ប្រូបាប

ជំពូកទី 13 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

120 min8 គោលដៅសិក្សា65 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

កំណត់លំហគំរូ និងព្រឹត្តិការណ៍ជាមុន។ ចំពោះការចាប់យកជាបន្តបន្ទាប់ ពិនិត្យថាលទ្ធផលដំបូងប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេបន្ទាប់ឬអត់។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

ពន្យល់អត្ថន័យនៃ វិញ្ញាសា លទ្ធផល ព្រឹត្តិការណ៍ និងលំហសំណាក ដោយប្រើឧទាហរណ៍របស់ខ្លួនឯង។
សរសេរលំហសំណាក $S$ នៃវិញ្ញាសាមួយ រួចរាប់ $n (S)$ ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។
គណនាប្រូបាបដោយរូបមន្ត $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}$ ពេលលទ្ធផលទាំងអស់មានឱកាសស្មើគ្នា (សមប្រូបាប)។
ប្រើបន្សំ $C (n, r)$ និងចម្លាស់ $P (n, r)$ ដើម្បីរាប់ករណីស្រប និងករណីអាច។
គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។
ប្រើប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ $P (B / A)$ និងសម្គាល់ថាព្រឹត្តិការណ៍ពីរឯករាជ្យ ឬទាក់ទងគ្នា។
ប្រើរូបមន្តប្រូបាបសរុប និងទ្រឹស្តីបទបេយេស ដើម្បីបំបែកបញ្ហាធំជាករណីតូចៗ។
ដោះស្រាយលំហាត់បែប «យ៉ាងតិច» ដោយឆ្លងកាត់ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 02

Probability problem solving

Set up the sample space and event relation first; distinguish overlap, independence, and changing draws.

ឧទាហរណ៍ 01Two cards are drawn without replacement from a standard deck. Find P(both aces).

1First ace: 4/52; then 3 aces remain among 51 cards.
2Multiply the conditional probabilities.

ចម្លើយ1/221

ឧទាហរណ៍ 02A box has 5 red, 4 blue, and 3 green balls. Find P(two draws are the same color), without replacement.

1Add same-color pairs: C(5,2)+C(4,2)+C(3,2)=19.
2Divide by all pairs C(12,2)=66.

ចម្លើយ19/66

ឧទាហរណ៍ 03If P(A)=0.62, P(B)=0.48, and P(A∩B)=0.31, find P(A∪B).

1Use P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
2Substitute the given values.

ចម្លើយ0.79

ឧទាហរណ៍ 04If A and B are independent, P(A)=0.3 and P(A∪B)=0.65. Find P(B).

1Let p=P(B); then 0.65=0.3+p−0.3p.
2Solve 0.35=0.7p.

ចម្លើយP(B)=0.5

ឧទាហរណ៍ 05A test has 95% sensitivity and 4% false-positive rate. If prevalence is 2%, find P(disease | positive).

1P(positive)=0.95(0.02)+0.04(0.98)=0.0582.
2Bayes' rule gives 0.019/0.0582.

ចម្លើយ≈0.326 (32.6%)

ឧទាហរណ៍ 06How many 4-digit codes can be made from 0–9 if digits cannot repeat?

1The first place has 10 choices because this is a code; then 9,8,7.
2Multiply the successive choices.

ចម្លើយ10·9·8·7=5040

ឧទាហរណ៍ 07A committee of 3 is selected from 5 women and 4 men. How many committees have exactly 2 women?

1Choose 2 of 5 women and 1 of 4 men.
2Multiply the independent selection counts.

ចម្លើយC(5,2)C(4,1)=40

ឧទាហរណ៍ 08A fair die is rolled twice. Find the probability the sum is at least 10.

1Favorable ordered pairs for 10,11,12: 3+2+1=6.
2There are 36 equally likely outcomes.

ចម្លើយ1/6

ឧទាហរណ៍ 09A bag has 6 red and 4 white balls. Draw 2 without replacement. Find P(exactly one red).

1Count one of each: C(6,1)C(4,1)=24.
2Divide by C(10,2)=45.

ចម្លើយ8/15

ឧទាហរណ៍ 10Events A and B are mutually exclusive with probabilities 0.37 and 0.28. Find P(neither).

1P(A∪B)=0.37+0.28 because there is no overlap.
2Take the complement.

ចម្លើយ0.35

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

១. ប្រូបាបជាលេខរវាង ០ និង ១ ប្រូបាបមិនមែនជាភាគរយ មិនមែនជាចំនួនគត់ និងមិនអាចធំជាង ១ ឡើយ។ តម្លៃ $0$ មានន័យថា «មិនអាចកើតឡើងបាន» ហើយតម្លៃ $1$ មានន័យថា «កើតឡើងច្បាស់»។ បើអ្នកគណនាបាន $1.4$ ឬ $- 0.2$ នោះអ្នកគណនាខុសហើយ។

២. ការងារធំបំផុតគឺការរាប់ ក្នុងជំពូកនេះ រូបមន្តស្ទើរតែតែមួយគត់គឺ $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}$ ។ អ្វីដែលពិបាកមិនមែនជាការចែកទេ គឺការរាប់ $n (A)$ និង $n (S)$ ឱ្យត្រូវ។ ដូច្នេះ សំណួរដំបូងដែលត្រូវសួរខ្លួនឯងគឺ៖ «ករណីអាចទាំងអស់មានប៉ុន្មាន?»។

៣. លំដាប់សំខាន់ ឬមិនសំខាន់? បើលទ្ធផល $(1, 2)$ និង $(2, 1)$ ជាករណីខុសគ្នា នោះត្រូវប្រើចម្លាស់ $P (n, r)$ ។ បើវាជាករណីតែមួយ នោះត្រូវប្រើបន្សំ $C (n, r)$ ។ ឧទាហរណ៍ ការចាប់ឃីពីរព្រមគ្នាមិនគិតលំដាប់ទេ តែការបង្កើតចំនួនពីរខ្ទង់គិតលំដាប់ ព្រោះ $12$ និង $21$ ជាចំនួនខុសគ្នា។

៤. «យ៉ាងតិច» គឺជាសញ្ញាឱ្យប្រើព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ ឃ្លា «យ៉ាងតិច ១» មានន័យថា ១ ឬ ២ ឬ ៣ ... ដែលត្រូវបូកច្រើនករណី។ វាងាយជាងច្រើនបើគណនាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ «គ្មានសោះ» រួចដកពី ១៖

$P (យ៉ាងតិចមួយ) = 1 - P (គ្មាន)$

ឧទាហរណ៍ បើក្នុងថង់មានឃីក្រហម ៤ និងខៀវ ៦ ហើយចាប់ ២ ព្រមគ្នា ប្រូបាប «យ៉ាងតិចបានក្រហម ១» គណនាលឿនជាងគេដោយ $1 - \frac{C ( 6 , 2 )}{C ( 10 , 2 )}$ ។

៥. ដាក់ចូលវិញ ឬមិនដាក់? បើគេដាក់វត្ថុចូលវិញ នោះការចាប់លើកទី២ មិនអាស្រ័យលើលើកទី១ទេ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។ បើគេមិនដាក់ចូលវិញ នោះចំនួនវត្ថុក្នុងថង់ថយមួយ ហើយប្រូបាបលើកទី២ ប្រែប្រួល។

៦. ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌគឺការបង្រួមលំហសំណាក $P (B / A)$ មិនមែនជាការគណនារឿងថ្មីទេ។ វាគ្រាន់តែជាការគណនាប្រូបាបធម្មតា ប៉ុន្តែនៅក្នុងលំហតូចជាង គឺក្នុងចំណោមករណីដែល $A$ កើតឡើងរួចហើយ។ ដូច្នេះ ភាគបែងក្លាយជា $n (A)$ ជំនួស $n (S)$ ។

៧. ឯករាជ្យ និងចុះស្រុងគ្នា ជាគំនិតខុសគ្នា «ចុះស្រុងគ្នា» (កើតឡើងព្រមគ្នាបាន) និង «ឯករាជ្យ» (មិនប៉ះពាល់គ្នា) មិនមែនជារឿងតែមួយទេ។ ព្រឹត្តិការណ៍ពីរដែលចុះស្រុងគ្នា ហើយមានប្រូបាបមិនសូន្យ គឺទាក់ទងគ្នា ជានិច្ច។

៨. ពិនិត្យចម្លើយជានិច្ច មុននឹងសរសេរចម្លើយ សួរខ្លួនឯងថា៖ តើចម្លើយស្ថិតក្នុង $[0, 1]$ ឬ? តើករណីស្របតូចជាង ឬស្មើករណីអាចឬ? តើប្រូបាបនៃករណីទាំងអស់បូកគ្នាបាន ១ ឬ? ការពិនិត្យបីចំណុចនេះចាប់កំហុសបានភាគច្រើន។

ផ្នែក 02

4.1 សម្គាល់៖ វាក្យសព្ទនៃប្រូបាប

សម្គាល់ប្រូបាប ៖

➤ វិញ្ញាសា គឺជាសកម្មភាពដែលគេធ្វើដោយមិនដឹងពីលទ្ធផលជាមុន ។

➤ លទ្ធផល ជាករណីដែលអាចកើតឡើងក្នុងវិញ្ញាសាមួយដោយចៃដន្យ ។

➤ ព្រឹត្តិការណ៍ គឺជាលទ្ធផលដែលបានកើតឡើងដោយចៃដន្យ ។

➤ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ជាលេខដែលផ្ដល់ឱ្យយើងដឹងពីឱកាសនៃព្រឹត្តិការណ៍ ស្របតាមបំណង និងចំនួនករណីនៃលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើង ។

➤ គេតាងតម្លៃនៃប្រូបាបដោយប្រើចំនួនពិតពី $0$ ដល់ $1$ ។

ការពន្យល់ ពាក្យទាំងបួននេះជាមូលដ្ឋាននៃជំពូកទាំងមូល ដូច្នេះត្រូវចាំឱ្យច្បាស់៖ វិញ្ញាសា ជាអ្វីដែលយើងធ្វើ (បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ចាប់ឃី ហូតបៀ)។ លទ្ធផល ជាអ្វីដែលអាចចេញ (លេខ ១, លេខ ២, …)។ ព្រឹត្តិការណ៍ ជាក្រុមនៃលទ្ធផលដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ (ឧ. «ចេញលេខគូ»)។ ចំណែកប្រូបាប ជាលេខវាស់ឱកាសរបស់ព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ ដែនកំណត់ $0 \leq P \leq 1$ មានន័យថា គ្មានឱកាសតិចជាង «មិនអាចកើតឡើង» និងគ្មានឱកាសច្រើនជាង «កើតឡើងច្បាស់» នោះទេ។

FORMULA $0 \leq P \leq 1$

ផ្នែក 03

4.2 លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍

លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍ ៖

➤ ពិសោធន៍មួយ ដែលគេគណនាគេធ្វើដោយជាក់លាក់ក្នុងពិសោធន៍ចៃដន្យ ហៅថា វិញ្ញាស ។

➤ លំហសំណាក ឬសំណុំសំណាក គឺជាសំណុំលទ្ធផលទាំងអស់ ដែលអាចកើតមានឡើងក្នុងវិញ្ញាសាមួយ នៃពិសោធន៍ចៃដន្យ ។

➤ ព្រឹត្តិការណ៍ ជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក ។

ការពន្យល់ លំហសំណាក $S$ គឺជាបញ្ជីពេញលេញនៃអ្វីៗទាំងអស់ដែលអាចចេញ។ ពាក្យ «ពេញលេញ» សំខាន់ណាស់៖ បើយើងភ្លេចលទ្ធផលមួយ នោះ $n (S)$ ខ្វះ ហើយប្រូបាបទាំងអស់នឹងខុស។ ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ជាសំណុំរង ដូច្នេះវាត្រូវតែជ្រើសយកតែលទ្ធផលដែលមានក្នុង $S$ ប៉ុណ្ណោះ។ ឧទាហរណ៍ បើបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយ នោះ $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ហើយព្រឹត្តិការណ៍ «លេខគូ» គឺ $A = {2, 4, 6}$ ដែលជាសំណុំរងរបស់ $S$ ។

FORMULA $S (sample space), A \subset S (event)$

ផ្នែក 04

4.3 ព្រឹត្តិការណ៍សមាស

ព្រឹត្តិការណ៍សមាស ៖

➤ ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ នៃ $A$ និង $B$ ជាប្រសព្វ ( $\cap$ ) នៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ ។

➤ ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក នៃ $A$ និង $B$ ជាប្រជុំ ( $\cup$ ) នៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ ។

ការពន្យល់ ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ $A \cap B$ កើតឡើងកាលណា ទាំង $A$ ទាំង $B$ កើតឡើងព្រមគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក $A \cup B$ កើតឡើងកាលណា យ៉ាងតិចមួយ ក្នុងចំណោមពីរកើតឡើង។ ពាក្យ «ផលគុណ» និង «ផលបូក» នៅទីនេះមិនមានន័យថាគុណ ឬបូកលេខទេ តែជាឈ្មោះសម្រាប់ $\cap$ និង $\cup$ ។ ដូច្នេះ នៅពេលអានលំហាត់ ត្រូវបកប្រែពាក្យ «និង» ជា $\cap$ ហើយពាក្យ «ឬ» ជា $\cup$ ។

FORMULA $A \cap B A \cup B$

ផ្នែក 05

4.4 ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍

ប្រូបាប ៖ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ជាលេខដែលបានមកពីចែក [UNCLEAR: បំណែងចែក បានមកពីចែក the 4–5 letters after «ជាលេខដែល» are not resolvable] នៃចំនួនករណីស្រប និងចំនួនករណីអាច ។

	ករណីស្រប	$n (A)$
$P (A) =$	————	$=$ ————
	ករណីអាច	$n (S)$

ការពន្យល់ «ករណីស្រប» (favourable cases) គឺជាចំនួនលទ្ធផលដែលធ្វើឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ $A$ កើតឡើង។ «ករណីអាច» (possible cases) គឺជាចំនួនលទ្ធផលទាំងអស់ក្នុងលំហសំណាក។ ដូច្នេះ $P (A)$ ជាប្រភាគនៃលទ្ធផលដែលយើងចង់បាន ក្នុងចំណោមលទ្ធផលទាំងអស់។ លក្ខខណ្ឌសំខាន់៖ លទ្ធផលទាំងអស់ត្រូវមានឱកាសស្មើគ្នា (សមប្រូបាប)។ បើគ្រាប់ឡុកឡាក់មិនសមតុល្យ រូបមន្តនេះមិនអនុវត្តទេ។

FORMULA $P (A) = \frac{ករណីស្រប}{ករណីអាច} = \frac{n ( A )}{n ( S )}$

ផ្នែក 06

4.5 សមប្រូបាប

សម្គាល់៖ បើការរើសយកធាតុនីមួយៗ ជាការប្រទីសរើសដោយចៃដន្យ នោះធាតុនីមួយៗមានឱកាសដូចគ្នាក្នុងការប្រទីសរើស ។ ដូចនេះ ប្រូបាបដែលយកបានធាតុនីមួយៗ ជា សមប្រូបាប ។

ការពន្យល់ ពាក្យ «សមប្រូបាប» មានន័យថា ប្រូបាបស្មើគ្នា។ បើថង់មួយមានឃី ១០ គ្រាប់ ហើយយើងចាប់មួយគ្រាប់ដោយចៃដន្យ នោះឃីនីមួយៗមានប្រូបាប $\frac{1}{10}$ ។ នេះជាហេតុផលដែលយើងអាចប្រើ $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}$ ដោយគ្រាន់តែរាប់ចំនួនករណី ដោយមិនចាំបាច់គណនាប្រូបាបនីមួយៗ។ តែបើឃីមួយធំជាងគេ ឬធ្ងន់ជាងគេ នោះលក្ខខណ្ឌនេះដាច់ ហើយយើងមិនអាចប្រើវាបានទេ។

ផ្នែក 07

4.6 លក្ខណៈ៖ ផលបូកប្រូបាបស្មើ ១

លក្ខណៈនៃប្រូបាប ៖ បើ $e_{1}, e_{2}, \dots$ ជាព្រឹត្តិការណ៍កំណត់នៅលំហសំណាក $S$ នោះ:

$P (e_{1}) + P (e_{2}) + P (e_{3}) + \dots + P (e_{n}) = i = 1 \sum n P (e_{i}) = 1 ។$

ការពន្យល់ លក្ខណៈនេះមានន័យថា បើយើងបែងចែកលទ្ធផលទាំងអស់ជាក្រុមដែលមិនជាន់គ្នា នោះប្រូបាបរបស់ក្រុមទាំងនោះបូកគ្នាបាន ១ ពិតប្រាកដ។ ឧទាហរណ៍ បើបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយ ប្រូបាបនៃលេខ ១ ដល់ ៦ គឺ $\frac{1}{6}$ នីមួយៗ ហើយ $6 \times \frac{1}{6} = 1$ ។ លក្ខណៈនេះជាមូលដ្ឋាននៃគន្លឹះ « $1 - P (\overline{A})$ » ព្រោះ $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ ។

FORMULA $P (e_{1}) + P (e_{2}) + P (e_{3}) + \dots + P (e_{n}) = i = 1 \sum n P (e_{i}) = 1$

ផ្នែក 08

4.7 លក្ខណៈ៖ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង និង $n (A) \leq n (S)$

➤ បើ $A$ ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើងបានឡើយ $A = \emptyset$ នោះ: $n (A) = 0$ ហើយ $P (A) = 0$ ។

➤ បើ $A$ ជាព្រឹត្តិការណ៍មួយនៃលំហសំណាក $S$ នោះ: $n (A) \leq n (S)$ ហើយ $P (A) \leq P (S)$ ។

ការពន្យល់ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង គឺជាសំណុំទទេ ដូច្នេះគ្មានករណីស្របទេ ហើយប្រូបាបរបស់វាស្មើ ០។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយ ព្រឹត្តិការណ៍ «ចេញលេខ ៧» គឺ $\emptyset$ ហើយ $P = 0$ ។ ចំណែកព្រឹត្តិការណ៍ណាក៏ដោយដែលជាសំណុំរង មិនអាចមានធាតុច្រើនជាងសំណុំមេ ដូច្នេះ $n (A) \leq n (S)$ ហើយប្រូបាបក៏មិនអាចលើសពី ១ ដែរ។

FORMULA $A = \emptyset \Rightarrow n (A) = 0, P (A) = 0$ $n (A) \leq n (S) \Rightarrow P (A) \leq P (S)$

ផ្នែក 09

4.8 សម្គាល់៖ $P (S) = 1$ , $P (\emptyset) = 0$ និង $P : S \to [0, 1]$

សម្គាល់៖

ប្រូបាបនៃលំហសំណាក $S$ គឺ 1: $P (S) = 1$
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង 0: $P (\emptyset) = 0$
ប្រូបាបយ៉ាងតិចនៃក្នុងលំហសំណាក ជាចំនួននៅក្នុងចន្លោះ $[0, 1]$ មានន័យថា $0 \leq P (A) \leq P (S)$ , $0 \leq P (A) \leq 1$ ។
ប្រូបាបជាអនុគមន៍ ដែលកំណត់ពីលំហសំណាក $S$ ទៅចន្លោះ $[0, 1]$ គឺ $P : S \to [0, 1]$ ។

ការពន្យល់ បួនចំណុចនេះសង្ខេបលក្ខណៈទាំងអស់នៃប្រូបាបក្នុងទម្រង់ខ្លីបំផុត។ ចំណុចទី១ និងទី២ ជាករណីពិសេសពីរ៖ «ច្បាស់» និង «មិនអាច»។ ចំណុចទី៣ ជាការបញ្ជាក់ថាប្រូបាបមិនចេញក្រៅចន្លោះ។ ចំណុចទី៤ គឺជាការមើលប្រូបាបជាអនុគមន៍ ដែលញ៉ាំព្រឹត្តិការណ៍មួយ ហើយផ្តល់ជាលេខ។ ការមើលបែបនេះជួយឱ្យយល់ពីមូលហេតុដែលយើងសរសេរ $P (A)$ ជានិមិត្តសញ្ញាអនុគមន៍។

FORMULA $P (S) = 1, P (\emptyset) = 0, 0 \leq P (A) \leq P (S), 0 \leq P (A) \leq 1, P : S \to [0, 1]$

ផ្នែក 10

4.9 ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាស

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាស ៖

ក្នុងវិញ្ញាសាហេតុការណ៍ ព្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតក្រោយ ប្របូលទៅតាមព្រឹត្តិការណ៍កើតមុន ។

សម្គាល់៖

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ $A$ និង $B$ គឺ :

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ បើ $A$ និង $B$ មិនទាក់ទងគ្នា ។

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B ដោល A កើតមុន)$ បើ $A$ និង $B$ ទាក់ទងគ្នា ។

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក $A$ និង $B$ គឺ :

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ បើ $A$ និង $B$ ចុះស្រុងគ្នា ។ [UNCLEAR: ចុះស្រុងគ្នា

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ បើ $A$ និង $B$ មិនចុះស្រុងគ្នា ។

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ $A$ គឺ :

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

ការពន្យល់ រូបមន្តទី១ ប្រើតែពេលព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរឯករាជ្យ (មិនទាក់ទងគ្នា)។ រូបមន្តទី២ ជារូបមន្តទូទៅ ហើយវាត្រូវជាមួយរូបមន្តទី១ កាលណា $P (B / A) = P (B)$ ។ រូបមន្តទី៣ ជារូបមន្តផលបូកពេញលេញ៖ យើងត្រូវដក $P (A \cap B)$ ព្រោះករណីដែលកើតឡើងទាំងពីរ ត្រូវបានរាប់ពីរដង (ម្តងក្នុង $P (A)$ ម្តងក្នុង $P (B)$ )។ បើព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរមិនអាចកើតឡើងព្រមគ្នា នោះ $P (A \cap B) = 0$ ហើយរូបមន្តសាមញ្ញក្លាយជារូបមន្តទី៤។

FORMULA $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ $P (A \cap B) = P (A) \times P (B / A)$ $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

ផ្នែក 11

4.10 ការគណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់ និងបន្សំ

ការគណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់ និងបន្សំ ៖

គេអាចគណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់ និងបន្សំ ។
រូបមន្តបន្សំនៃ $r$ ធាតុយកពី $n$ ធាតុ គឺ : $C (n, r) = \frac{P ( n , r )}{r !} = \frac{n !}{( n - r )! \times r !}$
ចម្លាស់ច្រំដែលនៃ $r$ ធាតុយកពី $n$ ធាតុ គឺ : $n^{r}$
រូបមន្តចម្លាស់នៃ $r$ ធាតុយកពី $n$ ធាតុ គឺ : $P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$
រូបមន្តចម្លាស់នៃ $n$ ធាតុ : $n! = n (n - 1) (n - 2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1$
រូបមន្តចម្លាស់រងនៃ $n$ ធាតុ : $\frac{n !}{n} = (n - 1)!$ ។

ការពន្យល់ រូបមន្តទាំងនេះជាឧបករណ៍រាប់ មិនមែនជារូបមន្តប្រូបាបទេ។ យើងប្រើវាដើម្បីរក $n (A)$ និង $n (S)$ ក្នុង $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}$ ។ ចំណុចត្រូវចាំ៖ $C (n, r)$ មិនគិតលំដាប់ (ចាប់ព្រមគ្នា) ចំណែក $P (n, r)$ គិតលំដាប់ (ចាប់ម្តងមួយ ឬដាក់ជាជួរ)។ $n^{r}$ ជាករណីចាប់ម្តងមួយដោយដាក់ចូលវិញ។ ឧទាហរណ៍ $C (12, 4) = \frac{12 !}{8 ! 4 !} = 495$ ហើយ $P (9, 3) = \frac{9 !}{6 !} = 9 \times 8 \times 7 = 504$ ។

FORMULA $C (n, r) = \frac{P ( n , r )}{r !} = \frac{n !}{( n - r )! \times r !}$ n^{r} $P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$ $n! = n (n - 1) (n - 2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$ $\frac{n !}{n} = (n - 1)!$

ផ្នែក 12

4.11 ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ

ការគណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់ និងបន្សំ (ចំណងជើងបោះពុម្ពដូចធាតុទី៧)

១. និយមន័យ

➤ បើ $A$ និង $B$ ជាព្រឹត្តិការណ៍ពីរក្នុងលំហសំណាកមួយដែល $P (A) \neq = 0$ នោះប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ ដោយដឹងព្រឹត្តិការណ៍ $A$ គឺ:

$P (B / A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} ។$

➤ គេអាចគណនាបានដូច្នេះ $P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ , $P (B) \neq = 0$ ។

➤ តាមរូបមន្តនេះ គេអាចទាញបានប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ $A$ និង $B$ គឺ:

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B / A) = P (B) \times P (A / B) ។$

ការពន្យល់ សញ្ញា $P (B / A)$ អានថា «ប្រូបាបនៃ $B$ ដោយដឹង $A$ »។ វាមានន័យថា យើងដឹងរួចហើយថា $A$ កើតឡើង ហើយឥឡូវសួរថា តើ $B$ កើតឡើងដែរឬ? ដូច្នេះ លំហសំណាកបង្រួមមកត្រឹម $A$ ហើយយើងគណនាប្រូបាបនៅក្នុងលំហតូចនោះ។ បើរាប់ដោយករណី នោះ $P (B / A) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A )}$ ដែលជាទម្រង់ងាយប្រើបំផុតក្នុងលំហាត់។ ចំណាំ៖ $P (B / A)$ និង $P (A / B)$ ជាទូទៅមិនស្មើគ្នាទេ។

FORMULA $P (B / A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}, P (A) \neq = 0$ $P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}, P (B) \neq = 0$ $P (A \cap B) = P (A) \times P (B / A) = P (B) \times P (A / B)$

ផ្នែក 13

4.12 ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ និងមិនឯករាជ្យ

ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ និងមិនឯករាជ្យ ៖ បើ $A$ និង $B$ ជាព្រឹត្តិការណ៍ពីរដែលមានប្រូបាបមិនសូន្យ៖

➤ គេថាព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និងព្រឹត្តិការណ៍ $B$ មិនទាក់ទងគ្នា (ឬមិនអាស្រ័យគ្នា) កាលណាព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌមួយ ក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងបីគឺ:

១. $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ឬ

២. $P (A / B) = P (A)$ ឬ

៣. $P (B / A) = P (B)$ ។

➤ គេថាព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និងព្រឹត្តិការណ៍ $B$ ទាក់ទងគ្នាកាលណា $P (A \cap B) \neq = P (A) \times P (B)$ ។

ការពន្យល់ លក្ខខណ្ឌទាំងបីសមមូលគ្នា៖ បើមួយពិត នោះពីរទៀតក៏ពិតដែរ (ពេលប្រូបាបមិនសូន្យ)។ ដូច្នេះ ដើម្បីបញ្ជាក់ថាឯករាជ្យ គេគ្រាន់តែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌងាយបំផុត។ ក្នុងលំហាត់ ការចាប់ដោយដាក់ចូលវិញ តែងតែឱ្យឯករាជ្យ ហើយការចាប់មិនដាក់ចូលវិញ តែងតែឱ្យទាក់ទងគ្នា។

FORMULA $P (A \cap B) = P (A) \times P (B) or P (A / B) = P (A) or P (B / A) = P (B)$ $P (A \cap B) \neq = P (A) \times P (B)$

ផ្នែក 14

4.13 សម្គាល់៖ ឯករាជ្យមិនមែនមានន័យថាមិនចុះស្រុងគ្នា

❖ សម្គាល់: ព្រឹត្តិការណ៍ពីរមិនអាស្រ័យគ្នា មិនមែនមានន័យថា ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរនោះ មិនចុះស្រុងគ្នាទេ ។

ការពន្យល់ នេះជាកំហុសញឹកញាប់បំផុតមួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យអាចកើតឡើងព្រមគ្នាបាន។ ឧទាហរណ៍ បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ៖ $A$ «គ្រាប់ទី១ ចេញ ៦» និង $B$ «គ្រាប់ទី២ ចេញ ៦» ជាឯករាជ្យ តែវាកើតឡើងព្រមគ្នាបាន គឺ $(6, 6)$ ។ ផ្ទុយមកវិញ បើព្រឹត្តិការណ៍ពីរមិនអាចកើតឡើងព្រមគ្នា ហើយប្រូបាបមិនសូន្យ នោះវាទាក់ទងគ្នា ជានិច្ច។

ផ្នែក 15

4.14 រូបមន្តប្រូបាបសរុប

រូបមន្តប្រូបាបសរុប ៖

➤ រូបមន្តប្រូបាបសរុប:

$P (B) = i = 1 \sum n [P (B / A_{i}) \times P (A_{i})]$

ការពន្យល់ រូបមន្តនេះប្រើពេលព្រឹត្តិការណ៍ $B$ អាចកើតឡើងតាមផ្លូវជាច្រើន $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ដែលមិនជាន់គ្នា និងគ្របដណ្តប់គ្រប់ករណី។ យើងគណនាប្រូបាបតាមផ្លូវនីមួយៗ ( $P (B / A_{i}) \times P (A_{i})$ ) រួចបូកចូលគ្នា។ ឧទាហរណ៍ បើទំនិញមួយមកពីម៉ាស៊ីនពីរ នោះ $P (ខូច) = P (D / M_{1}) P (M_{1}) + P (D / M_{2}) P (M_{2})$ ។ នេះជាគំនិត «ចែកជាករណី រួចបូក»។

FORMULA $P (B) = i = 1 \sum n [P (B / A_{i}) \times P (A_{i})]$

ផ្នែក 16

4.15 ទ្រឹស្តីបទបេយេស

➤ ទ្រឹស្តីបទ បេយេស:

$P (A_{k} / B) = \frac{P ( B / A _{k} ) \times P ( A _{k} )}{\sum _{i = 1}^{n} [ P ( B / A _{i} ) \times P ( A _{i} ) ]}$

ការពន្យល់ ទ្រឹស្តីបទនេះឆ្លើយសំណួរបញ្ច្រាស៖ យើងឃើញលទ្ធផល $B$ ហើយចង់ដឹងថា តើវាមកពីមូលហេតុ $A_{k}$ ណា? ភាគបែងគឺជារូបមន្តប្រូបាបសរុប ពោលគឺប្រូបាបសរុបនៃការឃើញ $B$ ។ ដូច្នេះ បេយេសគឺជាការបែងចែកប្រូបាប $B$ ទៅតាមផ្លូវនីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍ $P (M_{1} / D) = \frac{P ( D / M _{1} ) P ( M _{1} )}{P ( D )}$ គឺជាចំណែកនៃវត្ថុខូចដែលមកពីម៉ាស៊ីនទី១។

FORMULA $P (A_{k} / B) = \frac{P ( B / A _{k} ) \times P ( A _{k} )}{\sum _{i = 1}^{n} [ P ( B / A _{i} ) \times P ( A _{i} ) ]}$

ផ្នែក 17

ឧទាហរណ៍ទី ១

ចំណោទ គេរើសសិស្សម្នាក់ឱ្យធ្វើជាប្រធានក្រុម ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី 5 នាក់ និងសិស្សប្រុស 3 នាក់ ។ រកប្រូបាបដែលប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី និងរកប្រូបាបសិស្សប្រុសជាប្រធានក្រុម ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១ — កំណត់វិញ្ញាសា និងលទ្ធផល
វិញ្ញាសាគឺ «រើសសិស្សម្នាក់ពីក្រុម»។ លទ្ធផលគឺសិស្សម្នាក់ៗ ដែលអាចជ្រើសបាន។ ដូច្នេះ

$n (S) = 5 + 3 = 8$

ហេតុអ្វី ការរាប់ត្រូវចាប់ផ្តើមពីលំហសំណាក ព្រោះគ្រប់ប្រូបាបក្នុងជំពូកនេះមានទម្រង់ $n (A) / n (S)$ ។ សិស្សស្រី ៥ នាក់ និងសិស្សប្រុស ៣ នាក់ មិនជាន់គ្នា ដូច្នេះយើងបូកចំនួនដោយផ្ទាល់។

ជំហានទី២ — ពិនិត្យលក្ខខណ្ឌសមប្រូបាប
ការរើសធ្វើដោយចៃដន្យ ដូច្នេះសិស្សម្នាក់ៗមានឱកាសដូចគ្នា គឺ $\frac{1}{8}$ ។
ហេតុអ្វី បើលទ្ធផលមិនសមប្រូបាប យើងមិនអាចប្រើការរាប់ធម្មតាបានទេ ។ នៅទីនេះលក្ខខណ្ឌពេញលេញ។

ជំហានទី៣ — រាប់ករណីស្របសម្រាប់សិស្សស្រី
សិស្សស្រីមាន ៥ នាក់ ដូច្នេះ $n (G) = 5$ ហើយ

$P (G) = \frac{n ( G )}{n ( S )} = \frac{5}{8}$

ហេតុអ្វី ករណីស្របគឺករណីដែលធ្វើឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ «ប្រធានក្រុមជាសិស្សស្រី» កើតឡើង។ មានតែសិស្សស្រី ៥ នាក់ប៉ុណ្ណោះ។

ជំហានទី៤ — ធ្វើដូចគ្នាសម្រាប់សិស្សប្រុស
$n (B) = 3$ ដូច្នេះ

$P (B) = \frac{3}{8}$

ហេតុអ្វី ដំណើរការដូចគ្នា គ្រាន់តែប្តូរព្រឹត្តិការណ៍ប៉ុណ្ណោះ។ លំហសំណាក $S$ មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ជំហានទី៥ — ពិនិត្យផលបូក
$\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1$ ។
ហេតុអ្វី ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរគ្របដណ្តប់លទ្ធផលទាំងអស់ ហើយមិនជាន់គ្នា ដូច្នេះផលបូកត្រូវជា ១ ។ នេះជាការពិនិត្យចុងក្រោយដែលចាប់កំហុសបានភាគច្រើន។

ចម្លើយ $P (ស្រី) = P (girl) = \frac{5}{8}$ និង $P (ប្រុស) = P (boy) = \frac{3}{8}$ ។

ផ្នែក 18

ឧទាហរណ៍ទី ២

ចំណោទ ក្នុងថង់មួយមានឃីក្រហម 4 និងឃីខៀវ 6 ។ គេចាប់យកឃី 2 ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។

ក. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃីក្រហមទាំង 2 ។

ខ. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃីខៀវទាំង 2 ។

គ. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃី 2 មានពណ៌ដូចគ្នា ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១ — រាប់ករណីអាច
ឃីសរុប $4 + 6 = 10$ ហើយចាប់ ២ ព្រមគ្នា ដោយមិនគិតលំដាប់ ដូច្នេះ

$n (S) = C (10, 2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$

ហេតុអ្វី ការចាប់ព្រមគ្នាមិនបែងចែកថា «មួយណាមុន» ទេ ដូច្នេះត្រូវប្រើបន្សំ $C (n, r)$ មិនមែនចម្លាស់ $P (n, r)$ ។ បើយើងប្រើ $P (10, 2) = 90$ នោះករណីនីមួយៗត្រូវបានរាប់ពីរដង។

ជំហានទី២ — ផ្នែក ក. / part ក.
ក្រហមមាន ៤ គ្រាប់ ដូច្នេះ $n (ក្រហម ២) = C (4, 2) = 6$ ហើយ

$P (ក្រហម ២) = \frac{C ( 4 , 2 )}{C ( 10 , 2 )} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

ហេតុអ្វី យើងរាប់ចំនួនវិធីជ្រើសឃីក្រហម ២ ពីឃីក្រហម ៤ ដោយបន្សំ ព្រោះឃីក្រហមទាំងអស់ដើរតួដូចគ្នា។

ជំហានទី៣ — ផ្នែក ខ. / part ខ.
ខៀវមាន ៦ គ្រាប់ ដូច្នេះ $n (ខៀវ ២) = C (6, 2) = 15$ ហើយ

$P (ខៀវ ២) = \frac{C ( 6 , 2 )}{C ( 10 , 2 )} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

ហេតុអ្វី ដំណើរការដូចគ្នាបេះបិទ គ្រាន់តែប្តូរពណ៌។ ភាគបែង $45$ មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ព្រោះលំហសំណាកដូចគ្នា។

ជំហានទី៤ — ផ្នែក គ. / part គ.
«ពណ៌ដូចគ្នា» មានន័យថា «ក្រហមទាំងពីរ ឬ ខៀវទាំងពីរ»។ ករណីទាំងពីរនេះមិនជាន់គ្នា ដូច្នេះយើងបូក

$P (ពណ៌ដូចគ្នា) = \frac{6 + 15}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

ហេតុអ្វី នេះជាការប្រើព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក $A \cup B$ ជាមួយព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះស្រុងគ្នា ដូច្នេះ $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ ។

ជំហានទី៥ — ពិនិត្យដោយវិធីទីពីរ
ករណី «ពណ៌ខុសគ្នា» គឺ $4 \times 6 = 24$ ដូច្នេះ $P (ខុសគ្នា) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$ ហើយ $1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$ ត្រូវគ្នា។
ហេតុអ្វី ប្រើ $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ ជាការត្រួតពិនិត្យឯករាជ្យ។ បើលទ្ធផលពីរផ្លូវមិនត្រូវគ្នា នោះមានកំហុសការរាប់ហើយ។

ចម្លើយ

ក. $\frac{2}{15}$ ;

ខ. $\frac{1}{3}$ ;

គ. $\frac{7}{15}$ ។

ផ្នែក 19

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ចំណោទ ក្នុងប្រអប់ $A$ មានសំបុត្រ 5 សន្លឹក ចុះលេខពី 1 ដល់ 5 ។ ប្រអប់ $B$ មានសំបុត្រ 3 សន្លឹក ចុះលេខពី 4 ដល់ 6 ។ គេចាប់យកសំបុត្រ 1 សន្លឹកចេញពីប្រអប់នីមួយៗដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបដែលសំបុត្រទាំង 2 :

ក. មានលេខដូចគ្នា

ខ. មានលេខខុសគ្នា

គ. មានផលបូកលេខជាចំនួនសេស ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១ — សរសេរលំហសំណាក
យើងមាន $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ និង $B = {4, 5, 6}$ ។ លទ្ធផលនីមួយៗជាគូ $(a; b)$ ដែល $a \in A$ និង $b \in B$ ។ ដោយគោលការណ៍គុណ

$n (S) = 5 \times 3 = 15$

ហេតុអ្វី ការចាប់មួយសន្លឹកពីប្រអប់នីមួយៗមានពីរជំហានឯករាជ្យ ដូច្នេះចំនួនករណីគឺផលគុណ។ លំដាប់នៅទីនេះសំខាន់ ព្រោះសំបុត្រមួយមកពី $A$ និងមួយទៀតមកពី $B$ ដូច្នេះយើងមិនប្រើ $C (8, 2)$ ទេ។

ជំហានទី២ — រាយករណីទាំង ១៥
ក្នុងតារាង ជួរគឺលេខរបស់ $A$ ជួរឈរគឺលេខរបស់ $B$ ៖

$A \ B$	4	5	6
1	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,4)	(5,5)	(5,6)

ហេតុអ្វី ការរាយបញ្ជីពេញលេញលុបបំបាត់ការទាយ ហើយធ្វើឱ្យការរាប់ករណីស្របក្លាយជាការមើលមើលឃើញ មិនមែនការគណនាវែង។

ជំហានទី៣ — ផ្នែក ក. / part ក.
លេខដូចគ្នាមានតែ $(4, 4)$ និង $(5, 5)$ ព្រោះលេខរួមមានតែ ៤ និង ៥៖

$P (លេខដូចគ្នា) = \frac{2}{15}$

ហេតុអ្វី លេខ ១, ២, ៣ មានតែក្នុង $A$ ហើយលេខ ៦ មានតែក្នុង $B$ ដូច្នេះវាមិនអាចស្មើបានទេ។

ជំហានទី៤ — ផ្នែក ខ. / part ខ.
ករណីខុសគ្នាគឺករណីផ្ទុយនៃ ក. ដូច្នេះ

$P (លេខខុសគ្នា) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$

ហេតុអ្វី ប្រើ $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ ជៀសវាងការរាប់ ១៣ ករណីម្តងមួយៗ។

ជំហានទី៥ — ផ្នែក គ. / part គ.
ផលបូកសេស កើតឡើងពេលមួយសេស និងមួយគូ។ ក្នុង $A$ លេខគូគឺ $2, 4$ (២) និងលេខសេសគឺ $1, 3, 5$ (៣)។ ក្នុង $B$ លេខគូគឺ $4, 6$ (២) និងលេខសេសគឺ $5$ (១)។ ដូច្នេះ

$n (សេស) = 2 \times 1 + 3 \times 2 = 2 + 6 = 8, P (ផលបូកសេស) = \frac{8}{15}$

ហេតុអ្វី យើងប្រើគោលការណ៍គុណក្នុងករណីនីមួយៗ រួចបូកករណីទាំងពីរ ព្រោះវាមិនជាន់គ្នា។ ផលបូកសេសមិនអាចកើតឡើងពី សេស+សេស ឬ គូ+គូ បានទេ។

ចម្លើយ

ក. $\frac{2}{15}$ ;

ខ. $\frac{13}{15}$ ;

គ. $\frac{8}{15}$ ។ សង្កេតថា

ក. និង

ខ. បូកគ្នាបាន ១ ត្រូវតាម ។

ផ្នែក 20

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ចំណោទ គេមានកាក់ 9 ដែលចុះតាមលេខរៀងពី 1 ដល់ 9 ។ គេរៀបកាក់នីមួយៗដាក់ទៅក្នុងការមួយដែលមាន 9 ក្រឡា ។

ក. តើគេអាចរៀបកាក់ទាំង 9 បានប៉ុន្មានរបៀប ?

ខ. រកប្រូបាបដែលកាក់លេខ 1 និងលេខ 2 នៅក្នុងជួរឈរទី 1 ។

ដោះស្រាយបន្ថែម

ជំហានទី១ — ផ្នែក ក. ចំនួនរបៀប / part ក, the number of arrangements.
កាក់ ៩ ត្រូវដាក់ក្នុងក្រឡា ៩ ដោយក្រឡាមួយផ្ទុកកាក់មួយ។ កាក់ទី១ មាន ៩ ជម្រើស កាក់ទី២ មាន ៨ ... ដូច្នេះ

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

ហេតុអ្វី នេះជាចម្លាស់នៃធាតុទាំង ៩ (លំដាប់សំខាន់) ដូច្នេះត្រូវប្រើ $n!$ មិនមែន $C (9, 9)$ ទេ ។

ជំហានទី២ — ផ្នែក ខ. ជ្រើសក្រឡាសម្រាប់កាក់ ១ និង ២
ជួរឈរទី ១ មានក្រឡា ៣។ កាក់លេខ ១ មាន ៣ ជម្រើស រួចកាក់លេខ ២ មាន ២ ជម្រើសទៀត ដូច្នេះ $3 \times 2 = 6$ របៀប។
ហេតុអ្វី កាក់ទាំងពីរមានលេខខុសគ្នា ដូច្នេះការប្តូរក្រឡារបស់វាបង្កើតរបៀបថ្មី។ នេះជាចម្លាស់ $P (3, 2) = 6$ ។

ជំហានទី៣ — ដាក់កាក់ ៧ ទៀត
ក្រឡាទំនេរមាន ៧ ហើយកាក់នៅសល់ ៧ ដូច្នេះមាន $7!$ របៀប។
ហេតុអ្វី ការជ្រើសក្រឡាសម្រាប់កាក់ ១ និង ២ រួចហើយ ការរៀបកាក់នៅសល់គឺការរៀបពេញលេញលើក្រឡាដែលនៅសល់។

ជំហានទី៤ — គណនាប្រូបាប
ករណីស្របគឺ $6 \times 7!$ ដូច្នេះ

$P = \frac{6 \times 7 !}{9 !} = \frac{6 \times 7 !}{9 \times 8 \times 7 !} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

ហេតុអ្វី យើងសម្រួល $7!$ ចេញពីភាគយក និងភាគបែង ព្រោះ $9! = 9 \times 8 \times 7!$ ។ ការសម្រួលនេះជៀសវាងការគណនាលេខធំ ហើយកាត់បន្ថយកំហុស។

ជំហានទី៥ — ពិនិត្យដោយសុីរិទ្ធ
ប្រូបាបដែលកាក់លេខ ១ នៅជួរឈរទី ១ គឺ $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ។ បើដឹងរួចថាកាក់លេខ ១ នៅទីនោះ នោះកាក់លេខ ២ មានក្រឡាទំនេរ ២ ក្នុងចំណោម ៨ ដែលនៅក្នុងជួរឈរទី១ ដូច្នេះ $P = \frac{1}{3} \times \frac{2}{8} = \frac{1}{12}$ ត្រូវគ្នា។
ហេតុអ្វី នេះជាការគុណប្រូបាបតាមលំដាប់ (conditional probability) ដែលផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា តែខ្លីជាង។

ចម្លើយ

ក. $9! = 362880$ របៀប;

ខ. $\frac{1}{12}$ ។

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

កំហុសទាំង ១១ ខាងក្រោមនេះជាកំហុសដែលសិស្សធ្វើច្រើនបំផុតក្នុងជំពូកនេះ។ កំហុសនីមួយៗបង្ហាញពីអ្វីដែលខុស និងអ្វីដែលត្រូវ។

កំហុសទី ១ — រាប់លំដាប់មិនស៊ីគ្នា ខុស Wrong: $P = \frac{C ( 6 , 2 ) \times C ( 4 , 1 )}{P ( 10 , 3 )}$ គឺភាគយករាប់ដោយបន្សំ តែភាគបែងរាប់ដោយចម្លាស់។ ត្រូវ Correct: ត្រូវជ្រើសវិធីរាប់តែមួយ ហើយប្រើវាទាំងភាគយក ទាំងភាគបែង៖ $P = \frac{C ( 6 , 2 ) \times C ( 4 , 1 )}{C ( 10 , 3 )} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ ។

កំហុសទី ២ — ប្រើ $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ ពេលព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទងគ្នា ខុស Wrong: ថង់មានឃីស ៣ ខៀវ ២ ចាប់ ២ លើកមិនដាក់ចូលវិញ រួចសរសេរ $P (ស រួច ស) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$ ។ ត្រូវ Correct: លើកទី២ នៅសល់ឃី ៤ គ្រាប់ ក្នុងនោះស ២ ដូច្នេះ $P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ ។

កំហុសទី ៣ — បូកប្រូបាបសម្រាប់ «យ៉ាងតិចមួយ» ខុស Wrong: $P (យ៉ាងតិចស ១) = P (ស ១) + P (ស ២) + P (ស ៣)$ ដោយមិនដឹងថាត្រូវយកករណីណា។ ត្រូវ Correct: ប្រើព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ $P (យ៉ាងតិចស ១) = 1 - P (គ្មានស)$ ។ ឧទាហរណ៍ $1 - \frac{C ( 2 , 2 )}{C ( 5 , 2 )} = \frac{9}{10}$ ។

កំហុសទី ៤ — ច្រឡំឯករាជ្យ និងចុះស្រុងគ្នា ខុស Wrong: «ព្រឹត្តិការណ៍ពីរនេះមិនអាចកើតឡើងព្រមគ្នា ដូច្នេះវាឯករាជ្យ»។ ត្រូវ Correct: បើមិនអាចកើតឡើងព្រមគ្នា នោះ $P (A \cap B) = 0$ តែ $P (A) P (B) \neq = 0$ ដូច្នេះវាទាក់ទងគ្នា ។

កំហុសទី ៥ — ភ្លេចដក $P (A \cap B)$ ក្នុងរូបមន្តផលបូក ខុស ត្រូវ Correct: អាត់ក្រហម ២ សន្លឹកត្រូវបានរាប់ពីរដង ដូច្នេះ $P = \frac{4 + 26 - 2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$ ។

កំហុសទី ៦ — ចែកដោយប្រូបាបខុសក្នុងប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ ខុស Wrong: $P (B / A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ ឬសរសេរថា $P (B / A) = P (A / B)$ ជានិច្ច។ ត្រូវ Correct: $P (B / A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ ព្រោះភាគបែងគឺប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងដឹងរួច ។ ជាទូទៅ $P (B / A) \neq = P (A / B)$ ។

កំហុសទី ៧ — មិនពិនិត្យថាចម្លើយស្ថិតក្នុង $[0, 1]$ ខុស Wrong: សរសេរ $P = \frac{45}{40}$ ឬ $P = - 0.2$ រួចបន្តទៅមុខទៀត។ ត្រូវ Correct: ប្រូបាបត្រូវតែ $0 \leq P \leq 1$ ។ បើចេញក្រៅចន្លោះនេះ នោះការរាប់ខុសហើយ ត្រូវត្រឡប់ទៅពិនិត្យ $n (A)$ និង $n (S)$ ។

កំហុសទី ៨ — រាប់អក្សរដូចគ្នាជាអក្សរខុសគ្នា ខុស Wrong: ក្នុងពាក្យ STATISTIQUE មាន ១១ តួ រួចសន្និដ្ឋានថា $P (S) = \frac{1}{11} \times \frac{1}{11} \times \frac{1}{11} \times \frac{1}{11}$ ដោយមិនខ្វល់ពីចំនួនអក្សរនីមួយៗ។ ត្រូវ Correct: ត្រូវរាប់ចំនួនអក្សរនីមួយៗជាមុន៖ S ២, T ៣, I ២, A ១, Q ១, U ១, E ១ រួចទើបគុណប្រូបាបតាមលំដាប់។

កំហុសទី ៩ — ប្រើបន្សំពេលលំដាប់សំខាន់ ខុស Wrong: ចំនួនចំនួនបីខ្ទង់ដែលមានលេខខុសគ្នា គឺ $C (9, 3) = 84$ ។ ត្រូវ Correct: លំដាប់សំខាន់ ព្រោះ $123 \neq = 321$ ដូច្នេះត្រូវប្រើ $P (9, 3) = 9 \times 8 \times 7 = 504$ ។

កំហុសទី ១០ — ប្រើចំនួនដើមក្នុងការចាប់លើកទី២ ខុស Wrong: ចាប់ ២ គ្រាប់មិនដាក់ចូលវិញពីថង់ ១២ រួចសរសេរ $P = \frac{8}{12} \times \frac{7}{12}$ ។ ត្រូវ Correct: លើកទី២ នៅសល់ ១១ គ្រាប់ និងក្រហម ៧ គ្រាប់៖ $P = \frac{8}{12} \times \frac{7}{11}$ ។

កំហុសទី ១១ — ច្រឡំ «គត់» និង «យ៉ាងតិច» ខុស Wrong: សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ «យ៉ាងតិចក្រហម ២» គណនាតែ $C (4, 2) \times C (4, 1)$ ។ ត្រូវ Correct: «យ៉ាងតិច ២» រួមបញ្ចូលទាំងករណី ២ ក្រហម និង ៣ ក្រហម ដូច្នេះត្រូវបូក $C (4, 2) C (4, 1) + C (4, 3)$ ឬប្រើ $1 - P (ក្រហម ០ ឬ ១)$ ។

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

ប្រូបាប

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

Probability problem solving

គំនិតសំខាន់

4.1 សម្គាល់៖ វាក្យសព្ទនៃប្រូបាប

4.2 លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍

4.3 ព្រឹត្តិការណ៍សមាស

4.4 ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍

4.5 សមប្រូបាប

4.6 លក្ខណៈ៖ ផលបូកប្រូបាបស្មើ ១

4.7 លក្ខណៈ៖ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង និង $n (A) \leq n (S)$

4.8 សម្គាល់៖ $P (S) = 1$ , $P (\emptyset) = 0$ និង $P : S \to [0, 1]$

4.9 ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាស

4.10 ការគណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់ និងបន្សំ

4.11 ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ

4.12 ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ និងមិនឯករាជ្យ

4.13 សម្គាល់៖ ឯករាជ្យមិនមែនមានន័យថាមិនចុះស្រុងគ្នា

4.14 រូបមន្តប្រូបាបសរុប

4.15 ទ្រឹស្តីបទបេយេស

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

Probability problem solving

គំនិតសំខាន់

4.1 សម្គាល់៖ វាក្យសព្ទនៃប្រូបាប

4.2 លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍

4.3 ព្រឹត្តិការណ៍សមាស

4.4 ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍

4.5 សមប្រូបាប

4.6 លក្ខណៈ៖ ផលបូកប្រូបាបស្មើ ១

4.7 លក្ខណៈ៖ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង និង n(A)≤n(S)

4.8 សម្គាល់៖ P(S)=1, P(∅)=0 និង P:S→[0,1]

4.9 ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាស

4.10 ការគណនាប្រូបាបដោយប្រើចម្លាស់ និងបន្សំ

4.11 ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ

4.12 ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ និងមិនឯករាជ្យ

4.13 សម្គាល់៖ ឯករាជ្យមិនមែនមានន័យថាមិនចុះស្រុងគ្នា

4.14 រូបមន្តប្រូបាបសរុប

4.15 ទ្រឹស្តីបទបេយេស

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

4.7 លក្ខណៈ៖ ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង និង $n (A) \leq n (S)$

4.8 សម្គាល់៖ $P (S) = 1$ , $P (\emptyset) = 0$ និង $P : S \to [0, 1]$