y$ មានដឺក្រេមួយ ដូច្នេះវាបើកតាមទិសឈរ។ រូបរាង ⊂ ⊃ ∪ ∩ ក្នុងតារាងគឺជាគំនូរតូចៗដែលសៀវភៅបោះពុម្ព ដើម្បីបង្ហាញទិសបើក៖ ⊂ បើកស្តាំ ⊃ បើកឆ្វេង ∪ បើកលើ ∩ បើកក្រោម។

តារាងសម្ដែងទម្រង់នៃប៉ារ៉ាបូលមានកំពូលខុសពីគល់តម្រុយ ៖

ការពន្យល់ តារាងនេះគឺជាតារាង ៤.៤ ដែលបានផ្លាស់ទីតាំង៖ គ្រប់ចំណុច $(X;Y)$ ក្លាយជា $(X+h;Y+k)$។ ដូច្នេះ កំពូលផ្លាស់ពី $(0;0)$ ទៅ $(h;k)$; កំណុំផ្លាស់ពី $(p;0)$ ទៅ $(h+p;k)$; បន្ទាត់ប្រប់ទិសផ្លាស់ពី $x=-p$ ទៅ $x=h-p$។ ចំណាំថា $4p$ មិនប្តូរទេ ព្រោះការផ្លាស់ទីមិនផ្លាស់រូបរាង។

រូបភាព / Figure (សៀវភៅ ទំព័រ ១៣១). សៀវភៅបោះពុម្ពរូបពីរ នៅលើក្រដាសក្រឡា ដែលមានអ័ក្ស $x^{\prime }Oy$ និងគល់ $O$ ។ រូបខាងឆ្វេង៖ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅស្តាំ។ កំពូល $V$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដេក $y=k$ ដែលមានស្លាក $k$ នៅលើអ័ក្សអរដោនេ។ បន្ទាត់ប្រប់ទិសឈរត្រូវគូសនៅខាងឆ្វេង $V$ ហើយមានស្លាក $x=h-p$; គេឃើញវង់ក្រចកមួយរវាងបន្ទាត់ប្រប់ទិស និង $V$ មានស្លាក $p$ និងវង់ក្រចកមួយទៀតរវាង $V$ និង $F$ ក៏មានស្លាក $p$ ។ កំណុំជាចំណុចខ្មៅតូច នៅលើបន្ទាត់ $y=k$ មានស្លាក $F(h+p,k)$។ អង្កត់ឈរជាបន្ទាត់ដាច់ រត់ពី $F$ ចុះមកអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ស្លាក $h$។ ខ្សែកាងរត់ចេញក្រៅស៊ុមទាំងខាងលើ និងខាងក្រោម។ រូបខាងស្តាំ៖ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅលើ។ អ័ក្សឆ្លុះជាបន្ទាត់ឈរ $x=h$ (ស្លាក $h$ នៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស); កំពូល $V$ ស្ថិតត្រង់ស្លាក $k$ នៅលើអ័ក្សអរដោនេ។ កំណុំជាចំណុចខ្មៅ នៅខាងលើ $V$ លើបន្ទាត់ $x=h$ មានស្លាក $F(h,k+p)$ ហើយមានវង់ក្រចករវាង $V$ និង $F$ មានស្លាក $p$។ បន្ទាត់ប្រប់ទិសដេកត្រូវគូសនៅខាងក្រោមកំពូល មានស្លាក $y=k-p$។ អង្កត់ដេកជាបន្ទាត់ដាច់ រត់ពីអ័ក្សអរដោនេត្រង់កម្ពស់ $k$ ទៅខាងឆ្វេងរកមែកខ្សែកាង។

របៀបអានរូប រូបទាំងពីរបង្ហាញចំណុចដូចគ្នា៖ បន្ទាត់ប្រប់ទិស កំពូល និងកំណុំស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ (ដេកក្នុងរូបឆ្វេង ឈរក្នុងរូបស្តាំ) ហើយកំពូលនៅកណ្តាលចន្លោះបន្ទាត់ប្រប់ទិស និងកំណុំ។ វង់ក្រចក $p$ ទាំងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា នេះជាការបង្ហាញជារូបនូវលក្ខណៈ ៤.៣។

សមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល ៖

➤ សមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល ដែលមានអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ គឺ $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$ , $A\ne 0$ ។

➤ សមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល ដែលមានអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក គឺ $B{y}^2+Cx+Dy+E=0$ , $B\ne 0$ ។

ការពន្យល់ សមីការទូទៅមានពាក្យដឺក្រេទី២តែមួយប៉ុណ្ណោះ គឺ $x^2$ ឬ $y^2$ មិនមែនទាំងពីរ ។ បើមានទាំង $x^2$ និង $y^2$ នោះមិនមែនប៉ារ៉ាបូលទេ (អាចជាអេលីប ឬអ៊ីពែបូល)។ បើមានពាក្យ $xy$ នោះអ័ក្សឆ្លុះទ្រេត ហើយសៀវភៅមិនពិចារណាករណីនេះទេ។ លក្ខខណ្ឌ $A\ne 0$ (ឬ $B\ne 0$) ធានាថាមានពាក្យដឺក្រេទី២មែន; បើ $A=0$ សមីការនឹងក្លាយជាបន្ទាត់ត្រង់។

ចំណោទ រកទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ដែលមានកំពូល $V(1,-4)$ និងកំណុំ $F(1,2)$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — រកទិសអ័ក្ស
   កំពូល និងកំណុំមានអាប់ស៊ីសដូចគ្នា ($x=1$)។ ដូច្នេះអ័ក្សឆ្លុះជាបន្ទាត់ឈរ $x=1$ ហើយប៉ារ៉ាបូលបើកតាមទិសឈរ។
   ហេតុអ្វី តាមលក្ខណៈ 4.2 អ័ក្សកាត់តាមកំណុំ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ប្រប់ទិស។ បើកំពូល និងកំណុំមាន $x$ ដូចគ្នា នោះអង្កត់ $VF$ ឈរ ដូច្នេះអ័ក្សឈរ។

2. ជំហានទី២ — ជ្រើសទម្រង់
   ដោយអ័ក្សឈរ យើងប្រើទម្រង់ $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ ពីតារាង 4.5 (ជួរឈរ «ឈរ»)។
   ហេតុអ្វី ក្នុងទម្រង់នេះ $y$ មានដឺក្រេមួយ ដូច្នេះខ្សែកាងបើកឡើង ឬចុះ ត្រូវនឹងអ័ក្សឈរ។

3. ជំហានទី៣ — អាន $h$ និង $k$
   កំពូលគឺ $V(h;k)=V(1;-4)$ ដូច្នេះ $h=1$ និង $k=-4$។
   ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យនៃ $h$ និង $k$ ក្នុងតារាង 4.5: កំពូលគឺ $(h;k)$ ដោយផ្ទាល់។

4. ជំហានទី៤ — គណនា $p$
   តាមតារាង 4.5 កំណុំគឺ $F(h;k+p)$។ ដូច្នេះ $k+p=2$ គឺ $-4+p=2$ ដូច្នេះ $p=6$ ។
   ហេតុអ្វី $p$ គឺចម្ងាយពីកំពូលទៅកំណុំ ដែលមានសញ្ញាបូក ព្រោះកំណុំស្ថិតនៅខាងលើកំពូល ($2>-4$)។

5. ជំហានទី៥ — សរសេរសមីការ
   ដោយ $4p=24$៖

$$(x-1{)}^2=24(y+4)$$

ហេតុអ្វី យើងជំនួស $h=1$, $k=-4$, $4p=24$ ក្នុង $(x-h{)}^2=4p(y-k)$; សញ្ញា $-(-4)$ ក្លាយជា $+4$។

6. ជំហានទី៦ — ផ្ទៀងផ្ទាត់
   បន្ទាត់ប្រប់ទិសគឺ $y=k-p=-4-6=-10$ ។ ចម្ងាយពី $V(1;-4)$ ទៅ $F(1;2)$ គឺ $6$; ចម្ងាយពី $V$ ទៅបន្ទាត់ $y=-10$ ក៏គឺ $|-4+10|=6$ ។ ស្មើគ្នា ដូច្នេះត្រឹមត្រូវ។
   ហេតុអ្វី កំពូលត្រូវតែជាចំណុចកណ្តាលរវាងកំណុំ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់នេះចាប់កំហុសសញ្ញាបានភ្លាម។

ចំណោទ រកទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ដែលមានកំពូល $(2,1)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $x=5$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — ទិសអ័ក្ស
   បន្ទាត់ប្រប់ទិស $x=5$ ជាបន្ទាត់ឈរ។ អ័ក្សកែងនឹងវា ដូច្នេះអ័ក្សជាបន្ទាត់ដេក $y=1$ ។
   ហេតុអ្វី លក្ខណៈ 4.2 និយាយថាអ័ក្សកែងនឹងបន្ទាត់ប្រប់ទិស ហើយកាត់តាមកំពូល។

2. ជំហានទី២ — ទម្រង់
   ដោយអ័ក្សដេក យើងប្រើ $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ (ជួរឈរ «ដេក» ក្នុងតារាង 4.5) ជាមួយ $h=2$, $k=1$។
   ហេតុអ្វី ក្នុងទម្រង់នេះ $x$ មានដឺក្រេមួយ ដូច្នេះខ្សែកាងបើកឆ្វេង ឬស្តាំ។

3. ជំហានទី៣ — គណនា $p$
   បន្ទាត់ប្រប់ទិសគឺ $x=h-p$ ដូច្នេះ $h-p=5$ គឺ $2-p=5$ ដូច្នេះ $p=-3$ ។
   ហេតុអ្វី បន្ទាត់ប្រប់ទិសនៅខាងស្តាំកំពូល ($5>2$) តែកំណុំត្រូវនៅខាងផ្ទុយ គឺខាងឆ្វេង។ ដូច្នេះ $p$ អវិជ្ជមាន ហើយប៉ារ៉ាបូលបើកទៅឆ្វេង។

4. ជំហានទី៤ — សរសេរសមីការ
   ដោយ $4p=-12$៖

$$(y-1{)}^2=-12(x-2)$$

ហេតុអ្វី សញ្ញាដកនៅមុខ $12$ គឺជាសញ្ញានៃ $p$ ដែលយើងទើបរកឃើញ ហើយវាជាអ្វីដែលធ្វើឱ្យខ្សែកាងបើកឆ្វេង។

5. ជំហានទី៥ — ផ្ទៀងផ្ទាត់
   កំណុំគឺ $F(h+p;k)=F(2-3;1)=F(-1;1)$ ។ ចម្ងាយពី $V(2;1)$ ទៅ $F$ គឺ $3$; ចម្ងាយពី $V$ ទៅបន្ទាត់ $x=5$ ក៏គឺ $3$ ។
   ហេតុអ្វី ម្តងទៀត កំពូលត្រូវជាចំណុចកណ្តាលរវាងកំណុំ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស។

ចំណោទ រកទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ដែលមានអ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្ស $(y^{\prime }y)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(-1,6)$, $(1,2)$ និង $(2,3)$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — ជ្រើសទម្រង់ទូទៅ
   អ័ក្សស្របនឹង $(y^{\prime }y)$ មានន័យថាអ័ក្សឈរ ដូច្នេះសមីការមានទម្រង់ $y=a{x}^2+bx+c$ ឬស្មើនឹង $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$ ក្នុង 4.6 ជាមួយ $D\ne 0$ ។
   ហេតុអ្វី នៅក្នុង 4.6 អ័ក្សឈរ គឺ $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$; ដោយដោះ $y$ ចេញ យើងបាន $y=a{x}^2+bx+c$ ដែលងាយជំនួសចំណុច។

2. ជំហានទី២ — ជំនួសចំណុចទាំងបី
   យើងទទួលបានប្រព័ន្ធបីសមីការ៖

$$a-b+c=6,a+b+c=2,4a+2b+c=3$$

ហេតុអ្វី ចំណុចនៅលើខ្សែកាង កាលណាកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការ។ ការជំនួសផ្តល់សមីការមួយសម្រាប់ចំណុចមួយ។

3. ជំហានទី៣ — ដោះប្រព័ន្ធ
   ដកសមីការទីមួយចេញពីទីពីរ៖ $(a+b+c)-(a-b+c)=2-6$ ដូច្នេះ $2b=-4$ គឺ $b=-2$ ។ ជំនួសក្នុងសមីការទីពីរ៖ $a-2+c=2$ ដូច្នេះ $a+c=4$ ។ ជំនួសក្នុងសមីការទីបី៖ $4a-4+c=3$ ដូច្នេះ $4a+c=7$ ។ ដកគ្នា៖ $3a=3$ គឺ $a=1$ រួច $c=3$ ។
   ហេតុអ្វី ការដកសមីការពីរចេញពីគ្នាលុប $a$ និង $c$ ចេញ ដូច្នេះយើងទទួលបាន $b$ ភ្លាម។ បន្ទាប់មក សមីការពីរដែលនៅសល់មានតែ $a$ និង $c$។

4. ជំហានទី៤ — សមីការ និងកំពូល
   ដូច្នេះ $y=x^2-2x+3$ ។ បំពេញជាចតុកោណកែងបរិបូណ៌៖

$$y=x^2-2x+3=(x-1{)}^2-1+3=(x-1{)}^2+2$$

ដូច្នេះ $(x-1{)}^2=y-2$ គឺ $(x-1{)}^2=4p(y-k)$ ជាមួយ $4p=1$ ។
ហេតុអ្វី បំពេញចតុកោណកែងបរិបូណ៌ គឺជាវិធីតែមួយដើម្បីឃើញកំពូល $V(1;2)$ និង $p$ ចេញពីសមីការដឺក្រេទី២។

5. ជំហានទី៥ — អានធាតុ
   $4p=1$ ដូច្នេះ $p=\frac{1}{4}$ ។ កំពូល $V(1;2)$, កំណុំ $F\left(1;\frac{9}{4}\right)$, បន្ទាត់ប្រប់ទិស $y=\frac{7}{4}$ ។
   ហេតុអ្វី យើងអនុវត្តតារាង 4.5 ជួរឈរ «ឈរ» ដោយត្រង់ៗ៖ $F(h;k+p)$ និង $\Delta :y=k-p$ ។

6. ជំហានទី៦ — ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំណុច
   ត្រង់ $x=2$៖ $(2-1{)}^2=1$ និង $y-2=3-2=1$ ។ ត្រង់ $x=-1$៖ $(-1-1{)}^2=4$ និង $y-2=6-2=4$ ។ ត្រូវទាំងពីរ។
   ហេតុអ្វី ការជំនួសចំណុចដើមវិញ គឺជាការផ្ទៀងផ្ទាត់ចុងក្រោយដែលមិនអាចខុសបាន។

ចំណោទ គេឱ្យប៉ារ៉ាបូល $(P):x^2-6x-8y+17=0$ ។

១. សរសេរសមីការ $(P)$ ជាទម្រង់ស្តង់ដារ ។

២. កំណត់កូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រប់ទិស ។

៣. រកចំណុចប្រសព្វរវាង $(P)$ និងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — កំណត់អថេរដែលមានការ៉េ
   មានតែ $x^2$ ប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះអ័ក្សឈរ ហើយយើងត្រូវបំពេញចតុកោណកែងបរិបូណ៌លើ $x$។
   ហេតុអ្វី តាម 4.6 ពាក្យ $A{x}^2$ (គ្មាន $y^2$) ផ្តល់អ័ក្សឈរ។ ការបំពេញត្រូវធ្វើលើអថេរដែលមានការ៉េ។

2. ជំហានទី២ — បំពេញចតុកោណកែងបរិបូណ៌
   ដោយ $x^2-6x=(x-3{)}^2-9$៖

$$x^2-6x-8y+17=\left[(x-3{)}^2-9\right]-8y+17=(x-3{)}^2-8y+8$$

ដូច្នេះ $(x-3{)}^2-8y+8=0$ គឺ $(x-3{)}^2=8y-8=8(y-1)$ ។
ហេតុអ្វី យើងប្រើ $x^2+2bx=(x+b{)}^2-b^2$ ជាមួយ $2b=-6$ គឺ $b=-3$។ បន្ទាប់មក យើងដាក់ $8$ ជាកត្តារួម ដើម្បីឱ្យសមីការមានរាង $4p(y-k)$។

3. ជំហានទី៣ — អានធាតុ
   ប្រៀបធៀប $(x-3{)}^2=8(y-1)$ នឹង $(x-h{)}^2=4p(y-k)$៖ $h=3$, $k=1$ និង $4p=8$ ដូច្នេះ $p=2$ ។ ដូច្នេះ

$$V(3;1),F(3;3),\Delta :y=-1$$

ហេតុអ្វី តារាង 4.5 (ជួរឈរ «ឈរ») ផ្តល់ $F(h;k+p)$ និង $\Delta :y=k-p$។ យើងត្រូវចែក $8$ នឹង $4$ ដើម្បីបាន $p$ មិនមែន $4p$។

4. ជំហានទី៤ — ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស
   អ័ក្សអាប់ស៊ីសមានសមីការ $y=0$ ។ ជំនួស៖ $(x-3{)}^2=8(0-1)=-8$ ។ ការ៉េមិនអាចអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការគ្មានឫស ហើយ $(P)$ មិនកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសទេ។
   ហេតុអ្វី $(x-3{)}^2\ge 0$ ជានិច្ច ដូច្នេះ $y-1=\frac{(x-3{)}^2}{8}\ge 0$ គឺ $y\ge 1$ ។ ខ្សែកាងទាំងមូលស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ $y=1$ ដូច្នេះវាមិនអាចជួបអ័ក្ស $y=0$ បានឡើយ។ នេះក៏ត្រូវនឹងទិសបើកឡើង ($p>0$) ដែរ។

ចំណោទ ប៉ារ៉ាបូល $(P)$ មួយមានកំពូល $V(-1,3)$ អ័ក្សឆ្លុះដេក ហើយកាត់តាមចំណុច $A(3,7)$ ។ រកសមីការស្តង់ដារ រួចរកកំណុំ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — ទម្រង់
   អ័ក្សដេក ដូច្នេះ $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ ជាមួយ $h=-1$ និង $k=3$៖

$$(y-3{)}^2=4p(x+1)$$

ហេតុអ្វី $x-h=x-(-1)=x+1$; សញ្ញាបូកនៅទីនេះមិនមែនជាកំហុសទេ តែជាលទ្ធផលនៃ $h=-1$។

2. ជំហានទី២ — ប្រើចំណុច $A$ ដើម្បីរក $p$
   ចំណុច $A(3,7)$ នៅលើខ្សែកាង ដូច្នេះ

$$(7-3{)}^2=4p(3+1)⟹16=16p⟹p=1$$

ហេតុអ្វី ចំណុចមួយលើខ្សែកាងផ្តល់សមីការមួយ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងរកមេគុណមិនស្គាល់តែមួយគត់ គឺ $4p$ ។

3. ជំហានទី៣ — សរសេរសមីការ
   

$$(y-3{)}^2=4(x+1)$$

ហេតុអ្វី យើងជំនួស $4p=4$ ត្រឡប់ចូលក្នុងទម្រង់ដែលបានជ្រើសនៅជំហានទី១។

4. ជំហានទី៤ — កំណុំ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស
   ដោយ $p=1>0$ ប៉ារ៉ាបូលបើកទៅស្តាំ៖

$$F(h+p;k)=F(0;3),\Delta :x=h-p=-2$$

ហេតុអ្វី $p>0$ មានន័យថាកំណុំនៅខាងស្តាំកំពូល ហើយបន្ទាត់ប្រប់ទិសនៅខាងឆ្វេង ចម្ងាយ $1$ ដូចគ្នា។

5. ជំហានទី៥ — ផ្ទៀងផ្ទាត់
   $A(3;7)$៖ ខាងឆ្វេង $(7-3{)}^2=16$; ខាងស្តាំ $4(3+1)=16$ ។ ត្រូវ។
   ហេតុអ្វី ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយចំណុចដើម ធានាថាយើងមិនបានច្រឡំសញ្ញា $h$ ឬ $k$។

ចំណោទ គេឱ្យប៉ារ៉ាបូល $P:y^2=12x$ និងបន្ទាត់ $D:x+y-5=0$ ។ រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង $P$ ដែលស្របនឹង $D$ ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

1. ជំហានទី១ — មេគុណប្រាប់ទិសនៃ $D$
   ពី $x+y-5=0$ យើងបាន $y=-x+5$ ដូច្នេះមេគុណប្រាប់ទិសគឺ $-1$ ។ បន្ទាត់ប៉ះត្រូវស្របនឹង $D$ ដូច្នេះវាក៏មានមេគុណប្រាប់ទិស $-1$ ដែរ។
   ហេតុអ្វី បន្ទាត់ស្របគ្នាមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា (ចំណុច ៥ ផ្នែក ២)។

2. ជំហានទី២ — មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះ
   សរសេរ $y^2=12x$ ជា $x=\frac{y^2}{12}$ ។ ដេរីវេធៀបនឹង $y$៖

$$\frac{dx}{dy}=\frac{2y}{12}=\frac{y}{6}$$

ដូច្នេះ មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចដែលមានអរដោនេ $y$ គឺ $\frac{dy}{dx}=\frac{6}{y}$ ។
ហេតុអ្វី នៅទីនេះ $x$ ជាអនុគមន៍នៃ $y$ ដូច្នេះយើងគណនាដេរីវេធៀបនឹង $y$ រួចយកច្រាស ដើម្បីបាន $\frac{dy}{dx}$ ។

3. ជំហានទី៣ — ដោះរកអរដោនេនៃចំណុចប៉ះ
   ត្រូវឱ្យ $\frac{6}{y}=-1$ ដូច្នេះ $y=-6$ ។ តម្លៃ $x$ មកពីសមីការប៉ារ៉ាបូល៖ $x=\frac{(-6{)}^2}{12}=\frac{36}{12}=3$ ។ ចំណុចប៉ះគឺ $M(3;-6)$ ។
   ហេតុអ្វី ចំណុចប៉ះត្រូវនៅលើប៉ារ៉ាបូល ដូច្នេះពេលដឹង $y$ យើងទាញ $x$ ចេញពីសមីការ $y^2=12x$ ដោយផ្ទាល់។

4. ជំហានទី៤ — សមីការបន្ទាត់ប៉ះ
   បន្ទាត់កាត់តាម $M(3;-6)$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $-1$៖

$$y+6=-1(x-3)⟹y=-x-3⟹x+y+3=0$$

ហេតុអ្វី យើងប្រើទម្រង់ $y-y_0=m(x-x_0)$ ដែលជាសមីការបន្ទាត់កាត់ចំណុចមួយ ពេលដឹងមេគុណប្រាប់ទិស។

5. ជំហានទី៥ — ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយឫសឌុប
   ជំនួស $y=-x-3$ ចូល $y^2=12x$៖

$$(-x-3{)}^2=12x⟹x^2+6x+9=12x⟹x^2-6x+9=0⟹(x-3{)}^2=0$$

ឫសឌុប $x=3$ ដូច្នេះបន្ទាត់ពិតជាប៉ះ។
ហេតុអ្វី នេះជាលក្ខខណ្ឌប៉ះដែលបានពន្យល់ក្នុងចំណុច ៧ ផ្នែក ៣៖ សមីការដឺក្រេទី២ត្រូវមានឫសឌុប។ វាក៏ជាការផ្ទៀងផ្ទាត់ឯករាជ្យពីដេរីវេផងដែរ។

លំហាត់អនុវត្ត ៖

១. រកទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ដែលមាន ៖

ក. កំពូល $(0,0)$ និងកំណុំ $(2,0)$;

ខ. កំពូល $(0,0)$ និងកំណុំ $(0,-3)$;

គ. កំពូល $(3,2)$ និងកំណុំ $(3,4)$;

ឃ. កំពូល $(-1,2)$ និងកំណុំ $(-1,0)$;

ង. កំពូល $(2,-3)$ និងកំណុំ $(2,-5)$;

ច. កំពូល $(1,2)$ និងកំណុំ $(3,2)$ ។

ចម្លើយគណនានៅទីនេះ

របៀបធ្វើ បើកំពូល និងកំណុំមាន $x$ ដូចគ្នា អ័ក្សឈរ ហើយ $p$ គឺ $y_F-y_V$; បើមាន $y$ ដូចគ្នា អ័ក្សដេក ហើយ $p$ គឺ $x_F-x_V$។ បន្ទាប់មក ជំនួស $h$, $k$, $4p$ ក្នុងតារាង 4.5។

២. រកទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ដែលមាន ៖

ក. កំពូល $(0,0)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $y=-\frac{1}{2}$;

ខ. កំពូល $(0,-4)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $y=2$;

គ. កំពូល $(-3,4)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $y=2$;

ឃ. កំពូល $(-2,0)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $x=2$;

ង. កំពូល $(2,2)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $x=-2$;

ច. កំពូល $(-3,-2)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $x=1$;

ឆ. កំណុំ $F(-2,2)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $y=-2$;

ជ. កំណុំ $F(-2,2)$ និងបន្ទាត់ប្រប់ទិស $y=2$ ។

ចម្លើយគណនានៅទីនេះ

ចំណាំលើខ ជ / Note on ជ. កំណុំ $F(-2;2)$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប្រប់ទិស $y=2$ ដែលមានន័យថាចម្ងាយរវាងពួកវាគឺ $0$ ដូច្នេះ $p=0$ ។ សំណុំចំណុចដែលមានចម្ងាយស្មើគ្នាពី $F$ និង $y=2$ គឺ

$$(y-2{)}^2=(x+2{)}^2+(y-2{)}^2⟹(x+2{)}^2=0⟹x=-2$$

គឺជាបន្ទាត់ឈរ $x=-2$ ដែលជាករណីខូច (degenerate) មិនមែនជាប៉ារ៉ាបូលពិតទេ។ ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺ៖ គ្មានប៉ារ៉ាបូល កំណុំនោះជាបន្ទាត់ $x=-2$ ។

៣. រកទម្រង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ដែលមាន ៖

ក. អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្ស $(y^{\prime }y)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(0,3)$, $(3,4)$ និង $(4,11)$ ។

ខ. អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្ស $(x^{\prime }x)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(4,-2)$, $(0,0)$ និង $(3,-3)$ ។ សង់ក្រាបនៃប៉ារ៉ាបូល ។

គ. អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស ហើយមានក្រាបកាត់តាមចំណុច $(4,2)$, $(0,0)$ និងចំណុច $(3,-3)$ ។

ឃ. អ័ក្សឆ្លុះស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ ហើយក្រាបកាត់តាមចំណុច $(4,8)$ និងមានកំពូល $(0,2)$ ។

ង. បន្ទាត់ប្រប់ទិសស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ និងមានកំពូល $S(1,0)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $A(5,6)$ ។

ច. បន្ទាត់ប្រប់ទិសស្របនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងមានកំពូល $V(1,2)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $P(5,8)$ ។

ចម្លើយគណនានៅទីនេះ

របៀបធ្វើ ក–គ៖ សរសេរ $y=a{x}^2+bx+c$ (អ័ក្សឈរ) ឬ $x=a{y}^2+by+c$ (អ័ក្សដេក) រួចដោះប្រព័ន្ធបីសមីការ។ ឃ–ច៖ សរសេរទម្រង់ស្តង់ដារដោយប្រើកំពូល រួចជំនួសចំណុចមួយដើម្បីរក $4p$។ ឧទាហរណ៍ ង៖ បន្ទាត់ប្រប់ទិសស្របនឹងអ័ក្សអរដោនេ គឺឈរ ដូច្នេះអ័ក្សដេក ហើយ $y^2=4p(x-1)$; ជំនួស $A(5,6)$៖ $36=16p$ ដូច្នេះ $4p=9$ ។

កំណត់សម្គាល់ ក្នុង ក និង គ លទ្ធផលមានប្រភាគ។ នេះជារឿងធម្មតា ព្រោះចំណុចទាំងបីមិនស្ថិតនៅទីតាំង «ស្អាត» ទេ។ ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់ សូមសរសេរសមីការជាទម្រង់ $y=a(x-h{)}^2+k$ រួចជំនួសចំណុចទាំងបី៖ ក្នុង ក យើងបាន $y=\frac{5}{3}{\left(x-\frac{7}{5}\right)}^2-\frac{4}{15}$ ដែលផ្តល់ $y=3$ ពេល $x=0$, $y=4$ ពេល $x=3$ និង $y=11$ ពេល $x=4$ ។

ចំណាំអំពីការអាន បន្ទាប់ពីខណ្ឌនៃធាតុ ខ សៀវភៅបោះពុម្ពឃ្លាខ្លីមួយទៀត («…សង្គ្រោះបន្ទាត់ប្រទាក់ ឬ អ័ក្សស៊ីមេទ្រី») ដែលព្រិលពេកអានមិនច្បាស់ បន្ទាត់ប្រទាក់ អ័ក្សស៊ីមេទ្រី]`. លទ្ធផលដែលគណនាខាងលើមិនពឹងលើឃ្លានោះទេ ។

៤. ចូរបំប្លែងសមីការទូទៅរបស់ប៉ារ៉ាបូល ជាសមីការទម្រង់ស្ដង់ដារ ៖

ក. $x^2+4x+4=2y$ ⋄

ខ. $x^2+6x+9-y=0$ ⋄

គ. $y^2-8y+12=2x$ ⋄

ឃ. $y^2+6y+6-3x=0$ ⋄

ង. $2x^2+4x-9y=20$ ⋄

ច. $3x^2-12x-4y+8=0$ ⋄

ឆ. $9y^2-36y-2x+34=0$ ⋄

ជ. $4y^2+8y-3x+10=0$ ⋄

ឈ. $2x^2-y=0$ ⋄

ញ. $2x^2+y=0$ ⋄

ដ. $y^2=2x$ ⋄

ឋ. $y^2=-2x$ ⋄

ឌ. $9x^2=16y$ ⋄

ឍ. $16x^2+9y=0$ ⋄

ណ. $x^2+6x+9-y=0$ ។

ចម្លើយគណនានៅទីនេះ

ចំណាំ លំហាត់ ខ និង ណ ជាសមីការដូចគ្នា សៀវភៅបោះពុម្ពវាពីរដងក្នុងបញ្ជីតែមួយ។

៥. ចូររកកូអរដោនេ កំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រប់ទិស នៃសមីការប៉ារ៉ាបូលខាងក្រោម រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលទាំងនោះផង ៖

ក. $(x-3{)}^2=-(y+1)$ ⋄

ខ. $(y-2{)}^2=8(x+1)$ ⋄

គ. $(x+4{)}^2=16(y+2)$ ⋄

ឃ. $(x-2{)}^2=4(y-3)$ ⋄

ង. $(y+1{)}^2=-4(x-2)$ ⋄

ច. $(y+3{)}^2=8(x-2)$ ⋄

ឆ. $x^2+8x=4y-8$ ⋄

ជ. $y^2-4y+4x+4=0$ ⋄

ឈ. $x^2+6x-4y+1=0$ ⋄

ញ. $x^2-4x=2y$ ⋄

ដ. $x^2=4y$ ⋄

ឋ. $y^2+2y-x=0$ ។

ចម្លើយគណនានៅទីនេះ

របៀបសង់ក្រាប សម្រាប់ចំណុចនីមួយៗ គូសបន្ទាត់ប្រប់ទិស (បន្ទាត់ដាច់) គូសចំណុចកំពូល និងចំណុចកំណុំ រួចគូសខ្សែកាងចេញពីកំពូលទៅតាមទិសបើក។ ឧទាហរណ៍ ក្នុង ក៖ $p<0$ ដូច្នេះបើកចុះ; ក្នុង ខ៖ $p>0$ ដូច្នេះបើកស្តាំ។

៦. រកកូអរដោនេកំពូល $S$ និងកំណុំ $F$ របស់ប៉ារ៉ាបូល $x^2-4x-12y+16=0$ ។

ដំណោះស្រាយគណនានៅទីនេះ

1. បំពេញចតុកោណកែងបរិបូណ៌លើ $x$៖ $x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ ដូច្នេះ

$$(x-2{)}^2-4-12y+16=0⟹(x-2{)}^2=12(y-1)$$

2. ប្រៀបធៀបនឹង $(x-h{)}^2=4p(y-k)$៖ $h=2$, $k=1$, $4p=12$ គឺ $p=3$ ។ ដូច្នេះ

$$S(2;1),F(2;4)$$

ហេតុអ្វី កំណុំគឺ $(h;k+p)$ ព្រោះអ័ក្សឈរ; $p=3$ មកពីចែក $12$ នឹង $4$ ។

៧. កំណត់កូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល $(P)$ : $y^2+y+4x-\frac{15}{4}=0$ ។

ដំណោះស្រាយគណនានៅទីនេះ

1. បំពេញចតុកោណកែងបរិបូណ៌លើ $y$៖ $y^2+y={\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$ ដូច្នេះ

$${\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}+4x-\frac{15}{4}=0⟹{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=4-4x=-4(x-1)$$

2. ប្រៀបធៀបនឹង $(y-k{)}^2=4p(x-h)$៖ $h=1$, $k=-\frac{1}{2}$, $4p=-4$ គឺ $p=-1$ ។ ដូច្នេះ

$$V\left(1;-\frac{1}{2}\right),F\left(0;-\frac{1}{2}\right),\Delta :x=2$$

ហេតុអ្វី $p<0$ ដូច្នេះប៉ារ៉ាបូលបើកឆ្វេង; កំណុំនៅខាងឆ្វេងកំពូល ហើយបន្ទាត់ប្រប់ទិសនៅខាងស្តាំ ចម្ងាយ $1$ ដូចគ្នា ($h-p=1+1=2$)។