សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ជំពូកទី 12 · គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១២

120 min9 គោលដៅសិក្សា69 ផ្នែកមេរៀន

ចំណុចផ្ដោតនៃការសិក្សា

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម្បីរកអនុគមន៍ រួចប្រើលក្ខខណ្ឌដើមដើម្បីជ្រើសរើសចម្លើយពិសេស។

នៅចុងបញ្ចប់ អ្នកនឹងអាច

បញ្ជាក់ថាអនុគមន៍មួយជាចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលឱ្យ ដោយជំនួសអនុគមន៍នោះ និងដេរីវេរបស់វាចូលក្នុងសមីការ ។
រកលំដាប់ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងដឹងថាសមីការនីមួយៗមានចម្លើយច្រើនរាប់មិនអស់ ។
ដោះស្រាយសមីការទម្រង់ $\frac{d y}{d x} = f (x)$ ដោយអាំងតេក្រាលត្រង់ ។
ដោះស្រាយសមីការដែលបំបែកអថេរបាន $g (y) \frac{d y}{d x} = f (x)$ ។
ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី១ ទម្រង់ $y^{'} + a y = 0$ , $y^{'} + p (x) y = 0$ និង $y^{'} + a y = f (x)$ ។
រកចម្លើយពិសេសដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើម $y (x_{0}) = y_{0}$ ។
សរសេរសមីការសម្គាល់ $a r^{2} + b r + c = 0$ នៃសមីការលំដាប់ទី២ រួចបែងចែកបីករណីតាម $Δ$ ដើម្បីរកចម្លើយទូទៅ ។
ដោះស្រាយសមីការមិនអូម៉ូស្សេន $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x)$ ដោយ $y = y_{c} + y_{p}$ ។
ប្រើតារាងទម្រង់ $y_{p}$ ដើម្បីជ្រើសរើសទម្រង់ត្រឹមត្រូវតាមទម្រង់នៃ $p (x)$ ។

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

វគ្គនីមួយៗផ្ដោតលើជំនាញមួយ ដោយមានឧទាហរណ៍ដោះស្រាយចំនួនដប់ដែលកាន់តែពិបាកជាបន្តបន្ទាប់។ បើកឧទាហរណ៍នៅពេលអ្នកចង់មើលជំហាន។

វគ្គ 01 / 02

First-order differential equations

Separate variables, retain constant solutions, and apply initial values to select a particular solution.

ឧទាហរណ៍ 01Solve y′=xy with y(0)=3.

1Separate: dy/y=x dx; integrate ln|y|=x²/2+C.
2Use the initial value to determine the positive constant.

ចម្លើយy=3e^{x²/2}

ឧទាហរណ៍ 02Solve y′=2x(1+y²), y(0)=0.

1Separate dy/(1+y²)=2x dx.
2Integrate arctan y=x²+C and use y(0)=0.

ចម្លើយy=tan(x²)

ឧទាហរណ៍ 03Solve y′+3y=0 with y(0)=−2.

1The homogeneous solution is y=Ce^{−3x}.
2The initial condition gives C=−2.

ចម្លើយy=−2e^{−3x}

ឧទាហរណ៍ 04Solve y′−(2/x)y=0 for x>0 with y(1)=4.

1Write y′=(2/x)y and separate: dy/y=2dx/x.
2Integrate to y=Cx²; use y(1)=4.

ចម្លើយy=4x²

ឧទាហរណ៍ 05Solve y′=3e^{2x}, y(0)=1.

1Integrate to y=(3/2)e^{2x}+C.
2Use 1=3/2+C.

ចម្លើយy=(3/2)e^{2x}−1/2

ឧទាហរណ៍ 06Solve y′=y² with y(0)=2.

1Separate dy/y²=dx; integrate −1/y=x+C.
2Use y(0)=2 and solve for y.

ចម្លើយy=2/(1−2x), on the interval containing 0 where defined

ឧទាហរណ៍ 07Solve y′+2xy=0, y(0)=5.

1Separate dy/y=−2x dx.
2Integrate and apply the initial value.

ចម្លើយy=5e^{−x²}

ឧទាហរណ៍ 08Find all constant solutions of y′=y(y−3).

1For a constant solution, y′=0.
2Solve y(y−3)=0.

ចម្លើយy=0 and y=3

ឧទាហរណ៍ 09Solve y′=(1+x)/y, y(0)=2.

1Separate y dy=(1+x)dx.
2Integrate y²/2=x+x²/2+C and use y(0)=2.

ចម្លើយy=√(x²+2x+4) on the positive branch

ឧទាហរណ៍ 10Solve y′+y/x=0 for x>0 with y(1)=−3.

1Separate dy/y=−dx/x, giving y=C/x.
2Use the initial value to find C.

ចម្លើយy=−3/x

ផ្នែក 01

គំនិតសំខាន់

១. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលចង់ដឹងថា «អនុគមន៍ណា?» នៅថ្នាក់ទី ១១ យើងដោះស្រាយសមីការដើម្បីរកចំនួន $x$ ។ នៅទីនេះ យើងដោះស្រាយដើម្បីរកអនុគមន៍ $y = y (x)$ ។ ដូច្នេះសមីការ $y^{'} = 2 x$ មានចម្លើយ $y = x^{2}$ តែមិនត្រឹមតែ $x^{2}$ ទេ គឺ $y = x^{2} + c$ សម្រាប់គ្រប់ចំនួនថេរ $c$ ។

២. លំដាប់ = ដេរីវេខ្ពស់ជាងគេ បើសមីការមានតែ $y^{'}$ នោះជាលំដាប់ទី១ ។ បើមាន $y^{''}$ នោះជាលំដាប់ទី២ ។ ចំនួនចំនួនថេរក្នុងចម្លើយទូទៅស្មើនឹងលំដាប់ ៖ លំដាប់ទី១ មានចំនួនថេរ ១, លំដាប់ទី២ មានចំនួនថេរ ២ ។ នេះជាហេតុផលដែលលំហាត់លំដាប់ទី២ ត្រូវការលក្ខខណ្ឌពីរ ( $y (0)$ និង $y^{'} (0)$ ) ដើម្បីកំណត់ចម្លើយពិសេស ។

៣. ចម្លើយទូទៅ និងចម្លើយពិសេស ចម្លើយទូទៅ គឺគ្រួសារអនុគមន៍ទាំងអស់ ដែលមានចំនួនថេរ $c$ (ឬ $A, B$ ) នៅឡើយ ។ ចម្លើយពិសេស គឺអនុគមន៍មួយក្នុងគ្រួសារនោះ ដែលត្រូវបានជ្រើសដោយលក្ខខណ្ឌដើម ។ ឧទាហរណ៍ $y = A e^{- 2 x}$ ជាចម្លើយទូទៅ ហើយ $y = 3 e^{- 2 x}$ ជាចម្លើយពិសេសមួយ ។

៤. ដេរីវេប្រាប់ពីទិសដៅ អាំងតេក្រាលជាអ្នកដោះស្រាយ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរសេរអត្រាប្រែប្រួល (ដេរីវេ) ជាអនុគមន៍នៃ $x$ និង $y$ ។ ដូច្នេះឧបករណ៍ដោះស្រាយស្ទើរតែគ្រប់ករណីគឺអាំងតេក្រាល ។ គ្រាន់តែធ្វើអាំងតេក្រាលអង្គទាំងពីរ យើងបានចម្លើយ ។

៥. បំបែកអថេរ = ដាក់ $y$ ម្ខាង $x$ ម្ខាង បើសមីការអាចសរសេរជា $g (y) d y = f (x) d x$ នោះយើងគ្រាន់តែធ្វើអាំងតេក្រាលពីរដងដាច់ពីគ្នា ។ លក្ខខណ្ឌគឺថា អង្គម្ខាងមានតែ $y$ និងអង្គម្ខាងទៀតមានតែ $x$ ។ បើមិនអាចបំបែកបានទេ គេត្រូវប្រើវិធីផ្សេង (ដូចជាវិធីប្រែប្រួលចំនួនថេរ) ។

៦. សមីការសម្គាល់ជាគន្លឹះនៃលំដាប់ទី២ យើងជំនួស $y = e^{r x}$ ចូល $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ រួចចែកនឹង $e^{r x}$ (ដែលមិនស្មើ $0$ ) ដូច្នេះនៅសល់ $a r^{2} + b r + c = 0$ ។ ដូច្នេះបញ្ហាអនុគមន៍ក្លាយជាបញ្ហាសមីការដឺក្រេទី២ធម្មតា ។ ឫសពីរផ្សេងគ្នា → ពីរតួអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល; ឫសឌុប → គុណនឹង $x$ ; ឫសកុំផ្លិច → កូស៊ីនុស និងស៊ីនុស ។

៧. ហេតុអ្វីឫសឌុបត្រូវគុណនឹង $x$ បើ $r$ ជាឫសឌុប នោះ $e^{r x}$ តែមួយមិនគ្រប់ទេ ព្រោះយើងត្រូវការចម្លើយឯករាជ្យពីរ ។ គេបង្ហាញថា $x e^{r x}$ ក៏ជាចម្លើយដែរ ។ ដូច្នេះចម្លើយទូទៅគឺ $(A x + B) e^{r x}$ ។ ការភ្លេចគុណនឹង $x$ ជាកំហុសធ្ងន់ធ្ងរបំផុតក្នុងជំពូកនេះ ។

៨. $y = y_{c} + y_{p}$ មិនមែន $y_{c} \cdot y_{p}$ ទេ សមីការមិនអូម៉ូស្សេនមានចម្លើយជាផលបូក ៖ ចម្លើយទូទៅនៃសមីការអូម៉ូស្សេន បូកនឹងចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការពេញ ។ ហេតុផលគឺលីនេអារីតេ៖ បើ $L (y_{c}) = 0$ និង $L (y_{p}) = p (x)$ នោះ $L (y_{c} + y_{p}) = p (x)$ ។

៩. ចម្លើយមិនមែនមានតែមួយទេ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយមានចម្លើយច្រើនរាប់មិនអស់ ហើយក្រាបរបស់ចម្លើយទាំងនោះបង្កើតជាគ្រួសារខ្សែកាង ដែលរាយដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $c$ ។ នៅពេលយើងឱ្យចំណុចមួយ $(x_{0}; y_{0})$ នោះយើងជ្រើសបានតែខ្សែកាងមួយក្នុងគ្រួសារនោះ ។

ផ្នែក 02

4.1 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី១

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី១ ជាទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ ដេរីវេទី១ របស់អនុគមន៍នោះ អថេរ និងចំនួនថេរ ។ ចម្លើយ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ជាអនុគមន៍មួយ ដែលអនុគមន៍នោះ និងដេរីវេរបស់វា ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ ។ លំដាប់ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ជាលំដាប់នៃដេរីវេខ្ពស់ជាងគេ ដែលមាននៅក្នុងសមីការ ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ $2 y^{'} + y = 0$ ជាសមីការលំដាប់ទី១ ព្រោះដេរីវេខ្ពស់ជាងគេគឺ $y^{'}$ (លំដាប់ ១) ។ ចំណែក $y^{''} + 4 y = 0$ ជាលំដាប់ទី២ ព្រោះមាន $y^{''}$ ។ ពាក្យ «ចំនួនថេរ» ក្នុងនិយមន័យខាងលើ សំដៅលើមេគុណដែលមិនអាស្រ័យលើ $x$ ឬ $y$ ។

រូបមន្ត លំដាប់ = លំដាប់នៃដេរីវេខ្ពស់ជាងគេ

$order (2 y^{'} + y = 0) = 1, order (y^{''} + 4 y = 0) = 2$

ចំណាំបច្ចេកទេស ពាក្យ $y^{'}$ និង $\frac{d y}{d x}$ សំដៅលើដេរីវេដូចគ្នា ។ ដូច្នេះ $y^{'} = f (x)$ និង $\frac{d y}{d x} = f (x)$ ជាសមីការតែមួយ ។

ផ្នែក 03

4.2 ចម្លើយច្រើនរាប់មិនអស់ និងគ្រួសារខ្សែកាង

សម្គាល់៖ អនុគមន៍ចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានច្រើនរាប់មិនអស់ ។ គ្រប់ខ្សែកាងតាងចម្លើយនីមួយៗនៃសមីការ បង្កើតជាគ្រួសារខ្សែកាង ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ $y^{'} = 2 x$ មានចម្លើយ $y = x^{2} + c$ ចំពោះគ្រប់ $c \in R$ ។ គ្រប់ខ្សែកាងទាំងនោះ គឺជាប៉ារ៉ាបូលដូចគ្នា តែរំកិលឡើងលើ ឬចុះក្រោមតាមអ័ក្សឈរ ។ ដូច្នេះ «ដោះស្រាយ» មានន័យថារកគ្រួសារទាំងមូល មិនមែនរកខ្សែកាងមួយទេ ។

ចំណាំបច្ចេកទេស ចំនួនថេរ $c$ នេះហើយជាអ្វីដែលលក្ខខណ្ឌដើម $y (x_{0}) = y_{0}$ កំណត់តម្លៃ ។ បើគ្មានលក្ខខណ្ឌដើមទេ ចម្លើយត្រូវរក្សា $c$ ទុក ។

FORMULA $y^{'} = 2 x ⟹ y = x^{2} + c, c \in R$

ផ្នែក 04

4.3 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} = f (x)$ ដោយអាំងតេក្រាលត្រង់

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទម្រង់នេះ គេអនុវត្តបួនជំហាន៖

➢ សរសេរ $\frac{d y}{d x} = f (x)$ ជាទម្រង់ $d y = f (x) d x$ ។ ➢ រកអាំងតេក្រាលអង្គទាំងពីរ $\int d y = \int f (x) d x$ ឬ $y = \int f (x) d x + c$ ។ ➢ អនុគមន៍ $y = \int f (x) d x + c$ ជាចម្លើយទូទៅ នៃ $\frac{d y}{d x} = f (x)$ ។ ➢ រកចម្លើយពិសេសតាមលក្ខខណ្ឌដើម $y (x_{0}) = y_{0}$ គឺយក $x_{0}$ និង $y_{0}$ ទៅជំនួសក្នុងចម្លើយទូទៅ រួចទាញយក $c = y_{0} - F (x_{0})$ ។ អនុគមន៍ $y = \int f (x) d x + y_{0} - F (x_{0})$ ជាចម្លើយពិសេសតាមលក្ខខណ្ឌដើម $y (x_{0}) = y_{0}$ ។

នៅទីនេះ $F$ តាងព្រីមីទីវមួយនៃ $f$ ។ ហេតុអ្វីបានជាយើងអាចសរសេរ $d y = f (x) d x$ បាន? ព្រោះ $d y = y^{'} d x$ តាមនិយមន័យឌីផេរ៉ង់ស្យែល ។ ការសរសេរនេះជាការរៀបចំសម្រាប់ធ្វើអាំងតេក្រាលអង្គទាំងពីរដាច់ពីគ្នា ។

ចំណាំបច្ចេកទេស ក្នុងការអនុវត្ត យើងមិនសរសេរ $c$ ពីរដងទេ ៖ អាំងតេក្រាលម្ខាងផ្តល់ $y$ ហើយអាំងតេក្រាលម្ខាងទៀតផ្តល់ព្រីមីទីវ បូកនឹងចំនួនថេរតែមួយ ។ បើសរសេរ $c_{1}$ និង $c_{2}$ នោះគេបញ្ចូលគ្នាជា $c = c_{2} - c_{1}$ ។

FORMULA $\frac{d y}{d x} = f (x) ⟹ d y = f (x) d x$ $\int d y = \int f (x) d x or y = \int f (x) d x + c$ $y = \int f (x) d x + c is the general solution of \frac{d y}{d x} = f (x)$ $y (x_{0}) = y_{0} ⟹ c = y_{0} - F (x_{0}); y = \int f (x) d x + y_{0} - F (x_{0})$

ផ្នែក 05

4.4 របៀបដោះស្រាយសមីការបំបែកអថេរ $g (y) \frac{d y}{d x} = f (x)$

សមីការមានទម្រង់ $g (y) \frac{d y}{d x} = f (x)$ ត្រូវបានហៅថា សមីការដែលបំបែកអថេរបាន ព្រោះអថេរ $x$ និង $y$ អាចញែកដាក់ម្ខាងមួយ ។ ដើម្បីដោះស្រាយ គេអនុវត្ត៖

➢ សរសេរសមីការឱ្យទៅជារាង $g (y) d y = f (x) d x$ ។ ➢ ធ្វើអាំងតេក្រាលលើអង្គទាំងពីរធៀបនឹងអថេរ $x$ ៖ $\int g (y) d y = \int f (x) d x$ គេទទួលបាន $G (y) = F (x) + c, c \in R$ ។

នៅទីនេះ $G (y)$ ជាព្រីមីទីវ នៃ $g (y)$ និង $F (x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f (x)$ ។ ចម្លើយដែលបានជាទម្រង់ច្បាស់លាស់ (implicit) ជាញឹកញាប់ ពោលគឺ $y$ មិនទាន់ដាច់ចេញពី $x$ ទេ ។ បើអាចទាញ $y$ បាន គេត្រូវទាញឱ្យអស់ ។

ចំណាំបច្ចេកទេស ពេលចែកនឹង $g (y)$ ឬនឹង $y$ យើងត្រូវពិនិត្យដោយឡែកនូវតម្លៃដែលធ្វើឱ្យភាគបែងស្មើ $0$ ។ តម្លៃទាំងនោះអាចជាចម្លើយថេរ (ដេរីវេស្មើ $0$ ) ដែលបាត់ពីចម្លើយទូទៅ ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុង $\frac{d y}{d x} = \frac{2 x ( y + 1 )}{y}$ តម្លៃ $y = - 1$ ជាចម្លើយថេរមួយ ។

FORMULA $g (y) \frac{d y}{d x} = f (x) (separable variables)$ g(y)\,dy=f(x)\,dx $\int g (y) d y = \int f (x) d x ⟹ G (y) = F (x) + c, c \in R$

ផ្នែក 06

4.5 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + a y = 0$ តាមពីរវិធី

សមីការមានទម្រង់ $y^{'} + a y = 0$ ដែល $a$ ជាចំនួនថេរ ។ មានវិធីពីរ ។

❖ របៀបទី១ (សមីការសម្គាល់) ➢ សរសេរសមីការសម្គាល់ $r + a = 0$ ។ ➢ សមីការសម្គាល់មានឫស $r = - a = r_{0}$ ។ ➢ ដូច្នេះចម្លើយទូទៅនៃសមីការគឺ $y = A e^{r_{0} x} (A \in R)$ ។

❖ របៀបទី២ (បំបែកអថេរ) ➢ សរសេរជារាង $\frac{d y}{d x} = - a y$ ឬ $\frac{d y}{y} = - a d x$ ។ ➢ ធ្វើអាំងតេក្រាលលើអង្គទាំងពីរ ៖

$\int \frac{d y}{y} = \int - a d x$

$ln ∣ y ∣ = - a x + c$

$y = \pm e^{- a x + c} = \pm e^{c} \cdot e^{- a x} = A e^{- a x}, (A = \pm e^{c})$

➢ ដូចនេះ $y = A e^{- a x}$ ជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $y^{'} + a y = 0$ ។

ហេតុអ្វីបានជាវិធីទី១ត្រឹមត្រូវ? ព្រោះបើយើងសាកល្បង $y = e^{r x}$ នោះ $y^{'} = r e^{r x}$ ហើយ $y^{'} + a y = (r + a) e^{r x}$ ។ ដោយ $e^{r x} \neq = 0$ នោះ $y^{'} + a y = 0$ លុះត្រាតែ $r + a = 0$ ។

$\int \frac{d y}{y} = \int - a d x$

$ln ∣ y ∣ = - a x + c$

$y = \pm e^{- a x + c} = \pm e^{c} \cdot e^{- a x} = A e^{- a x}, (A = \pm e^{c})$

ចំណាំបច្ចេកទេស បើសមីការសរសេរជា $- y^{'} + 2 y = 0$ នោះយើងត្រូវគុណនឹង $- 1$ ជាមុន ដើម្បីបាន $y^{'} - 2 y = 0$ ពោលគឺ $a = - 2$ ហើយចម្លើយគឺ $y = A e^{2 x}$ ។ បើមិនគុណនឹង $- 1$ ទេ គេងាយសរសេរខុសសញ្ញានៅក្នុងនិទស្សន៍ ។

FORMULA $y^{'} + a y = 0; r + a = 0; r = - a = r_{0}$ $y = A e^{r_{0} x}, A \in R$ $\frac{d y}{d x} = - a y or \frac{d y}{y} = - a d x$ $\int \frac{d y}{y} = \int - a d x ⟹ ln ∣ y ∣ = - a x + c ⟹ y = \pm e^{c} e^{- a x} = A e^{- a x}, (A = \pm e^{c})$ $y = A e^{- a x} is the general solution of y^{'} + a y = 0$

ផ្នែក 07

4.6 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + p (x) y = 0$

សមីការមានទម្រង់ $y^{'} + p (x) y = 0$ ដែល $p$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។

➢ សរសេរជារាង $\frac{d y}{d x} = - p (x) y$ ឬ $\frac{d y}{y} = - p (x) d x$ ។ ➢ ធ្វើអាំងតេក្រាលលើអង្គទាំងពីរ ៖

$\int \frac{d y}{y} = \int - p (x) d x$

$ln ∣ y ∣ = - \int p (x) d x + c$

$y = \pm e^{- \int p (x) d x + c} = \pm e^{c} \cdot e^{- \int p (x) d x} = A e^{- \int p (x) d x}, (A = \pm e^{c} \in R)$

➢ ដូចនេះ $y = A e^{- \int p (x) d x}$ ជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $y^{'} + p (x) y = 0$ ។

ចំណុចសំខាន់៖ គេមិនត្រូវបន្ថែមចំនួនថេរនៅក្នុងនិទស្សន៍ទេ ។ ចំនួនថេរ $c$ កើតឡើងពីអាំងតេក្រាល ហើយបន្ទាប់មកក្លាយជាកត្តាគុណ $A = e^{c}$ នៅខាងមុខ ។

$\int \frac{d y}{y} = \int - p (x) d x$

$ln ∣ y ∣ = - \int p (x) d x + c$

$y = \pm e^{- \int p (x) d x + c} = \pm e^{c} \cdot e^{- \int p (x) d x} = A e^{- \int p (x) d x}, (A = \pm e^{c} \in R)$

ចំណាំបច្ចេកទេស ក្នុងការអនុវត្ត យើងគ្រាន់តែរកព្រីមីទីវ $P$ នៃ $p$ រួចសរសេរ $y = A e^{- P (x)}$ ។ ឧទាហរណ៍ $y^{'} + x y = 0$ មាន $p (x) = x$ ដូច្នេះ $P (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ ហើយ $y = A e^{- x^{2} /2}$ ។

FORMULA $y^{'} + p (x) y = 0; \frac{d y}{d x} = - p (x) y or \frac{d y}{y} = - p (x) d x$ $\int \frac{d y}{y} = \int - p (x) d x ⟹ ln ∣ y ∣ = - \int p (x) d x + c$ $y = \pm e^{- \int p (x) d x + c} = \pm e^{c} e^{- \int p (x) d x} = A e^{- \int p (x) d x}, (A = \pm e^{c} \in R)$ $y = A e^{- \int p (x) d x} is the general solution of y^{'} + p (x) y = 0$

ផ្នែក 08

4.7 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + a y = f (x)$ តាមពីរវិធី

សមីការមានទម្រង់ $y^{'} + a y = f (x)$ ដែល $f$ ជាអនុគមន៍ដែលឱ្យ ។ (សៀវភៅសរសេរលេខរៀងអនុវិភាគនេះជា «ឃ» ដូចអនុវិភាគមុននៅទំព័រ ១១១ នេះជាការសរសេរស្ទួនរបស់សៀវភៅ ។)

❖ របៀបទី១ (បូកចម្លើយពិសេស) ➢ រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $y^{'} + a y = 0$ តាងដោយ $y_{c}$ ។ ➢ រកអនុគមន៍ចម្លើយពិសេសនៃសមីការ $y^{'} + a y = f (x)$ តាងដោយ $y_{p}$ ដែលមានទម្រង់ដូច $f (x)$ ។ ➢ ចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $y^{'} + a y = f (x)$ គឺ $y = y_{c} + y_{p}$ ។

❖ របៀបទី២ (វិធីប្រែប្រួលចំនួនថេរ) ➢ ដំបូងដោះស្រាយ $y^{'} + a y = 0$ យើងបានចម្លើយទូទៅ $y = A e^{- a x}$ ។ ➢ ក្នុងចម្លើយទូទៅនេះ ប្តូរ $A$ ទៅជាអនុគមន៍ $A (x)$ ។ ➢ ពី $y = A (x) e^{- a x}$ ទាញយក $y$ និង $y^{'}$ ជំនួសក្នុងសមីការ $y^{'} + a y = f (x)$ ដើម្បីទាញរក $A (x)$ ។

យើងមាន $y = A (x) e^{- a x} \Rightarrow y^{'} = A^{'} (x) e^{- a x} - a A (x) e^{- a x}$ ។

នោះ $A^{'} (x) e^{- a x} - a A (x) e^{- a x} + a A (x) e^{- a x} = f (x)$ ។

$A^{'} (x) e^{- a x} = f (x)$

$A^{'} (x) = e^{a x} f (x)$

$A (x) = \int e^{a x} f (x) d x + c$

យើងបាន $y = e^{- a x} [\int e^{a x} f (x) d x + c] = e^{- a x} \int e^{a x} f (x) d x + c e^{- a x}$ ។

➢ ដូចនេះចម្លើយទូទៅនៃសមីការគឺ

$y = e^{- a x} \int e^{a x} f (x) d x + c e^{- a x}, (c \in R)$

ហេតុអ្វីបានជាតួ $- a A (x) e^{- a x}$ បាត់? ព្រោះវាកើតឡើងពីដេរីវេនៃ $e^{- a x}$ ហើយត្រូវបានកាត់ជាមួយ $+ a A (x) e^{- a x}$ ដែលមកពី $a y$ ។ នេះជាគន្លឹះនៃវិធីប្រែប្រួលចំនួនថេរ ៖ តួដែលនៅសល់គឺ $A^{'} (x) e^{- a x}$ តែមួយ ។

$A^{'} (x) e^{- a x} = f (x)$

$A^{'} (x) = e^{a x} f (x)$

$A (x) = \int e^{a x} f (x) d x + c$

$y = e^{- a x} \int e^{a x} f (x) d x + c e^{- a x}, (c \in R)$

ចំណាំបច្ចេកទេស ក្នុងការប្រឡង វិធីទី១លឿនជាង ព្រោះគ្រាន់តែត្រូវស្មានទម្រង់ $y_{p}$ ។ តែវិធីទី២ធានាថាបានចម្លើយពេញលេញ ហើយជួសជុលករណីដែលការស្មានទម្រង់មិនដំណើរការ ។

FORMULA $y^{'} + a y = f (x); y_{c} (solution of y^{'} + a y = 0); y_{p} (particular solution)$ y=y_{c}+y_{p} $y = A e^{- a x} ⟶ y = A (x) e^{- a x}$ $y^{'} = A^{'} (x) e^{- a x} - a A (x) e^{- a x} ⟹ A^{'} (x) e^{- a x} - a A (x) e^{- a x} + a A (x) e^{- a x} = f (x)$ $A^{'} (x) e^{- a x} = f (x) ⟹ A^{'} (x) = e^{a x} f (x) ⟹ A (x) = \int e^{a x} f (x) d x + c$ $y = e^{- a x} [\int e^{a x} f (x) d x + c] = e^{- a x} \int e^{a x} f (x) d x + c e^{- a x}$ $y = e^{- a x} \int e^{a x} f (x) d x + c e^{- a x}, (c \in R)$

ផ្នែក 09

4.8 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២ អូម៉ូស្សេន

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២ អូម៉ូស្សេន និងមានមេគុណថេរ ជាសមីការដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ទូទៅ

$a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$

ដែល $a, b, c \in R$ ហើយ $a \neq = 0$ ។ សមីការនេះមានសមីការសម្គាល់ $a r^{2} + b r + c = 0$ ដែលមានឫសអាស្រ័យលើតម្លៃ $Δ$ ។

ពាក្យ «អូម៉ូស្សេន» មានន័យថា អង្គខាងស្តាំស្មើ $0$ ។ ពាក្យ «លីនេអ៊ែរ» មានន័យថា $y$ , $y^{'}$ , $y^{''}$ មានកម្រិតថាមពល ១ ហើយមិនមានផលគុណដូចជា $y \cdot y^{'}$ ឬ $y^{2}$ ទេ ។ លក្ខខណ្ឌ $a \neq = 0$ ធានាថាសមីការពិតជាលំដាប់ទី២ ។

$a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$

ចំណាំបច្ចេកទេស សមីការសម្គាល់បានមកពីការជំនួស $y = e^{r x}$ ។ ដោយ $y^{'} = r e^{r x}$ និង $y^{''} = r^{2} e^{r x}$ នោះ $a y^{''} + b y^{'} + cy = (a r^{2} + b r + c) e^{r x}$ ។ ដោយ $e^{r x} > 0$ គេចែកវាចេញបាន ហើយនៅសល់តែសមីការដឺក្រេទី២ ។

FORMULA $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0, a, b, c \in R, a \neq = 0$ $a r^{2} + b r + c = 0, Δ = b^{2} - 4 a c$

ផ្នែក 10

4.9 ករណី $Δ > 0$ ៖ ឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអូម៉ូស្សេន និងមានមេគុណថេរ $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ $(E)$ មានសមីការសម្គាល់ $a r^{2} + b r + c = 0$ ដែលមានឫសអាស្រ័យលើករណី $Δ$ ។

➢ ករណី $Δ > 0$ ៖ សមីការសម្គាល់មានឫសពីរគឺ $r_{1} = α, r_{2} = β$ នាំឱ្យសមីការ $(E)$ មានចម្លើយទូទៅ

$y = A e^{αx} + B e^{β x}$

ដែល $A, B \in R$ ។

ហេតុអ្វីបានជាផលបូកនេះជាចម្លើយ? ព្រោះ $e^{αx}$ និង $e^{β x}$ ជាចម្លើយដាច់ដោយឡែក ហើយសមីការជាលីនេអ៊ែរ ៖ ផលបូកនៃចម្លើយពីរ ក៏ជាចម្លើយដែរ ។ ដោយមានចំនួនថេរពីរ $A$ និង $B$ នេះជាចម្លើយទូទៅពេញលេញ ។

$y = A e^{αx} + B e^{β x}$

ចំណាំបច្ចេកទេស នៅពេល $Δ > 0$ គេអាចសរសេរឫសជាទម្រង់ $α, β$ ឬជាទម្រង់ច្បាស់ $\frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ។ ទាំងពីរសមមូល ។ បើ $Δ$ ជាការេល្អ ឬសរសេរជាចំនួនសនិទាន ដូចជា $r = 3$ និង $r = \frac{1}{3}$ ។

FORMULA $(E) : a y^{''} + b y^{'} + cy = 0; a r^{2} + b r + c = 0$ $Δ > 0 : r_{1} = α, r_{2} = β ⟹ y = A e^{αx} + B e^{β x}, A, B \in R$

ផ្នែក 11

4.10 ករណី $Δ = 0$ ៖ ឫសឌុប

➢ ករណី $Δ = 0$ ៖ សមីការសម្គាល់មានឫសឌុបគឺ $r_{1} = r_{2} = α$ នាំឱ្យសមីការ $(E)$ មានចម្លើយទូទៅ

$y = (A x + B) e^{αx}$

ដែល $A, B \in R$ ។

តួ $A x + B$ មិនមែនជាការស្មានឥតមូលហេតុទេ ។ ពេលឫសឌុប ចម្លើយទី១ $e^{αx}$ មានរួចហើយ ។ ចម្លើយទី២គឺ $x e^{αx}$ ។ ដូច្នេះចម្លើយទូទៅជាផលបូក $A e^{αx} + B x e^{αx} = (A x + B) e^{αx}$ ។ ចំនួនថេរពីរនៅមានដដែល ដូច្នេះវានៅតែជាចម្លើយទូទៅពេញលេញ ។

$y = (A x + B) e^{αx}$

ចំណាំបច្ចេកទេស កំហុសញឹកញាប់គឺសរសេរ $y = A e^{αx} + B e^{αx}$ ពេល $Δ = 0$ ។ ការសរសេរនោះសមមូលនឹង $(A + B) e^{αx}$ ពោលគឺមានចំនួនថេរតែមួយ ដូច្នេះមិនអាចឆ្លើយតបលក្ខខណ្ឌដើមពីរបានទេ ។

FORMULA $Δ = 0 : r_{1} = r_{2} = α ⟹ y = (A x + B) e^{αx}, A, B \in R$

ផ្នែក 12

4.11 ករណី $Δ < 0$ ៖ ឫសកុំផ្លិចភ្ជាប់

➢ ករណី $Δ < 0$ ៖ សមីការសម្គាល់មានឫសពីរជាចំនួនកុំផ្លិច $r = α \pm ib$ នាំឱ្យសមីការ $(E)$ មានចម្លើយទូទៅ

$y = (A cos b x + B sin b x) e^{αx}$

ដែល $A, B \in R$ ។

នៅទីនេះ $α = - \frac{b}{2 a}$ និង $b = \frac{- Δ}{2 a}$ ។ (យើងប្រើអក្សរ $b$ ទាំងជាមេគុណក្នុងសមីការ ទាំងជាផ្នែកនិម្មិតនៃឫស ដូចសៀវភៅ ។ ត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នក្នុងការអាន ។) ហេតុអ្វីបានជាចម្លើយជាកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស? ព្រោះតួ $e^{(α \pm ib) x} = e^{αx} e^{\pm ib x}$ ហើយតាមរូបមន្តអយល័រ $e^{\pm ib x} = cos b x \pm i sin b x$ ។ ការបូក និងដកតួកុំផ្លិចភ្ជាប់ ផ្តល់អនុគមន៍ពិត $e^{αx} cos b x$ និង $e^{αx} sin b x$ ។

$y = (A cos b x + B sin b x) e^{αx}$

ចំណាំបច្ចេកទេស បើ $Δ = - 3$ នោះ $- Δ = 3$ ហើយបើ $a = 1$ នោះ $b = \frac{3}{2}$ ។ ដូច្នេះចម្លើយប្រើ $cos \frac{3}{2} x$ និង $sin \frac{3}{2} x$ មិនមែន $cos 3 x$ ទេ ។ ការចែកនឹង $2 a$ ត្រូវធ្វើជានិច្ច ។

FORMULA $Δ < 0 : r = α \pm ib ⟹ y = (A cos b x + B sin b x) e^{αx}, A, B \in R$ $α = - \frac{b}{2 a}, b = \frac{- Δ}{2 a}, Δ = b^{2} - 4 a c < 0$

ផ្នែក 13

4.12 សមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២ មិនអូម៉ូស្សេន

និយមន័យ ៖ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរមិនអូម៉ូស្សេនលំដាប់ទី២ ដែលមានមេគុណថេរ គឺជាសមីការដែលមានរាង

$a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x), p (x) \neq = 0$

នៅទីនេះ $p (x)$ ជាអនុគមន៍ដែលឱ្យ (ហៅថាអង្គសេរី ឬ second member) ។ លក្ខខណ្ឌ $p (x) \neq = 0$ គឺជាអ្វីដែលធ្វើឱ្យសមីការនេះខុសពីសមីការអូម៉ូស្សេន ។ បើ $p (x) = 0$ នោះយើងត្រលប់ទៅសមីការអូម៉ូស្សេនវិញ ។

$a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x), p (x) \neq = 0$

ចំណាំបច្ចេកទេស សមីការ $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ ដែលទទួលបានដោយដាក់ $p (x) = 0$ ត្រូវបានហៅថា សមីការអូម៉ូស្សេនដែលភ្ជាប់ (associated homogeneous equation) ។ វាជាគន្លឹះសម្រាប់ការដោះស្រាយ ព្រោះចម្លើយទូទៅរបស់វាត្រូវបូកបញ្ចូល ។

FORMULA $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x), p (x) \neq = 0$

ផ្នែក 14

4.13 របៀបដោះស្រាយ $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x)$

❖ របៀបដោះស្រាយសមីការ $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x), p (x) \neq = 0$ ៖

➢ រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ តាងដោយ $y_{c}$ ។ ➢ រកអនុគមន៍ចម្លើយពិសេសនៃ $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x)$ តាងដោយ $y_{p}$ ។ ➢ ចម្លើយទូទៅនៃ $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x)$ គឺអនុគមន៍ $y = y_{c} + y_{p}$ ។

ហេតុអ្វីបានជាផលបូក? តាង $L (y) = a y^{''} + b y^{'} + cy$ ។ ដោយ $L$ ជាលីនេអ៊ែរ គេបាន $L (y_{c} + y_{p}) = L (y_{c}) + L (y_{p}) = 0 + p (x) = p (x)$ ។ ដូច្នេះ $y_{c} + y_{p}$ ពិតជាចម្លើយ ។ ម្យ៉ាងទៀត បើ $y$ ជាចម្លើយណាមួយ នោះ $y - y_{p}$ ជាចម្លើយនៃសមីការអូមូស្សេន ដូច្នេះ $y = y_{c} + y_{p}$ គ្របដណ្តប់ចម្លើយទាំងអស់ ។

ចំណាំបច្ចេកទេស នៅក្នុងការអនុវត្ត លំដាប់ការងារគឺ៖ (១) សរសេរសមីការសម្គាល់ និងឫស, (២) សរសេរ $y_{c}$ , (៣) ជ្រើសទម្រង់ $y_{p}$ តាមតារាង ៤.១៤, (៤) ជំនួស $y_{p}$ ចូលសមីការ ដើម្បីរកមេគុណ, (៥) បូក $y = y_{c} + y_{p}$ ។

FORMULA $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x), p (x) \neq = 0; y = y_{c} + y_{p}$

ផ្នែក 15

4.14 តារាងទម្រង់ចម្លើយពិសេស $y_{p}$

❖ របៀបរកចម្លើយពិសេស $y_{p}$ ។ យើងពិចារណា៖

សមីការ $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x)$ ។
សមីការអូម៉ូស្សេន $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ ។
សមីការសម្គាល់ $a r^{2} + b r + c = 0$ ដែលមានឫស $r_{1}$ និង $r_{2}$ ។

គោលការណ៍គឺ៖ យកទម្រង់ដូច $p (x)$ រួចគុណនឹង $x$ (ឬ $x^{2}$ ) បើឫសនៃសមីការសម្គាល់ «ប៉ះ» នឹងនិទស្សន៍ ឬប្រេកង់ដែលលេចក្នុង $p (x)$ ។ ចំនួនដងនៃការគុណនឹង $x$ ស្មើនឹងចំនួនដងដែលតម្លៃនោះជាឫស ។

១) $p (x) = P_{m} (x)$ ជាពហុធាអថេរ $x$ មានដឺក្រេ $m$

$r_{1} \neq = 0$ និង $r_{2} \neq = 0$ ៖

$y_{p} = c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0}$

$r_{1} = 0$ និង $r_{2} \neq = 0$ ៖

$y_{p} = x (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$r_{1} = r_{2} = 0$ $(Δ = 0)$ ៖

$y_{p} = x^{2} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

២) $p (x) = k e^{αx}$

$r_{1} \neq = α$ និង $r_{2} \neq = α$ ៖

$y_{p} = c_{1} e^{αx}$

$r_{1} = α$ និង $r_{2} \neq = α$ ៖

$y_{p} = c_{1} x e^{αx}$

$r_{1} = r_{2} = α$ $(Δ = 0)$ ៖

$y_{p} = c_{1} x^{2} e^{αx}$

៣) $p (x) = k cos β x$ ឬ $k sin β x$ ឬ $k cos β x + p sin β x$

$r_{1} \neq = i β$ និង $r_{2} \neq = - i β$ ៖

$y_{p} = c_{1} cos β x + c_{2} sin β x$

$r_{1} = i β$ និង $r_{2} = - i β$ ៖

$y_{p} = x (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

៤) $p (x) = P_{m} (x) e^{αx}$

$r_{1} \neq = α$ និង $r_{2} \neq = α$ ៖

$y_{p} = e^{αx} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$r_{1} = α$ និង $r_{2} \neq = α$ ៖

$y_{p} = x e^{αx} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$r_{1} = r_{2} = α$ $(Δ = 0)$ ៖

$y_{p} = x^{2} e^{αx} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

៥) $p (x) = P_{m} (x) cos β x$ ឬ $P_{m} (x) sin β x$ ឬ $P_{m} (x) cos β x + Q_{m} (x) sin β x$

$r_{1} \neq = i β$ និង $r_{2} \neq = - i β$ ៖

$y_{p} = (c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x$

$r_{1} = i β$ និង $r_{2} = - i β$ ៖

$y_{p} = x [(c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x]$

៦) $p (x) = k e^{αx} cos β x$ ឬ $k e^{αx} sin β x$ ឬ $e^{αx} (k cos β x + p sin β x)$

$r_{1} \neq = α + i β$ និង $r_{2} \neq = α - i β$ ៖

$y_{p} = e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

$r_{1} = α + i β$ និង $r_{2} = α - i β$ ៖

$y_{p} = x e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

៧) $p (x) = e^{αx} P_{m} (x) cos β x$ ឬ $e^{αx} P_{m} (x) sin β x$ ឬ $e^{αx} [P_{m} (x) cos β x + Q_{m} (x) sin β x]$

$r_{1} \neq = α + i β$ និង $r_{2} \neq = α - i β$ ៖

$y_{p} = e^{αx} [(c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x]$

$r_{1} = α + i β$ និង $r_{2} = α - i β$ ៖

$y_{p} = x e^{αx} [(c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x]$

$y_{p} = c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0}$

$y_{p} = x (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$y_{p} = x^{2} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$y_{p} = c_{1} e^{αx}$

$y_{p} = c_{1} x e^{αx}$

$y_{p} = c_{1} x^{2} e^{αx}$

$y_{p} = c_{1} cos β x + c_{2} sin β x$

$y_{p} = x (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

$y_{p} = e^{αx} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + c_{m - 2} x^{m - 2} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$y_{p} = x e^{αx} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$y_{p} = x^{2} e^{αx} (c_{m} x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0})$

$y_{p} = (c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x$

$y_{p} = x [(c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x]$

$y_{p} = e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

$y_{p} = x e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

$y_{p} = e^{αx} [(c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x]$

$y_{p} = x e^{αx} [(c_{m} x^{m} + \dots + c_{1} x + c_{0}) cos β x + (d_{m} x^{m} + \dots + d_{1} x + d_{0}) sin β x]$

រូបមន្ត តារាងខាងលើអាចសង្ខេបជាទម្រង់ករណី ៖

$for P_{m} (x) : ⎩ ⎨ ⎧ r_{1} \neq = 0, r_{2} \neq = 0 r_{1} = 0, r_{2} \neq = 0 r_{1} = r_{2} = 0 (Δ = 0) \Rightarrow y_{p} = \sum_{k = 0}^{m} c_{k} x^{k} \Rightarrow y_{p} = x \sum_{k = 0}^{m} c_{k} x^{k} \Rightarrow y_{p} = x^{2} \sum_{k = 0}^{m} c_{k} x^{k}$

$for k e^{αx} : ⎩ ⎨ ⎧ r_{1} \neq = α, r_{2} \neq = α r_{1} = α, r_{2} \neq = α r_{1} = r_{2} = α (Δ = 0) \Rightarrow y_{p} = c_{1} e^{αx} \Rightarrow y_{p} = c_{1} x e^{αx} \Rightarrow y_{p} = c_{1} x^{2} e^{αx}$

$for k cos β x or k sin β x : {r_{1} \neq = i β, r_{2} \neq = - i β r_{1} = i β, r_{2} = - i β \Rightarrow y_{p} = c_{1} cos β x + c_{2} sin β x \Rightarrow y_{p} = x (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

$for P_{m} (x) e^{αx} : ⎩ ⎨ ⎧ r_{1} \neq = α, r_{2} \neq = α r_{1} = α, r_{2} \neq = α r_{1} = r_{2} = α (Δ = 0) \Rightarrow y_{p} = e^{αx} \sum_{k = 0}^{m} c_{k} x^{k} \Rightarrow y_{p} = x e^{αx} \sum_{k = 0}^{m} c_{k} x^{k} \Rightarrow y_{p} = x^{2} e^{αx} \sum_{k = 0}^{m} c_{k} x^{k}$

$for P_{m} (x) cos β x or P_{m} (x) sin β x : {r_{1} \neq = i β, r_{2} \neq = - i β r_{1} = i β, r_{2} = - i β \Rightarrow y_{p} = \sum c_{k} x^{k} cos β x + \sum d_{k} x^{k} sin β x \Rightarrow y_{p} = x [\sum c_{k} x^{k} cos β x + \sum d_{k} x^{k} sin β x]$

$for k e^{αx} cos β x or k e^{αx} sin β x : {r_{1} \neq = α + i β, r_{2} \neq = α - i β r_{1} = α + i β, r_{2} = α - i β \Rightarrow y_{p} = e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x) \Rightarrow y_{p} = x e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

$for e^{αx} P_{m} (x) cos β x or e^{αx} P_{m} (x) sin β x : {r_{1} \neq = α + i β, r_{2} \neq = α - i β r_{1} = α + i β, r_{2} = α - i β \Rightarrow y_{p} = e^{αx} [\sum c_{k} x^{k} cos β x + \sum d_{k} x^{k} sin β x] \Rightarrow y_{p} = x e^{αx} [\sum c_{k} x^{k} cos β x + \sum d_{k} x^{k} sin β x]$

ចំណាំបច្ចេកទេស ក្នុងតារាងនេះ « $r_{1} \neq = 0$ និង $r_{2} \neq = 0$ » មានន័យថា $0$ មិនជាឫស ។ បើ $0$ ជាឫស (ពោលគឺ $c = 0$ ) នោះពហុធា $y_{p}$ ត្រូវគុណនឹង $x$ ដើម្បីឱ្យដេរីវេខ្ពស់ជាងគេរបស់ $y_{p}$ មិនបាត់ ។ ដូចគ្នា « $r_{1} \neq = α$ » មានន័យថា $α$ មិនជាឫស ។

ផ្នែក 16

ឧទាហរណ៍ទី ១

ចំណោទ បង្ហាញថាអនុគមន៍ខាងក្រោម ជាចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគូនរបស់វា ៖

ក. អនុគមន៍ $y = K e^{- 3 x}$ សមីការ $2 y^{'} + y = 0$ ។

ខ. អនុគមន៍ $y = 5 tan 5 x$ សមីការ $y^{'} + y^{2} = 25$ ។

$y = K e^{- 3 x}; 2 y^{'} + y = 0 y = 5 tan 5 x; y^{'} + y^{2} = 25$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក.

ជំហានទី១ — គណនាដេរីវេ
ដោយ $y = K e^{- 3 x}$ និងដោយ $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ ជាមួយ $u = - 3 x$ ៖

$y^{'} = - 3 K e^{- 3 x} .$

ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $e^{- 3 x}$ គឺ $- 3 e^{- 3 x}$ ព្រោះដេរីវេនៃ $- 3 x$ គឺ $- 3$ ។ ការភ្លេចតួ $- 3$ ជាកំហុសញឹកញាប់បំផុត ។

ជំហានទី២ — ជំនួសចូលអង្គខាងឆ្វេង
យើងគណនា

$2 y^{'} + y = 2 (- 3 K e^{- 3 x}) + K e^{- 3 x} = - 6 K e^{- 3 x} + K e^{- 3 x} = - 5 K e^{- 3 x} .$

ហេតុអ្វី នេះជានិយមន័យនៃចម្លើយ ៖ យើងត្រូវជំនួសអនុគមន៍ និងដេរីវេរបស់វា រួចពិនិត្យថាតើលទ្ធផលស្មើអង្គខាងស្តាំឬអត់ ។

ជំហានទី៣ — សេចក្តីសន្និដ្ឋានដោយស្មោះត្រង់
លទ្ធផល $- 5 K e^{- 3 x}$ ស្មើ $0$ លុះត្រាតែ $K = 0$ ។ ដូច្នេះ តាមដែលបានបោះពុម្ព គូនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ទេ លើកលែងអនុគមន៍សូន្យ $y = 0$ ។ ការគណនាបង្ហាញថា អនុគមន៍ $y = K e^{- 3 x}$ ពិតជាផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ $y^{'} + 3 y = 0$ ព្រោះ $y^{'} + 3 y = - 3 K e^{- 3 x} + 3 K e^{- 3 x} = 0$ ។ ចំណែកសមីការ $2 y^{'} + y = 0$ ត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយអនុគមន៍ $y = K e^{- x /2}$ ព្រោះ $2 (- \frac{1}{2} K e^{- x /2}) + K e^{- x /2} = 0$ ។
ហេតុអ្វី យើងមិនកែចំណោទទេ ។ យើងគណនាឱ្យអស់ រួចរាយការពិត ។ នេះជារបៀបត្រឹមត្រូវក្នុងការឆ្លើយសំណួរប្រឡងដែលមានកំហុសបោះពុម្ព ។

ខ.

ជំហានទី១ — ដេរីវេនៃតង់សង់
ដោយ $(tan u)^{'} = (1 + tan^{2} u) u^{'}$ និង $u = 5 x$ ៖

$y^{'} = 5 \cdot 5 (1 + tan^{2} 5 x) = 25 (1 + tan^{2} 5 x) .$

ហេតុអ្វី មេគុណ $5$ ខាងមុខមកពី $y = 5 tan 5 x$ ហើយ $5$ ក្នុងវង់ក្រចកមកពីដេរីវេនៃ $5 x$ ។ ដូច្នេះមាន $5 \times 5 = 25$ ។

ជំហានទី២ — បង្ហាញថា $y^{'} = 25 + y^{2}$
ដោយ $y = 5 tan 5 x$ នោះ $y^{2} = 25 tan^{2} 5 x$ ។ ដូច្នេះ

$y^{'} = 25 + 25 tan^{2} 5 x = 25 + y^{2} .$

ហេតុអ្វី នេះជាការជំនួសត្រង់ ៖ $25 tan^{2} 5 x$ គឺ $y^{2}$ ដោយខ្លួនវា ។

ជំហានទី៣ — ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការដែលបានបោះពុម្ព
ពីជំហានទី២ គេឃើញថា

$y^{'} - y^{2} = 25 និង y^{'} + y^{2} = 25 + 50 tan^{2} 5 x .$

ដូច្នេះសមីការ $y^{'} + y^{2} = 25$ ដែលបានបោះពុម្ព ផ្ទៀងផ្ទាត់តែនៅតម្លៃ $tan 5 x = 0$ ប៉ុណ្ណោះ ពោលគឺ $x = \frac{kπ}{5}$ ។ ចំណែកសមីការដែលអនុគមន៍នេះផ្ទៀងផ្ទាត់ពិតប្រាកដគឺ $y^{'} - y^{2} = 25$ ។
ហេតុអ្វី តួ $50 tan^{2} 5 x$ មិនអាចបាត់បានទេ ។ ដូច្នេះយើងរាយទាំងអត្តសញ្ញាណត្រឹមត្រូវ ទាំងកន្លែងដែលសមីការបោះពុម្ពផ្ទៀងផ្ទាត់ ។

ផ្នែក 17

ឧទាហរណ៍ទី ២

ចំណោទ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម ៖

ក. $y^{'} = 6 x^{2} + 4 x + 5$ ។

ខ. $y^{'} = x e^{x^{2}}$ ។

គ. $y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ ។

ក. $y^{'} = 6 x^{2} + 4 x + 5$ ;

ខ. $y^{'} = x e^{x^{2}}$ ;

គ. $y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

$y^{'} = 6 x^{2} + 4 x + 5 y^{'} = x e^{x^{2}} y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. $y^{'} = 6 x^{2} + 4 x + 5$

ជំហានទី១ — ទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល
សរសេរ $d y = (6 x^{2} + 4 x + 5) d x$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាជំហានដំបូងនៃវិធីអាំងតេក្រាលត្រង់ ៖ ញែក $d y$ និង $d x$ ។

ជំហានទី២ — អាំងតេក្រាល
ដោយ $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + c$ ៖

$y = \int (6 x^{2} + 4 x + 5) d x = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + c .$

ហេតុអ្វី $\frac{6 x ^{3}}{3} = 2 x^{3}$ , $\frac{4 x ^{2}}{2} = 2 x^{2}$ និង $\int 5 d x = 5 x$ ។ ចំនួនថេរ $c$ ត្រូវសរសេរម្តងតែមួយ ។

ជំហានទី៣ — ផ្ទៀងផ្ទាត់
$y^{'} = 6 x^{2} + 4 x + 5$ ។
ហេតុអ្វី ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយដេរីវេ ធានាថាគ្មានកំហុសមេគុណ ។

ខ. $y^{'} = x e^{x^{2}}$

ជំហានទី១ — សង្កេតរចនាសម្ព័ន្ធ
យើងកត់សម្គាល់ថា ដេរីវេនៃ $x^{2}$ គឺ $2 x$ ដែលលេចឡើងជាកត្តាខាងមុខ ។
ហេតុអ្វី នេះជាទម្រង់ $\int u^{'} e^{u} d x$ ដែលមានព្រីមីទីវ $e^{u}$ ។

ជំហានទី២ — តម្រូវមេគុណ
សរសេរ $x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$ ដូច្នេះ

$y = \frac{1}{2} \int 2 x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + c .$

ហេតុអ្វី យើងត្រូវការកត្តា $2 x$ ពិតប្រាកដ ។ ការគុណនិងចែកនឹង $2$ មិនផ្លាស់តម្លៃទេ ។

ជំហានទី៣ — ផ្ទៀងផ្ទាត់
$(\frac{1}{2} e^{x^{2}})^{'} = \frac{1}{2} \cdot 2 x e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$ ។
ហេតុអ្វី ដេរីវេនៃ $e^{x^{2}}$ គឺ $2 x e^{x^{2}}$ តាមច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ ។

គ. $y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

ជំហានទី១ — សង្កេតភាគបែង
ដេរីវេនៃ $x^{2} + 1$ គឺ $2 x$ ដែលជាភាគយកពិតប្រាកដ ។
ហេតុអ្វី នេះជាទម្រង់ $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + c$ ។

ជំហានទី២ — អាំងតេក្រាល

$y = ln (x^{2} + 1) + c .$

ហេតុអ្វី ដោយ $x^{2} + 1 > 0$ ចំពោះគ្រប់ $x$ នោះគេមិនត្រូវការតម្លៃដាច់ខាតទេ ។ តែបើភាគបែងអាចអវិជ្ជមាន គេត្រូវសរសេរ $ln ∣ x^{2} + 1∣$ ។

ជំហានទី៣ — ដែនកំណត់
ចម្លើយកំណត់លើ $R$ ទាំងមូល ព្រោះ $x^{2} + 1$ មិនដែលស្មើ $0$ ។
ហេតុអ្វី ដែនកំណត់នៃចម្លើយគឺជាផ្នែកនៃចម្លើយ ។ បើភាគបែងអាចស្មើ $0$ ចម្លើយត្រូវបែងចែកជាចន្លោះ ។

ផ្នែក 18

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ចំណោទ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម ៖

ក. $y^{'} = 3 + y$ ។

ខ. $\frac{d y}{d x} = \frac{2 x ( y + 1 )}{y}$ ។

គ. $x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ ។

ឃ. $\frac{d y}{d x} = e^{x + y}$ ។

ក. $y^{'} = 3 + y$ ;

ខ. $\frac{d y}{d x} = \frac{2 x ( y + 1 )}{y}$ ;

គ. $x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ ;

ឃ. $\frac{d y}{d x} = e^{x + y}$ .

$y^{'} = 3 + y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x ( y + 1 )}{y} x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{x + y}$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. $y^{'} = 3 + y$

ជំហានទី១ — បំបែកអថេរ
ចែកនឹង $3 + y$ និងគុណនឹង $d x$ ៖

$\frac{d y}{y + 3} = d x .$

ហេតុអ្វី អង្គម្ខាងមានតែ $y$ អង្គម្ខាងទៀតមានតែ $x$ ដូច្នេះសមីការបំបែកអថេរបាន ។

ជំហានទី២ — អាំងតេក្រាល
ដោយ $\int \frac{d u}{u} = ln ∣ u ∣ + c$ ៖

$ln ∣ y + 3∣ = x + c .$

ហេតុអ្វី ភាគយកគឺដេរីវេនៃភាគបែងដោយខ្លួនវា ( $(y + 3)^{'} = 1$ ) ដូច្នេះវាជាទម្រង់ $ln ∣ u ∣$ ដោយផ្ទាល់ ។

ជំហានទី៣ — ដោះ $y$

$∣ y + 3∣ = e^{x + c} = e^{c} e^{x} ⟹ y + 3 = \pm e^{c} e^{x} ⟹ y = - 3 + K e^{x}, K \in R .$

ហេតុអ្វី សញ្ញា $\pm$ ត្រូវលេបចូលក្នុងចំនួនថេរ $K = \pm e^{c}$ ។ នេះជាលំនាំដូចក្នុង ។

ជំហានទី៤ — ផ្ទៀងផ្ទាត់
$y^{'} = K e^{x} = y + 3$ ។
ហេតុអ្វី ការផ្ទៀងផ្ទាត់ចុងក្រោយរហ័ស បញ្ជាក់ថាតួថេរ $- 3$ ត្រូវទីតាំង ។

ខ. $\frac{d y}{d x} = \frac{2 x ( y + 1 )}{y}$

ជំហានទី១ — បំបែកអថេរ
គុណនឹង $y$ និងចែកនឹង $y + 1$ ៖

$\frac{y}{y + 1} d y = 2 x d x .$

ហេតុអ្វី កត្តា $y + 1$ និង $2 x$ អាចញែកបានស្អាត ។ តែយើងត្រូវកត់ត្រាថា $y \neq = 0$ និង $y \neq = - 1$ ពេលចែក ។

ជំហានទី២ — បំប្លែងភាគបែង
ដោយ $\frac{y}{y + 1} = \frac{( y + 1 ) - 1}{y + 1} = 1 - \frac{1}{y + 1}$ ៖

$\int (1 - \frac{1}{y + 1}) d y = \int 2 x d x .$

ហេតុអ្វី ការបែងចែកពហុធានេះធ្វើឱ្យអាំងតេក្រាលក្លាយជាលោការីតធម្មតា ។

ជំហានទី៣ — អាំងតេក្រាល

$y - ln ∣ y + 1∣ = x^{2} + c .$

ហេតុអ្វី $\int d y = y$ និង $\int \frac{d y}{y + 1} = ln ∣ y + 1∣$ ។ ចម្លើយនៅជាទម្រង់ច្បាស់លាស់ ព្រោះមិនអាចទាញ $y$ ដាច់ចេញបានដោយអនុគមន៍មូលដ្ឋាន ។

ជំហានទី៤ — ចម្លើយថេរដែលបាត់
តម្លៃ $y = - 1$ ធ្វើឱ្យអង្គខាងស្តាំស្មើ $0$ ហើយ $y^{'} = 0$ ដែរ ដូច្នេះ $y = - 1$ ជាចម្លើយថេរមួយ ។ តម្លៃ $y = 0$ មិនអាចទេ ព្រោះវាធ្វើឱ្យភាគបែង $y$ ស្មើ $0$ ។
ហេតុអ្វី ពេលចែកនឹង $y + 1$ យើងបានសន្មតថា $y \neq = - 1$ ។ ការត្រួតពិនិត្យករណីនេះដោយឡែក ជាកាតព្វកិច្ច ។

គ. $x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$

ជំហានទី១ — ដាក់ $y^{'}$ ម្ខាង
ពី $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x^{2} y = y (1 + 2 x^{2})$ គេបាន

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ( 1 + 2 x ^{2} )}{x} .$

ហេតុអ្វី ការដាក់ $y$ ជាកត្តារួមបង្ហាញថាសមីការជាលីនេអ៊ែរក្នុង $y$ ហើយអាចបំបែកបាន ។

ជំហានទី២ — បំបែក និងអាំងតេក្រាល

$\frac{d y}{y} = (\frac{1}{x} + 2 x) d x ⟹ ln ∣ y ∣ = ln ∣ x ∣ + x^{2} + c .$

ហេតុអ្វី $\frac{1 + 2 x ^{2}}{x} = \frac{1}{x} + 2 x$ ដែលជាផលបូកនៃព្រីមីទីវសាមញ្ញពីរ ។

ជំហានទី៣ — ដោះ $y$

$y = K e^{x^{2}} \cdot x = K x e^{x^{2}}, K \in R .$

ហេតុអ្វី $e^{l n ∣ x ∣} = ∣ x ∣$ ហើយសញ្ញាដាច់ខាតលេបចូលក្នុង $K$ ។ ដែនកំណត់គឺ $x \neq = 0$ ។

ជំហានទី៤ — ផ្ទៀងផ្ទាត់
$y^{'} = K e^{x^{2}} + 2 K x^{2} e^{x^{2}} = K e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2})$ ដូច្នេះ $x y^{'} - y = K x e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2}) - K x e^{x^{2}} = 2 K x^{3} e^{x^{2}} = 2 x^{2} y$ ។
ហេតុអ្វី ផលគុណ $2 x^{2} y = 2 x^{2} \cdot K x e^{x^{2}} = 2 K x^{3} e^{x^{2}}$ ត្រូវនឹងលទ្ធផល ។

ឃ. $\frac{d y}{d x} = e^{x + y}$

ជំហានទី១ — ប្រើលក្ខណៈនិទស្សន៍
ដោយ $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ ៖

$\frac{d y}{d x} = e^{x} e^{y} .$

ហេតុអ្វី បើមិនញែក $e^{x + y}$ ទេ យើងមិនអាចបំបែកអថេរបានឡើយ ។

ជំហានទី២ — បំបែកអថេរ

$e^{- y} d y = e^{x} d x .$

ហេតុអ្វី $\frac{1}{e ^{y}} = e^{- y}$ ។ ឥឡូវអង្គម្ខាងមានតែ $y$ ។

ជំហានទី៣ — អាំងតេក្រាល

$- e^{- y} = e^{x} + c .$

ហេតុអ្វី $\int e^{- y} d y = - e^{- y}$ ដោយសញ្ញាដកមកពីមេគុណ $- 1$ ។

ជំហានទី៤ — ដោះ $y$

$e^{- y} = C - e^{x} ⟹ y = - ln (C - e^{x}), C \in R .$

ហេតុអ្វី ដាក់ $C = - c$ ដើម្បីសរសេរក្នុងទម្រង់ស្អាត ។ ចម្លើយមានន័យតែពេល $C - e^{x} > 0$ ពោលគឺ $x < ln C$ ជាមួយ $C > 0$ ។

ជំហានទី៥ — សេចក្តីសង្ខេប
ចម្លើយទូទៅគឺ $y = - ln (C - e^{x})$ កំណត់លើចន្លោះ $(- \infty; ln C)$ ។
ហេតុអ្វី លោការីតត្រូវការអាគុយម៉ង់វិជ្ជមាន ។ ការបញ្ជាក់ចន្លោះជាផ្នែកនៃចម្លើយ ។

ផ្នែក 19

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ចំណោទ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម ៖

ក. $y^{'} + y = 0$ ។

ខ. $- y^{'} + 2 y = 0$ ។

គ. $3 y^{'} + 6 y = 0$ ។

ឃ. $- y^{'} + 2 y = 0$ ។

ង. $\frac{d y}{d x} + 3 y = 0$ ។

ច. $3 \frac{d y}{d x} + y = 0$ ។

ក. $y^{'} + y = 0$ ;

ខ. $- y^{'} + 2 y = 0$ ;

គ. $3 y^{'} + 6 y = 0$ ;

ឃ. $- y^{'} + 2 y = 0$ ;

ង. $\frac{d y}{d x} + 3 y = 0$ ;

ច. $3 \frac{d y}{d x} + y = 0$ .

$y^{'} + y = 0; - y^{'} + 2 y = 0; 3 y^{'} + 6 y = 0$

$- y^{'} + 2 y = 0; \frac{d y}{d x} + 3 y = 0; 3 \frac{d y}{d x} + y = 0$

ដោះស្រាយបន្ថែម

វិធីរួមមានបីជំហាន ៖ (១) សរសេរសមីការជាទម្រង់ស្តង់ដារ $y^{'} + a y = 0$ , (២) អានតម្លៃ $a$ , (៣) សរសេរ $y = A e^{- a x}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ ។ ខាងក្រោមយើងធ្វើឱ្យពេញលេញលើចំណុច ក ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តដូចគ្នាលើចំណុចផ្សេងទៀត ។

ក. $y^{'} + y = 0$

ជំហានទី១ — អានមេគុណ
សមីការស្រាប់ជាទម្រង់ $y^{'} + a y = 0$ ជាមួយ $a = 1$ ។
ហេតុអ្វី មេគុណនៃ $y$ គឺ $1$ ដោយសារតែ $y$ គ្មានលេខនៅខាងមុខ មានន័យថាគុណនឹង $1$ ។

ជំហានទី២ — សមីការសម្គាល់
$r + 1 = 0$ ដូច្នេះ $r = - 1$ ។
ហេតុអ្វី នេះជាវិធីទី១ ក្នុង ៖ ជំនួស $y = e^{r x}$ រួចចែកនឹង $e^{r x}$ ។

ជំហានទី៣ — ចម្លើយ

$y = A e^{- x}, A \in R .$

$y = A e^{- x}$ .
ហេតុអ្វី $r_{0} = - a = - 1$ ដូច្នេះ $y = A e^{r_{0} x}$ ។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $y^{'} + y = - A e^{- x} + A e^{- x} = 0$ ។

ខ. $- y^{'} + 2 y = 0$

ជំហានទី១ — គុណនឹង $- 1$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $- 1$ ៖ $y^{'} - 2 y = 0$ ។
ហេតុអ្វី ត្រូវការមេគុណ $1$ នៅមុខ $y^{'}$ ដើម្បីអាន $a$ បានត្រង់ ។ ការមិនគុណនឹង $- 1$ នាំឱ្យសញ្ញាខុសក្នុងនិទស្សន៍ ។

ជំហានទី២ — អាន $a$
$a = - 2$ ដូច្នេះ $r = 2$ ។
ហេតុអ្វី $r = - a$ តាម ។

ជំហានទី៣ — ចម្លើយ

$y = A e^{2 x} .$

$y = A e^{2 x}$ .
ហេតុអ្វី ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $- y^{'} + 2 y = - 2 A e^{2 x} + 2 A e^{2 x} = 0$ ។

គ. $3 y^{'} + 6 y = 0$

ជំហានទី១ — ចែកនឹង $3$
$y^{'} + 2 y = 0$ ។
ហេតុអ្វី សមីការត្រូវមានមេគុណ $1$ នៅមុខ $y^{'}$ ដើម្បីប្រើរូបមន្ត $y = A e^{- a x}$ ។ ការចែកនឹងចំនួនថេរមិនសូន្យ រក្សាសំណុំចម្លើយ ។

ជំហានទី២ — អាន $a$ និងចម្លើយ
$a = 2$ ដូច្នេះ

$y = A e^{- 2 x} .$

ហេតុអ្វី ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $3 (- 2 A e^{- 2 x}) + 6 A e^{- 2 x} = 0$ ។

ឃ. $- y^{'} + 2 y = 0$

ជំហានទី១ — គុណនឹង $- 1$
$y^{'} - 2 y = 0$ ។
ហេតុអ្វី ដូចចំណុច ខ ៖ ត្រូវដាក់សមីការជាទម្រង់ស្តង់ដារ ។

ជំហានទី២ — អាន $a$ និងចម្លើយ
$a = - 2$ ដូច្នេះ

$y = A e^{2 x} .$

ហេតុអ្វី សញ្ញាដកនៅមុខ $2$ ក្នុងសមីការ បង្កើតនិទស្សន៍វិជ្ជមាន ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $- 2 A e^{2 x} + 2 A e^{2 x} = 0$ ។

ង. $\frac{d y}{d x} + 3 y = 0$

ជំហានទី១ — សម្គាល់ថាជាទម្រង់ដូចគ្នា
$\frac{d y}{d x} = y^{'}$ ដូច្នេះសមីការគឺ $y^{'} + 3 y = 0$ ជាមួយ $a = 3$ ។
ហេតុអ្វី និមិត្តសញ្ញាទាំងពីរតាងដេរីវេដូចគ្នា ។

ជំហានទី២ — ចម្លើយ

$y = A e^{- 3 x} .$

$y = A e^{- 3 x}$ .
ហេតុអ្វី ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $- 3 A e^{- 3 x} + 3 A e^{- 3 x} = 0$ ។

ច. $3 \frac{d y}{d x} + y = 0$

ជំហានទី១ — ចែកនឹង $3$
$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = 0$ ដូច្នេះ $a = \frac{1}{3}$ ។
ហេតុអ្វី មេគុណ $a$ គឺជាមេគុណនៃ $y$ បន្ទាប់ពីចែករួច ។

ជំហានទី២ — ចម្លើយ

$y = A e^{- x /3} .$

$y = A e^{- x /3}$ .
ហេតុអ្វី $r = - \frac{1}{3}$ ដូច្នេះនិទស្សន៍គឺ $- \frac{x}{3}$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $3 (- \frac{1}{3} A e^{- x /3}) + A e^{- x /3} = 0$ ។

ផ្នែក 20

ឧទាហរណ៍ទី ៥

ចំណោទ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម ៖

ក. $y^{'} + x y = 0$ ។

ខ. $y^{'} - 3 x^{2} y = 0$ ។

គ. $x y^{'} - 2 y = 0$ ។

ក. $y^{'} + x y = 0$ ;

ខ. $y^{'} - 3 x^{2} y = 0$ ;

គ. $x y^{'} - 2 y = 0$ .

$y^{'} + x y = 0 y^{'} - 3 x^{2} y = 0 x y^{'} - 2 y = 0$

ដោះស្រាយបន្ថែម

ក. $y^{'} + x y = 0$

ជំហានទី១ — អាន $p (x)$
នៅទីនេះ $p (x) = x$ ។
ហេតុអ្វី សមីការមានទម្រង់ $y^{'} + p (x) y = 0$ ដូច ។

ជំហានទី២ — ព្រីមីទីវនៃ $p$

$\int x d x = \frac{x ^{2}}{2} .$

ហេតុអ្វី ចម្លើយគឺ $A e^{- \int p (x) d x}$ ដូច្នេះយើងត្រូវការព្រីមីទីវមួយ ។ ចំនួនថេរនៅក្នុងព្រីមីទីវមិនចាំបាច់ទេ ព្រោះវាលេបចូលក្នុង $A$ ។

ជំហានទី៣ — ចម្លើយ

$y = A e^{- x^{2} /2} .$

$y = A e^{- x^{2} /2}$ .
ហេតុអ្វី ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $y^{'} = - x A e^{- x^{2} /2} = - x y$ ដូច្នេះ $y^{'} + x y = 0$ ។

ខ. $y^{'} - 3 x^{2} y = 0$

ជំហានទី១ — សរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដារ
$y^{'} + (- 3 x^{2}) y = 0$ ដូច្នេះ $p (x) = - 3 x^{2}$ ។
ហេតុអ្វី ត្រូវយកសញ្ញារបស់ $p$ ឱ្យត្រូវ ។ នៅទីនេះ $p$ អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $- \int p$ នឹងវិជ្ជមាន ។

ជំហានទី២ — ព្រីមីទីវ
$\int (- 3 x^{2}) d x = - x^{3}$ ។ $\int (- 3 x^{2}) d x = - x^{3}$ .
ហេតុអ្វី $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$ ដូច្នេះគុណនឹង $- 3$ ផ្តល់ $- x^{3}$ ។

ជំហានទី៣ — ចម្លើយ

$y = A e^{x^{3}} .$

$y = A e^{x^{3}}$ .
ហេតុអ្វី សញ្ញាដកពីរបានកាត់គ្នា ៖ $- (- x^{3}) = + x^{3}$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $y^{'} = 3 x^{2} A e^{x^{3}} = 3 x^{2} y$ ។

គ. $x y^{'} - 2 y = 0$

ជំហានទី១ — ចែកនឹង $x$
ចំពោះ $x \neq = 0$ ៖ $y^{'} - \frac{2}{x} y = 0$ ដូច្នេះ $p (x) = - \frac{2}{x}$ ។
ហេតុអ្វី ត្រូវមានមេគុណ $1$ នៅមុខ $y^{'}$ ។ ដែនកំណត់ត្រូវបែងចែកជាពីរចន្លោះ $(- \infty; 0)$ និង $(0; + \infty)$ ។

ជំហានទី២ — ព្រីមីទីវ

$\int (- \frac{2}{x}) d x = - 2 ln ∣ x ∣.$

$\int (- 2/ x) d x = - 2 ln ∣ x ∣$ .
ហេតុអ្វី $\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣$ ហើយមេគុណ $- 2$ នៅខាងមុខ ។

ជំហានទី៣ — ចម្លើយ

$y = A e^{2 l n ∣ x ∣} = A ∣ x ∣^{2} = A x^{2}, x \neq = 0.$

ហេតុអ្វី $∣ x ∣^{2} = x^{2}$ ដូច្នេះសញ្ញាដាច់ខាតបាត់ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់៖ $x y^{'} - 2 y = x (2 A x) - 2 A x^{2} = 0$ ។

ពិនិត្យវិធីគិតរបស់អ្នក

១. ភ្លេចចំនួនថេរ $c$ / Forgetting the constant $c$ . សិស្សសរសេរ $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x$ ជំនួស $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + c$ ។ ការភ្លេច $c$ ធ្វើឱ្យចម្លើយក្លាយជាចម្លើយពិសេសមួយ មិនមែនចម្លើយទូទៅ ។ ដំណោះស្រាយ៖ សរសេរ $+ c$ រាល់ពេលធ្វើអាំងតេក្រាលដែលគ្មានលក្ខខណ្ឌដើម ។ — Students write $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x$ instead of $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + c$ . Without $c$ the answer is one particular solution, not the general one. Correction: always add $+ c$ when there is no initial condition.

២. សរសេរ $ln y$ ជំនួស $ln ∣ y ∣$ / Writing $ln y$ instead of $ln ∣ y ∣$ . នៅក្នុង $\int \frac{d y}{y}$ តម្លៃ $y$ អាចអវិជ្ជមាន ។ ការសរសេរ $ln y$ បាត់ចម្លើយទាំងអស់ដែល $y < 0$ ។ ដំណោះស្រាយ៖ សរសេរ $ln ∣ y ∣$ រួចលេបសញ្ញា $\pm$ ចូលក្នុងចំនួនថេរ ។ — In $\int d y / y$ the value $y$ may be negative; writing $ln y$ loses every solution with $y < 0$ . Correction: write $ln ∣ y ∣$ , then absorb the $\pm$ sign into the constant.

៣. ភ្លេចគុណនឹង $x$ ពេលឫសឌុប / Forgetting the factor $x$ at a double root. ចម្លើយ $y = A e^{- 2 x} + B e^{- 2 x}$ ពេល $Δ = 0$ គឺខុស ព្រោះវាសមមូលនឹង $(A + B) e^{- 2 x}$ ដែលមានចំនួនថេរតែមួយ ។ ដំណោះស្រាយ៖ សរសេរ $y = (A x + B) e^{- 2 x}$ ។ — The answer $y = A e^{- 2 x} + B e^{- 2 x}$ when $Δ = 0$ is wrong: it collapses to $(A + B) e^{- 2 x}$ , one constant only. Correction: $y = (A x + B) e^{- 2 x}$ .

៤. ច្រឡំសញ្ញានៅក្នុងនិទស្សន៍ / Wrong sign in the exponent. ពី $y^{'} + 2 y = 0$ សិស្សសរសេរ $y = A e^{2 x}$ ជំនួស $y = A e^{- 2 x}$ ។ គន្លឹះ៖ បើសមីការមាន $+ a y$ នោះចម្លើយមាន $e^{- a x}$ ។ សាកល្បងដោយដេរីវេភ្លាម ។ — From $y^{'} + 2 y = 0$ students write $y = A e^{2 x}$ instead of $A e^{- 2 x}$ . Rule: a $+ a y$ term produces $e^{- a x}$ . Check by differentiating immediately.

៥. មិនគុណនឹង $- 1$ ពេលមេគុណ $y^{'}$ អវិជ្ជមាន / Not normalising a negative coefficient of $y^{'}$ . សមីការ $- y^{'} + 2 y = 0$ មាន $a = - 2$ បន្ទាប់ពីគុណនឹង $- 1$ ដូច្នេះចម្លើយគឺ $y = A e^{2 x}$ ។ បើអានត្រង់ថា $a = 2$ នោះចម្លើយនឹងខុសជា $A e^{- 2 x}$ ។ — The equation $- y^{'} + 2 y = 0$ becomes $y^{'} - 2 y = 0$ , so $a = - 2$ and $y = A e^{2 x}$ ; reading $a = 2$ directly gives the wrong $A e^{- 2 x}$ .

៦. ប្រើ $y_{p}$ ដែលជាឫសរួចហើយ / Using a $y_{p}$ that duplicates a homogeneous solution. ក្នុង $5 y^{''} + y^{'} = - 6 x$ ការយក $y_{p} = a x + b$ មិនដំណើរការ ព្រោះ $0$ ជាឫស ។ ត្រូវយក $y_{p} = a x^{2} + b x$ ។ ដំណោះស្រាយ៖ ពិនិត្យឫសនៃសមីការសម្គាល់មុន រួចគុណនឹង $x$ ឱ្យបានគ្រប់ចំនួនដង ។ — In $5 y^{''} + y^{'} = - 6 x$ the choice $y_{p} = a x + b$ fails because $0$ is a root; take $y_{p} = a x^{2} + b x$ . Correction: check the roots first, then multiply by $x$ exactly as many times as needed.

៧. បូកតួអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលខុសប្រេកង់ / Wrong frequency in the trigonometric case. ក្នុង $y^{''} + 4 y^{'} + 8 y = 0$ ឫសគឺ $- 2 \pm 2 i$ ដូច្នេះចម្លើយប្រើ $cos 2 x$ មិនមែន $cos 4 x$ ទេ ។ ដំណោះស្រាយ៖ គណនា $b = \frac{- Δ}{2 a}$ ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ រួចសរសេរ $b$ នោះក្នុង $cos b x$ និង $sin b x$ ។ — For $y^{''} + 4 y^{'} + 8 y = 0$ the roots are $- 2 \pm 2 i$ , so the answer uses $cos 2 x$ , never $cos 4 x$ . Correction: compute $b = \frac{- Δ}{2 a}$ carefully and use that $b$ in $cos b x$ and $sin b x$ .

៨. គុណ $y_{c}$ នឹង $y_{p}$ ជំនួសការបូក / Multiplying $y_{c}$ by $y_{p}$ instead of adding. ចម្លើយត្រូវជា $y = y_{c} + y_{p}$ ។ ការគុណផ្តល់អនុគមន៍ដែលមិនផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ ។ ដំណោះស្រាយ៖ សរសេរបន្ទាត់ថ្មី $y = y_{c} + y_{p}$ រួចជំនួសចូលដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់ ។ — The answer is $y = y_{c} + y_{p}$ ; a product does not satisfy the equation. Correction: write the line $y = y_{c} + y_{p}$ and verify by substitution.

៩. ចែកនឹង $y$ ដោយមិនពិនិត្យ $y = 0$ / Dividing by $y$ without checking $y = 0$ . ក្នុង $\frac{d y}{d x} = 3 + y$ យើងចែកនឹង $y + 3$ ដូច្នេះត្រូវពិនិត្យ $y = - 3$ ដោយឡែក ។ ការមិនពិនិត្យអាចបាត់ចម្លើយថេរ ។ — In $\frac{d y}{d x} = 3 + y$ we divide by $y + 3$ , so the value $y = - 3$ must be checked separately; otherwise a constant solution is lost.

១០. សរសេរ $c$ ពីរដង / Writing the constant twice. ក្នុង $\int \frac{d y}{y} = \int - a d x$ សិស្សសរសេរ $ln ∣ y ∣ + c_{1} = - a x + c_{2}$ រួចច្រឡំ ។ ដំណោះស្រាយ៖ សរសេរ $c$ តែម្តងនៅអង្គខាងស្តាំ ។ — Students write $ln ∣ y ∣ + c_{1} = - a x + c_{2}$ and then lose track. Correction: put one constant on one side only.

១១. ភ្លេចដែនកំណត់ / Forgetting the domain. ចម្លើយ $y = ln (x^{2} - 1) + c$ កំណត់តែពេល $x^{2} - 1 > 0$ ពោលគឺ $x < - 1$ ឬ $x > 1$ ។ ការមិនសរសេរចន្លោះ ធ្វើឱ្យចម្លើយមិនពេញលេញ ។ — The answer $y = ln (x^{2} - 1) + c$ exists only where $x^{2} - 1 > 0$ , i.e. $x < - 1$ or $x > 1$ ; omitting the interval makes the answer incomplete.

១២. គណនា $Δ$ ខុសព្រោះភ្លេចមេគុណ $a$ / A wrong $Δ$ from dropping $a$ . ក្នុង $3 y^{''} - 10 y^{'} + 3 y = 0$ ត្រូវប្រើ $a = 3$ ៖ $Δ = 100 - 4 (3) (3) = 64$ ។ បើភ្លេច $a = 3$ គេបាន $Δ = 100 - 12 = 88$ ដែលខុស ។ — For $3 y^{''} - 10 y^{'} + 3 y = 0$ use $a = 3$ : $Δ = 100 - 4 (3) (3) = 64$ ; dropping $a$ gives the wrong $88$ .

ជួយកែលម្អ StemCloud

មុខងារប្រឡងសាកល្បងមិនទាន់មាននៅឡើយទេ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ជ្រើសរើសប្រធានបទដើម្បីសិក្សា

First-order differential equations

គំនិតសំខាន់

4.1 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី១

4.2 ចម្លើយច្រើនរាប់មិនអស់ និងគ្រួសារខ្សែកាង

4.3 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} = f (x)$ ដោយអាំងតេក្រាលត្រង់

4.4 របៀបដោះស្រាយសមីការបំបែកអថេរ $g (y) \frac{d y}{d x} = f (x)$

4.5 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + a y = 0$ តាមពីរវិធី

4.6 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + p (x) y = 0$

4.7 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + a y = f (x)$ តាមពីរវិធី

4.8 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២ អូម៉ូស្សេន

4.9 ករណី $Δ > 0$ ៖ ឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា

4.10 ករណី $Δ = 0$ ៖ ឫសឌុប

4.11 ករណី $Δ < 0$ ៖ ឫសកុំផ្លិចភ្ជាប់

4.12 សមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២ មិនអូម៉ូស្សេន

4.13 របៀបដោះស្រាយ $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x)$

4.14 តារាងទម្រង់ចម្លើយពិសេស $y_{p}$

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ឧទាហរណ៍ទី ៥

First-order differential equations

គំនិតសំខាន់

4.1 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី១

4.2 ចម្លើយច្រើនរាប់មិនអស់ និងគ្រួសារខ្សែកាង

4.3 របៀបដោះស្រាយ y′=f(x) ដោយអាំងតេក្រាលត្រង់

4.4 របៀបដោះស្រាយសមីការបំបែកអថេរ g(y)dxdy​=f(x)

4.5 របៀបដោះស្រាយ y′+ay=0 តាមពីរវិធី

4.6 របៀបដោះស្រាយ y′+p(x)y=0

4.7 របៀបដោះស្រាយ y′+ay=f(x) តាមពីរវិធី

4.8 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២ អូម៉ូស្សេន

4.9 ករណី Δ>0 ៖ ឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា

4.10 ករណី Δ=0 ៖ ឫសឌុប

4.11 ករណី Δ<0 ៖ ឫសកុំផ្លិចភ្ជាប់

4.12 សមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២ មិនអូម៉ូស្សេន

4.13 របៀបដោះស្រាយ ay′′+by′+cy=p(x)

4.14 តារាងទម្រង់ចម្លើយពិសេស yp​

ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ៣

ឧទាហរណ៍ទី ៤

ឧទាហរណ៍ទី ៥

4.3 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} = f (x)$ ដោយអាំងតេក្រាលត្រង់

4.4 របៀបដោះស្រាយសមីការបំបែកអថេរ $g (y) \frac{d y}{d x} = f (x)$

4.5 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + a y = 0$ តាមពីរវិធី

4.6 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + p (x) y = 0$

4.7 របៀបដោះស្រាយ $y^{'} + a y = f (x)$ តាមពីរវិធី

4.9 ករណី $Δ > 0$ ៖ ឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា

4.10 ករណី $Δ = 0$ ៖ ឫសឌុប

4.11 ករណី $Δ < 0$ ៖ ឫសកុំផ្លិចភ្ជាប់

4.13 របៀបដោះស្រាយ $a y^{''} + b y^{'} + cy = p (x)$

4.14 តារាងទម្រង់ចម្លើយពិសេស $y_{p}$