វិច្ឆេទ័រក្នុងលំហ

១) ហេតុអ្វីត្រូវការផលគុណថ្មី ? នៅក្នុងប្លង់ ផលគុណស្កាឡែនបានផ្តល់ចំនួនពិតមួយ ដែលប្រាប់ពីមុំ ។ ប៉ុន្តែវាមិនប្រាប់ពី "ទិសឈរ" ទេ ។ ក្នុងលំហ យើងត្រូវការវិច្ឆេទ័រមួយទៀត ដែលឈរកែងទៅលើផ្ទៃដែលបង្កើតដោយវិច្ឆេទ័រទាំងពីរ ។ វិច្ឆេទ័រនោះហៅថា ផលគុណវិច្ឆេទ័រ $\vec{u}\times \vec{v}$ ។

២) ផលគុណវិច្ឆេទ័រជាផ្ទៃ ។ ប្រវែង $|\vec{u}\times \vec{v}|$ គឺស្មើនឹង ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម ដែលមានជ្រុងជាប់ $\vec{u}$ និង $\vec{v}$ ។ ដូច្នេះ ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណគឺពាក់កណ្តាលនៃចំនួននេះ ។ នេះជាហេតុផលដែលរូបមន្តផ្ទៃក្រឡាក្នុងជំពូកនេះសុទ្ធតែមាន $\frac{1}{2}$ ឬគ្មាន $\frac{1}{2}$ ។

៣) ផលគុណវិច្ឆេទ័រ និងមាឌ ។ បើយើងគុណបន្ថែមដោយផលគុណស្កាឡែនជាមួយវិច្ឆេទ័រទីបី $\vec{w}$ គឺ $(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}$ យើងទទួលបាន មាឌប្រលេពីប៉ីពេត ដែលមានជ្រុងជាប់ $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ ។ មាឌតេត្រាអែតគឺមួយភាគប្រាំមួយនៃចំនួននេះ ។

៤) បន្ទាត់ក្នុងលំហ ត្រូវការចំណុចមួយ និងទិសមួយ ។ ក្នុងប្លង់ បន្ទាត់មួយកំណត់ដោយសមីការមួយ $ax+by+c=0$ ។ ក្នុងលំហ បន្ទាត់មួយ មិនអាច កំណត់ដោយសមីការមួយបានទេ ។ យើងសរសេរវាជាប្រព័ន្ធសមីការពីរ ៖ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (មានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $t$) ឬសមីការឆ្លុះបញ្ចាំង (ជាសមីការភាគរយសំរុង) ។

៥) ប្លង់ ត្រូវការចំណុចមួយ និងវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់មួយ ។ វិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់ $\vec{n}$ គឺវិច្ឆេទ័រដែលឈរកែងទៅលើប្លង់ទាំងមូល ។ បើដឹង $\vec{n}$ និងចំណុចមួយ $A$ នៅលើប្លង់ នោះប្លង់កំណត់បានភ្លាម ។ ដូច្នេះ ការងារសំខាន់ក្នុងជំពូកនេះ គឺ រក $\vec{n}$ ។ វិធីរក $\vec{n}$ មានបី ៖

• បើដឹងវិច្ឆេទ័រពីរនៅក្នុងប្លង់ $\vec{u}$ និង $\vec{v}$ នោះ $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$ ។
• បើដឹងបន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់ នោះ $\vec{n}$ គឺវិច្ឆេទ័រប្រាប់ទិសរបស់បន្ទាត់នោះ ។
• បើដឹងប្លង់ស្របគ្នា នោះ $\vec{n}$ ដូចគ្នា ។

៦) ស្វ៊ែរ គឺជាការពង្រីករង្វង់ ។ សមីការស្វ៊ែរ $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$ គឺដូចសមីការរង្វង់ដែរ គ្រាន់តែបន្ថែមអថេរ $z$ មួយទៀត ។ ដូច្នេះ ការបំពេញការេ (ការបំបែកជាការេស្មើ) គឺជាជំនាញចាំបាច់ ។

៧) ចម្ងាយទាំងអស់មកពីរូបមន្តតែមួយ ។ ចម្ងាយពីចំណុចទៅប្លង់ គឺ "ការចាក់ចំណុចលើវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់" ។ ចម្ងាយពីចំណុចទៅបន្ទាត់ គឺ "ផ្ទៃក្រឡាបែងនឹងប្រវែង" ។ ចម្ងាយពីបន្ទាត់ទៅបន្ទាត់ គឺ "មាឌបែងនឹងផ្ទៃក្រឡា" ។ បើយល់គំនិតនេះ មិនចាំបាច់ទន្ទេញដោយឡែកទេ ។

៨) របៀបជ្រើសវិធី ។ មុនពេលគណនា សួរខ្លួនឯងថា ៖ តើខ្ញុំកំពុងរក បន្ទាត់ ឬ ប្លង់ ឬ ស្វ៊ែរ ? បើរកប្លង់ តើខ្ញុំមាន $\vec{n}$ ហើយឬនៅ ? បើមិនមាន តើខ្ញុំអាចរកវាបានពីវិច្ឆេទ័រពីរ ឬពីបន្ទាត់កែង ឬពីប្លង់ស្រប ? សំណួរបីនេះដោះស្រាយលំហាត់បានភាគច្រើន ។

តាងឱ្យវិច្ឆេទ័រ $\overrightarrow{AB}=(x,y,z)$ និង $\overrightarrow{CD}=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ គេបាន ៖

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ x& y& z\\ x^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y& z\\ y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right|\vec{i}-\left|\begin{array}{cc}x& z\\ x^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc}x& y\\ x^{\prime }& y^{\prime }\end{array}\right|\vec{k}=(y{z}^{\prime }-y^{\prime }z)\vec{i}-(x{z}^{\prime }-x^{\prime }z)\vec{j}+(x{y}^{\prime }-x^{\prime }y)\vec{k}$$

ដូច្នេះ លទ្ធផលគឺជាវិច្ឆេទ័រមួយ ដែលមានកូអរដោនេ ៖

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(y{z}^{\prime }-y^{\prime }z,x^{\prime }z-x{z}^{\prime },x{y}^{\prime }-x^{\prime }y)$$

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ x& y& z\\ x^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y& z\\ y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right|\vec{i}-\left|\begin{array}{cc}x& z\\ x^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc}x& y\\ x^{\prime }& y^{\prime }\end{array}\right|\vec{k}$$

$$=(y{z}^{\prime }-y^{\prime }z)\vec{i}-(x{z}^{\prime }-x^{\prime }z)\vec{j}+(x{y}^{\prime }-x^{\prime }y)\vec{k}$$

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(y{z}^{\prime }-y^{\prime }z,x^{\prime }z-x{z}^{\prime },x{y}^{\prime }-x^{\prime }y).$$

ពន្យល់បន្ថែម

សូមកត់សម្គាល់សញ្ញា ៖ តួទីពីរមានសញ្ញាដកនៅខាងមុខ ។ នេះមកពីការអភិវឌ្ឍដេទែរមីណង់តាមជួរទីមួយ ដែលសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា $+,-,+$ ។ បើភ្លេចសញ្ញានេះ លទ្ធផលនឹងខុសទាំងស្រុង ។ ចំណែកកូអរដោនេទីពីរ $x^{\prime }z-x{z}^{\prime }$ គឺស្មើនឹង $-(x{z}^{\prime }-x^{\prime }z)$ ដែលជាទម្រង់ងាយសរសេរជាង ។

បើ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ និង $\vec{w}$ ជាវិច្ឆេទ័រនៅក្នុងលំហ និង $c$ ជាចំនួនពិតនោះគេបាន ៖

ក. $\vec{u}\times \vec{v}=-(\vec{v}\times \vec{u})$

ខ. $c(\vec{u}\times \vec{v})=(c\vec{u})\times \vec{v}=\vec{u}\times (c\vec{v})$

គ. $\vec{u}\times \vec{u}=\vec{0}$

ឃ. $\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}\times \vec{v})+(\vec{u}\times \vec{w})$

ង. $\vec{u}\times \vec{0}=\vec{0}\times \vec{u}=\vec{0}$

ច. $\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})=(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}$

ក. $\vec{u}\times \vec{v}=-(\vec{v}\times \vec{u})$

ខ. $c(\vec{u}\times \vec{v})=(c\vec{u})\times \vec{v}=\vec{u}\times (c\vec{v})$

គ. $\vec{u}\times \vec{u}=\vec{0}$

ឃ. $\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}\times \vec{v})+(\vec{u}\times \vec{w})$

ង. $\vec{u}\times \vec{0}=\vec{0}\times \vec{u}=\vec{0}$

ច. $\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})=(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}$

ពន្យល់បន្ថែម

លក្ខណៈ

ក. ហៅថា ការប្តូរសញ្ញា (anti-commutativity) ។ វាមានន័យថា លំដាប់មានសារៈសំខាន់ ៖ បើប្តូរលំដាប់ លទ្ធផលប្តូរសញ្ញា ។ នេះខុសពីផលគុណស្កាឡែន ដែល $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$ ។ លក្ខណៈ

ច. ហៅថា ផលគុណចម្រុះ (mixed product) ៖ វាជាចំនួនពិត ហើយវាមិនប្តូរតម្លៃ ទោះបីផ្លាស់ទីតង្កៀបក៏ដោយ ។ លក្ខណៈ

ច. នេះហើយជាមូលដ្ឋាននៃរូបមន្តមាឌ ។

បើ $\vec{u}$ និង $\vec{v}$ ជាវិច្ឆេទ័រមិនសូន្យក្នុងលំហ ។

ផលគុណនៃវិច្ឆេទ័រ $\vec{u}$ និង $\vec{v}$ ជាវិច្ឆេទ័រមួយដែលកំណត់ដោយ $\vec{u}\times \vec{v}$ ឬ $\vec{u}\wedge \vec{v}$ កំណត់ដោយ ៖

$$\vec{u}\times \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\sin \theta \cdot \vec{k}$$

និង

$$\boxed{|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\sin \theta }$$

ដែល $\theta$ ជាមុំរវាងវិច្ឆេទ័រ $\vec{u}$ និង $\vec{v}$ ។

លក្ខណៈធរណីមាត្រ ៖ វិច្ឆេទ័រ $\vec{u}\times \vec{v}$ ឈរកែងទៅនឹង $\vec{u}$ និងកែងទៅនឹង $\vec{v}$ ។ ទិសរបស់វាកំណត់ដោយ ច្បាប់ដៃស្តាំ ៖ បើដាក់ដៃស្តាំឱ្យម្រាមទាំងបួនរមូរពី $\vec{u}$ ទៅ $\vec{v}$ នោះម្រាមដៃឯកគូសបង្ហាញទិស $\vec{u}\times \vec{v}$ ។

$$\vec{u}\times \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\sin \theta \cdot \vec{k}$$

$$\boxed{|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\sin \theta }$$

ពន្យល់បន្ថែម

រូបមន្តនេះផ្តល់វិធីទីពីរក្នុងការគណនាប្រវែង ៖ ជំនួសឱ្យគណនាដេទែរមីណង់ យើងអាចគណនាតាមប្រវែង និងមុំ ។ វាក៏ផ្តល់វិធីរកមុំផងដែរ ៖

$$\sin \theta =\frac{|\vec{u}\times \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}.$$

បើ $\vec{u}$ និង $\vec{v}$ ស្របគ្នា នោះ $\theta =0$ ឬ $\theta =\pi$ ដូច្នេះ $\sin \theta =0$ ហើយ $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{0}$ ។ នេះជាហេតុផលដែលផលគុណវិច្ឆេទ័រអាចប្រើដើម្បីសាកល្បងភាពស្របគ្នា ។

ផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ កំណត់ដោយ ៖

$$\boxed{S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CB}\right|}$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CB}\right|$$

ពន្យល់បន្ថែម

តួទាំងបីឱ្យលទ្ធផលដូចគ្នា ព្រោះវាជាផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមតែមួយ ដែលបង្កើតដោយជ្រុងពីរនៃត្រីកោណ ។ ចំណុចសំខាន់ ៖ វិច្ឆេទ័រទាំងពីរត្រូវ ចេញពីកំពូលតែមួយ ។ ឧទាហរណ៍ $\overrightarrow{AB}$ និង $\overrightarrow{AC}$ ចេញពី $A$ ។ បើយើងយក $\overrightarrow{AB}$ និង $\overrightarrow{BC}$ វិញ នោះខុស ព្រោះវាមិនចេញពីកំពូលតែមួយ ។

ផ្ទៃក្រឡាប្រលេពីប៉ីពេត $ABCD$ កំណត់ដោយ ៖

$$\boxed{S_{ABCD}=\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\times \overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\times \overrightarrow{DC}\right|}$$

(ពាក្យ "ប្រលេពីប៉ីពេត" ក្នុងសៀវភៅ មានន័យថាប្រលេឡូក្រាម នៅកន្លែងនេះ ។)

$$S_{ABCD}=\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\times \overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\times \overrightarrow{DC}\right|$$

ពន្យល់បន្ថែម

គ្មាន $\frac{1}{2}$ ទេ ព្រោះប្រលេឡូក្រាមគឺជាប្រលេឡូក្រាមពេញ ។ សូមប្រយ័ត្នជ្រើសជ្រុងជាប់គ្នា មិនមែនជ្រុងទល់មុខ ។ នៅក្នុងប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ជ្រុងជាប់នឹង $A$ គឺ $AB$ និង $AD$ ។ ឧទាហរណ៍ បើយក $\overrightarrow{AB}$ និង $\overrightarrow{CD}$ នោះវាជាជ្រុងទល់មុខ ហើយ $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=\vec{0}$ (ព្រោះស្របគ្នា) ដែលផ្តល់ផ្ទៃក្រឡាសូន្យ ជាលទ្ធផលខុស ។

មាឌប្រលេពីប៉ីពេត កំណត់ដោយ ៖

$$\boxed{V=\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\right|}$$

$$V=\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\right|$$

ពន្យល់បន្ថែម

រូបមន្តនេះអានថា ៖ "ផ្ទៃក្រឡាបាត គុណ កម្ពស់" ។ ពិតប្រាកដណាស់ $\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|$ គឺជាផ្ទៃក្រឡាបាត ហើយការចាក់ $\overrightarrow{AD}$ លើវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់នៃបាត ផ្តល់កម្ពស់ ។ ដោយសារលក្ខណៈ ៤.២ ច. យើងអាចសរសេរបានច្រើនទម្រង់ ៖

$$V=\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}\right)\right|=\left|\overrightarrow{AD}\cdot \left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\right|.$$

ទាំងអស់ឱ្យលទ្ធផលដូចគ្នា ។ ប៉ុន្តែ បើយើងប្តូរលំដាប់ពីរវិច្ឆេទ័រក្នុងផលគុណវិច្ឆេទ័រ នោះសញ្ញាប្តូរ ។ ដូច្នេះ ត្រូវដាក់តម្លៃដាច់ខាត ជានិច្ច ។

មាឌតេត្រាអែត $ABCD$ កំណត់ដោយ ៖

$$\boxed{V=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\right|}$$

(ក្នុងសៀវភៅ បន្ទាត់ពន្យល់សរសេរថា "មាឌប្រលេពីប៉ីពេត $ABCD$" នេះជាកំហុសអក្សរ ត្រូវអានថា "មាឌតេត្រាអែត $ABCD$" ។)

$$V=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\right|$$

ពន្យល់បន្ថែម

ហេតុអ្វី $\frac{1}{6}$ ? ព្រោះតេត្រាអែតមួយអាចបំពេញបានតែមួយភាគប្រាំមួយនៃប្រលេពីប៉ីពេតដែលមានជ្រុងដូចគ្នា ។ ដូច្នេះ $V_{\text{tetra}}=\frac{1}{6}{V}_{\text{parallelepiped}}$ ។ ចំណាំ ៖ បើតេត្រាអែតមានកំពូល $O$ ជាគល់តម្រុយ នោះរូបមន្តក្លាយជា

$$V_{OABC}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right)\cdot \overrightarrow{OC}\right|.$$

បើមានបីចំណុច $A$ , $B$ និង $C$ ជាបីចំនុចចរត្រង់គ្នា ឬនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយលុះត្រាតែវាបំពេញលក្ខខណ្ឌ ៖

$$\boxed{\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\vec{0}}$$

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\vec{0}$$

ពន្យល់បន្ថែម

លក្ខខណ្ឌនេះស្មើនឹងការប្រាប់ថា $\overrightarrow{AB}$ និង $\overrightarrow{AC}$ ស្របគ្នា ។ បើវាស្របគ្នា នោះត្រីកោណ $ABC$ មានផ្ទៃក្រឡាសូន្យ ពោលគឺគ្មានត្រីកោណទេ ៖ បីចំណុចនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។ ម៉្យាងវិញទៀត បើ $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$ នោះបីចំណុច មិន ត្រង់គ្នា ហើយវាកំណត់ប្លង់មួយ (មើល 4.15) ។

ផ្នែកទី II នៃសៀវភៅ — Book section II: សមីការបន្ទាត់ក្នុងលំហ

គេមានចំណុច $A(x_A,y_A,z_A)$ និងវិច្ឆេទ័រ $\vec{u}=(a,b,c)$ ។

សមីការបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A$ ហើយមានវិច្ឆេទ័រប្រាប់ទិស $\vec{u}$ កំណត់ដោយ ៖

$$\boxed{(L):\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}}$$

(សមីការឆ្លុះបញ្ចាំង) ដែល $a$ , $b$ , $c$ ខុសពីសូន្យ ។

$$\boxed{(L):\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}}$$

ពន្យល់បន្ថែម

ហេតុអ្វីហៅថា "ឆ្លុះបញ្ចាំង" ? ព្រោះវាបង្ហាញការផ្លាស់ប្តូរតាមអ័ក្សទាំងបី ក្នុងសមាមាត្រដូចគ្នា ។ អានវាថា ៖ "បើចំណុច $M(x,y,z)$ នៅលើបន្ទាត់ នោះចម្ងាយដែលវាផ្លាស់តាមអ័ក្ស $x$, $y$, $z$ មានសមាមាត្រនឹង $a$, $b$, $c$" ។ សមីការនេះមានន័យតែពេល $a,b,c$ ទាំងអស់ខុសពីសូន្យ ។ បើតួណាមួយស្មើសូន្យ យើងត្រូវប្រើសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (មើល 4.10) ។

$$\boxed{(L):\{\begin{array}{l}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{array},t\in \mathrm{IR}}$$

(សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់) ។

$$(L):\{\begin{array}{l}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{array},t\in \mathbb{R}$$

ពន្យល់បន្ថែម

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $t$ គឺជា "ម៉ោងដើរ" ។ ពេល $t=0$ យើងនៅត្រង់ $A$ ។ ពេល $t=1$ យើងផ្លាស់បានមួយជំហាន $\vec{u}$ ពី $A$ ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ទាំងមូលគឺជាសំណុំចំណុច $M=A+t\vec{u}$ ពេល $t$ រត់ពី $-\infty$ ដល់ $+\infty$ ។ ទម្រង់នេះ តែងតែប្រើបាន ទោះបី $a,b,c$ មានតួសូន្យក៏ដោយ ។ ឧទាហរណ៍ បើ $a=0$ នោះ $x=x_A$ ថេរ ហើយបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ $(yOz)$ ។

ដើម្បីសរសេរសមីការបន្ទាត់ $(AB)$ គេត្រូវអនុវត្តន៍តាមដំណាក់កាលដូចខាងក្រោម ៖

➢ រកវិច្ឆេទ័រប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ $(AB)$ គឺ

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$$

➢ ប្រើរូបមន្ត

$$\boxed{(AB):\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}}$$

ពន្យល់បន្ថែម

នេះគឺជាករណីពិសេសនៃ 4.9 ដែល $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ ។ ចំណុច $A$ និង $B$ អាចជ្រើសយកមួយណាក៏បាន ជាចំណុចចាប់ផ្តើម ៖ បើយក $B$ ជាចំណុចចាប់ផ្តើម នោះភាគបែងក្លាយជា $x_A-x_B$ ។ល។ លទ្ធផលគឺបន្ទាត់ដូចគ្នា ។ ប៉ុន្តែ ត្រូវរក្សាភាពស៊ីសង្វាក់ ៖ ភាគយក និងភាគបែងត្រូវជារបស់ចំណុចតែមួយ ។

ផ្នែកទី III នៃសៀវភៅ — Book section III: សមីការប្លង់ក្នុងលំហ

គេឱ្យចំនុច $A(x_A,y_A,z_A)$ និងវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់ $\vec{n}=(a,b,c)$ ។

សមីការប្លង់កាត់តាមចំនុច $A$ និងមានវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់ $\vec{n}$ កំណត់ដោយ ៖

$$\boxed{(P):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0}$$

(ទម្រង់ស្តង់ដារ) ។

សមីការប្លង់ជាទូទៅ ៖

$$\boxed{(P):ax+by+cz+d=0}$$

$$(P):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$$

ពន្យល់បន្ថែម

ហេតុអ្វីរូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវ ? យកចំណុចណាមួយ $M(x,y,z)$ នៅលើប្លង់ ។ វិច្ឆេទ័រ $\overrightarrow{AM}=(x-x_A,y-y_A,z-z_A)$ នៅក្នុងប្លង់ ដូច្នេះវាកែងនឹង $\vec{n}$ ។ ដូច្នេះ $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$ ដែលសរសេរជាកូអរដោនេគឺ $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$ ។ បើយើងអភិវឌ្ឍ យើងបាន $ax+by+cz+d=0$ ដែល $d=-a{x}_A-b{y}_A-c{z}_A$ ។ ក្នុងសមីការទូទៅ វិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់អានដោយផ្ទាល់ ៖ $\vec{n}=(a,b,c)$ ។

ករណីពិសេស ៖

• បើ $z=0$ ជាសមីការប្លង់ $(O,\vec{i},\vec{j})$

• បើ $x=0$ ជាសមីការប្លង់ $(O,\vec{j},\vec{k})$

• បើ $y=0$ ជាសមីការប្លង់ $(O,\vec{i},\vec{k})$

ពន្យល់បន្ថែម

សូមចងចាំការភ្ជាប់ឈ្មោះ ៖ ប្លង់ $(xOy)$ គឺប្លង់ $z=0$ (ដេក) ។ ប្លង់ $(yOz)$ គឺប្លង់ $x=0$ ។ ប្លង់ $(xOz)$ គឺប្លង់ $y=0$ ។ ចំណាំ ៖ បើសមីការប្លង់មានតែ $x$ ដូចជា $x=k$ នោះប្លង់ស្របនឹងប្លង់ $(yOz)$ ។ ដូចគ្នា $y=k$ ស្របនឹង $(xOz)$ និង $z=k$ ស្របនឹង $(xOy)$ ។

គេឱ្យចំនុច $A(x_A,y_A,z_A)$ និង $B(x_B,y_B,z_B)$ ។ សំណុំនៃចំនុច $P(x,y,z)$ ដែលស្ថិតនៅស្មើចម្ងាយពីចំនុច $A$ និង $B$ គឺជាប្លង់មេឌាទ្រីសនៃអង្កត់ $[AB]$ ។ ដើម្បីកំណត់សមីការប្លង់មេឌាទ្រីសនៃអង្កត់ $[AB]$ គេត្រូវ ៖

➢ តាង $I$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃ $[AB]$ រួចកំណត់កូអរដោនេរបស់ $I$ គឺ

$$I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$$

➢ តាង $\vec{n}$ ជាវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់របស់ប្លង់ ដែល $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$

➢ ប្រើរូបមន្ត $(P):a(x-x_I)+b(y-y_I)+c(z-z_I)=0$ ។

ពន្យល់បន្ថែម

"មេឌាទ្រីស" មានន័យថា "កាត់ពាក់កណ្តាល និងកែង" ។ ហេតុអ្វី $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$ ? ព្រោះប្លង់នេះកែងនឹងអង្កត់ $[AB]$ ។ ហេតុអ្វីកាត់តាម $I$ ? ព្រោះ $I$ ស្មើចម្ងាយពី $A$ និង $B$ ដូច្នេះវានៅក្នុងសំណុំ ។ មានវិធីទីពីរដែលមិនចាំបាច់រក $I$ ៖ សរសេរ $P{A}^2=P{B}^2$ រួចអភិវឌ្ឍ ។ វិធីទីពីរនេះជួយពិនិត្យលទ្ធផល ។

គេឱ្យបីចំនុច $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ និង $C(x_C,y_C,z_C)$ ។

គេបាន $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ និង $\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)$ ។

ហេតុនេះ $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(a,b,c)$ ដូច្នេះសមីការប្លង់ដែលកាត់តាមបីចំណុច $A$ , $B$ និង $C$ គឺ ៖

$$\boxed{(ABC):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0}$$

$$(ABC):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.$$

ពន្យល់បន្ថែម

នេះជារូបមន្តសំខាន់បំផុតក្នុងជំពូក ព្រោះវាភ្ជាប់ផលគុណវិច្ឆេទ័រ ទៅនឹងសមីការប្លង់ ។ លំដាប់ការងារមានបីជំហាន ៖ (១) គណនា $\overrightarrow{AB}$ និង $\overrightarrow{AC}$; (២) គណនា $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$; (៣) សរសេរសមីការតាមចំណុច $A$ ។ បើ $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\vec{0}$ នោះបីចំណុចត្រង់គ្នា ហើយគ្មានប្លង់ទេ ។

គេឱ្យបន្ទាត់ $(L):\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ និងចំនុច $A(x_A,y_A,z_A)$ ។

កំណត់សមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $A$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $(L)$ ។

❖ គេបាន ${\vec{n}}_P={\vec{u}}_L=(a,b,c)$ ។ ដោយប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $A$ នោះប្លង់ $(P)$ គឺ ៖

$$(P):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$$

$$(P):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.$$

ពន្យល់បន្ថែម

នេះជាករណី "ចម្លង" នៃ 4.12 ៖ យើងមិនចាំបាច់គណនាផលគុណវិច្ឆេទ័រទេ ព្រោះវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់គឺជាវិច្ឆេទ័រប្រាប់ទិសរបស់បន្ទាត់ ។ សូមប្រយ័ត្ន ៖ បើបន្ទាត់ ស្រប នឹងប្លង់ នោះវិច្ឆេទ័រប្រាប់ទិស ឈរក្នុង ប្លង់ ហើយមិនអាចយកជាណូរម៉ាល់បានទេ ។ ដូច្នេះ "កែង" និង "ស្រប" ផ្តល់លទ្ធផលខុសគ្នាទាំងស្រុង ។

❖ វិធីសាស្ត្រស្រាយ

❖ ដោយ $(P)\perp (L)$ នោះវិច្ឆេទ័រប្រាប់ទិសរបស់បន្ទាត់ $(L)$ គឺជាវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់របស់ប្លង់ $(P)$ ។

❖ គេបាន ${\vec{n}}_P={\vec{u}}_L=(a,b,c)$ ។ ដោយប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $A$ នោះប្លង់ $(P)$ គឺ ៖

$$(P):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$$

$$(P):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.$$

ពន្យល់បន្ថែម

ប្រអប់វិធីសាស្ត្រនេះសង្ខេបអ្វីដែលបានពន្យល់ក្នុង 4.16 ។ សៀវភៅដាក់វាដាច់ដោយឡែក ដើម្បីឱ្យសិស្សចងចាំជាគន្លងគំនិត ៖ ការកែងគ្នាផ្តល់ណូរម៉ាល់ដោយផ្ទាល់ ។

គេឱ្យប្លង់ $(P):ax+by+cz+d=0$ និងចំនុច $A(x_A,y_B,z_A)$ ។ (សៀវភៅពុម្ពជា $y_B$ ត្រូវអានថា $y_A$ ។)

កំណត់សមីការប្លង់ $(Q)$ កាត់តាមចំនុច $A$ ហើយស្របនឹងប្លង់ $(P)$ ។

❖ វិធីសាស្ត្រស្រាយ

ដោយប្លង់ $(Q)||(P)$ នោះគេអាចយក ${\vec{n}}_Q={\vec{n}}_P=(a,b,c)$ ។

ដោយប្លង់ $(Q)$ កាត់តាមចំនុច $A$ នោះសមីការអាចសរសេរតាមរូបមន្ត $(Q):a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$ ។

ពន្យល់បន្ថែម

ប្លង់ស្របគ្នាមានណូរម៉ាល់ដូចគ្នា (ឬជាពហុគុណនៃគ្នា) ។ ដូច្នេះ យើងគ្រាន់តែចម្លងមេគុណ $a,b,c$ ពីប្លង់ចាស់ ហើយគណនាតួថេរថ្មី ។ លទ្ធផលគឺប្លង់ថ្មីស្របនឹងប្លង់ចាស់ ប៉ុន្តែកាត់តាម $A$ ។ បើ $d$ ដូចគ្នាដែរ នោះប្លង់ទាំងពីរជាប្លង់តែមួយ (ករណីនេះមានន័យថា $A$ នៅលើ $(P)$) ។

(ចំណងជើងក្នុងសៀវភៅពុម្ពថា "សមីការបន្ទាត់កាត់តាមបន្ទាត់មួយហើយស្របនឹងបន្ទាត់មួយផ្សេងទៀត" តាមខ្លឹមសារ គឺជាសមីការប្លង់ ។)

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរ $(L_1)$ និង $(L_2)$ មានសមីការរៀងគ្នា

$$\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}\text{និង}\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$$

ចូរកំណត់សមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $(L_1)$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $(L_2)$ ។

❖ វិធីសាស្ត្រស្រាយ

➢ បន្ទាត់ពីរ $(L_1)$ និង $(L_2)$ មានវិច្ឆេទ័រប្រាប់ទិសរៀងគ្នា ${\vec{u}}_1=(a_1,b_1,c_1)$ និង ${\vec{u}}_2=(a_2,b_2,c_2)$ ។

➢ តាង $\vec{n}$ ជាវិច្ឆេទ័រណូរម៉ាល់នៃប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $(L_1)$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $(L_2)$ គេបាន $\vec{n}={\vec{u}}_2\times {\vec{u}}_1$ ។ ដូច្នេះ $\vec{n}=(a,b,c)$ ។

➢ យក $M_0\in (L_1)$ ដែល $M_0(x_1,y_1,z_1)$ ។

➢ គេបាន $M_0\in (P)$ ។ ដូច្នេះសមីការប្លង់ $(P)$ អាចសរសេរ

$$(P):a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$$

ពន្យល់បន្ថែម

ហេតុអ្វី $\vec{n}={\vec{u}}_2\times {\vec{u}}_1$ ? ព្រោះ ${\vec{u}}_1$ នៅក្នុងប្លង់ (បន្ទាត់ $(L_1)$ នៅក្នុងប្លង់) ហើយ ${\vec{u}}_2$ ស្របនឹងប្លង់ ។ ដូច្នេះវិច្ឆេទ័រទាំងពីរស្ថិតនៅ "ក្នុងទិសដៅប្លង់" ហើយផលគុណវិច្ឆេទ័ររបស់វាឈរកែងនឹងប្លង់ ។ លំដាប់ ${\vec{u}}_2\times {\vec{u}}_1$ ឬ ${\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2$ មិនសំខាន់ទេ ព្រោះសញ្ញាប្តូរ តែប្លង់ដូចគ្នា ។ ចំណុច $M_0$ ត្រូវយកពី $(L_1)$ ព្រោះប្លង់កាត់តាម $(L_1)$ ។